Приближение сфероидальных волновых функций конечными рядами Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИБЛИЖЕНИЕ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ КОНЕЧНЫМИ РЯДАМИ

Хонина С.Н.

Институт систем обработки изображений РАН e-mail: [email protected]

Аннотация

Рассматривается приближение вытянутых сфероидальных функций конечными рядами и предлагается метод вычисления коэффициентов таких рядов. Приводится численный анализ выполнения свойства инвариантности вытянутых сфероидальных функций нулевого порядка к интегральному преобразованию с sinc-ядром на симметричном ограниченном интервале.

1. Введение

Сфероидальные функции (СФ) обязаны своим появлением в математической физике разделению переменных в уравнении Гельмгольца в координатах вытянутого и сплюснутого сфероидов. До 1975 года основной областью применения СФ были задачи дифракции на вытянутом и сплюснутом сфероидах, тесно связанные с разделением переменных. Вторая область применения СФ появилась, когда была подробно проанализирована их связь с преобразованием Фурье в конечных пределах и установлено свойство двойной ортогональности вытянутых радиальных СФ. Именно благодаря этим свойствам СФ стали широко использоваться в таких областях, как теория синтеза антенн и теория изображений.

СФ представляют собой полный набор функций с ограниченной спектральной полосой, которые ортогональны как на данном конечном интервале, так и на бесконечном интервале [1]. Кроме того, СФ нулевого порядка являются собственными функциями преобразования Фурье на ограниченном интервале и интегрального преобразования с бшс-ядром на симметричном ограниченном интервале [2]. При этом собственные числа интегрального преобразования определяют количество энергии соответствующей собственной функции,

концентрирующейся на данном ограниченном интервале. Собственные числа близкие к единице показывают, что данная СФ имеет за пределами данного интервала малую долю энергии.

С помощью СФ можно формировать сигналы и изображения, которые одновременно обеспечивают наилучшую концентрацию энергии по времени и спектральной частоте [3]. Данное свойство может эффективно использоваться в системах передачи информации [4]. Аналогичными свойствами обладают вытянутые СФ двух переменных, Фурье-спектр которых ограничен кругом. Они являются собственными функциями интегрального уравнения с ядром пропорциональным произведению Бессель-функции на квадратный корень из аргумента [5]. Такое интегральное уравнение также описывает моды в лазерном интерферометре с конфокальными сферическими зеркалами круглого сечения.

Вытянутые СФ обладают также свойством самовоспроизведения при распространении в пространстве, то есть они являются собственными функциями оператора дифракции на некотором расстоянии от ограниченной апертуры [6]. Кроме того, дифракционная картина вытянутых СФ в присутствии

апертуры и без нее одинакова с точностью до константы. Метод собственных функций оптических систем с гауссовыми ограничивающими апертурами был рассмотрен при интерпретации механизмов преобразования полей оптическими Фурье-системами и системами, формирующими изображение [7].

В данной работе исследуется свойство инвариантности вытянутых СФ к интегральному преобразованию с Бшс-ядром на симметричном ограниченном интервале. Для приближенного расчета СФ используется их аппроксимация конечными рядами функций Лежандра и сферических функций Бесселя [8]. Для вычисления коэффициентов такого разложения в данной работе предложен простой алгоритм.

2. Вытянутые сфероидальные функции

Сфероидальные координат представляют собой вращательно-симметричные координаты и могут быть получены вращением вокруг осей симметрии плоской эллиптической системы координат, состоящей из взаимно ортогональных софокусных эллипсов и гипербол. Вытянутые сфероидальные координаты возникают при вращении вокруг большой оси эллипсов, координатными поверхностями служат софокусные вытянутые эллипсоиды вращения и двуполостные гиперболоиды. При этом фокусы плоской эллиптической системы координат остаются на месте. Вытянутые сфероидальные координаты

ц, р связаны с декартовыми координатами точки x, у, z следующими формулами:

x = у((^2 -1)(1 -П2))1/2 СОБр = рсобр

У = -2((#2 - 1)(1 -П2))1/25Шр = рБШр (1)

й р z = у ^

где й - расстояние между фокусами, £е(1, ^), пе(- 1,1) ре[0,2я-].

Волновое уравнение в вытянутых сфероидальных координатах:

V 2 Ф + к 2 ф = —|^2 -1)—1

#2 -П

д2 Ф

+i[(l-П v^

+ с2(#2 -п2)Ф = 0 где c=kd/4, k - волновое число.

(2)

+

Положим, что [8]

Ф = Ктп (с,%)$тп (с,п)ехр(тр). (3)

Тогда радиальное решение Ятп(с,ф и угловое решение 8тп(с, п) будут удовлетворять дифференциальным уравнениям:

_0_

ад

(

(#2 -1)Ятп (с,& ад

,,,2 А

(4)

X.

-С2&2 +

тп

д2 -1

Ктп (с,д) = 0

а_

ап

(

+

(1 -п2)а~^тп (с> п) ап

Л А

(5)

хт

2 2 ■с п

т

£тп (с,п) = 0

где хтп - постоянные разделения.

В данной работе рассматриваются вытянутые угловые и радиальные функции первого рода, имею-

щие вид:

ятП(с,д)=

X (2т +г)! агтп(с)

V

г=0,1

г!

,(6)

(д2 -1А"2

&

■г+т-п (2т + г)! 1 тп ґ ч ■ , гч

X 1 —“—а г (с) ]п (&)

г=0,1

г!

ии

^(с,п) = X агтп (с) Ртт+г (п),

(7)

г=0,1

где ]п(х) - сферическая функция Бесселя, РЩ1 (х) -присоединенная функция Лежандра первого рода, суммирование выполняется либо по четным, либо по нечетным значениям г в соответствии с четностью п-т.

Для коэффициентов в (6), (7) выполняются следующие рекуррентные соотношения [8]:

а^с) + (вг - Хтп)йтп(с) + Ггйгтп2(с) = 0,

йЩ2п (с) = йтп (с) = 0,

= (2т + г + 2)(2т + г +1) 2

аг с ,

(2т + 2г + 3)(2т + 2г + 5) вг = (т + г )(т + г +1) +

+ 2(т + г)(т + г +1) - 2т2 -1 2

(8)

(2т + 2г - 1)(2т + 2г + 3)

Гг =

г(г -1)

(2т + 2г - 3)(2т + 2г -1)

-с2.

Выражения (8) определяют коэффициенты йгтп (с) с точностью до множителя, который задается нормировкой вытянутых СФ.

Для вытянутых СФ нулевого порядка выполняется уравнение вида [9]:

1 8ІШ

I

(с(X - >0)

Уп (>)а> = КУп (X)-.

(9)

-1 п(х - >)

где Кп- собственные числа, уп (х) = Я0)п (с, х), либо

Уп (х) = £0п (с, х).

В [9] также приведены приближенные формулы вычисления собственных чисел Лп и хп:

для п фиксированного и с малого:

Хп = п(п +1)+-2-

1+-

1

К =■

22п (п!)2 (2п)!(2п +1)!

(2п - 1)(2п + 3)

2

с 2 + О (с 4),

с2п+! X

(10)

1-------(2п±1-2 с 2 + О(с 4)

(2п -1)2 (2п + 3)2 для п и с больших:

Хп = с + 2Ьс +

Ь2 -1 Ь2 -Ь

8с

+ О

= -

1

где Ь =

1 + ехр(пЬ)

п п

—п - с +—

2_________4

— + 21п2 + ^1п с

у=0.5772156649...

(11)

по-

22 стоянная Эйлера-Машерони.

3. Алгоритм вычисления коэффициентов

Обычно предлагаемые [8,10] способы решения системы (8) основаны на выражении:

ёгтп (с)

а

г+2

(с)

Рг Хтп + У г

а

г-2

(с)

(12)

агтп (с)

в результате последовательного применения которого получается конечная цепная дробь.

Однако этот процесс приводит к цели, только если известны собственные значения хтп(с). Действительно, для произвольных х, асимптотическое поведение коэффициентов при г ^ Ж [10]:

с2 Л1

аг =----+ 0\ —

4

вг = г2 + О(г)

Гг = Т+°(г

и отношение коэффициентов

л тп / ч

аг (с)

тп

аг+2

(с)

получен-

ное с помощью (12), убывает как

ряды (6) и

(7) расходятся. Только при специальном выборе х можно скомпенсировать рост знаменателя в правой части (12) и сделать так, чтобы отношение

тп

аг (с)

тп

а г +2

возрастало как

(с) с-

Таким образом, для численного расчета вытянутых СФ через ряды (6), (7) нужно знать точное значение Хтп(с), что предполагает трудоемкую процедуру уточнения известных асимптотик. Практика показала, что даже значения Хтп(с), приведенные в

2

+

1

2

2

с

X

т

X

-а

2

с

[9] с точностью до 8-ой значащей цифры, ведут к расходимости ряда (7).

В связи с описанными трудностями в данной работе предлагается использовать следующий алгоритм вычисления коэффициентов йгтп (с).

Будем решать систему (8) не от «начала», а с «конца»:

агтп (с)

'Гг

а

г-2

(с)

а

г+2

(с)

(13)

аг

•г (с)

Предположим, что ряд (7) можно оборвать на Ы-ом члене. Для этого ряд должен сходиться и

п (с)

должно быть достаточно мало. Для вы-

тп

аМ+2

тп

ам (с)

полнения условия сходимости ряда можно положить, что (при г —— Ж )

аг+2тп (с) с2

агтп (с)

4г

2

(14)

Тогда ряд можно обрывать при Ы = —, где е -

2е

некоторое заданное число меньше единицы (чем оно меньше, тем длиннее ряд). И коэффициенты вычисляются в обратном порядке (13), начиная с

й тп (с) с2

йЫ+2 (с) _ с

2

й^п (с) 4 N

4. Численные результаты Так как для приближения СФ конечными рядами важно знать точное значение Хтп(с), оценим точность формул (10)-(11). Понятно, что формула (10) будет давать хорошие результаты при с<1. На рис.1 показано распределение собственных чисел Кп и хп

для п= 0,20 при с=1. Вертикальные штрихи соответствуют точным значениям [9], а значения на кривой получены по формуле (10).

Для с>3 можно пользоваться формулой (11), ошибка в этом случае не превышает 10% и уменьшается с ростом с. Для алгоритма (13)-( 14) вычисления коэффициентов ряда (7) такой точности оказывается достаточно. На рис. 2 показано сравнение точных [9] и вычисленных по (11) собственных чисел Кп и хп для п= 0,20 при с=15. На рис. 2б хорошо

о ( ) < 2с

видно характерное распределение Яп(с): для п < —

п

(с - фиксированное) собственные числа равны или близки к единице, затем с ростом п происходит быстрый спад до нуля [1].

Рис. 1. Сравнение табличных значений [9](показаны вертикальными штрихами) и рассчитанных по (10) (показаны сплошной линией) собственных чисел СФ нулевого порядка хп (а) и Лп (б) для п= 0,20 при с=1.

Рис.2. Сравнение табличных значений [9] (показаны вертикальными штрихами) и рассчитанных по (11) (показаны сплошной линией) собственных чисел СФ нулевого порядка хп (а) и Хп (б) для п= 0,20 при с=15.

Для оценки точности предложенного алгоритма вычисления коэффициентов ряда в приближении вытянутых СФ было проведено сравнение полученных результатов с известными.

В работе [11] приведены табличные значения рассматриваемых коэффициентов для т=0, п= 0,3, г=0,15, с=0,5 . Чтобы расширить диапазон изменения параметра с можно воспользоваться приведенным там же разложением в степенные ряды:

ап-т±етп(с) Я+К

Е тг

^Я,'

тп

Я

(15)

П / \ --

(с) 9=2

значения ЦгЩ1ч даны для т= 0,9, п= 0,9 , 2= 2,4,6 , К=6.

В Таблице 1 приведены результаты сравнения

03

коэффициентов й г (с) , рассчитанных предлагаемым в данной работе методом (13)-(14) с табличными [11] и вычисленными по (15). Параметр 8с, приведенный в последней строке Таблице 1 соответствует среднеквадратичному отклонению рассчитанных коэффициентов от точно известных.

Видно, что предлагаемый метод (13)-( 14) позволяет вычислять коэффициенты йг тп (с) очень точно

(погрешность Зс<10'6) практически не зависимо от параметра с. В то время как приближение по формуле (15) дает хорошие результаты только при небольших значениях с<5.

Таблица 1. Сравнение коэффициентов dr03(с), рассчитанных предлагаемым в данной работе

методом (13)-(14) с табличными [11] и вычисленными по (15).

с=2 с=5 с=7

(13)-(14) (15) [11] (1З)-(14) (15) [11] (13X14) (15)

і 03 d1 0.0706907 0.0707347 0.0706910 0.4470172 0.4567361 0.4470179 0.9327397 0.700S349

3 о 3 d 1 1 1 1 1 1 1 1

3 о d5 -0.070965 -0.070951 -0.070965 -0.526796 -0.5175S7 -0.526797 -1.50727 -1.42605

3 о d7 0.001S993 0.001SSS0 0.001S993 0.0933217 0.07464S3 0.0933222 0.56SSS22 0.2907107

3 о 0\ d -2.75440' 5 -2.72740-5 -2.75440-5 -8.71240-3 -6.65940-3 -8.71240-3 -0.10S032 -0.050142

3 о d1 2.53340-7 - 2.53340-7 5.10110-4 - 5.101 • 10-4 0.012664S -

, 03 d13 -1.61S10- 9 - - -2.06340-5 - -2.063' 10-5 -1.017^ 10-3 -

1d 03 7.615^ 1012 - - 6.12510-7 - 6.121 • 10-7 5.9S110-5 -

d 03 d17 -2.7540-14 - - -1.395^ 10-8 - - -2.6S9‘ 10-6 -

- - - - -

Sc 6.7^ 10-7 6.15^ 10-5 7.7740-7 0.0193 0.1605

На рис. 3 приведены графики распределения коэффициентов °°(1) (рис. 3а) и ёг03(1) (рис. 3б) для с=1, г=0,10. Видно, что при малых значениях параметра с коэффициент dn°” (с) значительно превалирует над другими.

б)

Рис. 3. Графики распределения коэффициентов (а) dr 00(1) и (б) dr 03(1) для с=1.

На рис. 4 приведены графики распределения коэффициентов dr00(4) (рис. 4а) и dr03(4) (рис. 4б)

для с=4, г= 0,40. Видно, что с ростом параметра с количество ненулевых коэффициентов становится все больше, а при с>пп/2 dn (с) перестает быть максимальным (в этом случае собственные числа Лп(с) приближаются к единице).

Судить о точности представления СФ конечными рядами (6)-(7) длины N с коэффициентами (13)-(14) можно по выполнению одного из основных свойств СФ (9). В Таблице 2 приведены значения среднеквадратичного отклонения:

Ss =

JWn (x) -Wn (x)]2 dx

(16)

-1

~n(x) = -y- J Sm(x y;)Vn(y)dy In -1 п(X - У)

для вытянутых угловых СФ нулевого порядка, представленных конечными рядами (7) с использованием точных и рассчитанных коэффициентов

dr 0n (c).

1.00

0 ' \7 7b І5 20 25 50 35 40

-0.31

Coefficients

б)

err—2.78e-06

Рис. 4. Графики распределения коэффициентов (а) dr 00 (4) и (б) dr 03(4) для с=4.

Таблица 2. Среднеквадратичное отклонение 58 (16) для вытянутых угловых СФ нулевого порядка, представленных конечными рядами (7) с использованием табличных [11] и

рассчитанных по (13)-(14) коэффициентов ёг(с).

с п=0 п=1 п=2 п=3 4 = п 5 = п

(13X14) [11] (13)-(14) [11] (13X14) [11] (13)-(14) [11] (13X14) (13)-(14)

1 4.4-10-6 4.6-10-6 2.9-10-6 2.8-10-6 0.7667 0.7663 - - - -

2 5.7-10-5 5.5-10-5 2.5 -10-5 2.5 -10-5 0.03622 0.03633 0.8649 0.8649 - -

3 1.5-10-4 1.3-10-4 7.1-10-5 7.4-10-5 3.4-10-3 3.4-10-3 0.1239 0.1236 - -

4 1.5-10-4 3.5-10-4 1.8-10-4 2.5-10-4 4.8-10-4 4.9-10-4 0.01602 0.01598 0.2931 -

5 7.8-10-5 1.3-10-3 2.6-10-4 0.3976 2.5-10-4 7.2-10-4 0.00254 0.00265 0.05265 0.539

7 1.4-10-5 - 7.9-10-5 - 3.4-10-4 - 4.6-10-4 - 0.00185 0.02788

10 1.3-10-6 - 8.3-10-6 - 4.2-10-5 - 1.8-10-4 - 6.1-10-4 8.7-10-4

12 7.9-10-7 - 1.7-10-6 - 8.1-10-6 - 4.9-10-5 - 1.4-10-4 6.4-10-4

Из Таблицы 2 видно, что результаты для рассчитанных СФ очень близки к полученным с использованием точных коэффициентов °п (с). Нужно за-

метить, что свойство инвариантности СФ (9) выполняется с высокой точностью для значений параметра с>пп/2, когда собственные числа Яп(с)>0.1. В противном случае собственные числа Лп(с) близки к нулю и выражение (9) становится плохо обусловленным.

На рис. 5 приведены примеры нарушения свойства инвариантности СФ (9). Кривая 1 - исходная СФ, кривая 2 - функция, полученная после преобразования (9). Видны сильные нарушения для £02(1,х), Я2(1)«0.0012, (рис. 5а) и £03(2,х),

Я3(2)«0.0011, (рис. 5в) и менее значительные для £02 (2, х), Я2(2)«0.036, (рис. 5б) и £03(3, х),

Я3(3)«0.018, (рис. 5г).

Рис. 5. Примеры нарушения свойства инвариантности СФ (9) для (а) £02(1, х) , (б) $02 (2, х), (в) $03(2, х) и (г) ^0з(3, х), кривая 1 - исходная СФ, кривая 2 - функция, полученная после преобразования (9).

Тот же эффект нарушения свойства инвариантности (9) наблюдался для табулированных [11] СФ. При этом среднеквадратичное отклонение 8у СФ, рассчитанных по (13)-(14) от табулированных функций составило не более 13% (см. Таблицу 3).

На рис. 6 приведены сравнительные графики табулированных [11] и рассчитанных СФ нулевого порядка для с=5 и п= 0,3 .

Таблица 3. Среднеквадратичное отклонение 8 СФ нулевого порядка рассчитанных по (13)-(14) от табулированных функций [11].

б) Compare err=0.04118

Рис. 6. Сравнительные графики табулированных [11] и рассчитанных СФ нулевого порядка для с=5 и п= 0,3 .

В прикладных задачах, связанных с передачей информации, интерес представляют СФ, имеющие высокую концентрацию энергии на заданном интервале, то есть собственные числа которых близки к единице. В этом случае свойство инвариантности (9) выполняется с очень высокой точностью (ошибка менее 0.01%).

Заключение

В данной работе получены следующие результаты:

• разработан простой алгоритм вычисления коэффициентов в приближении СФ конечными рядами полиномов Лежандра и сферических

функций Бесселя, позволяющий получать такие коэффициенты с высокой точностью;

• на численных примерах показано, что СФ нулевого порядка, рассчитанные через аппроксимацию конечными рядами (6)-(7), удовлетворяют свойству инвариантности (9) к интегральному преобразованию с sinc-ядром на симметричном ограниченном интервале с высокой точностью при c>nn/2. В противном случае собственные числа Лг(с) близки к нулю и выражение (9) становится плохо обусловленным, наступает нарушение свойства инвариантности, что было обнаружено и для табулированных СФ.

Литература

1. D. Slepian, H.O. Pollak, Prolate spheroidal wave functions. Fourier Analysis and Uncertainty - I, The Bell System Technical Journal, 1961, 40, p.43-46.

2. D. Slepian, Some asymptotic expansions for prolate spheroidal wave functions, J. Math. & Phys., 1965, 44, p. 99-140

3. H.J. Landau, H.O. Pollak, Prolate spheroidal wave functions. Fourier Analysis and Uncertainty - II, The Bell System Technical Journal, 1961, 40, p.65-84.

4. Я. И. Хургин, В. П. Яковлев, «Методы теории це-

лых функций в радиофизике теории связи и оптике», М., 1962.

5. D. Slepian, Prolate spheroidal wave functions. Fourier Analysis and Uncertainty - IV: Extensions to many dimensions; generalized prolate spheroidal functions, The Bell System Technical Journal, 1964, 43, p.3009-3057.

6. Montgomery W.D., Algebraic formulation of diffrac-

tion applied to self-imaging, J. Opt. Soc. Am., 58(8), 1112-1124 (1968).

7. Коблянский Ю.В., Курашов В.Н., Использование метода собственных функций оптических систем для статистического анализа пятнистых картин, Оптика и спектроскопия, 1984, 57(4), с. 708-710.

8. А. Лоуэн, Сфероидальные волновые функции, в кн. «Справочник по специальным функциям» под ред. М. Абрамовица и И. Стиган, М., «Наука», 1979, 832 с.

9. D. Slepian, E. Sonnenblick, Eigenvalues associated with prolate spheroidal wave functions of zero order, The Bell System Technical Journal, 1965, 44, p.1745-1763.

10. И. В. Комаров, Л. И. Пономарев, С. Ю. Славя-нов, «Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции», М., 1976

11. Фламмер К., Таблицы волновых сфероидальных функций. - М.: ВЦ АН СССР, 1962. - (БМТ; Вып. 17).

c n=0 n=1 n=2 n=3

1 0.0038 0.0364 0.0931 0.1273

2 0.0134 0.0275 0.0882 0.1266

3 0.0241 0.0227 0.0775 0.1241

4 0.0324 0.0306 0.0619 0.1166

5 0.0373 0.0412 0.0578 0.1027