CC BY
46
Приближенная методика расчета балок с гофрированной стенкой
А.П. Лапина, А.С. Чепурненко, М.С. Турко Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Аннотация: В статье рассматривается методика расчета балок с гофрированной стенкой как трехслойных конструкций эквивалентной жесткости. Приводится вывод разрешающих уравнений для одномерного конечного элемента трехслойной балки. Вводится гипотеза о том, что полки полностью воспринимают нормальные напряжения, а стенка работает только на сдвиг. При получении основных уравнений учитывается наличие вынужденных деформации, которые могут включать в себя деформации ползучести, температурные деформации, деформации усадки и т.д. Представлено решение тестовой задачи для шарнирно опертой по концам балки под действием равномерно распределенной по длине нагрузки. Для контроля достоверности результатов выполнен конечно-элементный анализ в объемной постановке в программном комплексе ЛИРА. Полки балки моделируются плоскими треугольными оболочечными конечными элементами, а стенка - прямоугольными КЭ оболочки.
Ключевые слова: балка с гофрированной стенкой, трехслойная балка, метод конечных элементов, эквивалентная жесткость, напряженно-деформированное состояние.
Задачу изгиба балки с гофрированной стенкой сведем к расчету трехслойной конструкции эквивалентной жесткости. В работах [1-10] рассматриваются вопросы перехода от гофрированных пластин и эквивалентным гладким ортотропным пластинам. Для гофрированной стенки связь между внутренними усилиями и деформациями при плоском напряженном состоянии можно представить в виде:
где Ых = ох5 и Ыу = оу 5 - нормальные усилия, £ = т ху 5 - сдвигающая сила, 5 -толщина стенки.
Для жесткостей А. будем использовать формулы, представленные в [1]:
N I А 42 0
Ку\= 42 А22
8
(1)
£ 0 0 А
(2)
где I - момент инерции гофра, £ - длина дуги одной волны гофра, в -проекция длины волны на ось х (рис. 1).
Для эквивалентной ортотропной пластины связь между напряжениями и деформациями запишется в виде:
(3)
Е Е
°х =--~ (вх 2В,); оу = -—(в, + х); ^ = Оу .
Если известны величины приведенных жесткостей Ль., то приведенные упругие характеристики Е1, Е2, у1, у2, О можно определить по формулам:
Л, = Л12 . „ = Л12 . Е = Л11 (1 ) = Л11Л22 - Л12 . V = - ; V = - ;Е = - -
Лот Л,
22
5
Л228
= Л22 (1 -У:У2 ) = Л„Л22 - Л12 . О = Л66
(4)
5 Лп5 5
Отметим, что для гофрированных листов приведенный модуль упругости Ех существенно ниже модулей упругости Е2 и Е, поэтому для
расчета балок с гофрированной стенкой можно воспользоваться технической теорией трехслойных конструкций. Согласно данной теории нормальные напряжения полностью воспринимаются несущими слоями, в качестве которых выступают полки, а средний слой - стенка - работает только на сдвиг.
Рассмотрим приближенную методику расчета с применением метода конечных элементов. Используемый КЭ приведен на рис. 2.
Рис. 2. - Конечный элемент трехслойной балки
Данный конечный элемент имеет в каждом узле 3 степени свободы: перемещения ин и ив верхнего и нижнего слоя вдоль оси х, а также прогиб м. При выводе разрешающих уравнений учтем наличие вынужденных деформаций в несущих слоях и среднем слое, которые могут включать в себя температурные деформации, а также деформации ползучести. Физические уравнения при этом запишутся в виде:
н(б) с
н(в) 0 х , *н(в) с Т *
в;] = Е(1+вх ; г= ос(5) где вхн(в), у* - вынужденные деформации.
Для перемещений среднего слоя примем линейное распределение по толщине:
в . н н в
и + и и - и
с и "Т и и -и /;ГЧ
ис =-+-г. (6)
2 И
Полные деформации сдвига среднего слоя можно найти из соотношений Коши:
с дис дм ин - ив дм
У1х =—+— = —— + —. (7)
дг дх И дх
Аппроксимацию перемещений ин (х), ив (х), м (х) запишем в виде:
н(в) н(в)
н(в)/ \ н(в) и2К '- и ( - ^
ик ;(х) = и/ '+——— х; м(х) = + -——Lх. (8)
Деформации несущих слоев определяются по формулам:
/ \ ди.н\в) ин\в) - инУв> в н( в) = =и 2 М1 (9)
х дх I ' К '
Подставив (8) в (7), получим:
и"н - < -(и2в - ив )] + (10)
Равенства (9) и (10) можно представить в матричном виде:
.н „.в
с ил и х у = —-L + —
и ы
IV1 1 -1 0 0 1 7 0 0
{в} = - Ьх в х = 0 1 -1 0 0 1 7 0
у _ '-;) - "1 ^ - ~х ] 1 х х 1
_ и\ ~7 НИ - НИ 7
{и} = {и нв и1 щ нв 1^2 2 Щ2 }Г .
{и } = [В ]{и },
(11)
Выразим в (5) напряжения через деформации:
анх{в) = Ен(в)(е)-в*"(в)); тс = Ос (ус-у*). (12)
Для касательных напряжений в среднем слое примем равномерное распределение. Вектор внутренних усилий запишется в виде:
Иы-К}), (13)
'К а" ЪЪ"'
{к } = • N » = < авхЪЪв
0 тсЪст И
где [Я]=
Е "ЪЪ"
Е вЪЪв
ОаЪст И
{}
в?
*
У
, Ъ - ширина полок, Ъст - толщина
стенки.
Потенциальная энергия деформации трехслойной балки запишется в
виде:
П = 21(ыне^ + Щ е^ + )& = 21{К} {в*1 }*, (14)
2 0 2 0
где {ве'} - вектор упругих деформаций, равных разности между полными и вынужденными деформациями:
{в" }
х ,е1 Вх ,е1
у б
> = {в}-{в*}.
(15)
Подставляя (15) в (13) и далее (13) в (14), получим:
П = 2/({в} [О]{в} - 2{в)г [О]{в*} + (в*)' [В](в*})dx =
2 0 к '
2(и) I[В]] [О][В]dx(и)-(и}' |[В]] [О]{в> +1*}' [О]{в>.
0 0 ^ Разрешающие уравнения МКЭ могут быть получены из условия минимума полной потенциальной энергии, которая записывается в виде:
Ж _ П - Л, (17)
где Л = {и}' {р} - потенциал внешних сил, {р} - вектор внешних узловых нагрузок.
После применения принципа минимума полной потенциальной энергии, решение сводится к системе уравнений, имеющей вид:
[*]{и} = И + М, (18)
1
где {р } = |[В]' [О]{в*}<зх - вклад вынужденных деформаций в вектор
0
1
нагрузок, [К ] = |[В ]' [О] [В ]<зх - матрица жесткости.
0
Элементы верхнего треугольника матрицы [К] имеют вид:
_ К _ Ос5Т ЕнЪ5н _ _ Ос5Т
К1,1 = К4,4 = 3И + 1 'К!,2 =К4,5 = 3И '
Ос 5с
К1,6 = -К1,3 = К 2,3 = К 2,6 = -К3,4 = К3,5 = К4,6 = -К5,6 =
К = Ос 5ст1 - Е нЪ5н- К _ К __ Ос 5 т- К _ К _ Ос5ст1 ЕвЪ5в
6И 1 ' 15 24 6И ' 22 55 3И 1 _ Ос5ст1 ЕвЪ5в _ _ К _ Ос5стИ
К2,5 _ ^ ; К3,3 _ -К3,6 _ К6,6 _ ^ .
6И 1 1
При помощи трехслойных конечных элементов была решена тестовая задача для шарнирно опертой по концам балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Форма гофра описывалась синусоидальной функцией, имеющей вид:
у = / 8т(2лх / в). (19)
Расчет выполнялся при Ъ = 10 см, 1 = 3 м, И = 30 см, 5ст = 2 мм, 5н = 5в =3 мм, Е = 2105 МПа, V = 0.3, ц = 0.2 кН/м,/= 3 см, е = 10 см.
Геометрические характеристики гофра определялись при помощи численного интегрирования, при указанных исходных данных: I = 1.2110-6 м4, £ = 1.62 е. Приведенные упругие характеристики: Е1 = 121 МПа, Е2 = 3.24 105 МПа, О = 4.75 104 МПа, V! = 1.12 10-4, V2 = 0.3.
Полученная в результате максимальная величина прогиба в середине пролета составила щтах = 0.0859 мм. Отметим, что значение прогиба в середине пролета также можно определить аналитически по формуле:
щ =(20) тах 384Е1 8ОИЪ '
п ст
где 1п = ЪЪпИ2 /2- момент инерции полок, Ъп - толщины полок.
Подстановка исходных данных в формулу (20) дает значение щтах = 0.086 мм, которое практически совпадает с результатом, полученным при помощи МКЭ.
Для контроля достоверности результатов также было выполнено конечно-элементное моделирование в объемной постановке в программном комплексе ЛИРА. Полки моделировались плоскими треугольными оболочечными конечными элементами, а стенка - прямоугольными КЭ. Полученные в результате изополя вертикальных перемещений приведены на рис. 3. Перемещение точек нижней полки в середине пролета составили 0.0864 мм, что отличается от результата, полученного по приближенной методике, на 0.5%.
-O.OSJ5 -0.0765 -0.0656 -0.0546 -0.0437 -00328 -0 0219 -0.0109 -O.OOOS74 0
ЗАГРУЖЕНИЕ 1 Изопсля перемещении по Z(G) Елпнгшы измерения - w
Рис. 3. - Изополя вертикальных перемещений, полученные в ПК ЛИРА
Литература
1. Zheng Ye., Berdichevsky V.L., Wenbin Yu. An equivalent classical plate model of corrugated structures // International Journal of Solids and Structures. 2014. Vol. 51. pp. 2073-2083.
2. Seydel E. Shear buckling of corrugated plates // Jahrbuch die Deutschen Versuchsanstalt fur Luftfahrt. 1931. №9. pp. 233-245.
3. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. 2-е изд., перераб. и доп. Москва: Гостехиздат, 1957. 463 с.
4. Szilard R. Theory and Analysis of Plates. Prentice-Hall, 1974. 532 p.
5. Lau J.H. Stiffness of corrugated plate // J. Eng. Mech. Div. 1981. Vol. 107. pp. 271-275.
6. Кадомцева Е.Э., Сикачева Н.В., Кирсанов Ю.А. Расчёт на прочность гофрированной тонкой пластины на упругом основании обратным методом // Инженерный вестник Дона, 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2017/4251.
7. Лукин А.О. Определение прогибов балок с гофрированной стенкой с учетом сдвиговых деформаций // Инженерный вестник Дона, 2013, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1496
8. Beskopylny A.N., Kadomtseva E.E., Strelnikov G.P. The Boundary Condition Influence on a Stress-Strain State of a Corrugated Plate on an Elastic Foundation // Materials Science Forum. 2018. Vol. 931. pp. 60-65
9. Briassoulis D. Equivalent orthotropic properties of corrugated sheets // Comput. Struct. 1986. №23. pp. 129-138.
10. Xia Y., Friswell M.I., Saavedra Flores E.I. Equivalent models of corrugated panels // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49 (13). pp. 1453-1462.
References
1. Zheng Ye., Berdichevsky V.L., Wenbin Yu. International Journal of Solids and Structures. 2014. Vol. 51. pp. 2073-2083.
2. Seydel E. Jahrbuch die Deutschen Versuchsanstalt fur Luftfahrt. 1931. №9. pp. 233-245.
3. Lekhnitsky S.G. Anizotropnyye plastinki [Anisotropic plates]. Moscow: Gostekhizdat, 1957. 463 p.
4. Szilard R. Theory and Analysis of Plates. Prentice-Hall, 1974. 532 p.
5. Lau J.H. J. Eng. Mech. Div. 1981. Vol. 107. pp. 271-275.
6. Kadomtseva E.E., Sikacheva N.V., Kirsanov Yu.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2017/4251.
7. Lukin A.O. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1496
8. Beskopylny A.N., Kadomtseva E.E., Strelnikov G.P. Materials Science Forum. 2018. Vol. 931. pp. 60-65
9. Briassoulis D. Comput. Struct. 1986. №23. pp. 129-138.
10. Xia Y., Friswell M.I., Saavedra Flores E.I. International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49 (13). pp. 1453-1462.
