CC BY
37
Т О м X
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
19 7 9
М 6
УДК 629.78.015:527.7.001
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПЕРЕХОДА ВРАЩЕНИЙ В КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО ЦЕНТРА МАСС ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА, ВХОДЯЩЕГО В АТМОСФЕРУ
А. И. Курьяное, В. В. Ларичева
Для неуправляемого осесимметричного тела, входящего в атмосферу в режиме плоского вращения около центра масс, на основе методики [1—4] получены приближенные аналитические формулы для расчета высоты, времени и числа оборотов, при которых начинается переход (захват) вращений в колебания около центра масс или на фазовой плоскости прохождение сепаратрисы. Рассматриваются синусоидальная моментная характеристика и экспоненциальное изменение по времени скоростного напора, соответствующее прохождение верхних слоев атмосферы. Аналитическое решение задачи сравнивается с результатами численного интегрирования уравнений движения.
При исследовании вопросов движения тела, входящего в верхние слои атмосферы, относительно его центра масс общепринятым является предположение о том, что центр масс тела движется равномерно и прямолинейно. Из уравнений движения спускаемого тела, как следствие, выделяются уравнения движения около центра масс в виде замкнутой существенно нелинейной неавтономной системы с одной степенью свободы, для которой на фазовой плоскости отделяются сепаратрисой области вращательных решений от колебательных. В предположении медленной неавтономности выделенная система уравнений движения около центра масс преобразуется к переменным возмущенного движения. Вдали от сепаратрисы многооборотные вращательные решения возмущенной системы обычно исследуются методом усреднения [5—11]. При достаточном приближении решения к сепаратрисе не будет выполняться ряд основных условий теорем метода усреднения, таких как условие Липшица и условие периодичности правых частей исследуемой возмущенной системы.
В 11—4] с учетом нарушения условий Липшица и периодичности вблизи сепаратрисы доказана достаточная точность выделения усредненного уравнения изменения энергии. После прибли-
женного определения линий центров колебаний угловой скорости и ее квадрата в [1—4] интегрируются уравнения изменения энергии и угла атаки. В данной статье результат [1—4] уточняется на малые, нарастающие при приближении к сепаратрисе члены, отражающие особенности уравнений плоского относительного движения осесимметричного тела.
1. Траектория движения и уравнения движения около центра масс. Пусть центр масс тела движется равномерно со скоростью V= V0 по прямолинейной траектории с углом наклона 60<0- При отсутствии возмущающих сил, перпендикулярных плоскости траектории, движение тела около центра масс также будет совершаться в этой плоскости и будет описываться нестационарными существенно нелинейными дифференциальными уравнениями, которые при пренебрежимо малом (в верхних слоях атмосферы) аэродинамическом демпфировании имеют вид:
Здесь а — угол атаки, <ог — угловая скорость вращения в продольной плоскости, t—время, s >■ 0 — малый параметр, соответствующий малости величины |60|, т = &t — „медленное" время, q(x)— скоростной напор, р (т) — плотность атмосферы, тг(а) — коэффициент аэродинамического момента относительно поперечной оси; I, S — характерные длина и площадь тела, 1г— момент инерции тела относительно поперечной оси.
Для осесимметричных тел функция тг(а)— нечетная периодическая по а с периодом 2тг. Далее ограничимся рассмотрением простейшей нечетной гармонической зависимости
тг (а) — — Л sin а, (Л > 0). (2)
Нули функции (2) а, =0 + 2 ттл, а2 = тт + 2 кп, где « = 0, 1,. . . , оо, являются положениями равновесия системы (1), причем а2 — неустойчивые положения равновесия — седловые особые точки системы (1).
Для полного описания траектории движения выпишем уравнение изменения высоты и его решение при V= V0> ® =
~ = ~ Ksin6 = const = e, H = H0 — eí, (3)
где Н0 — начальная высота центра масс тела над поверхностью Земли, £ > 0 (60 < 0) — малая величина (параметр) в случае малости |60|.
Предполагая экспоненциальное изменение плотности атмосферы р по высоте Н и учитывая (3), придем к экспоненциальным зависимостям р и q от st
Р — р0ехр(—XД Н) = р0 expeW, q = q0exp ¿kt, (4)
где ДН= И — HQ и <7о = Ро Ко/2 — плотность атмосферы и скоростной напор на высоте Н0; X = dIn(p/p0)/d//ssconst-—показатель экспоненциального изменения плотности р по высоте Н.
2. Невозмущенное движение. Нелинейную неавтономную систему (1) можно рассматривать как возмущенную, где малость возмущения отмечена введением малого параметра г. При г = 0
система (1) становится невозмущенной, автономной и консервативной с периодическим изменением угловой скорости ш2."
Невозмущенная консервативная система имеет интеграл энергии, который выпишем для случая моментной характеристики (2)
ш2 —- 2 A eos oí =cu2= const (си2 = ш20— 2 v<70 A cos a0), (5)
где u>2 — приведенная к /2 удвоенная полная энергия невозмущенной системы; величина ш2 определяется начальными условиями.
При каждом фиксированном значении ш2 соотношение (5) определяет семейство функций и>2 с параметром а0. Линия, касающаяся максимумов (или минимумов) выделенного семейства функций шг(а, а0), — верхняя b (или нижняя а) огибающая этого семейства. Учитывая, что достижению max ш2 (или minu)2) соответствует dtoJdt^O, т. е. для вращательного решения (1) в случае (2) — это sin а = 0 или cosa = + l, и подставляя последнее в (5), получим выражения для огибающих Ь, а:
Ь2 = о)3 2 чд0 А, а- = ш2 — 2 *Ад0. (6)
Величины b, а называют также [5] верхней и нижней амплитудными кривыми (характеристиками).
Для невозмущенной системы, как видно из (5), при начальных условиях, удовлетворяющих неравенству ш2 2 Л, выполняется свойство sign u)2 = const, присущее вращательным движениям; равенством и2 = 2 vq0 А определяется сепаратриса — граница вращательных и колебательных движений. Причем точка ш2 = 0 на сепаратрисе — седловая особая точка для уравнений невозмущенного движения.
В (6) £2> 0; а2>0 при w2>2v^0i4 (в области вращений), а2 = 0 при о>2 = 2 vq0A (на сепаратрисе). Следовательно, условие а = 0 определяет сепаратрисное значение энергии и будет использовано ниже при получении энергетического условия пересечения сепаратрисы или энергетического критерия захвата, хотя, строго говоря, переход в область колебаний надо прослеживать дальше момента пересечения сепаратрисы — до первого нуляш2 = 0 в области колебаний.
Для полного исследования решения (1) вдали от сепаратрисы в невозмущенном движении путем интегрирования (5) получают второй интеграл — связь а с t и новой произвольной постоянной, см., например, [5—7]. При приближении решения к сепаратрисе второй интеграл становится непригодным для варьирования в возмущенном движении и усреднения из-за нарушения в правых частях возмущенной системы условий Липшица, периодичности и, зачастую, ограниченности, — основных в теоремах [5—7] об оценке погрешности усреднения.
3. Уравнения возмущенного движения. Нарушение условий Липшица и характера протекания л вблизи сепаратрисы. В возмущенном движении, где е>0, потребуем выполнения соотношения вида (5) и зависимых от (5) соотношений (6), но с переменными, медленно изменяющимися величинами #(т), ш(х), a(i), b(х). Тогда, дифференцируя (5) по i и учитывая уравнения (1) и со-
отношения (2), (4), получим уравнение изменения энергии возмущенной системы
= — 2evA^cosoL = — 2 ¿k-*Aq eos а. (7)
Исключая ш2 из первого уравнения (1) с помощью (5), придем к уравнению
= у"ш2 + 2iqA cosa. (8)
Относительно переменных со2, a уравнения (7), (8) образуют замкнутую нелинейную неавтономную возмущенную систему, для которой в [1—4] дана оценка погрешности усреднения при локальном нарушении условий Липшица и периодичности для правых частей системы.
Для определения параметров перехода вращательного решения (1) или (7), (8) в колебательное надо проследить решение (1), в общем, не только до сепаратрисы, а несколько далее — в область колебаний— до первого нуля переменной шг = 0 (в частности,, до о>г ~0, что выполняется в любой малой, достигаемой за конечное время, окрестности седловой особой точки на сепаратрисе).
Поиск решения (1), удовлетворяющего в конце условию попадания в окрестность некой точки (здесь ш2 = 0), является краевой задачей первого порядка, многооборотное решение которой не обязательно единственное. Это показано в [3, 11, 12] и в последнем разделе данной статьи.
Точка u)¿ = 0 на сепаратрисе — особая (седловая) для (1), поэтому здесь естественна неоднозначность решения; для эквивалентных (1) уравнений (7), (8) эта особенность приводит к тому, что при ш2 = и для правых частей (7), (8) нарушается условие Липшица— часть констант Липшица становится сколь угодно большой, хотя правые части (7), (8) остаются ограниченными. В самом деле, продифференцировав правую часть (8) по ш2 и а, получим следующие выражения, стремящиеся к бесконечности при
_1__1 _чдА sin а _ шг
2 Уш* + 2чдА cosa 2 «о, ' уГШ2 + 2 -tqA cos a _ шг '
Отметим общую для (1) и (7), (8) особенность. Переменная a входит как в (1), так и в (7), (8). В области вращений при сог<—1 (или больших) переменная а изменяется так же быстро, как t, и правые части второго уравнения (1) и (7), (8) — периодические функции быстрой переменной а. При ш2 — е переменная а становится медленно изменяющейся, и тригонометрические функции а, входящие в (1). (?)> (8), остаются неизменными. Последнее состояние наиболее продолжительно при попадании решения в окрестность седловой точки.
С учетом перечисленных особенностей вблизи сепаратрисы в [1—4] показаны отделение от (8) усредненного уравнения (7) и пригодность его решения до сепаратрисы. Приближенное определение, пригодное до сепаратрисы, линий центров колебаний переменных и a>z в [1—4] дало возможность, во-первых, значительно упростить и проинтегрировать усредненное уравнение (7), во-вторых, приближенно проинтегрировать уравнение (8). По сравнению с [1—4] для решения поставленной в данной статье задачи требуется учет очень малых вдали от сепаратрисы членов, увеличивающихся при приближении к сепаратрисе.
4. Линии центров' колебаний переменных to* и о>2 и приближенное интегрирование уравнения изменения я. В данном разделе приближенно определяются линии центров колебаний — средние значения колеблющихся с большими амплитудами функций со2, «)г; по ним определяется а в невозмущенном и возмущенном движениях (вращательном до сепаратрисы); показано, что разница средних значений и «42) является главной причиной изменения энергии, тогда как в случаях [1—4] этой разницей пренебрежено по сравнению с влиянием несимметричных членов.
Таким образом, здесь не применяется расходящаяся вблизи сепаратрисы традиционная в работах по усреднению [5—7] процедура с использованием второго интеграла невозмущенной системы. Методом усреднения [5—7] обычно получают средние значения функций, преобразуя задачу к переменным, совершающим колебания малой амплитуды относительно среднего значения; случай больших амплитуд в общем требует дополнительного рассмотрения, выходящего за рамки этого метода.
В невозмущенном и возмущенном движениях будем учитывать, что в области вращений до сепаратрисы переменная a(t) изменяется монотонно, т. е.
sign а = sign ш2 = const. (10)
В невозмущенном движении представим переменную a (t) в виде
а = а -f Да, я = а0 + Ы, со const, (11)
где а — основная составляющая, изменяющаяся почти пропорционально t; Да — малая, в общем, вибрационная составляющая.
Для согласования (11) с (10) достаточно, чтобы было |Да|<|ш|. Под знаком интеграла величиной Да будем пренебрегать по сравнению с со, поэтому при интегрировании (1) по t при х = const воспользуемся приближенной заменой
da == (ш + Да) dt^z udt, (12)
тогда в невозмущенном движении из второго уравнения (1) получим
ш = coj -f cos a, —-^4?-0cosa0 = constV (13)
ш у О) J
Таким образом, в невозмущенном движении, кроме интеграла (5) для 1»г(а), имеем приближенный интеграл (13) для <о2(а). Ввиду (5) среднее по а от со2 равно со2.
Новые почти постоянные величины со, со, в (12), (13) близки к средним значениям переменной величины о>2; со — к среднему по времени, coj — к среднему по а. Усредняя (13) с учетом (12) по t
и по а, получим «) = «),. Через со, ш, выражается среднее по t
2
ОТ сог
Г 2 л
1 Г 2j' 2л -Lfa^doc ^ ш coj = со2. (14)
о
f 2 ,, 2 г,
о
Далее знак приближенного равенства в основном будем опускать. Выразим со через со20, а0. Для этого учтем равенство ш = со, в (13),
<14), тогда второе выражение (13) станет квадратным относительно i» уравнением, нужным корнем которого является
ю = -у- ( «>г о + ^ шг о — 4 vAq0 cos a0j. (15)
Проинтегрируем по t в невозмущенном движении соотношение (13) снова с учетом (12) и Wj = ш, получим приближенную формулу протекания a (t) в невозмущенном движении
a — a0 = wt + sin a, ( aQ = a0 — sin a0 ~ a0 ) , (16)
CD2 \ Ü)2 /
которая эквивалентна соотношениям
a = a0 + u¡t, Да = a -—a = ^Я- sin a ^ sin a, (17)
to2 M2
где Да — вибрационная составляющая, малая при достаточно большой величине «2.
С учетом малости Да выразим приближенно sina(¿), cosa(í) через sin a (t), cos a(¿):
sin a (t) = sin (a + Да) = sin a -f- sin a cos a,
- (18)
cos a (0= cos (a -j- Да) = cos a — ^-J- sin3 a.
ü)2
Пользуясь линейностью изменения a no t, найдем выражения средних значений по t от функций (18):
sin a (Г) = 0, cosa (t)= (19)
2 о2
Для установления связи ш2 с со возведем (13) в квадрат и приравняем (5), учтем равенство co1 = cü и (18):
ш2 = «2 + ^j2 (1 + s,n2-j_ (20)
Для рассматриваемой постановки о многооборотном захвате разность величин со2 и cu2 мала в начальный момент, но с течением времени (при приближении к сепаратрисе) возрастает так, что ею нельзя пренебречь.
Семейство (13) функций сог с параметром а0 имеет постоянную в невозмущенном движении верхнюю b и нижнюю а огибающие, определяемые соотношениями
-Г — ч Aq — — чАа /— а + b\ /П1 ,
¿7=(0 + -, a = со---- (1) =—~— . (21)
W ÍI) \ ¿ 1
Пользуясь (20) при sin2 a = 0, что соответствует огибающим, и проделав очевидные действия с (21), можно показать, что Ь2 = Ь2, a2 = a2, где b2, а2 определены соотношениями (6).
Естественно считать, что в возмущенном движении имеют место соотношения (12), (13) и их следствия (14) — (21), но с переменными (медленно изменяющимися по t) величинами q, со.
5. Энергетическое условие захвата. Вследствие двух факторов: осесимметричности тела, вращающегося около центра масс, и нарастания скоростного напора вдоль траектории движения центра
масс тела—при большинстве начальных условий с течением времени произойдет захват — переход вращения около центра масс тела в колебания и при исключительных начальных условиях возможно зависание в апериодическом режиме [8, 11, 12]. На фазовой плоскости моменту захвата соответствует момент прохождения сепаратрисы, а зависанию — попадание в окрестность седловой особой точки на сепаратрисе и неограниченно долгое стремление к седловой точке.
При анализе невозмущенного движения отмечалось [см. (6)], что момент достижения сепаратрисного значения полной энергии u>2 = 2vAq соответствует моменту обращения в нуль нижней амплитудной кривой квадрата угловой скорости: а2 = 0. Учет в (5) сепаратрисного значения полной энергии дает связь между угловой скоростью, энергией и а на сепаратрисе = ш2 (1-f cos а). Сепаратрис-ные значения угловой скорости можно условно разбить на три группы: значения, соответствующие быстрому захвату —это близкие к Ш1пшг (—l<cosa<:-—0,9); значения, близкие к шах = ]/2 <о — b (cosa^=l); средние значения ш2ср = j/2u>/2 = bj2 (cosa?^—1/2). Очевидно, при переходе через сепаратрису в область колебаний наиболее вероятными, соответствующими наибольшему числу начальных условий а0, являются сепаратрисные значения (cosa^;
~ —1/2). Это подтверждают расчеты: из рис. 1 видно, что при «>*„ = =const наибольшему числу значений а0 из диапазона [ — 180°, 180°] соответствует одна и та же концевая фаза по а, близкая к 120°, т. е. cos a ^ — 1/2.
При заданной начальной энергии, по-видимому, близкие к наименьшим времена захвата и числа оборотов определяются условием а?= 0 (<d2 = 2vA<7) и наблюдаются при пересечении сепаратрисы при cosa^— 0,9, т. е. при начальном значении а*1', входящем слева в окрестность значения а*, приводящего к зависанию. При достаточно большой начальной энергии можно принять
Подставим выражение ш2 через «>2 по формуле (20) при зт2а = 0, что соответствует амплитудным кривым квадрата угловой скорости, в сепаратрисное энергетическое соотношение (в2 = 2v/l^. Тогда получим квадратное относительно ш2 уравнение и выпишем нужный корень
an' ~ an — Ю°.
о
•о
(22)
N, tt,e
ос, /г тс
Рис. 1
Последнее легко следует из (20) при а = 0, что естественно ввиду а = а. Для дальнейшего удобно переписать условие (22) как
= (23)
6. Усреднение и решение уравнений для о)2, (о, а. Наличие переменной и, связанной с со2, расширяет возможности исследования уравнений возмущенного движения. Усреднив по Ь уравнение (7) изменения энергии и соотношение (20) с учетом (18), (19), получим усредненные уравнение и соотношение, образующие замкнутую систему относительно переменных ш2, ш2:
¿ш2
М Vй/' ' 2
Дифференцируя по Ь второе уравнение (24) и учитывая первое, получим уравнение для ш2
(24)
V • / /
1-
2
чАд
О)2
- 2еХ ^
\ 2
<Ад ^
(25)
= —2^Л^0)2(ехр2е^ — 1).
При получении (25) в квадратных скобках отброшен член, малый по сравнению с единицей.
Решением (25) с учетом экспоненциального представления (4) для <7 является выражение
(26)
(27)
(28)
Введем обозначения
х0 — юо/2 чАд0, х = ехр ¿ц
и перепишем (26) в виде
Ш4 = <Оо
1
/' х V 1 / * VI
— ~ щ
V *о ) 2 \ *о /
На основании (28) получим 1
1- —
8
: <*0 + %
16еХ*2
16ел
(25)
В (28), (29) отброшены ввиду малости члены: 1/2х2 по сравнению с единицей, высшие степени (х/х0)2/2, единица по сравнению с х2.
7. Время захвата и число оборотов до захвата Их. В энергетическое условие (23) подставим выражение (28) для ш4, учтем обозначения (27), тогда получим алгебраическое уравнение первого порядка относительно *2 —ехр2еХ^, решением которого является соответствующее моменту достижения сепаратрисы значение х2 (и ■/):
х2 = 4х2/3, х=1,16х0. (30)
Далее ввиду (27), (29), (30) получим формулы для определения искомых величин времени и а, — а'1) или числа оборотов Л/,
= 1п 1,16*0 = 1 п (1,1 6т*/2чА ^о), а,— а(') 1/12еХ) = 2*Л^.
Здесь константа ш0 связана с начальными данными шго, а0 соотношением (15). По смыслу использованного энергетического критерия захвата выражения (31) предназначены для оценки при заданной величине ш0 нижних граней числа оборотов до захвата и времени достижения сепаратрисы, поэтому значение близко слева к значению а*, обеспечивающего зависание в седловой точке.
После достижения сепаратрисы до первого нуля ш2 = 0, когда, по-видимому, станет cosaos. — 0,9, величина tl изменится на малую поправочную величину Д£,, которую найдем из следующих соображений. В течение Дt¡ пренебрежем малым изменением величин ш2, Nu подставим в (5) шг = 0, сепаратрисное соотношение <о2 = 2vAq (í,) и представление (4) для q(tl -f Д/,) = q (¿,) exp гХ M1. После почленного сокращения на общий множитель 2vAq(t¡) получим соотношение ехр sX Д£, = 1/|cosa | или sX Д^ ^0,1 -s- 0,34 при cos a = — 0,9 —■--0,75.
8. Сравнение аналитического решения задачи о захвате с данными точного численного интегрирования уравнений движения (1).
Уравнения (1) с учетом нелинейных и нестационарных функциональных зависимостей вида (2) — (4) интегрировались численно на ЭЦВМ методом Рунге — Кутта при различных начальных условиях ш20, а0, соответствующих области sign шг = const, т. е. вращательному решению (1), до момента захвата, т. е. до момента пересечения сепаратрисы и далее до достижения первого нуля «>z = 0 в области колебаний. При захвате определялись a,, (а, — а.0)/2к— число оборотов; ¿j — время захвата.
Численные значения параметров ел, q0, 2v, А, входящих в (1) — (4), взяты во всех расчетах данной статьи следующими:
еХ = 0,057 с-1, q0 = 3 кгса/м", 2v = 0,109 м'/кгс2, А = 0,05. (32)
Начальные условия для (1) при t0 = 0 брались из диапазонов — 180°-<а0< 180°, 0,2 с-1 <>г0-< 1,3 с-1, и для каждой пары данных •сог0, а0 производилось численное интегрирование уравнений (1). Основной вид перебора начальных условий — задавалось значение шг0 = const, а значения а0 перебирались через 20° (в некоторых случаях более подробно) от —180° до 180°.
Результаты таких расчетов позволили сделать ряд качественных выводов.
Аналогично [8, 11, 12) для каждого шг0 = const определено, при каком значении а* происходит скачкообразный переход от меньшего числа оборотов захвата к числу, большему почти на единицу. Дополнительно к [8, 11, 12] найден новый, более сложный вид скачков: показано, что если взять значения шг0 = 0,23, 0,328, 0,41, 0,49, 0,56, 0,69 с-1 и изменять а0 от —180° до +180°, то для каждого из перечисленных значений шг0 найдутся три значения а0, при которых происходит скачкообразный переход от меньшего числа оборотов захвата к большему на единицу. При всех остальных значениях из интервала (0,2, 1,3) аналогичный скачкообразный переход единственный.
Наблюдающаяся при отдельных относительно небольших значениях шг0 неоднократная (тройственная) неединственность значений а0 скачкообразного перехода в протекании по а0 числа оборотов захвата связана с тем, что фиксированному начальному значению шг0 соответствует зависящее от а0 множество значений о>0, вычисляемых при í0 = 0 через интеграл энергии (5).
Рис. 2
При достаточно больших значениях |<ог0|, когда шг0^а)0 (в данном случае при шг0;>0,63 с-1), отмеченный вид неединственности а* перестает проявляться вследствие малости отличия шг0 от ю0.
На рис. 1 представлены полученные численным интегрированием (1) до момента захвата зависимости aJ2i:, Nu tx от а06[—180°, 180°J при шг0 = 0,29 с-1. Здесь а0 перебиралось в основной части интервала через 10°, через 1° в интервале [60°—70°J, еще более подробно в интервале [66°, 67"], содержащем значение а*, при котором имеют место зависание и скачок в числе оборотов. При ш2й = 0,29с-1 и изменении а0 от 0° до +180° согласно формуле (15) величина ш0 изменится от 0,316 до 0,26 с-1, но среднее значение ш0 = 0,29 с-1. Подставляя последнее в формулы (31), находим Л^=1,4, i, =31,4 с (со средней поправкой получится ^^гЗб с), что согласуется с данными рис. 1 при значении расположенном левее значения а* « 66° 30', обеспечивающего зависание.
Для решений, начинающихся при значениях а*,1', отстоящих на 5—15° влево от значения а*, приводящего к зависанию, на рис. 2 представлены графики точных и приближенных, полученных с помощью формул (15), (31), зависимостей величин с^ — аМ и t1 (с поправкой) от величины начальной угловой скорости шг0. Здесь при численном интегрировании (1) значения а0 перебирались через 20° в интервале —180°, 180°, и с точностью до шага перебора определялось значение <х<>>, как ближайшее левое по отношению к ао-В масштабах рис. 2 графики точной и приближенной зависимостей а, — <*<•> = 2ttjVj от <i>z0 сливаются, что объясняется относительной малостью погрешности приближенных значений а, — а*,1' или Nx.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ларичева В. В., Шилов А. А. Аналитический метод определения аналога сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфере. Космические исследования, т. 7, № 1, 1969.
2. Ларичева В. В. Усреднение для систем с переменным периодом. ДАН СССР, т. 198, № 6, 1971.
3. Ларичева В. В. О разрывном характере аналога сепаратрис при движении асимметричного тела около центра масс в атмосфере. .Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 3, 1972.
4. Л а р и ч е в а В. В. Сквозная асимптотика решений неавтономной нелинейной системы, близкой к консервативной. ДАН СССР, т. 222, № 5, 1975.
5. М и т р о п о л ь с к и й Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М., „Наука", 1964.
6. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М„ .Наука", 1939.
7. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. Изд-во МГУ, 1971.
8. Kuzmak G. Е., Yaroshevsky V. A. Application of (he asymptotic methods to some problems of the reentry vehicles dynamics. Proceedings of the XIV International Astronautical Congress. Paris, 1965.
9. Ярошевский В. А. Применение асимптотического метода к некоторым задачам динамики летательных аппаратов. Инженерный журнал, т. II, № 2, 1962.
10. Шилов А. А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии тела на характер его пространственного движения. ДАН СССР, т. 183, № 5, 1968.
11. Ярошевский В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М., .Машиностроение", 1978.
12. К у з м а к Г. Е., П о п о в В. А. Исследование перехода вращательного движения в колебательное при входе в атмосферу неуправляемого баллистического тела. .Ученые записки ЦАГИ", т. I, № 6, 1970.
Рукопись поступила 29/V 1978
«Ученые записки» № 6
