Приближенное отыскание состояний в квантовой механике Курышкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145;539.17

Приближенное отыскание состояний в квантовой механике Курышкина

А. В. Зорин

Лаборатория вычислительной физики и математического моделирования Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

В работе проанализированы задачи квантовой механики Курышкина, переходящие при предельном переходе к общепринятой квантовой механике (ОКМ) в задачу на собственные состояния. Из требования экспериментального подтверждения результатов выведены линеаризованные уравнения для собственных состояний наблюдаемых и состояний с. минимальной дисперсией наблюдаемых. Метод решения полученных уравнений проиллюстрирован на примере водородоподобного атома.

1. Введение

Операторы квантовой механики Курышкина с неотрицательной КФР определяются [1,2] с точностью до произвольного набора квадратично интегрируемых по q функций конфигурационного пространства и времени {<¿>fc((7,í)}, нормированного условием:

£ / Ы<м)12а<7 = 1. k J

В силу квадратичной интегрируемости функции <рк допускают преобразование Фурье

Pkfat) = J exp j-^(g,p)jv>fc(g,t)dg.

Далее вводится функция изображающего фазового пространства и времени <P(q,p,t), построенная из вспомогательных функций следующим образом:

í) = (2тгй)-^ехр JEЫ<?>

Правило построений операторов квантовой механики Курышкина формулируется следующим образом: классической функции A(q,p,t) соответствует линейный квантовый оператор 0{А), действие которого на произвольную, допускающую Фурье-преобразование, функцию ip(q,t) определяется равенством

[0(АЩ(q, t) = (2тrh)-N J -q,V- p)¿(í, 'Л 0 х

х exp j-yr((<7 - í').P)} tf(<?',i)dÉcbjd«r'dp.

Тогда справедливы два эквивалентных способа вычисления средних (экспериментально измеряемых) значений (А) любой наблюдаемой величины А:

a) квантово-механическое среднее

(АЬ = I Ф*Ш)[0{Л)ШШ

b) квантово-статистическое среднее

(А) $ = I

так что соотношение

ад, р, ¿) = (2тгП)~ы х; || - е- 0 ехр ^

определяет связь между волновой функцией и плотностью вероятности в фазовом пространстве.

Как и во всякой вероятностной (статистической) теории, в квантовой механике Курышкина1 важную роль играет степень неопределенности значения (Л), количественной мерой которой служит дисперсия:

<(лл)2) = <0((л-(л»2)).

2. Состояния С МИНИМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ в КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ КУРЫШКИНА

Основной задачей общепринятой квантовой механики является поиск состояний физической системы, описываемых собственными волновыми функциями того или иного оператора наблюдаемой величины А:

= (1) Дисперсия этой наблюдаемой величины в таких состояниях, равная

' (А - (Л),-) 2 А = ( (а°2 - 2а? + а«?») = (0 • *}) ее О,

тождественно равна нулю.

В квантовой механике Курышкина в аналогичных состояниях ф^, удовлетворяющих уравнениям

О(Л)^- = а^, (2)

дисперсия наблюдаемой величины А, равная

(ф, |О ((Л - 0(Л);)2) | ф3) = (Л2),- - 2а) + а2 =

= (3)

не обращается в тождественный ноль.

В работе [1] показано, что квантовая механика с неотрицательной КФР переходит на множестве наблюдаемых Мо в общепринятую квантовую механику при

I2 - 8{д) $>*(р,012 - <5(р).

'То же самое относится к любому правилу квантования, кроме неймановского, однако автору не известны работы, в которых указанные правила квантования изучались с точки зрения дисперсии средних величин.

В остальных случаях выбора вспомогательных функций {</?fc} соотношения (2) и (3) отличаются от соотношений (1).

В квантовой механике Курышкина имеет место задача на собственные значения и собственные векторы (2), вариационная формулировка которой имеет вид

(0(А)ф,ф) .

—ГГТ\--" mm • (2а

(т1>,ф)

Решения задачи (2а) отличаются от решений аналогичной задачи в ОКМ

(Лф°,ф°)

, ,0 ins--" mm . (la)

(ф°,ф°) vVo

В то же время можно сформулировать задачу статистической природы об отыскании состояний с минимальной дисперсией

• -Ш)--» (3а)

Аналогичная задача в ОКМ тождественно совпадает с задачей (1а), и в собственных состояниях наблюдаемой А дисперсия величины А тождественно равна нулю, т.е. минимальна. Решения задачи (За) также отличаются от решений задачи (1а).2

Отметим, что как и в задачах (1а), (2а), если ф является решением задачи (За), то с - ф является решением при Vc ф 0. Таким образом, решениями задачи (За) являются одномерные подпространства (и их суммы), так что задачи (1а), (2а), (За) можно сформулировать в эквивалентном виде

(Аф°,ф°) -» min , (lb)

к Y J ты

(0(А)ф,ф)-> mm, (2Ь)

(0((А - (0(А)ф, ф))2)ф, ф) min . (ЗЬ)

llv[l=i

3. Приближенное вычисление собственных состояний и состояний с минимальной

дисперсией

Необходимыми условиями первого порядка для разрешимости задач (¡а), (2а), (За) являются соответствующие уравнения Эйлера, имеющие вид (3,7]:

Аф° = а>°; 0(А)Фз = a^j,

где

_ (О(Л)У^), aj~ [Ф], V'j) '

(0{А2) - 2äjO(A) + ä*) 4>j = d^j,

3Все три вариационные задачи (1а), (2а), (За) решаются в одном и том же гильбертовом пространстве

ЬаЮ).

где

и где

а, =

(О(А)ф^) {ФуФз)

(о(А2)ф,,ф:)

(ЬЛз)

— а

у

Решения задач (2а) или (2Ь) отличаются от решений аналогичных задач (1а) или (1Ь). Решения задач (За) или (ЗЬ) также отличаются от решений задач (1а) или (1Ь). Совершенно аналогично, решения задачи (2) отличаются от решений задачи

(1), равно как и решения задачи (3) не совпадают с решениями задачи (1). Более того, значения а^ и а^ наблюдаемых, полученные при решении как задач

(2), так и задач (3), будут обладать дисперсиями не равными нулю тождественно. Значения а° наблюдаемых, полученные при решении задач (1), подтверждаются экспериментально. Решения задач (2) и (3) могут получить экспериментальное подтверждение, если отклонения -а°), (а? — и дисперсии 5,-(а) и ¿¡¿(а) являются малыми по сравнению с т.е.

а, - а-

а,- — а.-

(4)

^(а)«|а^|, ¿,-(а)<|а°|. (5)

Это означает, что локальные минимумы задач (2) и (3) должны быть расположены в малых окрестностях локальных минимумов задач (1).

Будем искать решение задачи (2Ь) в виде ф^ = рДе — полная

система решений задачи (1Ь). Тогда в координатной записи задача (2Ь) принимает вид

-» П»т . (6)

г,] Х>Н

Решение задачи (6) вследствие условий (4), (5) ищем в виде

К} = {¿С1, 5са,..., (5ср_!, 1 + 5сР) •..} . (7)

Необходимые условия задачи (б) имеют вид:

ЕОу(Л)с,--(Ой(Л)с?) с4 = 0, (8)

з

<

Условие (8а) приводит к ограничению 6Ср = 0. Подставим вектор с? в (8) и проанализируем вид отдельных слагаемых. Первое слагаемое имеет вид

зФР

Первый сомножитель второго слагаемого имеет вид

£ I £ 0:к{А)5с^ск + 0]р(А)) ^ + £ Орк(А)5ск + Орр(А). ЗФР )

Второй сомножитель второго слагаемого имеет вид {¿С1,£с2,...,£ср-1,1,5ср+1,...}, следовательно, все второе слагаемое, с точностью до членов первого порядка малости относительно имеет вид

( \ Г Opp(A)Scl

Y,Ojp{A)Sci + Z°MA)5ck+Opp(A) U = { 2TOPM)SCj Wp Mp ) {

Opp{A)6cl при i Ф p при i ~ p.

Так что все уравнение (8) с точностью до членов первого порядка малости по принимает вид

£ (Оу(Л) - Орр{А)5^)5С] = -01Р(А) при * ф р, (9)

¿у'-Р

£<ЭИ(Л)<Ц=£РР(Л). (9а)

з^р

Следует заметить, что уравнение (9а) не добавляет информации к системе уравнений (9), так что достаточно решать систему линейных алгебраических уравнений (9).

Задача (ЗЬ) в координатной записи примет вид

- min. (10)

ij ) Необходимые условия задачи (10) имеют вид:

£ Oij{A2)ci ~ Ou(Atf £ Оц(А)сл + (0«(А)сff с, = i j

= |0п(Л2)с,2-(0г,(Л)с2)"}^, (И) = 1. (Па)

i

Решение задачи (11) ищем в виде (7), что приводит, с учетом условия (11а), к вектору (0сь<5с2, ...,5ср_1 Л.^Ср+ь • ••,).

Подставляем этот вектор в систему уравнений (11) и раскрываем все суммирования и произведения. С точностью до членов первого порядка малости по 5c.j система уравнений (11) принимает вид

]Г Oij(A2)<5cj - 20ip(A) £ Opj(A)5Cj + Орр(А) £ OXJ(A)SC] +

+ 202pp(Ä) £ SijScj - [Opp{A2)] £ SijScj = Oip(A)Opp(A), i ф p, (12) зФР

J2 [opj(A2) - 702rp(A)0pj(A)} Scj = -02pp(A), i ф р. (12a) j/p

Уравнение (12a) линейно зависит от уравнений системы (12), так что для отыскания {бе/} достаточно решать систему линейных алгебраических уравнений (12).

4. Заключение

В качестве примера рассмотрим гамильтониан Н(г,р) = ^/(2^) — Ze2/\r\ водо-родоподобного атома в квантовой механике Курышкина. В работе [4] приведен аналитический вид оператора 0(H), построенного с помощью пяти вспомогательных функций {vfc(r)}- В работе [3] показано, что бесконечномерная матрица (О^(Я)} устойчиво приближается конечномерными матрицами {0$(#)}, N = 1,5,14,.... Аналогично доказывается, что бесконечномерная матрица {0,j(#2)} устойчиво приближается матрицами {0$(Н2)}.

В случае <px(r) = aiRio(br)Yoo(0, ip) и <p2(r) - a2R2O(br)Yoo(0,(p) при N = 5 ненулевые элементы матрицы О^-(Я) имеют вид:

On = ¿[(ai + 0,25a2) - (1,25аг + 0,42a2)Zb],

0x2 = 02i = -|(0,18ai + 0,017a2),

022 = ¿[(oi + 0,25a2) - (0,42a, + 0,30a2)Zb],

033 = Ou = 055 = i[(ai + 0,25a2) - (0,49aa + 0,32a2)Zb\.

Решаем с помощью MathCAD систему линейных алгебраических уравнений (9) при р = 2 и получаем вектор {с?}:

2 _8,95ai + 0,86а2_

Cl ~ (41,5ai + 5,95а2) - (ai + 0,4а2) • l0~7/{Zb)! 4 = 1; с| = cj = cl = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курышкин В. В. — Квантовые функции распределения. — Канд. дисс., УДН, 1969.

2. Курышкин В. В., Терлецкий Я. П. О перспективах развития квантовой механики с неотрицательной КФР // Проблемы статистической физики и теории поля. — 1976.

3. Зорин А. В., Севастьянов JI. А. Математическое моделирование в квантовой механике // Вестник РУДН, Серия «Физика». — Т. 11, № 1. — 2003.

4. Зорин А. В. Аналитическое вычисление операторов наблюдаемых водородопо-добного атома // Вестник РУДН, Серия «Прикладная и компьютерная математика». - Т. 2, № 2. - 2003. - С. 25-51.

UDC 530.145;539.17

Approximate Searching for States in Quantum Mechanics of

Kuryshkin

A. V. Zorin

Laboratory of Computational Physics and

Mathematical Modelling Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

Problems of quantum mechanics of Kuryshkin which pass to eigenvalue problem when passing to the limit of conventional quantum mechanics, are analysed. From the demand of experimental confirmation of the theory's results linearized equations for eigenstates of observables. The method of solving derived equations is illustrated by an example of hydrogen-like atom are derived.