CC BY
103
УДК 004.83 Дата подачи статьи: 20.02.16
DOI: 10.15827/0236-235X.114.027-033
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕМПОРАЛЬНЫХ НЕЧЕТКИХ БАЙЕСОВСКИХ СЕТЕЙ
(Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России № 2014/123 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности, проект № 2493)
В.В. Борисов, д.т.н., профессор, [email protected]; А.С. Захаров, аспирант, [email protected] (Смоленский филиал Национального исследовательского университета МЭИ, Энергетический проезд, 1, г. Смоленск, 214013, Россия)
Статья посвящена решению актуальной задачи моделирования приближенных рассуждений в условиях неопределенности. Описана темпоральная нечеткая байесовская сеть, представляющая собой байесовскую сеть доверия, в которой предпосылками причинно-следственных связей являются сложные темпоральные высказывания, а в качестве меры истинности высказываний используется нечеткая вероятностная мера. Темпоральная нечеткая байесовская сеть позволяет как качественно, так и количественно задавать причинно-следственные отношения с учетом темпоральных зависимостей в условиях стохастической и нестохастической неопределенности. Результатом приближенных рассуждений является значение нечеткой вероятностной меры истинности утверждения о нахождении узла сети в одном из его состояний. При этом сам процесс рассуждений реализуется в виде последовательного перехода между моментами времени и осуществления для каждого момента времени вероятностного вывода в темпоральной нечеткой байесовской сети. В ходе вывода для каждого момента времени в случае наличия темпоральных зависимостей используются результаты вывода, полученные на предыдущих шагах. Для моделирования приближенных рассуждений на основе темпоральной нечеткой байесовской сети предложен метод, позволяющий в процессе прямого и обратного вывода определять значения нечеткой вероятностной меры истинности высказываний с учетом сложных темпоральных зависимостей. Предлагаемый метод основан, во-первых, на преобразовании нечеткой байесовской сети со сложными темпоральными высказываниями к виду, содержащему лишь простые темпоральные высказывания; во-вторых, на построении дерева сочленений на основе исходной нечеткой байесовской сети; в-третьих, на вычислении искомого распределения нечетких вероятностей посредством передачи сообщений между узлами дерева сочленений, а также на формировании сети временных ограничений для обеспечения возможности передачи сообщений через неоднородные сепараторы дерева сочленений. Разработаны программные средства, реализующие предложенные модель и метод приближенных рассуждений. Приведены примеры использования разработанных модели и метода для анализа динамики психоэмоционального состояния пациентов.
Ключевые слова: моделирование приближенных рассуждений, нечеткая вероятностная мера, темпоральная нечеткая байесовская сеть.
Моделирование приближенных рассуждений активно используется при решении задач интеллектуальной поддержки принятия решений [1-6], требующих обработки знаний в условиях стохастической и нестохастической неопределенности [7-9]. Для учета стохастической неопределенности применяются методы и инструменты логико-вероятностного подхода [10-16]. Для учета нестохастической неопределенности используются положения теории нечетких множеств и нечеткой логики. В данной работе рассмотрены темпоральная нечеткая байесовская сеть (ТНБС) [17], предоставляющая развитые возможности по представлению знаний с учетом как стохастической, так и нестохастической неопределенности, а также метод приближенных рассуждений на основе этой модели. Описаны разработанные программные средства, реализующие предложенные модель и метод приближенных рассуждений, представлен пример решения задачи анализа динамики психоэмоционального состояния пациентов.
ТНБС - это байесовская сеть доверия, в которой предпосылкой причинно-следственной связи является сложное темпоральное высказывание, а в качестве меры истинности высказываний использу-
ется нечеткая вероятностная мера. Данная модель позволяет как в качественном, так и в количественном виде задавать причинно-следственные отношения с учетом темпоральных зависимостей в условиях стохастической и нестохастической неопределенности.
Для моделирования приближенных рассуждений с использованием ТНБС разработан метод, позволяющий определять значения нечеткой вероятностной меры истинности высказываний вида «Переменная сети x в момент времени t принимает значение xl», где x - произвольная переменная ТНБС; t - произвольный момент времени из интервала моделирования.
Результатом приближенных рассуждений в ТНБС является значение нечеткой вероятностной меры истинности утверждения о нахождении узла сети в одном из его состояний. Сам процесс рассуждений реализуется в виде последовательного перехода между моментами времени и осуществления для каждого момента времени вероятностного вывода в ТНБС. В ходе вероятностного вывода для каждого момента времени при наличии темпоральных зависимостей используются результаты вывода, полученные на предыдущих шагах.
Предлагаемый метод основан, во-первых, на преобразовании ТНБС со сложными темпоральными высказываниями к виду, содержащему лишь простые темпоральные высказывания; во-вторых, на построении дерева сочленений на основе исходной ТНБС; в-третьих, на вычислении искомого распределения нечетких вероятностей посредством передачи сообщений между узлами дерева сочленений, а также на формировании сети временных ограничений для передачи сообщений через неоднородные сепараторы дерева сочленений [18]. Метод позволяет реализовать как прямой, так и обратный вывод и моделировать рассуждения, в которых присутствуют сложные темпоральные высказывания, а в качестве меры истинности высказываний
используется нечеткая вероятностная мера. Схемы прямого и обратного вывода в ТНБС на основе предлагаемого метода представлены на рисунке 1.
В качестве примера использования предлагаемого метода приближенных рассуждений рассмотрим задачу анализа динамики психоэмоционального состояния пациентов, которая решалась на базе Смоленского областного государственного автономного учреждения «Геронтологический центр «Вишенки» [18]. Фрагмент модели психоэмоционального состояния пациентов в виде ТНБС приведен на рисунке 2.
Темпоральные модальности «всегда в прошлом» и «когда-либо в прошлом» представляются символами «•» и «♦». Так, выражение
( Начало) i
Преобразование исходной ТНБС в ТНБС с простыми темпоральными высказываниями
[Построение морального графа исходной ТНБС|
[Триангуляция построенного морального графа|
Да
Дополнение структуры сети временных _ограничений_
Сделать текущий элемент очереди временным _корнем дерева сочленений_
х
Извлечение из сети временных ограничений значений нечеткой вероятностной меры истинности темпоральных высказываний
X
Запуск алгоритма передачи сообщений
з:
Дополнение сети временных ограничений значениями, исходя из рассчитанного _распределения вероятностей_
( Начало )
Преобразование исходной ТНБС в ТНБС с простыми темпоральными высказываниями
[Построение морального графа исходной ТНБС| [Триангуляция построенного морального графа|
Да
Дополнение структуры сети временных ограничений
Предварительная сортировка узлов сети и помещение их в очередь обхода
Сделать текущий элемент очереди временным _корнем дерева сочленений_
Извлечение из сети временных ограничений значений нечеткой вероятностной меры истинности темпоральных высказываний
Для каждой интервальной оценки выбор точечного значения
Обновление сети временных ограничений, исходя из выбранного точечного значения
Дополнение сети временных ограничений значениями, исходя из рассчитанного _распределения вероятностей_
X
а) б)
Рис. 1. Схемы прямого (а) и обратного (б) вывода в ТНБС Fig. 1. Forward (а) and backward (б) reasoning schemes in TFBN
P(RT = rt1) P(RT = rt2)
высокая низкая
P(LT = it 1) P(LT = lt2)
высокая низкая
RT\
(реактивная тревожность)
rti - низкая rt2 - высокая у
LT
(личностная тревожность)
4jtL
it2
С T Л RT LT P(T = t1\ RT, LT) P(T = t2\ RT, LT)
(Тревожность) Всегда за последнюю неделю rt1 lt1 высокая низкая
t1 - низкая t2 - высокая J lt2 средняя средняя
Когда-либо за последнюю lt1 средняя средняя
неделю rt2 lt2 низкая высокая
D
(уровень депрессивности)
d2 - низкий
P(D = d1) P(D = d2)
средняя средняя
E \
(психоэмоциональное состояние)
_e1 - норма__e2 - патология J
T D P(E = в1| T, D) P(E = e2\ T, D)
t1 d1 высокая низкая
d2 средняя средняя
t2 d1 средняя средняя
d2 низкая высокая
Рис. 2. Фрагмент модели психоэмоционального состояния пациентов Fig. 2. A fragment ofpatients' psychoemotional state model
Р(ЯТ = г') обозначает вероятность того, что на интервале времени от (-2 до (-1 узел ЯТ всегда находился в состоянии г(1. Выражение Р(ЯТ = г'2)
обозначает вероятность того, что на интервале времени от (-2 до (-1 узел ЯТ когда-либо находился в состоянии г(1.
Структура сети в ходе моделирования не меняется и не зависит от значений интервалов, для которых задаются темпоральные зависимости. Однако в сеть могут быть внесены свидетельства относительно нахождения тех или иных узлов в различных состояниях.
Для иллюстрации прямого вывода с использованием описанной модели найдем ответ на вопрос «Если известно, что у пациента в течение двух дней будет наблюдаться стабильно высокая личностная и реактивная тревожность, то каково при этом будет его психоэмоциональное состояние?»
Априорные значения нечетких вероятностей событий «Реактивная тревожность всегда за последнюю неделю низкая» и «Реактивная тревожность когда-либо за последнюю неделю высокая» представлены в виде нечетких треугольных чисел Р(ЯТ = «'-1 г',) =[0,22; 0,35; 0,4] и Р(ЯТ =♦'-' г'2) =
= [0,72; 0,65; 1,0] соответственно. Априорные распределения нечетких вероятностей имеют следующий вид:
{Р( ЯТ = г'х) = высокая; P(RT = Н2) = низкая},
{Р( ЬТ = 1'х) = высокая; P(LT = к2) = низкая},
{Р( Б = ) = средняя; P(D = ё2) = средняя}.
Первым этапом вывода является дополнение структуры сети временных ограничений исходя из структуры ТНБС. Обозначим начальный момент времени как (0, тогда состояние сети временных ограничений в начальный момент времени имеет вид
Ятр : 1п = {'0, '-7, Р(ЯТ = *1 г'1),
Р(ЯТ = •'- г',), Р0(ЯТ = г',)},
Я? : 1п = {'0, '-7, Р(ЯТ =^7 г'2),
Р(ЯТ =♦'- г'2), Р0(ЯТ = г'2)}.
Далее выполняется алгоритм передачи сообщений в построенном дереве сочленений.
Для вычисления распределения нечетких вероятностей для узла Т в качестве временного корня дерева сочленений выбирается узел »'_7ЯТ, ЬТ, Т. На первом шаге узел Т, Б, Е передает узлу •'_7ЯТ, ЬТ, Т следующую информацию:
^ p(D = d) х p(E = e | T = tt, D = d),
ee{e1; e2} d e {d, d2 }
£ р(Б = d) х р(£ = е | Т = /2, Б = d)
d е^, d2 }
После того как все листья передали сообщения временному корню, возможен непосредственный расчет распределения нечетких вероятностей для узла Т:
р(Т = /1) =
= £ р(Т = ^ \ ЯТ = г/, ЬТ = I/)р(ЯТ = г/), р(ЬТ = I/),
г/е{./;1 г/,,»;:1 г/2} ,1/2}
р(Т = /2) =
= £ р(Т = /2 \ ЯТ = г/,ЬТ = I/)р(ЯТ = г/), р(ЬТ = щ,
г/е{./:1 г/,,»/:1 г/2}
P(T=tl) = [0,77; 0,97; 1,0], P(T=t2) = [0,0; 0,03; 0,1].
Аналогично, назначением временным корнем узла Т, Д E и выполнением последующих шагов алгоритма передачи сообщений, находится распределение нечетких вероятностей для узла Е: Р(Е=г\) = [0,21; 0,25; 0,36], Р(Е=е2) = [0,64; 0,75; 0,88]. Для узлов Д ЯТ, ЬТ распределения совпадают с априорно заданными.
Далее сеть временных ограничений дополняется значениями на основе рассчитанных распределений вероятностей. Значения Р0(ЯТ=гЬ) и Р0(ЯТ=Н2) присваиваются соответствующим коннекторам. Элементарные ограничения могут быть
активированы, коннекторам Р(ЯТ = */о г/) и
Р(ЯТ =4^ г/2) будут присвоены значения [0,3;
0,41; 0,53] и [0,46; 0,59; 0,92] соответственно.
Переходя к следующему моменту времени Ь, необходимо дополнить структуру сети временных ограничений следующими ограничениями:
Я3Тр : 1п = {/,, /0, Р(ЯТ = *1 г/,),
Р(ЯТ = г/,), Р(ЯТ = г/,)}, Я? : 1п = {/,,/о, Р(ЯТ =41 г/2), Р(ЯТ =41 г/2), Р(ЯТ = г/2)}.
Расчет распределения вероятностей аналогичен предыдущему шагу с тем исключением, что из сети временных ограничений извлекаются значения нечеткой вероятностной меры истинности высказываний ЯТ = •/ г/ и ЯТ =4/0 г/2, рассчитанные в сети
временных ограничений на предыдущем шаге моделирования. В результате получаем следующие распределения вероятностей (для узлов Д ЯТ, ЬТ распределения совпадают с априорными):
Р(Т=1) = [0,67; 0,85; 1,0], Р(Т=2) = [0,0; 0,15; 0,18], Р(Е=в\) = [0,0; 0,13; 0,19], Р(Е=в2) = [0,65; 0,87; 1,0].
Сеть временных ограничений дополняется значениями нечеткой вероятностной меры, рассчитанными на текущем шаге моделирования (Р\(ЯТ=Н\) и Pl(ЯT=rt2)), после чего активируются соответствующие элементарные ограничения и становится возможным вычисление Р(ЯТ = *чи г/) и
Р(ЯТ =4,/и г/2). Данные значения будут использованы в расчетах для последующих моментов времени.
Далее вышеописанные действия повторяются для следующего момента времени.
На рисунке 3 показаны изменения значения нечеткой вероятностной меры истинности высказывания «Имеется патология психоэмоционального состояния пациента» с течением времени, из которого можно сделать вывод о том, насколько возрастает вероятность патологического психоэмоционального состояния пациента при наличии в течение двух дней стабильно высокой личностной и реактивной тревожности.
Обратный вывод в соответствии с предлагаемым методом приближенных рассуждений аналогичен прямому выводу, за исключением порядка активации элементарных ограничений, входящих в состав сети временных ограничений [19]. В качестве примера задачи, для решения которой необходимо применение обратного вывода в ТНБС, можно привести задачу нахождения ответа на следующий вопрос: «Пусть известно, что имеется патология психоэмоционального состояния пациента. Какое состояние личностной тревожности способствует такому психоэмоциональному состоянию?».
Представим программную реализацию приближенных рассуждений на основе ТНБС. На рисунке 4 изображена модульная структура разработанных программных средств для приближенных рассуждений на основе ТНБС [20].
Модуль визуального редактора
Подсистема нечетких вычислений
! Подсистема моделирования рассуждений
Подсистема построения ТНБС
Подсистема интерпретации результатов моделирования
Рис. 4. Модульная структура разработанных программных средств Fig. 4. A modular structure of the developed software tools
Модуль визуального редактора содержит классы и элементы графического интерфейса приложения. Модуль описания нечетких чисел содержит иерархию классов, представляющих такие понятия, как нечеткое число, треугольное нечеткое, альфа-уровень нечеткого числа, множество альфа-уровней нечеткого числа, медиана нечеткого числа. Модуль нечеткой арифметики предоставляет программный интерфейс в виде совокупности интерфейсов и реализующих их классов, которые позволяют проводить арифметические операции с нечеткими числами. Модуль валидации параметров моделирования отвечает за проверку соответствия введенных пользователем исходных данных требованиям выбранного вида моделирования рассуждений. Модуль сети временных ограничений включает в себя ядро сети временных ограничений в виде совокупности классов, представляющих основные элементы сети временных ограничений и реализующих процесс вычислений в данной модели. Модули прямых и обратных рассуждений реализуют предложенный метод приближенных рассуждений. Модуль анализа результатов моделирования рассуждений позволяет проводить интерпретацию результатов моделирования приближенных рассуждений. Модуль визуализации результатов анализа содержит графические компоненты и интерфейсы, реализующие непосредственное представление результатов анализа. Модуль построения и редактирования ТНБС реализует поддержку пользовательских сценариев создания и редактирования ТНБС. Модуль валидации ТНБС
выполняет проверку построенной ТНБС на непротиворечивость и возможность моделирования рассуждений с ее использованием. Модуль описания ТНБС предоставляет пользователю набор классов, реализующих компоненты сети и позволяющих строить экземпляры ТНБС путем задания отношений композиции и агрегации на данном наборе. Модуль доступа к данным необходим для построения слоя абстракций над реляционной моделью данных.
Все описанные модули, кроме инфраструктурного модуля и модуля визуального редактора, входят в состав ядра программной системы и, будучи реализованными в виде динамически подключаемых программных библиотек, могут быть использованы в составе других систем моделирования рассуждений и поддержки принятия решений.
Предусмотрены две роли: инженер по знаниям и эксперт предметной области. Основной задачей инженера по знаниям является взаимодействие со специалистом предметной области с целью систематизации его знаний о предметной области и представления их в виде экземпляра ТНБС. Роль эксперта заключается в разрешении на работу с созданным инженером по знаниям экземпляром ТНБС, а именно: выбор созданной модели, реализация прямого и обратного вывода с использованием выбранной модели, анализ результатов моделирования.
Таким образом, в статье рассмотрены предложенные ТНБС, а также метод приближенных рассуждений на ее основе. Разработанная модель ха-
растеризуется расширенными возможностями представления и моделирования темпоральных причинно-следственных зависимостей. Предлагаемый метод приближенных рассуждений позволяет реализовать прямой и обратный выводы с использованием вычислительной модели в виде сети темпоральных ограничений. Приведены примеры использования разработанных модели и метода для анализа динамики психоэмоционального состояния пациентов. Разработаны программные средства, обеспечивающие возможность моделирования приближенных рассуждений в условиях неопределенности с учетом темпоральных аспектов.
Литература
1. Вагин В.Н., Головина Е.Ю., Загорянская А.А., Фомина М.В. Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах. 2-е изд. М.: Физматлит, 2008. 712 с.
2. Поспелов Д.А. Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов. М.: Радио и связь, 1989. 184 с.
3. Еремеев А.П., Куриленко И.Е., Смирнова А.Е. Разработка темпорального расширения методов рассуждений на основе прецедентов // Конгресс по интеллект. сист. и информ. технолог. (IS&ITn). М.: Физматлит, 2011. Т. 1. С. 50-59.
4. Кобринский Б.А. Логика аргументации в принятии решений в медицине // Науч.-технич. информ. Сер. 2. № 9. 2001. С. 1-8.
5. Варшавский П.Р., Еремеев А.П. Моделирование рассуждений на основе прецедентов в интеллектуальных системах поддержки принятия решений // Искусственный интеллект и принятие решений. N° 1. 2009. С. 45-57.
6. Rossille D., Laurent J.F., Burgun A. Modelling a decision-support system for oncology using rule-based and case-based reasoning methodologies. Int. J. Med. Inform. 2005, vol. 2-4, no. 74, pp. 299-306.
7. Тулупьев А.Л., Николенко С.И., Сироткин А.В. Байесовские сети: логико-вероятностный подход. СПб: Наука, 2006. 607 с.
8. Нариньяни А.С. Неопределенность в системах представления и обработки знаний // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика. 1986. № 5. С. 3-28.
9. Нариньяни А.С. НЕ-факторы: краткое введение // Новости искусственного интеллекта. 2004. N° 2. С. 52-63.
10. Фильченков А.А. Меры истинности и вероятностные графические модели для представления знаний с неопределенностью // Труды СПИИРАН. 2012. Вып. 4 (23). C. 254-295.
11. Kemeny J.G., Snell J.L. Finite Markov chains. Univ. Series in Undergraduate Mathematics. Princeton: Van Nostrand, 1960, 224 p.
12. Preston C.J. Gibbs States on Countable Sets. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1974, 137 p.
13. Dean T., Kanazawa K. A model for reasoning about persistence and causation. Computational Intelligence, 1989, no. 5, vol. 3, pp. 205-247.
14. Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2006, pp. 359-422.
15. Koller D., Friedman N. Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques. MIT Press, 2009, 1231 p.
16. Cowell R.G., Dawid A.P., Lauritzen S.L., Spiegelhalter D.J. Probabilistic networks and expert systems. Berlin: Springer, 1999.
17. Захаров А.С. Особенности построения нечетких байесовских сетей доверия для моделирования темпоральных рассуждений // КИИ-2014: тр. XIV Национальн. конф. по искусствен. интеллекту с междунар. участ. Т. 1. Казань: РИЦ Школа, 2014. С. 23-31.
18. Захаров А.С. Метод приближенных рассуждений на основе темпоральных нечетких байесовских сетей доверия // Изв. Смоленского гос. ун-та. 2015. № 3. С. 114-126.
19. Захаров А.С. Обратный вывод в темпоральной байесовской сети доверия // Научное обозрение. 2014. № 5. C. 185-192.
20. Захаров А.С., Борисов В.В. Программа для моделирования приближенных рассуждений «Temporal». Свид. о гос. регистр. прогр. для ЭВМ № 2016610375 от 11.01.2016.
DOI: 10.15827/0236-235X.114.027-033 Received 20.02.16
APPROXIMATE REASONING BASED ON TEMPORAL FUZZY BAYESIAN BELIEF NETWORKS
(This work has been supported within the State Task of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation
(the basic part, task no. 2014/123, project no. 2493)) Borisov V. V., Dr.Sc. (Engineering), Professor, [email protected];
Zakharov A.S., Postgraduate Student (Smolensk Branch of the Moscow Power Engineering Institute, Energeticheskiy proezd 1, Smolensk, 214013, Russian Federation) Abstract. The article considers the problem of approximate reasoning modeling under uncertainty. It describes a temporal fuzzy Bayesian network, which represents a Bayesian belief network, where preconditions of cause-effect relationships are complex temporal expressions; a statement truth measure is a fuzzy probability measure. A temporal fuzzy Bayesian network allows qualitative and quantitative setting of cause-effect relationships, taking into account temporal dependencies under conditions of stochastic and non-stochastic uncertainty. A result of approximate reasoning is a value of fuzzy probabilistic truth measure of a statement about finding a network node in one of its states. Moreover, the reasoning process is implemented as a sequential transition between moments of time and for each time moment implementing probabilistic inference in a temporal fuzzy Bayesian network. During the inference for each time moment when there are temporal dependencies we use reasoning results obtained at previous steps. To model approximate reasoning based on a temporal fuzzy Bayesian network the authors propose a method that allows to determine values of a fuzzy probability truth measure of statements during the forward and backward reasoning considering complex temporal dependencies. The proposed method is based, first, on the transformation of a fuzzy Bayesian network with complex temporal statements into a form containing only simple temporal statements. Second, it is based on the join tree construction according to the source fuzzy Bayesian network. Third, it is based on calculating fuzzy probability distribution by transmitting messages between join tree nodes, as well on a time constraint network to transmit messages through heterogenous join tree separators. The paper describes the developed software tools that implement the proposed model and the method of approximate reasoning.
There are examples of using the developed model and method for analysing mental and emotional state of patients. Keywords: approximate reasoning modeling, fuzzy probability measure, temporal fuzzy Bayesian network.
References
1. Vagin V.N., Golovina E.Yu., Zagoryanskaya A.A., Fomina M.V. Dostoverny i pravdopodobny vyvod v intellektualnykh sistemakh [Exact and Plausible Inference in Intelligent Systems]. V.N. Vagin, D.A. Pospelov (Eds.). 2nd ed., Mocsow, Fiz-matlit Publ., 2008, 712 p. (in Russ.).
2. Pospelov D.A. Modelirovanie rassuzhdeny. Opyt analiza myslitelnykh aktov [Modeling of Reasoning. Experience in Mental Acts Analyzing]. Moscow, Radio i svyaz Publ., 1989, 184 p.
3. Eremeev A.P., Kurilenko I.E., Smirnova A.E. Development of temporal extension of methods of reasoning based on precedents. Kongresspo intellekt. sist. i inform. tekhnolog. (IS&IT'11) [Proc. of the Congr. on Intelligent Systems and Information Technologies IS&IT'11]. Moscow, Fizmatlit Publ., vol. 1, 2011, pp. 50-59 (in Russ.).
4. Kobrinsky B.A. The logic of argumentation in decision-making in medicine. Nauchno-tekhnicheskaya informatsiya [Scientific and Technological Information]. Series 2, 2001, no. 9, pp. 1-8 (in Russ.).
5. Varshavsky P.R., Eremeev A.P. Modeling reasoning based of precedents in intelligent decision support systems. Is-kusstvenny intellekt iprinyatie resheny [Artificial Intelligence and Decision Making]. 2009, no. 1, pp. 45-57 (in Russ.).
6. Rossille D., Laurent J.F., Burgun A. Modeling a decision-support system for oncology using rule-based and case-based reasoning methodologies. Int. Journ. Med. Inform. 2005, no. 74 (2-4), pp. 299-306.
7. Tulupyev A.L., Nikolenko S.I., Sirotkin A.V. Bayesovskie seti: logiko-veroyatnostny podkhod [Bayesian Networks: Logical-Probabilistic Approach]. St.-Petersburg, Nauka Publ., 2006, 607 p.
8. Narinyani A.S. Uncertainty in representation and processing knowledge systems. Izv. AN SSSR: Tekhn. kibernetika [News of AS USSR. Tech. Cybernetics]. 1986, no. 5, pp. 3-28 (in Russ.).
9. Narinyani A.S. NOT-factors: a brief introduction. Novosti iskusstvennogo intellekta [News of Artificial Intelligence]. 2004, no. 2, pp. 52-63 (in Russ.).
10. Filchenkov A.A. Truth measures and probabilistic graphical models to represent knowledge with uncertainty. Trudy SPIIRAN [SPIIRAS Proc.]. 2012, iss. 4 (23), pp. 254-295 (in Russ.).
11. Kemeny J.G., Snell J.L. Finite Markov chains. The University Series in Undergraduate Mathematics. Princeton, Van Nostrand Publ., 1960, 224 p.
12. Preston C.J. Gibbs States on Countable Sets. Cambridge, Cambridge University Press, 1974, 137 p.
13. Dean T., Kanazawa K. A model for reasoning about persistence and causation. Computational Intelligence. 1989, no. 5 (3), pp. 205-247.
14. Bishop C.M. Pattern recognition and machine learning. Springer Publ., 2006, pp. 359-422.
15. Koller D., Friedman N. Probabilistic graphical models: principles and techniques. MIT Press, 2009, 1231 p.
16. Cowell R.G., Dawid A.P., Lauritzen S.L., Spiegelhalter D.J. Probabilistic networks and expert systems. Berlin, Springer Publ., 1999.
17. Zakharov A.S. Some characteristics of fuzzy Bayesian belief networks for modeling temporal reasoning. KII-2014: tr. XIVNatsionaln. konf. po iskusstven. intellektu s mezhdunar. uchast. [Proc. of the 14 National Conf. on Artificial Intelligence with Intern. Participation CAI-2014]. Kazan, RITs Shkola Publ., 2014, vol. 1, pp. 23-31 (in Russ.).
18. Zakharov A.S. The method of plausible reasoning based on fuzzy temporal Bayesian belief networks. Izvestiya Smo-lenskogogos. un-ta [News of the Smolensk State Univ.]. 2015, no. 3, pp. 114-126 (in Russ.).
19. Zakharov A.S. The backward reasoning in the temporal Bayesian belief networks. Nauchnoe obozrenie [Scientific Review]. 2014, no. 5, pp. 185-192 (in Russ.).
20. Zakharov A.S., Borisov V.V. Programma dlya modelirovaniyapriblizhennykh rassuzhdeny "Temporal" [The program for modeling of approximate reasoning "Temporal"]. State Registration Cert. for a program no. 2016610375. 2016 (in Russ.).
Примеры оформления статьи в списке литературы
1. Борисов В.В., Захаров А.С. Приближенные рассуждения на основе темпоральных нечетких байесовских сетей // Программные продукты и системы. 2016. № 2 (114). С. 27-33.
2. Борисов В.В., Захаров А.С. Приближенные рассуждения на основе темпоральных нечетких байесовских сетей // Программные продукты и системы. 2016; DOI: 10.15827/0236-235X. 114.027-033.
3. Borisov V.V., Zakharov A.S. Approximate reasoning based on temporal fuzzy bayesian belief networks. Programmnye produkty i sistemy [Software & Systems]. 2016, no. 2, pp. 27-33 (in Russ.); DOI: 10.15827/0236-235X.114.027-033.
