Приближенный метод проектирования трехэлементного крылового профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

УДК 532.5.031-533.692-533.694.2

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ

Р. Ф. Мардапов

Аннотация

Изложен приближенный метод проектирования трехэлементного крылового профиля по заданному па его поверхности распределению скорости как функции дуговой абсциссы. Сутыо метода является сведение трехсвязпой области течения к одпосвязпой. расположенной па мпоголистпой римаповой поверхности, путем введения между элементами крылового профиля каналов отбора и выдува потока, асимптотически стремящихся к кольцевым. Приведен пример проектировочного расчета.

Ключевые слова: обратная краевая задача аэрогидродинамики, трехэлементный крыловой профиль, закрылок, предкрылок.

Введение

Проектирование; крылового профиля, состоящего из нескольких элементов, является актуальной задачей, так как такое сечение имеют крылья с предкрылками и закрылками многих современных самолетов дозвуковой авиации. Однако большинство научно-исследовательских работ в этой области касается случая двухэлементных крыловых профилей. Решение задачи, когда число элементов больше двух, представляет большую сложность ввиду громоздкости математического аппарата решения краевых задач в многосвязных областях.

Одним из наиболее эффективных подходов к решению задач проектирования крыловых профилей основан на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА). В монографии [1] приведены решения ряда задач для случая одноэлементного крылового профиля. В работе [2] изложен метод проектировании профиля крыла экраноплана. основанный на введении фиктивного потока идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) под экраном. В работе [3] получено полное решение ОКЗА для двухэлементного крылового профиля с использованием аппарата эллиптических функций.

Решения задач проектирования двух- и трехэлементного крылового профиля, основанные на отображении области в плоскости комплексного потенциала на плоскость с разрезами вдоль дуг окружности единичного радиуса, приведены в [4. 5] Другой метод решения ОКЗА для трехэлементного крылового профиля, сводящий решение задачи к нахождению искомой функции в верхней полуплоскости канонической плоскости путем вычисления интеграла типа Коши по вещественной оси. предложен в работе [6]. Однако в этих работах авторы ограничились лишь изложением теоретических выкладок, результаты численных расчетов не приведены.

В настоящей работе использован подход, позволяющий свести краевую задачу в многосвязной области к задаче в одпосвязпой области, расположенной на мпоголистпой римаповой поверхности. Для этого в промежутках между элементами профиля вводятся каналы отбора и выдува потока, асимптотически стремящиеся

к кольцевым, уходящим на второй лист римановой поверхности. Потребовав, помимо условий разрешимости ОКЗА [1]. выполнения дополнительных условий, налагаемых на форму н положение каналов, удается получить течение в односвязной области (внешности профиля с каналами отбора и выдува), практически совпадающее с течением в многосвязной области (внешности многоэлементного профиля) всюду, за исключением некоторой окрестности каналов между элементами профиля. Оговоримся, что область применения предлагаемого приближенного метода имеет ограничения. Достоверные численные результаты удается получить в случае. когда пространство между элементами профиля представляет из себя канал постоянной ширины, близкий по форме к кольцевому сектору.

Эффективность используемого подхода была проиллюстрирована в ряде работ. В [7, 8] разработаны приближенные методы решения обратной и обратной смешанной краевых задач для профиля крыла экраноплана. Случай проектирования многоэлементного крылового профиля рассмотрен в [9]. В этих работах распределение скорости по поверхности крылового профиля задавалось как функция параметра в канонической области.

Более важным с практической точки зрения является задание распределения скорости как функции дуговой абсциссы контура. В этом случае еще до решения задачи можно вычислить коэффициент сопротивления и приближенно коэффициент подъемной силы, проверить удовлетворение задаваемого распределения скорости критерию бозотрывности обтекания. Однако метод решения при этом значительно усложняется. В [10] разработан приближенный метод проектирования двухэлементного крылового профиля по распределению скорости, заданному как функция дуговой абсциссы. Приведены примеры как тестовых, так и проектировочных расчетов. Сравнение результатов тестовых расчетов с результатами, полученными методом [3], показало хорошее совпадение. В настоящей работе этот метод обобщен на случай трехэлементного крылового профиля.

1. Постановка задачи

В физической плоскости г = х + гу искомый трехэлементный крыловой профиль Ьх = Ь\ и Ь и Ьз обтекается установившимся потенциальным потоком ИНЖ с заданной скоростью та бесконечности (рис. 1, о). Точки Ак - точки разветвления потока, точки В к — точки схода потока с внутренними к области течения Ог углами равными 2п Здесь и далее к = 1, 2, 3 - индекс элемента профиля. Начало координат выбрано в задней кромке В1 первого элемента профиля, а ось абсцисс х направлена вдоль скорости набегающего потока. На контуре каждого из элементов крылового профиля задано распределение скорости ук(в), где в € [0,1к] -дуговая абсцисса, 1к - периметр. Заданы расход Q1 между первым и вторым, расход ^2 между вторым и третьим элементами крылового профиля и величины Ду2 = уа2 — уа1 и Ду3 = уа3 — уа1 - разницы значений потенциала скорости в критических точках А1, А2 и Аз.

Требуется определить форму Ь контура трехэлементного крылового профиля.

2. Сведение к вспомогательной задаче

Приближенный метод проектирования двухэлементного крылового профиля подробно изложен в работе [10]. Его обобщение на случай трехэлементного крылового профиля, в отличие от других методов, не требует привлечения иного, более сложного математического аппарата решения краевых задач в многосвязных областях. Усложнение состоит лишь в введении двух дополнительных каналов отбора и выдува н появлении связанных с ними добавочных слагаемых в формулах, дополнительных неизвестных и уравнений для их определения. Поэтому в изложении

)

У (*')

Рис. 1. Физическая плоскость г для исходной задачи (о); физическая плоскости ,г* для вспомогательной задачи при несовпадающих (б) и совпадающих (в) центрах каналов

метода решения настоящей работы подробные пояснения будут опущены.

При сделанных предположениях введем в плоскости г функцию комплексного потенциала т(г) = <р(х, у) + гф(х, у), приняв т = 0 в точке Л\. Вычислим распределение потенциала скорости по контуру каждого элемента крылового профиля

в

Рк(в) = ! ук(в^в + Д^к, в е [0,1к],

где вак - дуговые абсциссы точек Ак, а Д^1 = 0. Тогда циркуляцию по каждому из элементов определим по формуле Гк = <^>к (1к) — ^к(0), а циркуляцию на бесконечности - как Г = Г1 + Г2 + Г3.

Предлагаемый приближенный метод решения основан на преобразовании, позволяющем свести краевую задачу для трехсвязной области в плоскости г к задаче в одпосвязпой области в плоскости г* путем введения в рассмотрение профиля Ь* с двумя устройствами отбора и двумя устройствами выдува (рис. 1. б), которые

а

моделируются круговыми каналами с постоянными скоростями на стенках [11]. Обозначим через N1, N2 бесконечно удаленные точки каналов отбора и через М1, М2 — бесконечно удаленные точки каналов выдува. При условии равенства расходов и скоростей на внешней и внутренней стенках каналов радиусы окружностей. к которым асимптотически стремятся стенки, будут равны. Потребовав совпадения центров С1, и 6*2, ^2 асимптотических окружностей для каналов, получим контур Ь*, совпадающий то форме с контуром Ь2 всюду, кроме окрестности каналов (рис. 1, в).

По аналогии с работой [10] на контуре Ьг в канале между первым и вторым элементами профиля выберем точку с дуговой абсциссой ве1 па верхней поверхности контура Ьх и точку с дуговой абсциссой Sf 1 на нижней поверхности контура Ь2 так, чтобы <1^1) = 1). На контуре Ь* точке будет соответствовать две точки: точка Еп1 та стенке ^ Л х канада отбора и точка Ет1 на стенке М1В1 канада выдува. Точке будет соответствовать точки ^„1 на стенке ^Л2 канала отбор а и та стен ке М1В2 канала выдува. Аналогично между вторым и третьим элементами введем точку Е2 с дуговой абсциссой se2 на верхней поверхности контура Ь2 и точк у с дуговой абсци ссой sf 2 на нижней поверхности контура Ь3 так, что бы <2^е2) = 2). На контуре Ь* им будут

соответствовать точки Е„2 , Ет2 и , ^т2 .

3. Постановка вспомогательной задачи

В физической плоскости г* = х* + гу* искомый крыловой профиль В1А1^А2^АзВзМ2-В2М1В1 обтекается установившимся потенциальным потоком ИНЖ со скоростью на бесконечности. За начало координат выберем точку В1, ось абсцисс х* проведем параллельно скорости набегающего потока. На профиле имеются устройства отбора и выдува потока, моделируемые круговыми каналами с постоянными скоростями, бесконечно удаленные точки которых обозначены как N1, N2 и М1, М2 соответственно. Выдуваемая из каналов М1, М2 жидкость имеет те же параметры, что и внешний поток. 3аданы циркуляция Г на бесконечности, расход в канал ах ^ и М1; расход в канал ах N2 и М2 и величины Д<2 = <а2 — <а1 и Д<3 = <аз — <а1 — разницы значений потенциала скорости в критических точках Л1, Л2 и А1. На искомом контуре задано также распределение скорости Так как контур Ь* имеет восемь участков (стен-

ки кольцевых каналов), на которых дуговая абсцисса стремится к бесконечности, то функция у^) будет многозначной. Зададим ее так, чтобы дуговые абсциссы совпадающих точек контуров Ь2 и Ь* вне стенок каналов были равны:

s е [0, Sel], на В1Л1Е„1, -с1, s е [se1, те), на

—-с2, s е (—те, Sf 1], на N^„1, S е [sf1^2], на ^„1Л2Е„2

-с3, s е [Se2, те), на £„2^, —-с4, s е (—те, Sf2], на N2^2,

S е [sf2, /3], на К2Л3В3, s е [0, Sf2], на В3^т2,

—-с4, s е [sf2, те), на ^т2М2, -с3, s е (—те, Se2], на М2^т2,

s е [Se2, /2], на Ет2В2 , s е [0, Sf 1], на В2^т1,

—-с2, s е [sf 1, те), на М1, -с1, s е (—те, Sel], на М1Ет1,

S е [sel, /1], на Ет1 В1.

Модули скорости па станках каналов выберем равными ус1 = -1^1)

-с2 = —'«2^ 1), -с3 = -2^е2), -с4 = —«3^2)-

Ь*

4. Решение вспомогательной задачи

Введем в рассмотрение область О^ - внешность круга единичного радиуса в канонической плоскости £ = ре®7. Для взаимно однозначного отображения областей О^ и О* (внешности профиля с каналами) предполагается соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей г* и £ и переход точки г = 0 в точку £ = 1. В канонической плоскости имеем обтекание окружности с расположенными на ней точечными стоками в точках N1, N2 и источниками в точках Ы1, М2. Комплексный потенциал ад(С) течения имеет вид

О=1

с - с

Со

(1)

по

где м0 и в _ модуль и аргумент скорости набегающего потока в плоскости С)

СпО е И ^то

координаты точек N и ЫО-, а С0 = С1 + ¿С2

комплексная постоянная. Обозначим через Сак = е®7ак , £ьк = е®т координаты точек Ай и Вй соответственно, причем 7ы = 0, то есть = 1 • Комплексно сопряженную скорость найдем, продифференцировав выражение (1):

¿ад

¿с

= мо е

2пгС

Ео.

7Г

О=1

1

1

С - Ст

С - Сп

(2)

Выделив вещественную часть в (1). определим значение потенциала скорости на границе С = е®7:

2п ^—' п О=1

1п • 7 - 7тО эт-- - 1п • 7 - 7пО эт--

2 2

+ С1.

На рис. 2. а, б схематично показаны области в плоскости комплексного потенциала для обтекания трехэлементного крылового профиля и профиля с каналами отбора и выдува потока, обозначим их через От и О^ соответственно. Видно, что значения потенциала скорости в совпадающих точках контуров Ь и Ь* могут не совпадать. Существенным является то, что для трехэлементного профиля разницы между значениями функции потенциала скорости в точках Бк при подходе к ним сверху и снизу равны Гк , а для профиля с каналами отбора и выдува эти разницы равны Г в точке В1 и 0 в точках В2, В3.

Для решения обратной задачи метод сопоставления плоскостей (см., например, [5, с. 17]) можно использовать только после дополнительного преобразования, которое графически проиллюстрировано на рис. 2 и подробно описано в [10]. Основываясь на этом преобразовании, введем в рассмотрение функцию

{¥>(7) - Г2 - Г3, 0 < 7<7ь2, ¥>(7) - Г2, 7Ь2 < 7<7ьз,

¥(7), 7ьз <7 < 2П

значения которой будут совпадать со значениями функций ¥к(в) в соответствующих точках1 контур а Ь и единичной окружности в плоскости

1 Точки контура Ьг, соответствующие точкам единичной окружности, есть точки, совпадающие с точками контура Ь* (вне окрестности каналов), переходящими в точки единичной окружности при конформном отображении областей О* и О^ ■

И

и,

и,

А,

В,

и

N

N

А,

В,

п

А,

В,

и, г ! Ет\ 2 Е^ В2 N2 А3 г ! 1 1 1 1 < Еп2! ' г ■ 1 1 \Ет2 В2

А, г ! 2 щ > А2=' ¡г,,

и, ■ N 1 ■

ЕА !Ет, е„:

В,

Рис. 2. Сведение к вспомогательной задаче па примере плоскости комплексного потенциала V

В приведенных выше формулах расчета обтекания окружности с особенностями присутствует тринадцать неизвестных величин: ио, в, С2, 7а1, 7а2 > 1а3, 7Ь2 > 7ьз > 7пЬ 1п2 ■, 7тЬ 7т2 • Для их нахождения используем условия заданности функции тока в точке А1 и потенциада скорости в точках Ли и Би:

^(7а1)=0, 9?(7ай)=Д^й, 9?(7ЬЙ +0) = (3)

вместе с условиями обращения в нуль скорости потока в критических точках

¿т

¿С

= 0. (4)

С = Сак , Ськ

Полученную систему тринадцати нелинейных уравнений разобьем на две более простые.

Систра 1. Считаем известными ио, 7п1, 1п2, 7тЬ 7т2 • Тогда из уравнения 0

<ки

<К

С=1

в = агеэт •

4пио

¿=1

(5)

Приведем (2) к общему знаменателю:

¿т _ Р(С)

¿С 2пгС2(С - Сп1)(С - Сп2) (С - Сш1)(С - Сш2)'

где Р(С) — полином шестой степени. Следовательно, (4) эквивалентно алгебраическому уравнению Р(С) = 0, решив которое, найдем £аь £а2, Саз> Сь2 , СЬ3 > т0 есть

б

й

б

О

А

В

А

В

А

А

В

В

8

г

В

А

В

определим 7а1, 7а2, 7а3, 7Ь2, 7ьз • В силу (5) шестым корнем будет £ = 1, то есть степень Р(£) можно понизить.

Система 2. Исключим константу С1 из системы (3), так как она входит в каждое из уравнений этой системы, кроме первого, как слагаемое:

^(7а2) — 9^(7а1) — Д<2 = /1 («0, 7п1, 7п2 , 7т 1, 7т2 ) = 0, 5(7аз) — 9^(7а1) — Д<3 = /2(«0,7п1,7п2,7т1,7т2) = 0, 5(0) — 9?(7а1) — ^1(^1) = /з(«0,7п1,7п2,7т1,7т2) = 0, 5(7Ь2 +0) — 9?(7а1) — <£>2(12) = /4(«0,7п1,7п2,7т1,7т2) = 0, 5(7Ь3 +0) — <5(7а1) — <з(1з) = /б(м0,7п1,7п2,7т1,7т2) = 0.

(6)

Система (6) пяти нелинейных уравнений относительно неизвестных «0 > 7п1 > 7ть 7т2 решается численно методом Ньютона. При каждом вычислении функций /¿(м0,7и1,7„2, 7т1, 7т2) происходит решение смстелш 1, Константа С0 затем находится из условия т(£а1) = 0.

Определим зависимость в (7) дуговой абсциссы контура Ь* от угловой координаты в плоскости С вне каналов отбора и выдува, сопоставляя функции <к(в) и <(7). На участках, соответствующих окрестностям каналов, найдем в(7), интегри-

¿в «(7)

руя дифференциальное уравнение — =

«7 «ск

вычислим, взяв модуль от выражения (2):

где скорость «(7) на границе круга

м(7) = 4«0

3=1

. 7 — 1а3 . 7 — 73 эш-- эш--

2

п

3=1

. 7 — 7п3 • 7 — 7т3 эт-- эт--

-1

Обозначим = 1п = 1п|г>| — %в функцию Жуковского Мичела, где V =

= «[в(7)] и в - модуль и аргумент вектора скорости в плоскости г* соответственно. Введем в рассмотрение функцию

х(С) = X — Х0 = 5 + г5, где Хо(С) = <0 + гв0 - функция, содержащая особенности х(С):

(7)

с

п

1п [ 1 - ^ - 1п (1 - ^

(8)

Здесь Я1 = 1п((«с2/«с1^ в2 = 1п(«с4/«сз).

Функцию <5(7) запишем, вьщелив действительную часть Х(С) с учетом (8):

5(7)

1п | V | — ^^ 1п

3=1

О • ^ — 7а3 2 эш--

+ { ^ ^»3 - 7т^ + 7Г(8^(7 - ) - 8ёп(7 - 1то

3=1 п

где sgn(x) = { — 1, х < 0; 0, х = 0; 1, х > 0}. Тогда восстановим х(С)> решив задачу-Шварца в области О^ то известной действительной части 5(7). Переписав (2) в виде

З2

^ = иое-* Пкс - Са,)(С - Сад)] Пкс - Сп,)(С - СшзТЧ

^ 3=1 3=1

1 -2

и разрешив (7) с учетом (8) относительно комплексно сопряженной скорости

dw 3 2 , z - Znj Va,/п рШ)

dz*~ П(С yc-CmjJ С2

j= 1 j=1 найдем

% = = «ое-*" П(С - Сь3) п [(С - - Ui)1^ 1

e-x(z).

Проинтегрировав это выражение по контуру £ = е®7 с учетом уеловия = 0,

построим контур Ь*г. Форму контура Ьг трехэлементного крылового профиля определим способом, описанным в работе [10].

5. Условия разрешимости

Условия разрешимости ОКЗА получим, записав соответствующие формулы из работы [9] для случая трехэлементного крылового профиля. Условие совпадения скорости набегающего потока, определяемого в ходе решения, с заданным не изменится:

2п

У S(Y)dY = 2п ln vTO.

о

Условия замкнутости контура L* запишутся в виде 2п 2

/ <í?(y) cos YdY = ^[n(cos ynj +cos ymj)+aj(sin Ymj-sin ynj)]-n(cos yь2 +cos yьз + 1), 0 j=1 2п 2

/ s?(y) sin YdY = ^[n(sin Ynj + sin Ymj) + aj (cos Ynj - cos Ymj)] - n(sin Yb2 + sin Y ьз).

о j=1

Добавив к этим уравнениям условия совпадения центров каналов Ci, Di и C2, D2, получим систему семи нелинейных уравнений, для удовлетворения которых введем семь свободных параметров в задаваемом распределении скоростей vk(s).

Коэффициент подъемной силы вычислим по формулам, приведенным в работе [10]. с той лишь поправкой, что при обезразмеривании используем характерный линейный размер (li +12 + 1з)/2 — полусумму периметров трех элементов крылового профиля.

6. Пример численного расчета

Для проведения числового расчета выберем распределения скорости ук(в) в виде, аналогичном приведенному в работе [10]. В качестве свободных параметров используем уо, в2к■ Систему семи нелинейных уравнений, к которым сведены условия разрешимости, решим численным методом Ныотона.

В качестве примера проведем расчет по проектированию крылового профиля с предкрылком и закрылком. За исходные данные возьмем следующие значения: = 1, Я1 = 32 = 0.05, Д^2 = -0.6, Д^з = -0.72, 11 = 1з = 0.4 , 12 = = 1.6. На рис. 3, а сплошной линией показан результат построения крылового профиля с каналами отбора и выдува, а пунктирной полученный крыловой профиль с предкрылком и закрылком. Исходное распределение скорости у (ж) для

Рис. 3. Результат числового расчета: («) спроектированный профиль с предкрылком и закрылком, (б) - распределения скорости vk(x)

спроектированного трехэлементного крылового профиля изображено на рис. 3, б в зависимости от абсциссы x сплошной линией. Коэффициент подъемной силы построенного крылового профиля cy = 1.04.

Для проверки достоверности полученного результата было проведено решение прямой краевой задачи аэрогидродинамики по расчету обтекания спроектированного трехэлементного крылового профиля панельным методом [12]. Результат расчета представлен на рис. 3, б квадратными символами. Видно хорошее совпадение результатов по всей длине контуров трехэлементного профиля, за исключением окрестности каналов между элементами.

Автор выражает благодарность Н.Б. Ильинскому и Д.Ф. Абзалилову за советы и полезные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 2013 годы (гос. контракт Х- П1124).

Summary

R.F. Mardanov. An Approximate Method for Design of a Three-Element. Airfoil.

An approximate method for designing a three-element, airfoil by a given velocity distribution on its surface as a function of the arc abscissa is formulated. The main point of the method is

t.lie reduction of a triply-connected flow region to a simply-connected one. located 011 a many-sheeted Riemann surface, by inserting flow suction and blowing channels, asymptotically tending to circular, between the airfoil elements. Examples of design calculations are presented.

Key words: inverse boundary-value problem of aerodynamics, three-element, airfoil, flap.

Литература

1. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Пота,шее А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, 1994. 440 с.

2. Ильинский А.И., Ильинский И.Б., Маклаков Д.В., Погпашев А.В. Метод аэродинамического проектирования крылового профиля экрапоплапа // Изв. вузов. Авиац. техника. 1995. 2. С. 54 62.

3. Абвалилое Д.Ф., Волков П.А., Ильинский И.Б. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двухэлементного крылового профиля // Изв. РАН. МЖГ. 2004. Л» 3. С. 16 24.

4. Иасыров P.M. Определение формы биплана по заданному распределению скорости по поверхности профилей, его составляющих // Учеп. зап. Казап. уп-та. 1953. Т. 113, кп. 10. С. 31 41.

5. Тумалиев Г.Г., Иуж.ин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1965. 333 с.

6. Кавбаи A.M. Определение формы трех профилей по известному па пих распределению скорости // Учеп. зап. Казап. уп-та. 1956. Т. 116, кп. 5. С. 32 37.

7. Мардаиов Р.Ф. Об одном подходе к проектированию профиля крыла вблизи экрана // Изв. вузов. Авиац. техника. 2003. Л' 2. С. 35 38.

8. Мардаиов Р.Ф. Решение одной обратной краевой задачи аэрогидродинамики // Изв. вузов. Матем. 2007. 2(537). С. 27 34.

9. Мардаиов Р.Ф. Об одном подходе к проектированию мпогоэлемептпого крылового профиля // Аэромеханика и газовая динамика. 2003. Л' 2. С. 31 36.

10. Абзалилов Д.Ф., Мардаиов Р.Ф. Приближенный метод проектирования двухэлементного крылового профиля // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52, .V' 5. С. 104 114.

11. Степанов Г.Ю. Построение плоских каналов и решеток турбомашип с безотрывным течением // Изв. РАН. МЖГ. 1993. 4. С. 30 42.

12. Флетче.р К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: в 2 т. М.: Мир, 1991. Т. 2. 552 с.

Поступила в редакцию 17.11.10

Мардаиов Ренат Фаритович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры аэрогидромехапики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Renat.MardanovQksu.ru