CC BY
15
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2016, Т. 158, кн. 4 С. 511-529
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 517.544
ПРИБЛИЖЕННАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ ОДНОГО КЛАССА МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С.Н. Киясов
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Вводится понятие приближенной факторизации гельдеровской матрицы-функции, заданной на простом гладком замкнутом контуре. Элементы матрицы-функции 2-го порядка специального вида аппроксимируются полиномами от г и 1/г. Указываются достаточные условия равенства нулю частных индексов аппроксимирующей матрицы-функции. Факторизация аппроксимирующей матрицы-функции построена в явном виде.
Ключевые слова: матрица-функция, факторизация, приближенная факторизация
Основные понятия и определения. Пусть Г - простой гладкий замкнутый контур, разбивающий плоскость комплексного переменного на две области и В- (то € В-). Под факторизацией Нм-непрерывной на Г матрицы-функции О(Ь) будем понимать ее представление в виде О(Ь) = О+(Ь)О-(Ь), Ь € Г, где О±(Ь) - предельные значения из соответствующих областей некоторой матрицы-функции О(г), элементы которой кусочно-аналитические и могут иметь на бесконечности полярную особенность, det О (г) = 0 в конечной части плоскости, а на бесконечности порядок det О- (г) равен сумме порядков К2,..., кп строк матрицы-функции О-(г). Это определение факторизации по форме отличается от приведенного в [1, ч. I, с. 59] тем, что нами не выделяется средний диагональный множитель diag{tK1,..., } и по содержанию ближе к понятию канонической матрицы X(г) = {О+(г), г € В+;[О-(г)]-1, г € В-} [2, с. 30]. «Вынося» порядки строк матрицы-функции О- (г) на бесконечности, придем к общепринятому определению факторизации:
где det О (г) = 0 в конечной части плоскости, а на бесконечности принимает конечное значение, отличное от нуля. В этом представлении матрицы-функции О+(Ь),О-(Ь) и Л(Ь) называются факторизационными .множителями (крайними и средним). Целые числа к > К2 > ... > кп называются частными индексами (левыми), а их сумма к = inddet О(Ь) - суммарным индексом матрицы-функции О(Ь). Само же представление (1) иногда называют левой факторизацией матрицы-функции О(Ь), в отличие от представления О(Ь) = О- (Ь)Л1(Ь)О+ (Ь), Л^Ь) = diag{tKl,...}, называемого правой факторизацией О(Ь) с правыми частными индексами К1,... ,кп . Задача построения приближенной факторизации матрицы-функции в настоящее время в общем случае не решена. Это, в первую очередь, связано с неустойчивостью частных индексов при малых изменениях матрицы-функции. При априорных предположениях равенства нулю левых и правых частных индексов матрицы-функции задача построения ее приближенной факторизации или близкая к ней задача приближенного решения характеристической
Аннотация
G(t) = G+ (t)A(t)G- (t), A(t) = diag{tK1 },
(1)
системы сингулярных интегральных уравнений рассмотрена в работах [4-7] и др., а для эрмитовой положительно определенной матрицы-функции - в [8]. Введем следующее
Определение. Факторизацию Н^-непрерывной матрицы-функции Г(Ь) назовем приближенной факторизацией Н^ -непрерывной матрицы-функции О(Ь), если матрицы-функции Г(Ь) и О(Ь) близки (по норме Н^(Г)) и их частые индексы совпадают.
Пусть О(Ь) - Нм-непрерывная на Г матрица-функция второго порядка, определитель которой и хотя бы один ее элемент не обращаются в нуль на контуре. В работе автора [9] было получено представление О(Ь) = Г+(Ь)Оо(Ь)Г-(Ь), в котором матрицы-функции аналитически продолжимы в соответствующие области
конечной плоскости, а матрица-функция Оо(Ь) имеет нулевой суммарный индекс и представима в виде
1 а+(Ь)
а-(г) 1 + а+(г)а-(г)
Со(Ь)=[ ^ , , Ь (2)
где а+(Ь) и а (Ь) - Нм-непрерывные предельные значения функций, аналитических в Б+ и Б- соответственно. Легко видеть, что представление
г т= ( 1 °\[1 а+(Ь) Го (Ь) = [а-(г) 1Д0 1
дает правую факторизацию матрицы-функции (2) с правыми частными индексами К = К = 0. Поэтому в дальнейшем под факторизацией матрицы-функции (2) будем понимать ее левую факторизацию.
Известно, что любую функцию, аналитическую в области Б+ на любом вложенном компакте, можно равномерно приблизить полиномами от г, а в области Б- -полиномами от 1/г. Осуществляя подобные аппроксимации, придем к матрице-функции
Н т=( 1 Мп® ) (3)
пи \^(1/г) 1 + Мп(г)кп(1/г))' к>
Элементы матрицы-функции (3) содержат полиномы
Мп(г) = ьпгп + ъп-Пгп-1 + ■ ■■ + ъ^ь + Ьо,
ЛГ /-Л п "п-1 . I 1 I
=--\--г + ■ ■ ■ \---\ а0
п > гп 1 гп-1 1 1 г 1 0
(4)
и аппроксимируют в некотором смысле соответствующие элементы матрицы-функции (2). Ограничимся лишь случаем, когда Г - единичная окружность, а полиномы (4) - частичные суммы рядов Тейлора, равномерно сходящихся внутри и вне единичного круга к функциям а±(г), аналитическим в соответствующих областях и являющимся аналитическими продолжениями Нм -непрерывных функций а±(Ь). Таким образом, нам нужно выяснить, при каких условиях факторизация матрицы-функции (3) дает приближенную факторизацию матрицы-функции (2). Прежде чем ответить на поставленный вопрос, нужно факторизовать саму матрицу-функцию (3). В работе [10] получена формула для вычисления правых частных индексов матрицы-функции, транспонированной к Нп, используя размерность ядра линейного оператора, матрица которого составлена из коэффициентов полиномов (4). Алгоритм построения факторизационных множителей сводится к решению соответствующих линейных алгебраических систем. Очевидно,
этот результат решает поставленную задачу отыскания левых частных индексов матрицы-функции Нп и построения ее факторизации. Однако, ставя перед собой цель выделения классов матриц-функций (2), имеющих нулевые частные индексы, и получения их приближенной факторизации, приведем иной метод построения факторизационных множителей матрицы-функции (3), позволяющий реализовать вычислительную схему для любого числа п и обосновать ее сходимость. Отметим также, что даже простые иллюстрирующие примеры, приведенные в конце настоящей статьи, позволяют расширить известные классы таких матриц-функций, а в перспективе рассмотреть возможность построения некоторого подобия их спектральной теории.
Построение приближенной факторизации. Нетрудно убедиться в справедливости следующего матричного равенства:
Hn(t)
1 0
ao 1
t 0 01
10
an-i 1
1 ъп 01
t 0 ) 1 10
0 1 л an 1
0 \ ( 1 bn-1^
1 I 0 1
(10/t 1
1 bo 01
Введем следующие обозначения:
нп
1
ъ
Fn(t)
t 0\ Hn(t) (1/t 0 0 1 H (t) 0 1
(5)
нт (t) =
1
an — n
Fn-i(t)
(Hn — Hn),
(6)
к = 0, 1,...,п — 1; т = 1, 2,...,п.
Суммарный индекс матриц-функций (5), (6) равен нулю, поэтому их частные индексы отличаются лишь знаком (к = — к). Исходя из свойств факторизации, нетрудно показать, что частные индексы матрицы-функции не меняются при умножении ее слева и справа на постоянные невырожденные матрицы. Кроме того, пользуясь произволом в выборе крайних факторизационных множителей Н±= \\к±(¿)||, г] = 1, 2 [2, с. 35], всегда можно взять такую факторизацию (1) матрицы-функции Н(¿), для которой выполняются неравенства
^12(0) — 0, h+(0) — 0; h-1 (то) —0, h-(то) —0.
(7)
В случае, когда частные индексы Н(¿) равны нулю, наряду с неравенствами (7) можно считать выполненным равенство
h+i(0)—0.
(8)
Выясним теперь, при каких условиях матрицы-функции Fj(t) будут иметь нулевые частные индексы, и построим их факторизации. Рассмотрим определенную в (6) постоянную матрицу HJ — HJ+ HJ , — Hh^'0 ||, i,j — 1,2. Вводя
обозначения Aj — hiji'0] — an, Bn — h^2'0] — bn и учитывая условие (8), факторизацию Hn(t) с нулевыми частными индексами запишем в виде
нп
10 01
1
An \An
Bnn
1 + AnnBn,
х
х
0
a
n
bn—m
Тогда при выполнении условия А" = 1 + АПБП = 0 факторизация матрицы-функции Fq(í) с нулевыми частными индексами имеет вид
Fn(t) =
1 Бщг/АЛ í 1/А
К
-i
0
А"
Рассмотрим матрицу-функцию H"(t), определенную в (6) при k = 0, m = 1. Пола-
гая i
h
[n,i] + 21
an-1, БП-1
h
[n,1]-12
An
bn-1 и обеспечивая выполнение
условия (8), факторизацию этой матрицы-функции возьмем в виде
/(А" - An_Bnt)/А" Bnt/А" \
1 \ -ап-АП_Bnt/An (А" + an-Bt)/А" *
1/А
Б"- 1/А
(А"_1 + АПАПЬ-1)/А" {[А"]2 + АП-1БП-1 + ЬП-АП&ПЬ-1)/А.
Тогда при выполнении условия Ап_ 1 = [АЩ]2 + Ап_ 1В1 = 0 факторизацию матрицы-функции Г"(Ь) с нулевыми частными индексами определит представление
((К + о^ь)/Ап (Б?ЛЬ + Б^Ь2) /Ап-1 \
гп(г) = / ) х
V ап-1Опл/Ап (Ап-1 + ап-1Б%1 Ь) /К-Х)
/
А" + C&t-1) /А.
n
п— 1
bn-1C1n1/ An-1
[(D'nt-1 + D2n1t-2) /А" (An-1 + Ьп-^ПЬ-1)/А
Здесь введены следующие обозначения:
fin л n nn nn ~Dn
C1,1 = -Ап- 1бп , D1,1 = Bn-V
fl n туп лп т^ n лп
C1,1 = -Бn-1An, D1,1 = Ап-Ъ
Dh = БПАП;
D" = АПАП
(9)
Продолжая этот процесс, полагая при k > 2
к-1 к
АПП-k = h^ (0)ПАП-;+1 = Е
3 = 1 3=1
= > an-k+j-1Cn-1k-1>
БП-к = h^ ЫАП-к+1
7 - bn-k+j-1Cjr—1tk-1, 3 = 1
(10)
к-1
О0,к-1 = О0пк-1 = П Ап-3 + 1 = 0
3 = 1
и требуя, чтобы матрица-функция Нп(Ь) удовлетворяла условию (8), получим, что при выполнении условия
АП-к = [АП-к+1 ]2 + АП-кБП-к =0,
(11)
0
1
х
х
факторизация матрицы-функции Е^ (£) с нулевыми частными индексами имеет вид
/к к
П Ап-3+1 + Е с7,к^ 3 = 1 8=1
=
ПА
3=1
п
п-3 + 1
к + 1
Е оп,к г 8=1_
Ап к
п — к
\
к-1 к — 8
к к-в + 1
Е Е ап-к+г-1сп+г,к¿8 АП-к + Е Е ап-к+г-1^п+г,к^ в=ог=1 8=1 г=1
П Ап-з+1
3=1
Ап к
п-к
X
' П Ап-з+1 + Е свпк^-8
3=1 8=1
Ап к
п-к к+1 ,
Е я^к-
8 = 1
А
3=1
п
п-з+1
к-1 к-8
Е Е Ьп-к+г-1С8+г,к-8=0 1=1_
ап к
п-к
к к-8+1 ,
Ап-к + Е 8=1 Е Ъп-к + 1-108П+1,к ^ 1=1
А
3=1
п
п-з + 1
(12)
В представлении (12) коэффициенты С"к, в = 1, 2,... ,к, , I = 1, 2,... ,к + 1,
определенным образом выражаются через Агп_з и Б^з, ] = 0,1,...,к, а коэф-
п-з 1
фициенты С^, Б1гк получаются соответственно из С^к, Б^к, в которых ААп-3 и Бгг1_з, переставлены местами. В самом деле, согласно (6), (12) матрица-функция
Нк+1 (*) =
10
\0,п-к-1 1' Ек()
1 Ьп-к-1 01
при выполнении условий Ап- =0, ] = 0,1,... ,к, факторизуется также с нулевыми частными индексами. Вводя обозначения
Ап = Ь
Ап-к-1 = Ь21
= ; [п,к+1] +
к+1
(0) П Ап-3 + 1 = ^ 0п-к+3-2С3-1,к,
3=1 3=1
пп = 7 [п,к+1] / )Ап
Бп-к-1 = Ь12 (ж)Ап-к
к+1
У^bn-k+з^-2Cз—1,к
3=1
(13)
сп,к = сп = П А
П
п-3+1
3=1
которые получаются из (10) увеличением индекса к на единицу, элементы факто-
Ь[п, г3
ризации Ь1"'к+1] (£), г,] = 1, 2 запишем в виде
Ь
[п,к+1] + 11
П
3=1
Ап
Ап-3+1
П
3=1
А
п-3+1+
8=1
X
8
Ь
[п,к+1] +
12
к+1
[Ап - к ]-1Е Бгп,к *8;
8=1
Ь
[п,к+1] + 21
А
3=1
п
п-3+1
к-1
к-8
Х Ап-к-1 + 53 0п-к-1Сп,к + 53 0п-к+1-1Сп+1,к ) ^ + 0п-к-1Ск, к
8=1
1 = 1
[п,к+1]+ = [Ап-к]-1 х
22
к-8+1
Ап-к + 53 0п-к-1Бп,к + 53 °п-к+г-1Бп+1,к ) ^ + 0п-к-1Бк+1,к*
п к+1
8=1
1=1
Ь
[п,к+1]" 11
[Ап-к]-1 Щ Ап-3+1 ^ С8пк*-3=1 8=1
[п,к+1Г = [Ап_к ]-1х
12
к1
к8
Х Бп-к-1 + 53 Ьп-к-1С8пк + 53 Ьп-к+г-1С8+г,П * 8 + ьп-к-1Скпк* к
г=1
Ь
[п,к+1]-21
к А
3=1
п
п-3 + 1
к+1 8=1
Ь
[п,к+1]" 22
ПАп-3+1
3=1
1
к-8+1
Ап-к + XI ьп-к-1Б8,к + 53 Ьп-к+г-1Б8+г,к * 8 + ьп-к-1Бкк+1,к* к 1
г=1
Чтобы удовлетворить условию (8), умножим матрицу-функцию Н^^) справа на матрицу
/ 1 0\
т
Ап
Ап-к-1
\
А
3=1
п
п-3+1
1
1
/
а матрицу-функцию Нп+1 (*) - слева на Т 1. Тогда элементы факторизации матрицы-функции Нп+1 (г) = Нп+1 (*)Нп+1(*) примут вид
Ь
[п, к+1] + 11
+1
Ап
п-3+1
3=1
+1
П Ап-3+1 + 53(СпкАп- к — Бп,кАп-к-1)*8 — Бп+1,кАп-к-1*^ ;
3=1
1
X
X
X
X
1
X
X
[п,к+1] +
к + 1
Ь^1 = А-к ]Б1к Ь";
8=1
Ь
[п,к+1] + 21
к — 1 к — в
к+1 п
3=1
Ап
Ап-3 + 1
53 ап-к-1(Ов,к А-к — Б8,к Ап-к-1)Ь>> +
в=1
к+1
+ ^53 ап-к+1-1(Оп+1,к Ап-к — Бп+1,к Ап-к-1)Ь>> - Ап-к-153 ап-"Бк + 1,кЬ
1
в=1 1=1
Ь
[п,к+1] +
22
= [Ап-к]-1 х
к-в + 1
Ап-к + 53 ап-к-1Бп,к + 53 ап-к+1-1БГ+1,к ) Ь" + ап-к-1Бк+1,кЬ
п к+1
=1
1=1
ь^" = [Ап-к ]-1 Ш АПп-3+1 + Т. Овпь
3=1
Ап,к+1] _ г дп 1-1, Ь
12
= [Агп-к ]-1х
к-1
к—з
К-к-1 + 53 Ьп-к-1Овпк + 53 Ь
Ьп-к+1-1Ов+1,к
Ов+1,к I Ь " + Ьп-к-1О к,кЬ
'п л-к \ .
в=1
1 = 1
Ь
[п,к+1]-21
к+1 П
3=1
Ап
Ап-3+1
к к
Ап-к-1 ]3[ Ап-з + 1 + ^^ {р^к Ап-к-1 + Б в,к Ап-к) Ь " + Бк + 1,к Ап-кЬ к '
3=1
Ь
[п, к+1]- = 22 =
+1 п
3=1
Ап
Ап-3+1
[А
п ]2 п
п 1 Вп 1
+ 53 Ьп-к-1 (Ов п ЛЩ-к-1 + Б'п Ап-к )Ь-в +
8=1
к— 1 к —в
к+1
8=11=1
п ,-в
+ УЗ У^;Ьп-к+1-1(Ов+1,к Лп-к-1 + Бв+1,к Ап-к )Ь 8 + Ап-к 53 Ьп-вБк+1,кЬ
1
Значит, при выполнении условия
Ап~к~ 1 = [К-к ? + лп-к-В-к-1 = 0
(14)
1
х
X
1
X
X
1
элементы /|"'к+1] (*), = 1, 2, факторизации матрицы-функции Ек++1 (*) с нулевыми частными индексами можно записать, изменяя, где необходимо, индекс суммирования на единицу и учитывая вытекающее из (13), (14) равенство Ап_к_ 1 — — Ап-к- 1Б'п_к_ 1 = [Ап_к]2, после сокращения на Ап_к, следующим образом:
Ап,к+1] + /11
к+1
П Ап -3+1
3=1
1
'к+1
П Ап-3 + 1 + 53(С"кАп-к — Б8,кАп-к-1)^8 —Бп+1,кАт-к-^
,к+1
3=1
8=1
/ К^Ф = [дп ]-1
/12 = [Ап-к-1] Х
к+1
Бп-к-111 аП-3+1* + Т,(С8-1,кБп-к-1 + Б8-1,к Ап-к )*8 + Бп+1,к Ап-к*к+21 ;
3=1
[п,к+1]+ /21
к+1
П Ап-3+1
3=1 к-2 к-8- 1
1
к-1
Е
,8 = 0
0п-к-1 (С8+1,к Ап-к — БГ+1 ,к Ап-к-1)8 +
+ Е Е 0п-к+г-1 (Сп+г+1,кАп-к — Б п+г+1,каП-8-1)*8 —
8=0 г=1
— Ап-к-153 0п 8 1 ^Бп + 1 ,к*8
=0
/22
[п'к+1] = [Ап-к-1] Ч Ап-к-1 + Е 0п-к-1( Сп, кБп—к—1 + Бп,кАп-к )*8 +
к-1 к-
к+1
+ ЕЕ °п-к+г-1(Сп+г,к Бп-к-1 + Б п+1,к Аn-k)t 8 + Е 0п-8 Бк+1,кАп — к * 8 );
8=1 г=1
=1
[п,к+1Г = [Ап_к- 1]-1х
11
к+1
П Ап-3 + 1 + УЗ(С8пк АП-к — БГ,кБп-к-1)* 8— Бк+1,кБп-к-1* к 1
3=1
=1
[п,к+1]-/12
к-1
= [Ап-к-1] 1 Е Ьп-к-1(С8 +1,к Ап-к — Б8+1,кБ1п—к —8 +
=0
к-2 к- -1
+ Е Е Ьп-к+г-1(С8+г+1,каП—к — Б8,+г+1,кБk-k-l)t 8
)——
8=0 г=1
— ^-к-! Е Ьп-8-1Бк + 1,к * 8 0
X
X
X
X
[п,к+1]-121
к+1
А
3=1
п
п-3 + 1
к+1
Лп
Лп к 1
А
п
п-3+1
Ь-1+
3=1
<-к-1 + Бвп-1,к Ап-к )Ь-в + Б
п Д П л / к+1,к Ап-к Ь
к2
1
, [п,к+1]-122
к+1 п
3=1
Ап
Ап-3+1
1(
Ап-к-1+
к
Е
8 = 1
Ьп-к-1(Ов,к Л
п *п + блап
п-к-1
8,к п-к
)ь-8+
к — 1 к — 8
к+1
+ ХХ Ьп-к + 1-1(О8 + 1,кЛп-к-1 + Б8П+1,к Ап-к )Ь 8 +53 Ьп-8Бк+1,кАп-кЬ Ч . 8 = 1 1 = 1 8=1 )
Покажем, что факторизация матрицы-функции Г^+^Ь) имеет вид (12). Действительно, введем обозначения
О
8,к+1
Оп Ап Бп Л
8,к п-к
8,к Лп-к-1,
1,...,к;
_ глп лп
Ок + 1,к+1 = Бк+1,к Лп-к-1,
пп Б1,к+1 = Вп-к-1
А
п, п-3+1,
3=1
тлп _ /-т туп I пп лп
Б8,к+1 = О8-1,к Вп-к-1 + Б8-1,к Ап-к,
2,3,...,к + 1;
Бп = Бп Ап ;
Бк+2,к + 1 = Бк+1,к Ап-к ;
п _ у^пдп П п тэп
О8,к+1 = О8,кАп-к — Б8,к Вп-к-1,
(15)
п _ ГЛ п туп
Ок + 1,к+1 = Бк+1,к Вп-к-1,
Б п = Лп Б1,к+1 = Лп-к-1
Т\Апп-3 + Ъ
3=1
БГ,к+1 = О8п 1,к Лп~к~ 1 + Б8Г- 1,к Ап-к, в = 2, . . . ,к + 1;
Б п = Б п Ап .
Бк+2,к + 1 = Бк+1,к Ап-к .
Поскольку элементы факторизации /11к+1 (Ь), /
[п,к+1]± 22
[п,к+1]-
(Ь), а также соответствующие элементы /[п'к+1 (Ь), /^п'^1 (Ь) и /2п'к+1 (Ь), /п'^1 (Ь) матриц-функций Гп+1(Ь) имеют одинаковую структуру, если отбросить первый множитель, достаточно показать, что элементы матрицы-функции Рп+^Ь) имеют вид (12). С учетом обозначения (15) элементы /1^'к+1 (Ь) и к+1'] (Ь) могут быть записаны следующим образом:
Ап, к+1] + 111
Ап, к+1] + /12
+1 п
3=1
Ап
Ап-3+1
1
+1
А
3=1
+1
п-3+1 + О8п, +1Ь8 8=1
+2
[Апп- -1]-1 Б
п Ь8
8, +1
8=1
в
в
в
то есть они имеют вид соответствующих элементов (12), в которых индекс к увеличен на единицу. Рассмотрим элемент /2п'к+1] (*). Используя обозначения (15) и выделяя в последней сумме слагаемые с индексами в = к — 1 и в = к, получим
[п,к+1]+ = /21 =
к+1
Ап
п-3+1
3=1
к1
УЗ 0n-k-1C8k+1,k+1 *8 +
к-2 к-8-1 + УЗ УЗ 0n-k+l-1C8k+l + 1,k+1t8 +
8=0 г=1
к-2
+ УЗ 0n-8-1Ck+1,k + 1t8 + 0п-кCk+1,k+1tk 1 + 0n-k-1Ck+1,k + 1tk I 8=0
л[п,к+1] + /21
к+1
А
3=1 к-2 к — 8
п
п-3 + 1
' к-1
УЗ 0п—к—1С8+1,к+1 *8 +
8=0
+ УЗ УЗ 0n-k+г-1Ckг+г + 1,k+1t8 + 0n—kCk + 1,k + 1t'k 1 + 0п —к—1^k'+1Jk+1tk ) .
8=0 г=1
Заменяя в двойной сумме индекс суммирования I на I — 1 и внося в эту сумму предпоследнее слагаемое, будем иметь
[п,к+1]+ /21
к+1 П
3=1
Ап
Ап-3 + 1
(к — 1
УЗ 0п-к-1С8+1,к+1 *8 + 8=0
к-1 к-8+1
+ УЗ УЗ 0n-k+l-2Ck+l,k+1t8 + 0n-k-1Ck + 1,k+1t8 8=0 1=2
Тогда
[п,к+1]+ /21
к+1 П
3=1
Ап
Ап-3 + 1
1
к-1
8=0
0п-к-1Сп+11к+1 +
к—8+1 \
+ 53 0n-k+l-2Ckk+l,k + 1)t8 + 0n — k—1Ck + 1,k+1tk 1 1=2 /
к+1
А
п-3+1
3=1
' к— 1 к —8 + 1
УЗ УЗ 0n—k+l — 2C8s+l,k+1t8 + 0n-k-1Ck'+1,k+1t8 ,8=0 1=1
откуда окончательно получаем, что элемент
1
[п,к+1]+ /21
к+1 А
3=1
п
п-3 + 1
к к —8 + 1
УЗ УЗ on-k+l-2сkг+l,k+lt, 8=0 l=1
1
или
1
1
имеет вид соответствующего элемента (12), в котором индекс к увеличен на единицу.
Рассмотрим теперь элемент + ] (*), который согласно (15) запишется следующим образом:
/2п,к+1]+ = [Ап-к-1]-М Ап-к-1 + Е 0n-k-lБn+hk+lt8 +
8=1
к-1 к-8 к+1
+ УЗ УЗ 0n-k+l-1Бn+l + 1'k + 1t8 + 53 0п—8Бп+2'к + 1*8 ) .
8=1 l=1 8=1 /
Меняя в двойной сумме индекс суммирования I на I — 1 и вынося из-под знака последней суммы слагаемые с индексами в = к, в = к +1, получим
+ ( к
/^п'к+1] = [Ап —к—1] —1 ( Ап —к—1 + 53 0п-к-1Б''п+1,к+1Ь8 + V 8=1
к-1 к-8+1 к-1
+ Е 53 0п — 8+1 — 2Бn+l'k+1t8 + 53 8 = 1 l = 2 8 = 1
г, Т">п +к, тлп -/-к+1 |
+ 0п—к Бк+2,к + 1 + 0п—к — 1Бк+2,к+1 .
Объединяя последнюю сумму с двойной, будем иметь
+к
/^п'к+1] = [Ап-к-1]-Ч Ап —к—1 + 53 0n-k-1Бn+1'k+1t8 + V 8=1
к-1 к-8+2
к-1 к-8+2
+ УЗ УЗ 0n-k+l-2Бn+l'k+1t8 + +0п-к Бk+2'k + 1tk + 0n-k-1Бk+2'k+1tk+1 К 8 = 1 =2 )
l
откуда
/2п,к+1]+ = [Ап-к-1]-1 Ап-к-1 + Е от-к-1Бп+1к+1Ь8 + V 8=1 к к-8+2
+ Е 53 0n-k+l-2Б8+l'k + 1t8 + 0n — k—1Бk+2'k + 1t8
(к к—8+2
Ап —к —1 + Е 53 0n-k+l-2Б8k+l'k+1t8 + 8=1 l=1
к+1к—8+2
+ 0n—k — 1Бkk+2'k+1tk + 1) [Ап —к—1] 1 (Ап—к—1 + Е 53 0n—k+l — 2Бn+l'k + 1t8 ).
8 = 1
Значит, элемент /2п' + ] (*) также имеет вид соответствующего элемента (12), в котором индекс к увеличен на единицу. Поэтому справедлива
Лемма. Пусть для всех к = 0, 1,...,п — 1 выполнены неравенства (11) (Ап+1 = 1), в которых постоянные АП—3, БП—3, ] = 0, 1,...,п — 1, определены в (10), а коэффициенты Спк, Спк, Бп к, Б8пк, ] = 1, 2,...,п — 1, в = 1, 2,...,п,
или
заданы рекуррентными соотношениями (9), (15). Тогда факторизация матрицы-функции (3) имеет вид Нп(Ь) = Н+(Ь)Н-(Ь), где
Н+(Ь)= Ц 0) Рп-1(Ь), Н-(Ь) = ГШ^Ь)^ Ь°) , (16)
а Гп±1(Ь) определены в (12) при к = п — 1.
Основной результат работы сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1. Пусть для матрицы-функции (3), аппроксимирующей матрицу-функцию (2), существует положительная постоянная г такая, что при всех з.значениях п выполняются неравенства \Ап \ > г, к = 0,1,...,п — 1, левые части которых определены в (11). Тогда частные индексы матрицы-функции (2) равны нулю и факторизация матрицы-функции Н (Ь) , где число п, зависит от точности приближения, определенная формулами (12), (13), (15), (16) при к = = п — 1 дает ее приближенную факторизацию.
Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы несколько изменим схему рассуждения, изложенного в [2, с. 46]. Пусть ~^(г) = (г),1Л2(г)) -исчезающее на бесконечности решение задачи линейного сопряжения
w+(Ь) = Оо(Ь^-(Ь), Ь е Г. (17)
Перепишем это условие в виде ж+(Ь) = Нп(Ь)ж-(Ь) + (О0(Ь) — Нп(Ь))ж-(Ь). Пусть Хп(г) - каноническая матрица, соответствующая матрице-функции Нп(Ь) = = X +(Ь)[Х-(Ь)]-1. Тогда
Х+(Ь)]-^+(Ь) = [Х-(Ь)]-^-(Ь) + g(t),
g(t) = [Х+(Ь)]-1 (Оо(Ь) — Нп (Ь))Ъ-(Ь).
Поскольку частные индексы матрицы-функции Н (Ь) равны нулю, вектор [Хп(г)]-1ж(г) исчезает на бесконечности. Записывая граничные значения решения последней задачи линейного сопряжения и оценивая их по норме Н^(Г), с учетом (17) получим
№+(Ь)\\ < 2\\С-1(Ь)\\ (1 + 8К\\Х+(Ь)\\ ||[Х+(Ь)]-1||) \\Со(Ь) — Нп(Ь)|| №+(Ь)\\,
К-(Ь)|| < 2 (\а-1(Ь)\ + 4К\\Х-(Ь)\\ \\[Х + (Ь)]-1\\) \\Со(Ь) — Нп(Ь)\\ \^-(Ь)\\,
где К = К (Г, ¡¡) - постоянная, возникающая при оценке нормы сингулярного интеграла. В работе [12] получены оценки для погрешности аппроксимации полиномами. Используя эти оценки, можно сделать вывод, что из равномерной сходимости последовательности полиномов к функции класса Н^(Г) со скоростью сходимости п-^, следует сходимость по норме Ни для 0 < V < Так как ряды Тейлора функций а±(г) равномерно сходятся всюду в \г\ < 1 и \г\ > 1 соответственно, то, записывая их на единичной окружности в виде соответствующих рядов Фурье согласно [13, с. 81], для их коэффициентов ап, Ьп получим оценки \ап\ = 0(п-^), \Ьп \ = 0(п-^). Чтобы получить оценку для скорости равномерной сходимости тейлоровских разложений а±(г), согласно принципу максимума модуля достаточно получить оценку скорости равномерной сходимости частичных сумм (Ь) соответствующих рядов Фурье. В монографии [13, с. 110] доказано, что для функций /(Ь) класса Нц, \5'п(Ь) — /(Ь)\ = 0(п-^ 1пп). При этом множитель 1пп появляется лишь при оценке первого интеграла, полученного в процессе доказательства
теоремы 10.1 [13, с. 107] (в оценке остальных слагаемых этот множитель отсутствует). Покажем, что при дополнительном условии аналитической продолжимости H^ -непрерывной функции f (t) во внутренность или внешность единичного круга при оценки скорости сходимости \Sn(t) — f(t)\ от множителя lnn удается избавиться. В самом деле, речь идет об оценке интеграла
п
I =1 Г \y(s) — <f(s + П)\п = П s ' n
п
в котором
Ф) = ö[f(el(x+s)) + f(ei(x-s)) — 2f(eix)].
Вводя обозначения т = в1Х, Ь = вгв, ш = вгГ1, получим
= 1 /(т£) + / (£) - 2/(т)] , ^ + П) = 2 /(Ш + / (Ш^) - 2/(т)
Пусть, например, функция /(£) аналитически продолжима во внутренность единичного круга. Так как \т| = \ш\ = 1, функции /(тЬ) и /(тшЬ) по переменной Ь аналитически продолжимы в \г\ < 1, а функции /(т/Ь) и /(т/шЬ) - в \г\ > 1 и представимы там и на единичной окружности рядами
f (Tt)
Е
k=Q
CfcTfctfc, f(TUt)
k=Q
Ck T k(ut)k,
/©=£=£ к•
к=0 к=0 Тогда ф) - ф + П) = (ш - 1)/1(Ь) = в1п(п/2)/2(Ь), где / = 0(1), г = 1,2, в окрестности Ь = ш. Значит, \у(в) - + п)\ = 0(п-1) и I = 0(п-1 1пп). Поэтому \^п(Ь) - /(Ь)\ = 0(п-^). Случай аналитической продолжимости /(Ь) во внешность единичного круга рассматривается аналогично. Таким образом, матрица-функция Нп(Ь) сходится к матрице-функции (2) по норме Н^(Г)• Учитывая, что определители матриц-функций Оо(Ь), Х±(Ь) равны единице, получим ||Со(Ь)|| = УС-1(Ь)У, ||Х±(Ь)|| = ||[Х±(Ь)]-1|^ Кроме того, из равенства
1 оА /1 Ып(гу
H (t)-( 1 M"(t)\ Hn()= \Nn(1/t) 1Д0 1 )
вытекает, что ||Нп(Ь)|| < 2шах{1, ||а-(Ь)| + еп, ||а+(Ь)| + е'п}, где еп, е'п стремятся к нулю с ростом п• Покажем, что ||Х+(Ь)|| и ||(Ь)| ограничены сверху равномерно по п. Действительно, из оценок ||Х±(Ь)|| < 2||Нп(Ь)|| ЦХ^ (Ь)|| следует, что ||Х+(£)|| и Ц^Х,- (Ь) | могут расти лишь одновременно. Поэтому достаточно показать ограниченность ||Х+(Ь)| = ||Н+(Ь)|| для всех значений п. Рассмотрим матрицу-функцию Нт(Ь), аппроксимирующую матрицу-функцию (2) при помощи полиномов степени т (т > п) и определенную формулами (3), (4), в которых п заменено на т. Соответствующая матрица-функция 1 (Ь), имеет вид (12) при п = т,
к = т - 1. Рассмотрим любой ее элемент /{т'т-1] (г). Он аналитически продолжим во внутренность единичного круга и аналитически зависит от коэффициентов ак, Ък, к = 1, 2,... ,т, полиномов (4), которые мы временно будем считать переменными. Таким образом, в поликруге {\г\ < 1, \ак\ < гк, \Ък\ < гк, к =1, 2,..., т} функция
с[m,m—1] + / ч с[m,m— 1]+/ т т
Jij (z) = Jij (z,ai, ... ,ап; bi,...,bn; ап+ь .. ..
am
bn+1
,...,bm)
голоморфна по каждой переменной и ограничена в силу того, что элементы последовательности \Агт_к \, к = 1,2,...,т — 1 отделены от нуля. Согласно [14, с. 281] отсюда вытекает ее непрерывность по совокупности переменных в указанном поликруге. Легко видеть, что при ап+1 = ■ ■ ■ = ат = 0, Ьп+1 = ■ ■ ■ = Ьт = 0 матрица-функция Г^- 1(Ь) становится матрицей-функцией ГШ_ 1 (Ь), поэтому
^ 1]+ (г, а1,...,ап; Ьь ... ,Ьп;0,..., 0;0,..., 0) =
/г
[пп-1] +
(г,а,1,..., ат; Ь1,...,Ьп) = /г
[п,п-1] +
(г), \г\ < 1.
Значит, она непрерывна в точке (а,1,..., ап; Ь1,... ,Ьп;0,..., 0;0,..., 0) равномерно относительно г при \г\ < 1. Таким образом, для любого е > 0 при достаточно малых \ап+1\,..., \ат\ и \Ьп+1\,..., \Ьт\ справедливо неравенство
/1"1,т 1] (г,а1 ,...,ап; Ь1,...,Ьп; ап+1, ... , ат ; Ьn+1, . . . ,Ьт) —
— /г
[п,п-1] +
(г)
< е,
(18)
которое выполняется равномерно относительно г в единичном круге. Так как коэффициенты полиномов (4) с ростом п стремятся к нулю, то, начиная с некоторого номера п, условие малости коэффициентов ап и Ьп будет выполнено и оценка (18) окажется справедливой для всех г в единичном круге \г\ < 1. Если т < п, то матрицы-функции Гт+1 (Ь) и ГШ+1(Ь) меняем местами. Таким образом, элементы матрицы-функции Гп_1(Ь) порождают равномерно сходящиеся последовательно-
сти /г
[п ,п-1] +
(г) и /г
[п ,п -1]
(1/г) полиномов от г и 1/г, пределом которых явля-
ются функции /±(г), аналитические в соответствующих областях и имеющие на
Г непрерывные предельные значения /± (Ь). Используя (3), (16), получим
К\(Ь)
1
—а,о
1
Нп(Ь)
1 —Ьо 01
к! 1(ь)
1
(19)
Переходя в (19) к пределу при п ^ ж, придем к справедливости на Г равенства
Г +(Ь)
1
—а,о
Оо(Ь)
1 —Ьо 01
Г-(Ь),
(20)
в котором элементами матрицы-функции Г±(Ь) являются предельные функции
1
Г
-
(Ь)
а матрица-
соответствующих элементов матрицы-функции т_1(Ь) и функция Оо(Ь) определена в (2). Значит, кусочно-аналитическая матрица-функция Г (г) = {Г+(г), г е Б+; Г- (г), г е Б-} определяет систему двух решений задачи линейного сопряжения (20). Поскольку любое решение задачи линейного сопряжения с Нм-непрерывной матрицей имеет на Г предельные значения, которые также можно считать принадлежащими классу Н^(Г) [2, с. 29-30], функции /±(Ь), г,] = = 1, 2, будут принадлежать этому классу. Поэтому элементы матрицы-функции Гп_1(Ь) являются частичными суммами рядов Тейлора, равномерно сходящихся внутри и вне единичного круга к Н^-непрерывным функциям /±(Ь), г,] = 1, 2, аналитически продолжимым в соответствующие области со скоростью сходимости п-^. Отсюда вытекает их сходимость по норме Н^(Г), а значит, ограниченность \\Х +(Ь)\\ и \\Х-(Ь)\\ не зависящими от п постоянными К1 и К2 соответственно. Таким образом,
+
(Ь)\\ < 2\\Со(Ь)\\ (1 + 8КК*) \\Со(Ь) — Нп(Ь)\\ \\™+(Ь)\\
0
< 2(||Со(Ь)|| + 4КК1К2) ||6о(Ь) - Нп(Ь)| |^-(Ь)||.
Значит, если п взять таким, что ||С0(Ь) - Нп(Ь)|| < 1/2||С0(Ь)|| (1 + 8КК2) или ||60(Ь) - Нп(Ь)|| < 1/2 (||С0 (Ь)|| +4КК1К2), то |^+(Ь)|| = 0, соответственно, (Ь)|| =0 и w(г) = 0. Следовательно, задача (17) не имеет нетривиальных решений, исчезающих на бесконечности, и частные индексы матрицы-функции Оо(Ь) неположительны. Так как суммарный индекс Оо(Ь) равен нулю, ее частные индексы также равны нулю. Тогда в силу введенного определения любая факторизация матрицы-функции Нп(Ь), где значение п определяется заданной точностью приближения, дает приближенную факторизацию матрицы-функции (2). Теорема доказана. □
Пример 1. Пусть Г - единичная окружность, а матрица-функция (2) имеет вид
( 1 /(Ь) \
^^ и(1/Ь) 1 + С/(Ь)/(1/Ь)) , (21)
где /(Ь) - Н^ -непрерывное предельное значение на Г функции /(г) аналитической в \г\ < 1, с - постоянная. Тогда /(1/Ь) есть Н^-непрерывное предельное значение на Г функции /(1/г) аналитической в \г\ > 1. Полагая в (2) а+(Ь) = /(Ь), а-(Ь) = = с/(1/Ь), получим, что для матрицы-функции (3) коэффициенты полиномов (4) связаны равенствами ак = сЪк, к = 0,1,... ,п, Учитывая рекуррентные соотношения (10), (15), приходим к равенствам А"п_к = сВ^_к, к = 0,1,... ,п - 1, откуда выражения в левой части (11) принимают вид
дп-к = [Дп-к+1]2 + с[вп-к ]2. (22)
п
п-к
Кроме того, нетрудно видеть, что Дп_к представляет собой полином от с степени
т = 2к имеющий вид Дп_к = Ъ^с™1 + • • • + 1, остальные коэффициенты которого могут быть записаны на основе рекуррентных соотношений (10), (15) и являются аналитическими, а значит, непрерывными функциями коэффициентов Ъ1, I = п - к,п - к + 1,... ,п. Так как \Ъ(\ = 0(/-м), то, взяв, например, \с\ достаточно малым, можно добиться выполнения условий теоремы 1 и утверждать, что при этих значениях постоянной с матрица-функция (21) будет иметь нулевые частные индексы.
Пусть функция /(г) удовлетворяет дополнительному условию симметрии
/ (г) = / (г), (23)
которое означает, что коэффициенты Ък, к = 0,1,..., действительные. Тогда для любого натурального п и действительной постоянной с имеем В^_к, к = = 0, 1, . . . , п - 1, - действительные. Значит, при с > 0 выражения (22) будут удовлетворять условиям теоремы и матрица-функция (21) также будет иметь нулевые частные индексы. Кроме того, если Ъ - рациональные числа вида р1/д1, I = 1, 2,... (р, д - целые), то уравнения Д^-к =0, к = 0,1,... ,п - 1, будут алгебраическими уравнениями с рациональными коэффициентами. Следовательно, взяв в качестве постоянной с рациональное число, не представимое в виде дг /рв (г, в - натуральные числа), получим матрицу-функцию (21) с нулевыми частными индексами. Заметим, что при помощи постоянного преобразования подобия С?0(Ь) = diag{л/С, 1}Gо(í)diag{1/y/С, 1}, не изменяющего частные индексы матрицы-функции Оо(Ь) и последующей заменой /(Ь) = \/с/(Ь), матрица-функция С?о(Ь) может быть представлена в виде (21), в котором постоянная с =1. Поэтому при выполнении условия (23) и с > 0 матрица-функция (21) приводится к эрмитовой положительно определенной матрице-функции и равенство нулю ее частных
индексов следует также из результатов работы [15]. Однако при с < 0 матрица-функция Оо(Ь) не будет эрмитовой, и, как показывает приведенный ниже пример 3, ее частные индексы могут быть отличны от нуля.
Пример 2. Пусть на Г: \г\ = 1 матрица-функция (2) имеет вид
1 /(Ь)
Со(Ь)=[
с/ (1/Ь) 1 + с/ (Ь)/(1/Ь)
(24)
где /(Ь) также Н^-непрерывное предельное значение на Г функции /(г) аналитической в \г\ < 1, с - постоянная. Тогда /(1/Ь) есть Н^-непрерывное предельное значение на Г функции /(1/г), аналитической в \г\ > 1. Полагая в (3) а+(Ь) = = /(Ь), а-(Ь) = с/(1/Ь) и считая постоянную с действительной, получим, что коэффициенты полиномов (4) матрицы-функции (3) связаны равенствами ак = сЬк, к = 0,!,...,п. Значит, Л\- = В-к, к = 0,1,...,п — 1, и А™- = Ап^]2 + + с\Вп_к\2. Поэтому при с> 0 условия теоремы 1 выполняются автоматически. Отметим также, что соответствующая матрица-функция Оо(Ь) при с > 0 будет эрмитовой положительно определенной, а при с < 0 не является таковой. Это обстоятельство, а также возможность применения современных вычислительных пакетов для проверки условий теоремы позволяют выделять новые классы матриц-функций второго порядка с нулевыми частными индексами, что может быть проиллюстрировано на следующем примере.
Пример 3. Рассмотрим матрицу-функцию (21), удовлетворяющую условию симметрии (23), для которой /(Ь) = Ь/(Ь — 2) (Ьп = —1/2п, п = 1, 2,...). Кроме того, данная матрица-функция имеет также вид (24). Как было показано в примерах 1 и 2, при с > 0 она имеет нулевые частные индексы. Вычисления на компьютере с помощью операций точной арифметики показывают, что при с = —2.24 и с = —2.26 эта матрица-функция удовлетворяет условиям теоремы, причем в качестве постоянной г можно взять г = 0.0039. Однако при с = —2.25 имеем А15 = = 2.87548 ■ 10-14, А17 = 1.88738 ■ 10-15, а при п > 29 Ап = 5.55112 ■ 10-16, и сама матрица-функция (21) факторизуется с частными индексами к = 1,
К2 = —1, что следует из представления
/
Ь
Оо(Ь)
\ 4(1 — 2Ь)
1
Ь—2 9Ь
4(Ь — 2)(1 — 2Ь),
3(Ь — 2) \2(Ь — 2)
2Ь — 1 9
1
2Ь — 1 1
2Ь — 1 3(2Ь — 1)
Отметим также, что значение с = —2.25 в данном случае является точкой бифуркации для последовательности Ап = Ап (с).
Замечание. Условиям теоремы 1 можно придать следующую интерпретацию. Рассмотрим матрицу-функцию (2), в которой а-(Ь) заменено на са-(Ь) (с - постоянная). Тогда Ап_к будет полиномом от с степени т = 2к вида Ап_к = а^Ьтс™ + + ■ ■ ■ + 1, к = 0,1,... ,п — 1 (остальные коэффициенты этого полинома вычисляются с использованием рекуррентных соотношений (10), (15)). Поэтому условия теоремы означают, что значение с = 1 отделено от корней уравнений А к = 0, к = 0,1,... ,п — 1, для всех значений п.
1
9
2
Литература
1. Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Факторизация матриц-функций. Ч. I, II. -Одесса, 1984. - 460 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, № 2410-84.
2. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. - М.: Наука, 1970. - 379 с.
3. Гахов Ф.Д. Краевая задача Римана для системы n пар функций // Усп. матем. наук. - 1952. - Т. 7, № 4. - С. 3-54.
4. Диденко В.Д., Тихоненко Н.Я. О приближенном решении матричной задачи Римана // Изв. вузов. Матем. - 1980. - № 1. - С. 16-19.
5. Диденко В.Д. Задача приближенной факторизации матрицы и ее приложения // Матем. заметки. - 1984. - Т. 36, № 3. - С. 341-350.
6. Кадушин В.П. Об одном полиномиальном методе решения систем сингулярных интегральных уравнений // Конструктивная теория функций и функциональный анализ. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1985. - Вып. 5. - С. 43-51.
7. Золотаревский В.А. О методе коллокаций приближенного решения систем сингулярных интегральных уравнений с обращающимися в нуль символами // Изв. вузов. Матем. - 1990. - № 1. - С. 25-29.
8. Хабибуллин И.Т., Шагалов А.Г. Численная реализация метода обратной задачи рассеяния // Теор. и матем. физика. - 1990. - Т. 83, № 3. - С. 323-333.
9. Киясов С.Н. Исследование разрешимости и оценки числа решений одного класса сингулярных интегральных уравнений // Сиб. матем. журн. - 2000. - № 6. - С. 13571362.
10. Adukov V.M. On factorization indices of strictly nonsingular 2x2 matrix function // Integr. Equations Oper. Theory. - 1995. - V. 21, No 1. - P. 1-11.
11. Хабибуллин И.Т. О задаче линейного сопряжения на окружности // Матем. заметки. - 1987. - Т. 41, № 3. - С. 342-347.
12. Габдулхаев Б.Г. Об аппроксимации тригонометрическими полиномами и погрешность квадратурных формул для сингулярных интегралов // Учен. зап. Казан. ун-та. - 1967. - Т. 127, кн. 1. - С. 54-74.
13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. - М.: Мир, 1965. - 615 с.
14. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука, 1969. - 576 с.
15. Шмульян Ю.А. Задача Римана с положительно определенной матрицей // Усп. матем. наук. - 1953. - Т. 8, № 2. - С. 143-145.
Поступила в редакцию 11.10.16
Киясов Сергей Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
дифференциальных уравнений
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]
528
c.h. khscob
ISSN 1815-6088 (Print)
ISSN 2500-2198 (Online)
UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI
(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 4, pp. 511-529
Approximate Factorization for One Class of Second-Order Matrix Functions
S.N. Kiyasov
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: [email protected]
Received October 11, 2016 Abstract
Approximate factorization of Holder matrix function on a simple smooth closed contour has been defined. Components for one class of the 2 x 2 matrix function have been approximated by polynomials in z and 1/z. Sufficient conditions have been found for zero equality of the partial indices of the approximating matrix function. Factorization of the approximating matrix function has been constructed in an explicit form.
Keywords: matrix function, factorization, approximate factorization
References
1. Litvinchuk G.S., Spitkovskii I.M. Factorization of Measurable Matrix Functions. Parts I, II. Odessa, 1984. 460 p. Dep. in VINITI, Apr. 17, 1984, no. 2410-84. (In Russian)
2. Vekua N.P. Systems of Singular Integral Equations and Certain Boundary-Value Problems. Moscow, Nauka, 1970. 379 p. (In Russian)
3. Gakhov F.D. Riemann's boundary problem for a system of n pairs of functions. Usp. Mat. Nauk, 1952, vol. 7, no. 4, pp. 3-54. (In Russian)
4. Didenko V.D., Tikhonenko N.Ya. The approximate solution of a matrix Riemann problem. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., 1980, no. 1, pp. 16-19. (In Russian)
5. Didenko V.D. Problem of the approximate matrix factorization and its applications. Math. Notes Acad. Sci. USSR, 1984, vol. 36, no. 3, pp. 667-672. doi: 10.1007/BF01141937.
6. Kadushin V.P. A polynomial method for solving systems of singular integral equations. Konstr. Teor. Funkts. Funkts. Anal., Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1985, no. 5, pp. 43-51. (In Russian)
7. Zolotarevskii V.A. The collocation method for approximate solution of systems of singular integral equations with vanishing symbols. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., 1990, no. 1, pp. 25-29. (In Russian)
8. Khabibullin I.T., Shagalov A.G. Numerical realization of the inverse scattering method. Theor. Math.. Phys., 1990, vol. 83, no. 3, pp. 565-573. doi: 10.1007/BF01018024.
9. Kiyasov S.N. Study of solvability and estimation of the number of solutions for one class of singular integral equations. Sib. Math. J., 2000, vol. 41, no. 6, pp. 1121-1125. doi: 10.1023/A:1004824321098.
10. Adukov V.M. On factorization indices of strictly nonsingular 2x2 matrix function. Integr. Equations Oper. Theory, 1995, vol. 21, no. 1, pp. 1-11.
11. Khabibullin I.T. Problem of linear conjugation on a circumference. Math. Notes Acad. Sci. USSR, 1987, vol. 41, no. 3, pp. 195-198. doi: 10.1007/BF01158248.
12. Gabdulkhaev B.G. On the approximation with trigonometric polynomials and the error of quadrature formulas for singular integrals. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta, 1967, vol. 127, no. 1, pp. 54—74. (In Russian)
13. Zigmund A. Trigonometric Series. Vol. 1. Moscow, Mir, 1965. 615 p. (In Russian)
14. Shabat B.V. Introduction to Complex Analysis. Moscow, Nauka, 1969. 576 p. (In Russian)
15. Shmul'yan Yu.A. Riemann's problem for positive definite matrices. Usp. Mat. Nauk, 1953, vol. 8, no. 2, pp. 143—145. (In Russian)
/ Для цитирования: Киясов С.Н. Приближенная факторизация одного класса ( матриц-функций второго порядка // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. \ науки. - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 511-529.
/ For citation: Kiyasov S.N. Approximate factorization for one class of second-order ( matrix functions. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematiche-\ skie Nauki, 2016, vol. 158, no. 4, pp. 511-529. (In Russian)
