Приближенное вычисление собственных чисел дискретного оператора с помощьюспектральных следов степеней его резольвенты Текст научной статьи по специальности «Математика»

Случай 2. n = 2n1 + 1, n1 > 0. Тогда

П1 П1 _ \ Л /"rs sit _ \ л syt+ind syn1—t _ sin1+ind _ sin1+1—ind

a = Cn 1+1 ■ Cn 1 = Cn1+1 ■ Cn 1 = C2n1 +1 = C2n1 +1 • t=0 t=0

Далее также рассмотрим два подслучая.

Подслучай 2.1. k = 2fcb k1 = 0,1,...,n1. Слово wk имеет вид w2k1 = ca^^a baba^ . . b.

2k1 2n1 -2k1 +1

Тогда ind = n1 - k1 + 1. Подставляя в (6), получим a = С2Щ+1—ind = Ck1 = сп2

Подслучай 2.2. k = 2k1 + 1, k1 = 0,1,...,n1. Слово wk имеет вид w2k1+1 = ba. „ ba.

2k1 +1 2n1—2k1

Тогда ind = k1 — n1. Подставляя в (6), получим a = С2п++пd = Ck1 = сп2

гk 1

Таким образом, во всех случаях a = Cn2 .□ Библиографический список

1. Book R.V. A note on special Thue systems with a single single defining relation // Math. Systems Theory. 1985. defining relation // Math. Systems Theory. 1983. V. 16. V. 18. P. 135-143.

P. 57-60. 3. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Гос. изд-во физ.-мат.

2. Otto F., Wrathall C. A note on Thue systems with a лит., 1960. 592 с.

УДК 517.984

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА С ПОМОЩЬЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ СЛЕДОВ СТЕПЕНЕЙ ЕГО РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Е.М. Малеко

Магнитогорский государственный технический университет, кафедра математики E-mail: [email protected]

Пусть дискретный самосопряженный оператор T действует в сепарабельном гильбертовом пространстве и имеет ядерную резольвенту, причем собственные числа и собственные функции оператора T известны. В работе рассмотрен метод вычисления собственных чисел возмущенного оператора T + P, если резольвента этого оператора представима в виде сходящегося ряда Неймана по собственным функциям оператора T. Суть метода заключается в том, что сперва находится набор чисел, скольугодно точно приближающих следы степеней резольвенты оператора T+P. Затем с помощью данного набора составляется и решается система нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных, образующих в ней степенные суммы. Решением системы является единственный с точностью до перестановки набор ненулевых чисел, приближающих сдвинутые на одну и ту же константу А обратные величины первых собственных значений оператора T + P.

Ключевые слова: собственные значения, резольвента, сепа-рабельное гильбертово пространство.

The Approached Calculation of Eigenvalues of the Discrete Operator by Means of Spectral Traces of Resolvent Degrees

E.M. Maleko

Magnitogorsk State Technical University, Chair of Mathematics E-mail: [email protected]

Let a discrete self-adjoint operator T acts in a separable Hilbert space and have the kernel resolvent, and eigenvalues and eigenfunctions of the operator T be known. In the paper the method of calculation of eigenvalues of the perturbed operator T + P is considered. Resolvent of this operator is presented as convergent Neumann series on eigenfunctions of the operator T. The point of the method is that at first is found a set of numbers which approximate traces of the resolvent degrees of the operator T + P. Then by means of the given set, the system of nonlinear algebraic equations is constructed and solved. The solution of the system is a set of numbers which approximate first eigenvalues of the resolvent of the perturbed operator T + P.

Keywords: eigenvalues, resolvent, separable Hilbert space.

Очень часто резольвенту дискретного дифференциального оператора в явном виде получить бывает очень сложно или же вообще невозможно. Однако, если возникла ситуация, когда спектральные следы степеней резольвенты находятся приближенно достаточно легко и точно без знания явного

© Е.М. Малеко, 2010

Е.М. Малеко. Приближенное вычисление собственных чисел дискретного оператора__

вида самой резольвенты, то этим можно воспользоваться в вычислении первых собственных чисел дифференциального оператора.

Рассмотренный в работе метод имеет сходство с методом вычисления первых собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля, предложенным А.А. Дородницыным [1, с. 98-100]. Суть метода А.А. Дородницына заключается в следующем. Пусть дана одна из рассматриваемых в работе [1, с. 77] задач Штурма - Лиувилля со спектральным параметром А:

y'' + (Ar(x) + q(x))y = 0, 0 < x < l,

hi y' (0) = hy(0), Hi y' (l)+ Hy(l)=0.

Здесь функция q(x) предполагается непрерывной и действительнозначной на отрезке [0,l], h, hi, H, Hi e R, а коэффициент уравнения r(x) имеет вид r(x) = ri (x)xa, где a > -1, ri(x) — непрерывная положительная функция на [0,1]. В этой ситуации собственные значения задачи образуют строго возрастающую последовательность {Anс асимптотикой

~ Tin! J \/r(x) dx (n ^ го).

0

Функция Грина С(х,С) задачи — функция двух переменных на [0,1] х [0,1], удовлетворяющая уравнению

д2 £(ж, С)/(дх)2 + д(ж)£(ж, С)=0

и условиям

^дС/дх(0, С) = йС(0, С), Н д£/дж(1, С) + С) = 0, д^/дх(С - 0,С) - д^/дх(С + 0,С) = 1.

Если 0 / (Ап то при любых т е N справедливы равенства

1 ^

gm = r(x)Gm (x,x) dx = £ A^™, / n=i

где (х,С) = С(ж,С), £т+1 (х,С) = /0 г(£)Сто(х, £)£(£, С) Последнюю формулу А.А. Дороницын применял в получении системы из к нелинейных алгебраических уравнений для определения первых собственных значений Ах, А2,.. . А:

к те

= ^ - £ А-т, т = 1, 2,..., к. (1)

п=1 п=к+1

При этом асимптотическое представление собственных значений Ак+1, Ак+2,. .. использовалось для

те

оценки рядов ^ А-т, т = 1, 2,..., к.

п=к + 1

1. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Пусть (см. [2]) дискретный самосопряженный оператор Т действует в сепарабельном гильбертовом пространстве Н; Б(Т) := (Аг}°=1 — спектр оператора Т, собственные числа Аi которого занумерованы по возрастанию модулей с учетом кратностей; }°=1 — набор соответствующих собственных функций, образующих в Н ортонормированный базис. Резольвента Лл(Т) := (Т — А/)-1 является ядерной с комплексным параметром А е Л := {г е С : г = Аi, Аi е Б(Т)}. Тогда числа ai = ^(А) := 1/(Аi — А) этого оператора, начиная с некоторого номера, образуют невозрастающую по модулю последовательность. Будем предполагать, что Р(Лл(Т)) э Р(Т) для любого комплексного А, лежащего внутри Л.

Пусть Р — линейный ограниченный оператор и такой, что Р(Р) = Н и q = ||РДа(Т)|| < 1 для некоторого Л е Л. Тогда резольвента Да(Т + Р) представима в виде сходящегося ряда Неймана:

те

Да(Т + Р) = Да(Т) + ^(-1)*Да(Т) [РДа(Т)]* .

*=1

Пусть п е N таково, что |ап| > |Лп+11. Обозначим через линейную оболочку векторов г = 1,п, (т.е. := }П=1)) и так как она замкнута, то — подпространство в Н.

Будем в дальнейшем через С обозначать произвольно заданный на С компакт, причем Л* / С и для V Л е С должно выполняться неравенство ||РДА(Т)|| < 1. Для Л е С обозначим через да^^п(Т + Р), Да"(Т) и Р(п) сужения соответственно операторов ДА)П(Т + Р) := := Да(Т) + £П=1 (-1)*Да(Т) [РДа(Т)]*, Да(Т) и Р на , то есть

П г 1 *

ДА")(Т + Р) := ДАП)(Т) + £(-1)*ДАП)(Т) Р(П)ДАП)(Т^ , (2)

*=1

ДАП)(Т) := ^ Р(П) := РР^' где Н =

г=1

Нетрудно доказать, что да"^(Т + Р) ^ ДА(Т + Р) равномерно по Л е С. Для этого достаточно сослаться на ограниченность операторов дАп) (Т) и Да (Т) и на существование достаточно большого п0 е N при котором для V Л е С и для V п > п0 справедливо неравенство ||Р(п)дАп)(Т)|| < 1. Тогда оценка по операторной норме из Н суммы (2) при п ^ го может быть представлена в виде абсолютно сходящегося бесконечного геометрического ряда.

Найдем для произвольного Л е С матричные представления степеней ^Ада""(Т + Р^ , £ = 1,п,

оператора Дап)(Т + Р). При этом нам понадобятся матричные представления операторов дАп)(Т) и

Р (п):

АДАП)(Т) := ^{(Лг - Л)-1 }!= и АР(п) := }^=1, ау = (Р^г). Тогда из (2) получаем

АДап)(Т + Р) := АДап) (Т)

I + £(-1)* (АР(п)АДАп) (Т) *=1

= ^{(Лг - Л)-1 }Г=1

(3)

I + £(-1)* (К*/(Л, - Л)}^=1) *=1

Обозначим через Р(А'п) (х) характеристический многочлен матрицы АдАп) (Т + Р). Вычислив предварительно по формуле (3) матрицу АдАп)(Т + Р), найдем степени |^АдАп)(Т + Р^ , £ е N. Известно, что матричные и спектральные следы конечномерных (и ядерных тоже) операторов совпадают (см. [5, теорема Лидского]). Обозначив через ^(Л,п), £ е N, спектральные следы матриц |^АдАп)(Т + Р^ , найдем их значения по формуле

^(Л,п) = (Т + Р)]*. (4)

Пусть {^ (Л)}°=1 — набор собственных чисел оператора ДА (Т + Р), занумерованных по убыванию модулей с учетом алгебраической кратности для некоторого Л е С. Тогда

те

^(Л) = [АДа(Т + Р)]* = ^ЫЛ))* < го, £ е N

г=1

так как оператор ДА(Т + Р) — ядерный.

ЕЛ1. Малеко. Приближенное вычисление собственных чисел дискретного оператора__

Теперь поступим аналогично тому, как это сделано в [1]. Рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных , х2,..., хп:

п

£хт = <ш(Л,п)(« <т (Л)), т = 1, 2,..., п. (5)

г=1

те

В отличие от подхода в [1] здесь не оцениваются никак «поправки» вида ^ Л-т (см. формулу (1)).

п=к+1

В [3] и [4] для вычисления спектров дискретных операторов рассматривались системы типа (5):

п

£хт = <т(0), т = 1, 2,..., п,

г=1

причем в этих работах нет возмущений операторов какими-то другими, а в [4] оценена скорость сходимости обратных значений компонент вектор-решения данной системы к соответствующим собственным числам исследуемого оператора.

Из равномерной сходимости последовательности операторов лДпП (Т+Р) к оператору Лд (Т + Р) по

Л е С следует, что для любого конечного натурального £ последовательность матриц ^АлДпП(Т + Р^

будет стремиться к бесконечномерной матрице [АЛд(Т + Р)]* равномерно по Л е С, поэтому, учитывая непрерывность операции взятия матричного следа, будем иметь:

<г(Л, п) ^ <г(Л) равномерно по Л е С. (6)

Отсюда, если {дг(Л, п)}^=1 — набор собственных чисел оператора лДп)(Т + Р) и N е N таково, что |Л^| < |Л^+11, то для каждого п ^ N можно подобрать нумерацию чисел дг(Л,п), % = , при которой из (6) и непрерывной зависимости нулей характеристического многочлена произвольной квадратной матрицы с комплексными элементами от коэффициентов этого многочлена получим:

Дг (Л, п) ^ Дг (Л)

равномерно по Л е С для % = 1, N.

Для доказательства этого факта достаточно показать, что следы <(Л, п), 1 < £ < п, входят в коэффициенты характеристического многочлена Р(дп ) (х) полиномиальным образом. Покажем это. Так как {Дг(Л,п)}г=1 — набор собственных чисел оператора лдп)(Т + Р), а значит, и матрицы АДй (Т + Р). Поэтому многочлен Р (дп ) (х) можно представить в виде

Р(д>п)(х) = ]^[(х - Дг(Л, п)) = х п + £(-1)кОк(п)хп

-1) Ок(п)хп к

г=1 к=1

где ак(п) — к-е элементарные симметрические многочлены от чисел д1 (Л, п), д2(Л,п),. .., д п(Л,п). Из формул Ньютона (см. [6, с. 331]) имеем

Ок(п) = (-1)к+1 {<к(Л, п) - <к-1 (Л,п)о1(п) + <к-2(Л,п)о2(п)-

-(-1)к+1 <1 (Л,п)ак-1(п)}/к, к = 1, 2,..., п,

что и требовалось. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть N е N таково, что |Л^ | < |Л^+1|. Тогда для каждого п » N подбирается нумерация чисел дг (Л,п), % = 1,^ при которой дг(Л,п) ^ дг(Л) равномерно по Л е С. При этом также равномерно по Л е С

V (Л, п) = Л + 1/Дг (Л, п) ^ V = Л + 1/Дг (Л)

для % = . Здесь {V}^=1 — набор первых собственных чисел оператора Т + Р; {дг(Л,п)}г=1 — решение системы (5).

В реальных расчетах для получения значительно более точных результатов вместо матриц АЛд^п (Т + Р) лучше строить матрицы Алд"-,^ (Т + Р), где т ^ п. В этом случае следы степеней и собственные числа матриц Алд^^ (Т + Р) будем обозначать соответственно через < (Л,п,т) и дг(Л,п,т), % = 1,п.

2. ПРИМЕР

Рассмотрим действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н= (-1,1),

= (1 — x)a(1 + x)e, а > —1, в > —1, а + в = —1, а = 0, в = 0, оператор Якоби

T := —(1 — x2)d2/dx2 — [в — а — (а + в + 2)x]d/dx + /.

Областью определения D(T) этого оператора будем считать множество всех функций f (■), обладающих следующими свойствами: f(■) и f'(-) — абсолютно непрерывны на отрезке [—1,1], Tf е H. Спектр оператора T составляют числа An = 1 + n(n + а + в +1), n е N U {0}, а соответствующими

собственными функциями, образующими в H ортонормированный базис, являются -0n = c—1 P"'e, где

( 1 \ 1/2 P"'e — многочлены Якоби, cn = IIP"'^ 1|я, || ■ ||я = ( /—1 (1 — x)a(1 + x)e| ■ |2dx] — норма в H.

Пусть P — оператор умножения на функцию p е L^(—1,1) и A = Ai, i е N U {0}, причем

Vi ||p|U/| Ai — A| < 1, ||p|U = essential sup |p(x)|. Тогда D(T + P) = D(T) и операторы Ra(T + P) :=

xe(-1,1)

:= (T + P — A/)-1 и RA(T) := (T — A/)-1 — ядерные резольвенты. Выберем натуральные n » 1, m ^ n и по формулам

aR!(T + P) := diag {(Ai — A)-1}

-1n

i=0

/ + £(—1!)k (Kj/(Aj — A)}i,j=o)

k=1

Pt (A, n, m) = (T + P)]

вычислим спектральные следы (A,n,m) матричных операторов ^ARA^(T + P)J для t = 1,n. Здесь ai,j = ), i,j = 0,n. Далее используем значения (A, n,m) в приближенном вычислении первых

собственных чисел ^(A), i = 1, N (N ^ n), оператора RA(T + P) по способу, описанному в теореме 1.

Выберем конкретные значения некоторых параметров: n = 17, m = 100, N = 4, A = —10, а = 2, в = 3, а функция p(x) = 6x5 — 2x2 + x — 1. Тогда

An = 1 + n(n + 6), n е N U{0},

q = l|p||ro/|A0 — A| = 10/11 < 1. При этом погрешность ||RA(T + P) — RA,m(T + P)|| вычисления Ra(T + P) не будет превосходить q101 /(1 — q) < 0.00073.

В математическом пакете Maple 8 найдем спектральные следы ^t(—10,17,100) матричных операторов |^AR-'Ю 100(T + P)J для t = 1,17, производя вычисления с числами, имеющими в своей записи сорок значащих цифр в десятичной системе счисления. Получим <?!(—10,17,100) = 0.3315749973133419812432366793584316585, 10,17,100) = 0.0171474363553331790506737840936613736,

Р17(-10,17,100) = 0.1110248832772119713054078767952 ■ 10-17.

Теперь вычислим четыре (Ж = 4) приближенных первых собственных числа V оператора Т + Р: ^ - -0.057883895310552005669224532476753202387, V! - 6.67773310230740233769509035283872641031, - 15.55086694199288161582890973767213723841, ^ - 26.44615410541437542656000068078359846532.

Если взять комплексное число Л, например, Л = 11г, и производить действия с числами, имеющими

в своей записи семьдесят значащих цифр, то получаются следующие результаты: ^ ^

V2 -Vз -причем

—0.057883895310552005669224532476753202329120606810269629118 + 0.1 ■ 10-67i, 6.677733102307402337695090352838723172221231616314500325 — 0.101 ■ 10-65 i, 15.5508669419928816158289097376946595486995844698410991 + 0.4793 ■ 10-64i, 26.446154105414375426560000654210303955281196236279510 — 0.43536881 ■ 10-60 i,

Д^0{—10,11i} < 0.58 ■ 10

-37

△v1 {—10,11i} < 0.33 ■ 10

-32

k

t

Р.5. Салпмов, П. Л. Шабалпн. Обратная задача МА Лаврентьева об отображении полуплоскости

Д^{-10,11%} < 0.23 ■ 10-28, Д^э{-10,11%} < 0.27 ■ 10-25.

Обозначение Д^-{-10,11%} представляет собой модуль разности чисел, приближающих одно и то же значение V?, но полученных при помощи разных Л: Л = -10 и Л = 11%.

Библиографический список

1. Дородницын А.А. Избранные научные труды: В 2 т. М., 1997. Т. 1. 396 с.

2. Малеко Е.М., Королева В.В. О построении следов «подходящих резольвент» степеней возмущенного оператора // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронеж. весенней мат. школы «Понтря-гинские чтения - XV». Воронеж, 2004. С. 141.

3. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Малеко Е.М. Об одном способе приближенного нахождения собствен-

УДК 517.54

Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин

Казанский государственный архитектурно-строительный университет,

кафедра высшей математики E-mail: [email protected]

В работе рассмотрено обобщение обратной задачи М.А. Лаврентьева о конформном отображения полуплоскости на некоторый многоугольник на случай многоугольника с бесконечным числом вершин. Считаются заданными внутренние углы многоугольника при неизвестных вершинах и прообразы этих вершин на вещественной оси. При некоторых ограничениях на величины углов при вершинах и на прообразы вершин, получена формула для искомого отображения.

Ключевые слова: интеграл Шварца - Кристофеля, обратная задача, показатель сходимости.

ных чисел оператора Штурма - Лиувилля // Докл. АН. 1999. Т. 369, № 1. С. 16-18.

4. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Малеко Е.М., Попов А.Ю. Корректность метода А.А. Дородницына приближенного вычисления собственных значений одного класса краевых задач // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 4. С. 471-476.

5. Садовничий В. А. Теория операторов. 2-е изд. М., 1986. 386 с.

6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1983. 411 с.

The M.A. Lavrentiev Inverse Problem on Mapping of Half-Plane Onto Polygon with Infinite Set of Vertices

R.B. Salimov, P.L. Shabalin

Kazan State University of Architecture and Engineering, Chair of Higher Mathematics E-mail: [email protected]

The authors consider a generalization of the M.A.Lavrentiev inverse problem on a conformal mapping of half-plane onto interiority of a polygon for the case where the set of vertices of this polygon is infinite. We assume that the inner angles at unknown vertices and the image of the vertices under the conformal mapping on the real line are given. Under certain restrictions on values of the angles and on the sequence of points of the real line that are preimages of the vertices the formula for such a mapping is obtained.

Key words: Schwarz - Christoffel inteqral, inverse problem, exponent of convergence.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА М.А. ЛАВРЕНТЬЕВА ОБ ОТОБРАЖЕНИИ ПОЛУПЛОСКОСТИ НА МНОГОУГОЛЬНИК В СЛУЧАЕ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ВЕРШИН

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть {tk}, {t_k}, k = 1, го, — заданные последовательности точек вещественной оси, сходящиеся к +го, —го соответственно, —го < ... < t_k < ... < t_i < t0 < ti < ... < tk < ... < +го, t0 = 0. Заданы последовательности действительных чисел G (0,1), a_k G (0,1), k = 1, го, удовлетворяющие условиям lim a_k = 1, lim «k = 1.

к^те к^те

Требуется определить функцию, конформно отображающую полуплоскость G = {Z = С + in, П > 0} на многоугольник в плоскости z = x+iy, внутренний угол которого при вершине Ak (A_k), отвечающей точке tk (t_k) действительной оси плоскости Z, равен akп (a—kп). Смежные углы Kkп = п—akп, K_kп = п — a_kп стремятся к нулю при k ^ го. Угол наклона к вещественной оси звена AkAk+1

равен п(в0 + Kj ), где в0п — угол наклона к вещественной оси звена A_1 A1. Угол наклона к V J=i J

вещественной оси звена A_k_1 A_k равен п(в0 — Y1 К_А.

V J=1 ;

© Р.Б. Салимов, ПЛ Шабалин, 2010 23