Приближенный метод решения операторных уравнений свёртки на группе Rn с компактными коэффициентами и приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ СВЁРТКИ НА ГРУППЕ Rn С КОМПАКТНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРИЛОЖЕНИЯ*

© 2013 г. В.М. Деундяк, А.В. Лукин

Деундяк Владимир Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Deundyak Vladimir Mikhailovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].

Лукин Александр Васильевич - магистр, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Lukin Alexander Vasilyevich - Master Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].

Рассматривается построение приближённого метода решения операторных уравнений многомерной континуальной свёртки с компактными коэффициентами. Получено достаточное условие применимости приближённого метода решения уравнений свёртки с компактными коэффициентами. Результат применяется для решения операторных уравнений с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

Ключевые слова: проекционный метод, интегральные операторы, операторы свёртки, компактные коэффициенты, однородные ядра.

This article is devoted to construction of the approximate method of solving multidimensional continuous convolution equations with compact coefficients. In this paper we obtain a sufficient condition of applicability of the approximate method for solving c onvolution equations with compact coefficients. This result is applied for solving operator equations with anisotropically homogeneous kernels of compact type.

Keywords: section method, integral operators, convolution operators, compact coefficients, homogeneous kernels.

Исследование фредгольмовости многомерных интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа редуцируется к исследованию операторов свёртки на группе Я с компактными коэффициентами [1] на основе применения пространственного изоморфизма подобия. Аналогично исследуются многомерные операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа путём редукции к операторам свёртки на группе Я" при п > 2 [2]. В связи с применением этого подхода к решению операторных уравнений возникает задача построения приближённого метода для операторов свёртки на группе Я п с компактными коэффициентами. Для матричных операторов свёртки критерий применимости проекционного метода получен А.В. Козаком [3, 4]. В настоящей работе с использованием результатов А.В. Козака строится приближенный метод решения операторных уравнений свёртки на группе Я п с компактными коэффициентами, который переносится в теорию операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа. Отметим, что для действующих в про-

странстве Ьр (Я") операторов с однородными 50(п) -

инвариантными ядрами критерий применимости проекционного метода получен в [5, 6].

Предварительные сведения

В этом разделе введены необходимые в дальнейшем обозначения и конструкции. Пусть N, Я и С -множества натуральных, действительных и комплексных чисел; Я" и С" - вещественное и комплексное и-мерные евклидовы пространства, п > 2 . Если X - банахово пространство, то через Ь(Х) обозначим банахову алгебру всех линейных ограниченных операторов в X; /х - тождественный оператор в X; К(Х) - идеал компактных операторов. Для произвольного изоморфизма банаховых пространств £ : Х1 ^ Х2 равенство

£ (А) = gAg-1, А е ВД), (1)

задаёт изоморфизм подобия банаховых алгебр £ : ВД) ^ Ь(Х2), причём £(К(Х^) = К(Х2).

*Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них».

Пусть 1 <р , м и и - весовые функции на снабжённых мерами пространствах X и 7 соответственно; (X; м>) - весовое банахово пространство комплексно-

значных функций, суммируемых на X с р-й степенью и обычной нормой; Ьт (X; м>) - соответствующее пространство да-мерных вектор-функций; £ (X) = Ь (X;1).

Приведём необходимые сведения о тензорных произведениях (см., например, [7]). Через Ьр (X; м>) о Ьр (У; и) будем обозначать алгебраическое

тензорное произведение весовых пространств Ьр (X; м>) и Ьр (У; и), состоящее из функций вида

^¡=19Щ , где щ е Ьр(X;м>), щ е Ьр(У;и). В силу плотности Ьр(X;w) оЬр(У;и) в Ьр(Xх У;w®и) топологическое тензорное произведение Ьр (X; w) ® Ьр (У;и), являющееся замыканием Ьр (X; w) о Ьр (У ;и), совпадает с Ьр (X х У; w ® и). Рассмотрим операторные алгебры А(с Ь(Ьр (X; ^))) и Б(с Ь(Ьр (У; и))), 1 < р <». Если А е А, В е Б, то через А ® В обозначим тензорное произведение операторов А и В . Через А о Б будем обозначать алгебраическое тензорное произведение алгебр А и Б , состоящее из операторов вида ¿=1Аг- ® В , где А е А, Вг е Б. Топологическое тензорное произведение А ® Б определяется как замыкание А о Б в Ь(Ьр (X х У; w ® и)). Если и - банахова алгебра, то Ь(п; и) = Ь(п;С) ® и - банахова алгебра (п х п) -матриц над и, и+ - её унитализация.

Приведём классическое определение проекционного метода (см. [8, с. 189]). Пусть {Рк }^=1 (с Ь^)) -

последовательность проекторов, сильно сходящаяся к /Х, и А е Ь^). Рассмотрим уравнение

Ах = у. (2)

Приближённый метод решения уравнения (2), состоящий в отыскании решения хк (е Р^) уравнения РкАРкхк = РкУ, (3)

называется проекционным. Если начиная с некоторого номера &0 для любого у(е X) уравнение (3) имеет единственное решение х^ и при к последовательность X }£=ко стремится к решению уравнения

(2), то говорят, что к оператору А применим проекционный метод по системе проекторов (Рк, Рк).

Приближённый метод для операторов свёртки с компактными коэффициентами

Через Ур (= Ур (Як)) обозначим замкнутую подалгебру Ь(Ьр (Як)), порождённую операторами

свёртки (Са/)(х) = | а(х - у)/(уа е ) .

як

Пусть Урт = Ь(т; Ур); X - произвольный хаус-дорфов компакт с мерой; К = К(Ьр (X)). Рассмот-

рим банахову алгебру V„p = Vp ® K . В пространстве

Ьр(Х) зафиксируем базис . Рассмотрим проек-

тор О", определённый в Ьр(Х) следующим образом:

m

(Qmf)(x) = Z f,e, (x) , f, e С. i=1

Прямыми выкладками проверяется следующая лемма.

/K p

p

(4)

Лемма 1. Пусть D e VpKP, I ®Qm e L(Lp(Rk x X)),

тогда lim (I ® Qm)D - D = 0. m^wll II

Следующая лемма доказывается по схеме из [8, с. 200].

Лемма 2. К оператору D(e (Vp^)+) применим проекционный метод по системе проекторов (I ® Qm,I ® Qm) тогда и только тогда, когда он обратим.

Доказательство. Достаточность вытекает из общего критерия применимости проекционного метода [9, с. 91].

Докажем необходимость. Оператор D представим в виде D = Я1 - B, где B е Vp^ . Проверим обратимость оператора (I ® Qm )D(I ® Qm). По лемме 1

1

3m0 e N : Vm > m0 : ||(I ®

г)Б - BN <■

2 D"

Отсюда получаем, что Vm > m0 : ||(I ® Qm)Б - Б\

- B) i < - < 1. То-

II 2

гда оператор Л - (I ® Qm )Б обратим в пространстве L (Rk x X) как близкий к обратимому, и выполняется оценка

Vm > m : ||(Л1 - (I ® Qm )Б)-^ < - Б). (5)

Нетрудно видеть, что оператор

(Л - (I ® Qm ^XI ® Qm) также обратим на подпространстве (I ® Qm)Lp (Rk x X) и для него верна оценка вида (5). Таким образом, справедливо неравенство sup ||((I ® Qm)(Л - Б)У ® Qm))-1 II < «.

m>mo

Из доказанного вытекает, что для оператора D выполняются все условия критерия [9, с. 91], и следовательно, необходимость доказана.

В [4] А.В. Козаком был получен критерий применимости проекционного метода для операторов из

(Vpm)+. Используя этот критерий, построим приближённый метод решения уравнений вида (2) для операторов из (VKp)+ . Множество K(с Rk) будем называть конусом с вершиной в точке x(e Rk), если для любого Л(> 0) вместе с точкой y(e K) множеству K принадлежит точка Л(y - x) + x. Пусть M - замкнутое в Rk множество с гладкой границей дМ; точка 0 принадлежит внутренности inM множества М; Kx - конус с вершиной в точке x(e дМ), образованный каса-

тельной к дМ в точке х, для которого 0 е Кх. Под яЫ будем понимать множество $М = {5х, х е М}, где 5>0. Определим в пространстве Ьр (Вк) проектор РЫ:

(Р fVx)-{f^ x е M,

(6)

0, x <

Рассмотрим последовательность проекторов \psm ® Qm tm-i и уравнение

(Pm ® Qm)A(PsM ® Qm )xm - (PM ® Qm )y. (7)

Теорема 1. Пусть оператор A(e (Vp p)+) обра-

тим и, начиная с некоторого т0, операторы (Ркх 0 )Л(Ркх 0 )(е Ь((Рк ® Qm)ЬР (Вк х X))) обратимы для всех т(> т0) и для всех х(е дМ). Тогда для любого у(е Ьр (Вк х X)) существует номер то, такой что для любых т(> т0) найдётся номер 50 (т), при котором для всех 5(> 50 (т)) уравнение (7) имеет единственное решение хт и

lim lim xm - x,

(8)

где x - решение уравнения (2).

Доказательство. Зафиксируем произвольный у(е (Rk x X)) . Из леммы 2 следует, что существует номер m'0, начиная с которого уравнение (I®Qm)A(I®Qm)xm -(I®Qm)y для любых m(>m'0) имеет единственное решение xm, lim xm - x. Для фиксированного m оператор (I ® Qm )A(I ® Qm) е (Vm)+, (I ® Qm)y е Гр (Rk). Из критерия [4, с. 71] следует, что при m > m - max{m0, m'0} к оператору (I ® Qm)A(I ® Qm) применим проекционный метод по системе проекторов ((PsM ® I),(PsM ® I)). Следовательно, найдётся номер s0(m), при котором уравнение (7) для всех s(> s0 (m)) имеет единственное решение

xm и lim xf - xm , откуда вытекает равенство (8).

Отметим, что множества M можно брать из более общего класса множеств, чем было рассмотрено (см. [4]).

Приближённый метод для многомерных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа

В дальнейшем через а - (ax,...ß,k), щ е R , будем обозначать мультииндекс размера k ; 1(=(1,...,1)) - единичный мультииндекс. Под xa , где x - (x) е Rk, будем понимать выражение x"1..x"k . Если все щ -неотрицательные целые числа, то абсолютным значением а назовём величину |а| - щ +...+ щ.

Пусть R+- (0,+да); n(- (n1,...,nk)) - мультииндекс, соответствующий разбиению пространства

В}п| = В"1 х ...х В"к; Бт_1 - единичная сфера в Ят с центром в нуле; Тп_ = Бщ_1 х ...х Б _1. Функцию к назовём анизотропно однородной мультистепени (-п), если

V/ е {,...*}: Ух(1),у(1) еВ" : УД. еВ+ :

к(Ахо) ,...Ах(к), А У(1) >...ркУ(к)) = = р1_П1 ..рГк к(х(1) >...*&), У(1) '...'У(^)) • (9)

В пространстве Ьр (В") рассмотрим интегральный оператор

(К/х) = |к(х,у)/(у)ду, (10)

В"

где к удовлетворяет условию (9). Для дальнейшего исследования этих операторов удобно перейти к полисферическим координатам. Пусть } = В+х ...х В+ -положительный конус в Як и (г,а)(е В^ х Тп_-полисферические координаты точки х = (х(1),...х(к))еВ"1 \{0}х...хЯ"к \{0} (см. [2, с. 4]).

Переход к полисферической системе координат индуцирует изоморфизм банаховых пространств

д : Ьр (В") ^ Ьр (Як+ х Тп_1; г п1 01).

Рассмотрим измеримую функцию I, определённую на В )2 х Т^_1, и анизотропно однородную мультистепени (-1) по первым 2^-аргументам: V/ е{1,...к}: Ух,,у,,/ е

е В+ : 1(^1х1 ,...,/«кхк, /У1 ,...,/"кУк,а,в) =

= ^_1.../"/_11(х1,...,хк, У1,...,Ук,а,0) • Отнесём её к классу М'п.р, если для почти всех

а(е Тп_1) /[ц (а) = | |\1 (г, в,3,&)\г Пр^йгйЗ ,

Вк Тп_1

1[2](а) = | |\Ке,г,а,5)|г Прdrd$ <<х>, где е = (1,...1) е Вк, Вк тп_1

/[1],/[2] е Ьх(Тп_1). Через Ьш(Тп_1) обозначено пространство существенно ограниченных функций на Т п_1. В [2] отмечается, что М'п; - банахово пространство. Также в [2] показано, что для произвольного /(е М'п.р) формула

(Л//)(г,а) =| |/(г, р,а,3)/(р,$№3 (11)

Вк Тп_х

задаёт оператор Л/ из Ь(Ьр (В:к х Тп_1; гп_1 01)).

Будем полагать, что измеримая функция а , определённая на (В_к )2 и удовлетворяющая условию анизотропной однородности мультистепени (-1): V/ е{1,...,к}: Ух,,у,,/и, е

е В+ : а(/1 х1 ,...,/кхк,,.../кУк) =

= и1_1.../к_1а( х1 ,...,хк, Уl,..., Ук ) > принадлежит классу М(п. р), если

| |а(р, е)\р _np_1dр<ю , е = (1,...1) е Вк+ .

Вк

Пусть ¥'П;р - замыкание М(П;р) о (Т^) в М'п.р. Ядра из ¥'п.р будем называть ядрами компактного типа. Замкнутую подалгебру операторов из Ь(Ьр (Я'к х Тп-1; гп-1 01)), порождённую операторами (11) с ядрами из р , обозначим через Л'п,р . Пусть р - класс функций на Яп х Яп, полученный из ¥'п,р переходом к декартовой системе координат (см. [2]). Замкнутую подалгебру операторов из Ь(Ьр(Яп)), порождённую операторами (10) с ядрами

из ^ р, обозначим через Лп, р .

В [2] строится изометрический изоморфизм

ип-1;р : Ьр Я х Тп-1; гп-1 01) ^ Ьр (Як х Тп-1),

порождающий при помощи конструкции (1) изоморфизм подобия

ип-1;р : Ь(Ьр (Як х Тп-1;гп-1 01)) ^ Ь(Ьр (Як х Тп-1)). Рассмотрим изоморфизмы, порождённые ип-1р,

ип-1;р и 8 : ^-1;р = ип-1;рИ : Ьр (Яп) ^ Ьр(як х Тп-1) > V п-1; р = и п-1; р8 : Ь(Ьр (Яп )) ^ Ь(Ьр (Як х Тп-1)).

Доказывается, что ограничение Vп-1р на Лп,р задаёт изоморфизм подобия банаховой алгебры Л п; на

банахову алгебру УрКр;п = Ур (Як) 0 Кр (Тп-1).

Изоморфизмы уп-1,р и Vп-1р позволяют применить результаты теоремы 1 для решения уравнений вида (2), где А е (Лп,р)+ . Пусть М - замкнутое в Як множество с гладкой границей, 0 е шМ; Рм и Qm (е Ь(Ьр (Тп-1))) - проекторы, определённые равенствами (6) и (4). Рассмотрим последовательность проекторов рМ 0 Qm ^^ и уравнение

(PsM ® Qm X Vn-l;pA)(PmM ® Qm )x7 =

= (PSM ® Qm )Vn-1; рУ .

(12)

Теорема 2. Пусть оператор А е (Лпр)+ обратим и, начиная с некоторого да0, операторы (РКх 0 Qm XVп-1;рАХРКх 0 Qm Хе Ь((РКх 0 Qm )Ьр (Як х Тп-1))) обратимы для всех m(> m0) и для всех х(е дМ). Тогда для любого у(е Ьр (Яп)) существует номер mo, такой что для любых m(> тп0) найдётся номер 50(m), при котором для всех 5(>^^^)) уравнение (12) имеет единственное решение x'm и

lim lim vn-1 xf = x

(13)

где x - решение уравнения (2).

Доказательство. Очевидно, что изоморфизм Vn-1 р можно расширить до изоморфизма подобия

алгебры (Лn;р)+ на (Vfp;n)+ . Обратимость оператора A равносильна обратимости оператора Vn-1 pA(e (Vp^)+). Зафиксируем произвольный y(e Lp (Rn)). Из теоремы 1 следует, что существует номер in0, такой что для любых m(> tn0) найдётся номер s0 (m), при котором для всех s(> s0 (m)) уравнение (12) имеет единственное решение xЦ и lim lim x^ = x', где x' - решение уравнения

Vn-1;pAx' = vn-1;py . (14)

Так как vn-1.p - изометрический изоморфизм, то

lim lim v--1;pxT = V--1;px'.

Используя конструкцию (1), получаем, что решение x' уравнения (14) представимо в виде x' = Vn-1;px, где

x - решение уравнения (2). Действительно,

Vn-1;pAVn-1;px = Vn- 1;pAV--1;pVn-1;px = Vn-1;py . Таким

образом, равенство (13) доказано.

В теореме 2 построен приближённый метод решения уравнений для операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа на основе редукции к уравнениям свёртки с матричными коэффициентами в ограниченных областях, для которых можно применять известные численные методы.

Литература

1. Деундяк В.М. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами // Мат. заметки. 2010. Т. 87, вып. 5. С. 713 - 729.

2. Деундяк В.М., Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2012. № 7. С. 1 - 15.

3. Козак А.В. Локальный принцип в теории проекционных методов // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, № 6. С. 1287 -1289.

4. Козак А.В. Локальный принцип в теории проекционных методов // Диф. и интегральные уравнения и их приложения : сб. науч. тр. Элиста, 1983. С. 58 - 73.

5. Авсянкин О.Г. Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами: проекционный метод и псевдоспектры // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 501 - 513.

6. Авсянкин О.Г. Проекционный метод для матричных многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами // Владикавк. мат. журн. 2006. Т. 8, № 1. С. 3 - 10.

7. Пилиди В.С. О бисингулярном уравнении в пространстве Lp // Мат. исследования. 1972. Т. 7, № 3. С. 167 - 175.

8. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969. 456 с.

9. ГохбергИ.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения. М., 1971. 352 с.

Поступила в редакцию

10 июля 2013 г