Приближение периодических функций ограниченной p-вариации обобщенными средними Абеля-Пуассона и логарифмическими средними Текст научной статьи по специальности «Математика»

concerning Artin's L-functions of number fields. Izv. grupp [Перевод названия на англ. яз.]. Moscow, Sarat. Univ. N. S. Ser. Math. Mech. Inform., 2012, Nauka, 1972 (in Russian). vol. 12, iss. 4, pp. 31-34 (in Russian).

5. Kargapolov M. I., Merzliakov Iu. I. Osnovy teorii 6. Leng S. Algebra. Moscow, Mir, 1968 (in Russian). УДК 517.518

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ Р-ВАРИАЦИИ ОБОБЩЕННЫМИ СРЕДНИМИ АБЕЛЯ-ПУАССОНА И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ СРЕДНИМИ

А. А. Тюленева

Ассистент кафедры теории вероятностей, математической статистики и управления стохастическими процессами, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

В работе доказывается асимпотическая оценка приближения обобщенными средними Абеля-Пуассона и логарифмическими средними p-вариационной метрике на классе функций с заданной мажорантой p-вариационных наилучших приближений. Получен ряд других количественных результатов о приближении этими средними.

Ключевые слова: функции ограниченной p-вариации, обобщенные средние Абеля-Пуассона, наилучшее приближение, p-вариационный модуль непрерывности.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть 1 < р < то, f (x) — измеримая, ограниченная, 2п-периодическая функция и £ = {xo < xi < ... < < Xn = xo + 2п} — разбиение периода. Введем р-вариационную сумму:

i/p

k¡(f) = ( If(Xi) - f(xi-i)|p*

и р-вариационные модули непрерывности (см. [1]):

Wi-i/p(f, á) = sup Kp(f), |£| = max (xi - xi-i),

uk-i/p(f,á) = sup Wi-i/p(Ah-if (x), h), k G N, k ^ 2. 0<h<á

k

Здесь Ahf (x) = ^ (—1)k-4¿)f (x + ih), k G N. Пространство Cp функций f, удовлетворяющих равен-

i=0

ству lim wi-i/p(f, á) = 0, является банаховым с нормой ||f\\ap = max(||f ,wi-i/p(f, 2n)), á—>0+

= supxeR If(x)|. Можно рассматривать также обычный модуль непрерывности целого порядка wk(f,á)cp =

= sup ||Ahf||cp. Известно, что Wk(f,á)cp < 2wk-i/p(f,á) (см. [1]).

0<h<á

n

Пусть Tn = {«0 + ^(«i cos ix + Pi sin ix), ai,Pi G R}, n G Z+. Тогда En(f)cp := inf ||f - tn ||cp.

i =i ^n ^fn

Пространство интегрируемых на [0,2п] в р-й степени 2п-периодических функций Lpn снабжено нормой

/ 2п \i/p

||f ||p = I I |f (x)|p dx ) , 1 ^ p < то. Для убывающей к нулю последовательности {еп}П=0 определим

Ecp (е) = {f G Cp : En(f )cp < ,n G Z+ }.

Пусть w(á) возрастает, непрерывна на [0, 2п] и w(0) = 0 (w G П). Тогда будем писать w G , а > 0, если

оо

для 0 < á < n ^ 2п имеем w(n) ^ C(n/á)aw(á), соответственно w G B, если ^ i-iw(i-i) = O(w(n-i)), n G N,

i=n

n

и w G а > 0, если ]Г ia-iw(i-i) = O(w(naw(n-i))), n G N. По поводу этих определений см. статью [2]. i=i

Для w G П через H^-i/p обозначим пространство {f G Cp : wi-i/p(f, á) < Cw(á),á G [0,2п]} с нормой ||f||w,i-i/p = ||f||cp + sup wi-i/p(f,t)/w(t). Условие Бари для последовательностей см. в лемме 3.

0<t<2n

Напомним, что для f G L2n сопряженной функцией /(x) называется интеграл

п

-п-1 lim í(f (ж + t) - f (ж - t))/(2tg t/2) dt,

s^Q J

который существует п. в. на R (см. [3, гл. 4, § 3]). Если f, f £ и f имеет ряд Фурье a0/2+ £ (an cosnx +

n=1

_ oo

+ bn sin nx), то f обладает рядом Фурье (an sin nx — bn cos nx).

n=1

Для Л > —1 и f £ b\n положим

" ' n + Л1

A (r, f )(x) = (1 — r)A+1 ¿ ^n + ^ rn Sn(f) (x),

где Sn (f) = ao/2+ £ (ak cos kx + bk sin kx) — сумма Фурье n-го порядка. При Л = 0 верно равенство

k=1

ж

A0(r, f )(x) = — + ^ rn(an cos nx + bn sin nx),

2 n=1

т.е. получаются классические средние Абеля-Пуассона. Для дальнейшего нам понадобятся понятия свертки

2п n

f *g(x) := / f(x — t)g(t) dt функций f,g £ L3>n и ядра Дирихле Dn(t) = 1/2+ £ coskt = sin(n + 1/2)t/2 sint/2, 0 k=1 t = 2nk. Легко видеть, что Sn(f) = n-1f * Dn и что |Dn(t)| < n/2t, t £ (0,n).

Обобщенные средние Абеля-Пуассона Ax(r,f), по-видимому, были введены Х. Ханом (H. Khan) [4], который дал критерий сходимости этих средних в точке при r ^ 1 — 0. Им же [5] получены поточечные оценки обобщенного ядра Абеля-Пуассона (см. лемму 1), которые будут активно нами использоваться. Другие подходы к обобщению средних Абеля-Пуассона см. в [6, гл. 4]. Интересные оценки приближений классическими средними Абеля-Пуассона в LPn и C2n можно найти в работе М. Ф. Тимана [7]. Логарифмические средние произвольного ряда были определены Д. Борвейном (D. Borwein) [8]. Сходимость в точке логарифмических средних ряда Фурье

была исследована Ф. Хсиангом (F. C. Hsiang) [9]. Они задаются равенством

^

L(r,f) = | ln(1 — r)|-1 Е(n + 1)-1 rn+1 Sn(f) = f * Jr, r £ (0, 1),

n=0

где Jr = | ln(1 - r)|-1 £ (n +1)-1 rn+1 Dn.

n=0

Будем писать A(r) x B(r), r £ D, если C1 A(r) < B(r) < C2A(r), где C2 > Ci > 0 не зависят от r £ D. Целью нашей работы является получение точной по порядку двусторонней оценки приближения обобщенными средними Абеля-Пуассона AA(r, f) и логарифмическими средними L(r, f) на классе ECp (s) при 1/2 < r < 1. Кроме того, установлен ряд количественных оценок приближения данными средними в р-вариационной метрике и связанной с ней метрике Гельдера. Данные результаты во многом аналогичны полученным Т. С. Чикиной (T. S. Chikina) [10] для средних Зигмунда-Рисса.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

те

Лемма 1 ([5]). Пусть Kr,x(t) = (1 - r)A+1 £ (n+A)rnDn(t), где Dn(t) = sin(n + 1/2)t/2sint/2.

n=0 n

Тогда

|K (t)| = i O((1 - r)-1)' 0 ^ t ^ n(1 - r), 0 ^ r< 1, 1 r'Aui \o((1 - r)A+1 /tA+2), t ^ n(1 - r), 0 ^ r < 1.

Доказательство леммы 2 повторяет доказательство аналогичной теоремы в Lpn и С2п (см. [11, гл. 6]).

Лемма 2. Пусть f £ Cp, 1 < p < ж, k £ N. Тогда справедлива обратная теорема приближения:

n

(f, 1/n)cp < Cn-^ik-1 Ei-i(f)cp, n £ N. i= 1

те

Лемма 3. Пусть {an}^=1 убывает к нулю и удовлетворяет условию Бари £ ai/i = O(an),

i=n

те

f (x) = an cos nx/n. Тогда f £ Cp, 1 < p < ж, и En (f )Cp < Can+1, n £ Z+. Аналогичное

n= 1

утверждение верно в C2n.

Доказательство. В работе Б. И. Голубова [12] аналогичная оценка установлена в лемме 5 для

те

функции g(x) = £ an sin nx/n без дополнительного условия Бари. С другой стороны, в той же работе

n= 1

n

в теореме 4 показано, что если д £ Ср, Еп(д)Ср < С1фп, п £ Ъ+, и {фп}^=0 I 0 удовлетворяет условию

те

Бари (считаем выполненным неравенство £ фп/п < ф0), то для сопряженной функции д = / также

п=1

справедлива оценка Еп(/)Ср < С2фп, п £ . Утверждение для С2п принадлежит Н. К. Бари [13]. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть 1 < р < ж, / £ Ср, д £ Ь\п. Тогда / * д £ Ср и ш1-1/Р(/ * д) < ||дУ1^1-1/р(/, 6). Лемма 4 получена в статье [12] для 6 = 2п. Анализ доказательства показывает, что неравенство верно для произвольного 6.

Лемма 5. Пусть / £ Ср, 1 < р < ж, к £ N. Тогда шк-1/Р(/,6) принадлежит классу Nк-1/р и класс Nа, а> 0, содержится в любом классе Бв при в > а.

Первое утверждение леммы 5 приведено с доказательством в статье [14], тогда как второе легко следует из леммы 2 известной статьи Н. К. Бари и С. Б. Стечкина [2].

Основные идеи доказательства следующей леммы можно найти в статье [9]. Лемма 6. Для ядра Jr, г £ (0,1), имеем оценку

Jr (t) =

O(r(1 - r)-11 ln(1 - r)| ), 0 < t < 1 - r, O(t-11 ln(1 - r)| 1), 1 - r < t < п.

В частности, \\Jr ||1 ограничены. Доказательство. Поскольку

Dn(t) = t-1 sin(n + 1)t + sin(n + 1)t(1/2 tgt/2 - 1/t) - cos(n + 1)t = t-1 sin(n + 1)t + O(1),

-1

то

5> + 1)-1 rn+1 Dn(t) = O [J2(n + 1)-1rn+4 + J2(n + 1)-1 rn+11-1 sin(n + 1)t =

n=0

4n=0

n=0

O(| ln(1 - r)|) + t-1 Im rneintn-1 = O(| ln(1 - r)|) + t-1 Im ln[(1 - reit)-1 ] =

n=1

= O(| ln(1 - r)|) + t arctg[r sint/(1 - r cost)].

Здесь рассматривается ветвь ln z со свойством ln(1) = 0. При 0 < t < 1 - r в силу неравенств arctgt <t и sint <t имеем:

t-1 arctg[r sint/(1 - r cos t)] < t-1 r sint/(1 - r cos t) < r/(1 - r),

откуда следует при t G (0,1 - r]

Jr(t) = O(| ln(1 - r)|-1r(1 - r)-1 + | ln(1 - r)|-11 ln(1 - r)|) = O(r(1 - r)-1| ln(1 - r)|-1)

-1

-1

-1

-1

Докажем теперь, что сумма ряда £ гп+1 (п + 1) 1 бш(п + 1/2)1 ограничена. Пусть I £ (п/^ + 1),

п=0

п/N]. Тогда

, ы

-1

Y^ rn+1(n + 1)-1 sin(n + 1/2)t

n=0

<

E

n=0

+

E

n=N +1

= h + /2

N

/1 < Y rn+1(n + 1)-1 (n + 1/2)t < (N + 1)rt < (N + 1)r2n/(N + 1) < 2п.

n=0

Для оценки /2 используем преобразование Абеля и формулу

n

J^sin(k + 1/2)t = (1 - cos(n + 1)t)/2 sin t/2, t = 2nk, k G Z.

k=0

Имеем в силу неравенств sin(t/2) > t/п на [0, п] и t 1 < п 1 (N + 1)

/2 < Е

те /rn+1 rn+2

n=N+1

n + 1 n + 2

^sin(k + 1/2)t

k=0

+

N+2

N+2

N

J^sin(k + 1/2)t

k=0

<

те

те

те

те

те

и

<

Е

„те+1 „,п+2

П +1 П + 2

п=—+1

Из оценок для 11 и /2 получаем:

Ч +2

) п^-1 + N+2< + 1)-1 1 г-+1 < 2.

^гп+1 (п + 1)-1 (¿)

п=0

< 2(п + 1)/2э1п¿/2 < С 1, £ £ (0, п),

и «7г (¿) < С £ 111п(1 — г)| 1 при 1 — г < I < п. Последнее утверждение леммы выводится следующим образом:

1 —г

-1 I / /-, „\-1 7, , I

/1 —г п \

1 = И / + / | 17г(¿)| <И < 2| 1п(1 — г)|

\ 0 1 —г / \ 0 1 —г

—1

С2г(1 — г)"1 ^ + / С^"1^ | < < Сз| 1п(1 — г) ГЧг + 11п(1 — г) |) < С4 < га.

Лемма доказана. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть —1 < А < 1, 1 < р < га, {еп}те=0 I 0 удовлетворяет условию Бари В. Тогда

те

ф{||Ал(г, /) — /||Ср : / £ ЕСр(е)} х (1 — г)л+^(г + 1)лг*е<> 1/2 < г < 1. (1)

¿=0

БИТ

Доказательство. Так как (1 — г) л 1 = ^ (п+ )гп, то для д = 1 имеем Ал(г, д)(ж) = д(ж) = 1. Стандартным образом получаем:

п=0

Ал(г, /)(ж) — /(ж) = (1 — г)л+1 £ [П + А) гп 1 Г(/(ж + ¿) — /(¿) ^ =

п=0 ^ п ' п "V —п

п

= 1/(1 — г)л+^ + ^ гп(/(ж + ¿) + /(ж — ¿) — 2/(ж))Яп(¿) ^ =

п=0 п

(/(ж + ¿) + /(ж — ¿) — 2/(ж))Кг,л(£)

где Кг>л(£) — то же, что в лемме 1. По лемме 1 находим, что

( п(1 —г)

II Ал(г, /) — /||ср < С1

1п

|д2/(ж)|Ср л + (! — г)л+1 Г /к л

1—г

¿л + 2

(

< С2

^2(/,п(1 — г))ср +(1 — г)

л+1

V

^2 (/,^)С. ¿л+2

п(1-г) \

<

/

п(1-г)

= С2 (11 + /2).

(2)

/

Пусть п = [1/(1 — г)], т. е. п + 1 > 1/(1 — г) ^ п и п/(п + 1) < п(1 — г) ^ п/п. Тогда

п/п 1 п/к

^•¿Ьр л ^ / д + £ Г л ^

п(1 —г) п(1 —г) к=1п / (к + 1)

¿л+2 ^ / ¿л+2 1 / ¿л+2

п (1 — г) к=1п / (к + 1)

П—1

^ Сз ( (п + 1)—2^2(/,п/п)Ср (1 — г)—2 —л + £ ^ (/,п/к)Ср (к + 1)л+2к

-2

к=1

те

те

п

1

п

п

Л. Л. Тюленева. Приближение периодических функций ограниченной р-вариации Отсюда выводим оценку

п

/2 = (1 — г)Л+1 у ^ < С4 ((1 — г)^2 (/,п/п)ср +

п(1—г)

п—1 п

+ (1 — г)л+^ ^ (/,п/к)Ср кл < С5 (1 — г)л+^ Ш2(/, 1/к)ср кМ , (3)

к=1 / \ к=1 /

так как (1 — г) ^ max(2л, 1)(1 — г)л+1 пл при А > —1.

Применяя лемму 2, получаем в силу неравенства А < 1:

п п к

скл < С6 V V к—2¿Ег—1(/)Св(к ■ 1)л

J>2(f, 1/k)cpkA < C6 ^ ^к-2¿Ei-i(/)cp(k + 1);

k=1 k=14=1

n n n

= C6 ^ iEi-1 (fk-2+A < C7 ^ iAEi-i(f)Cp. (4)

4=1 k=i i=1

Так как r4 ^ rn ^ (1 — 1/n)n ^ 1/4 при 1 ^ i ^ n = [1/(1 — r)], находим, что

n

^iAEi-1(f)cp ^ C^(i + 1)Ar4Ei(f)cp ^ C^(i + 1)Ar4(f)Cp. (5)

4=1 4=0 4=0

Наконец, 11 из правой части (2) оценивается следующим образом при Л > —1:

nn

11 ^ ^(f,n/n)cp < C9n-A-^ kA^2(f,n/n)cp < C10(1 — r)A+^ kAW2(f, 1/k)cp.

k=1 k=1

Другими словами, 11 = w2(f, n(1 — r))Cp оценивается через правую часть (3). Из (3)-(5) окончательно имеем:

l|AA(r, f) — f ||cp = ^(1 — r)A+1 £(i + 1)Ar4Ei(f, откуда следует верхняя оценка в (1).

те

Докажем оценку снизу в (1). Пусть f0(x) = (е0 + e1)cosx + £ncosnx/n. Тогда по лемме 3

n=2

имеем En(f)Cp < C11en+1, n G N, и E0(f0)Cp < C11e0. С другой стороны, используя обозначения

е0 = £0 + £ъ ^П = £n, n G N, получаем:

те' те ✓ , \ n '

||f0 — AA(r, f1 )yCp ^ |f0(0) — AA(r, f0)(0)| = £ ^ — (1 — r)A+^ Г + Л rn ^ | =

n=1 n= 1 ' k=1

= £ Td — r)A+1 i£ (n + V — £ (n +V) = £T(1 — r)A+1 £ (n + V. (6)

k=1 \n=0 ' n=k V / / k=1 n=0 V '

Так как при n > 1 справедливо неравенство (n+A) > C12nA (см. [15, Добавления, §9]), а A) = 1, то

к—1 / + л\ к—1

+ А)гп ^ С1^ пл гк ^ С1зкл+1гк, к £ Ж, к > 2, (7)

п=0 п п=0

и аналогичное неравенство верно при к = 1. Поэтому из (6) и (7) следует при 1/2 < г < 1 неравенство

те те

||/0 — Ал (г,/0 )||ср > С1з(1 — г)л+^ ек кл гк < С14 £ (г + 1)л г* ег.

к=1 ¿=0

Из последней оценки вытекает оценка снизу в (1). Теорема доказана. Теорема 2. Пусть / £ Ср, 1 <р< га, А> —1. Тогда

^1—1/р(Ал(г, /), 5) ^ С(А)^1—1/р(/, 5), 5 £ [0, 2п]. Математика 29

n

те

Доказательство. По лемме 4 имеем ^1-1/Р(/ * КГ;д,6) ^ ||КГ;д||1 ^1-1/Р(/, 6). Согласно лемме 1 получаем:

п(1 — г) п

ЦКг,х||1 < I \Кг,х(х)\дх + I \КГгх(х)\дх < С1 (п(1 - г)/(1 - г)+

о п (1 — г)

п \

+ (1 - г)А+1 / Ь—А—2 дЬ

п (1-r) /

< C2[ 1 + , , (1 -rlw1-Т1 < C2^ < ж.

- 21 (п(1 - r))1+A(Л + 1)у 2 Л + 1

Из этих оценок вытекает утверждение теоремы.

Теорема 3. Пусть / £ Ср, 1 < р < ж, Х> —1/р. Тогда

|| А (г, /) - / ||ср = 0(^1—1/р(/, 1 - г)), г £ (0,1).

Если же Л > 1 - 1/р, то

|| А (г, /) - / ||ср = 0(ш2—1/р(/, 1 - г)), г £ (0,1).

Доказательство. Согласно оценке (2), в которой нет ограничения Л < 1, и в силу неравенства ик(/,6)ср < 2^к—1/р(/,6) (см. [1]) имеем:

AA(r,f) - f ||cp < C1

( п \

"2-1/p (f, 1 - r) + (1 - r)A+1 У t-A-2^2-1/p (f, t) dt

V n(1-r) /

(8)

По лемме 2 из [2] условие ш £ Sa равносильно условию 5а / t а 1 w(t) dt = 0(ш(5)), 5 £ (0, п).

Поэтому правая часть (8) есть 0(ш2 - 1/p(f, 1 - r)) в том случае, когда ш2 - 1/p(f,t) £ SA+1. По лемме 5 это справедливо при Л + 1 > 2 - 1/p, т.е. при Л > 1 - 1/p. В силу очевидного неравенства w2-1/p(f, 5) < 2w1-1/p(f,5) первое утверждение теоремы доказывается аналогично. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть ш(5), ¿(5) положительны на (0, 2п], возрастают на [0,2п], ш(0) = ¿(0) = 0 и ш, 5 £ C[0, 2п] причем п(5) := ш(5)/у(5) возрастает на (0, 2п]. Тогда для 1 < p < ж, Л> -1/p и f £ H-Vp имеем:

|| AA(r, f) - f Н^^ = 0(n(1 - r)), r £ (0,1). Доказательство. Пусть 5 ^ 1 - r. Тогда по теореме 3 получаем:

^1-1/p(f - AA(r,f ),51 < HaA(r,f) - f ||c, < C^(1 - r) = Cn(1

W) < ¿5) < 5(1 - r) = C1 n(1 - r)-

При 0 < 5 < 1 - r находим по теореме 2:

"1-1/p(f - AA(r, f ),5) ^1-1/p(f,5)+ ^1-1/p(AA(r,f ),5) C^(5) „ n .

-¿5)-<-¿5)-< "W = C'2"(5) < C2 4(1 - r)-

Таким образом, sup u1-1/p((f - Ar(f ),5)/^(5)) = 0(Л(1 - r)). Так как по теореме 3

Н AA(r, f) - f ||cp = 0(ш(1 - r)) = 0(5(1 - г)Л(1 - r)) = 0(Л(1 - r)),

то утверждение теоремы 4 доказано.

Теорема 5. Пусть 1 < p < ж, последовательность {sn}те=0, убывающая к нулю, удовлетворяет

те

двустороннему условию Бари £ sk/(k + 1) х sn, n £ Z+. Тогда

k=n+1

те

sup{||L(r, f) - f ||cp : f £ Ecp(s)} х | ln(1 - r)|-1 ^(n + 1)-1 rnSn, 1/2 < r < 1.

n=0

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1 имеем:

п

L(r, f )(x) - f (x) = 1 J(f (x + t) + f (x - t) - 2f (x)) Jr(t) dt. 0

Полагая n = [n/(1 — r)] и используя лемму 6, получаем:

1 —r п

|L(r, f) - fllc < Ci | ln(1 - r)^ 1(1 - r) —7 ||A?f(-)||cp dt + J t—1l||A?f(-)||cp dt | <

0 1—r

п/n п/k

n—1 „

< C2 | ln(l - r)|

-1

^(f, 1 - r)cp + J t-1 (f,t)cp dt + ^ J t-1^2 (f,t)cp dt

1-r k=1n/(k + 1)

<

< Сз| ln(1 - r)|-1 (f, 1 - r)cp + ¿ k-1 ^2(f, 1/k)c^ = Cnfr+rf • (9)

Применяя лемму 2, получаем аналогично (4)

n n k n n n

-1" ^ 1 /uCp < C4^ y^k-1 k-2iEi-1(f)Cp = C4 VVk-3iEi-1 if )Cp < c5 7 .i Ei-1 f )Cp

^k-1^2 (f, 1/k)cp < k-1 k-2 iEi-1 (f )Cp = k-3iEi-1 (f )Cp < C5^ i-1 Ei-1 (f)

k=1 k=1 i=1 i=1 k=i

Так как ri > rn > (1 - n/n)n > (1 - п/4)4 при 0 < i < n, n > 4, то имеем:

n те

^Г1 £г—1(/)ср < С^(г + 1)—МЕг(/)ср < С^(г + 1)—МЕг(/)ср

¿=1 ¿=0 ¿=0

при п > 4 и аналогичное неравенство при п < 3 и 1/2 < г< 1. Легко видеть, что /1 < /2. Поэтому

L(r, f) - f ||cp < C71 ln(1 - r)|-1£(i + 1)-1 r^(f)c

-1

i=0

те

и оценка сверху доказана. Пусть f0 = J2 еП cos nx/n, где е 1 = е 0 + е1, еП = еn при n > 2. Тогда по

n=1

лемме 3 Eo(fo)cp < Cg^o, En(fo)cp < CgSn+ъ n £ N, и мы находим, что

те

n+1

||fo - L(r, fo)||cp > lfo(0) - L(r, fo)(0)| = £ ^ - | ln(1 - r)|-1 ^ -— ^ f =

p ' n ' n + 1 k

n=1 n=1 k=1

( те i те „n+1 те ' те n+1 \ те те

I'n(1 - r)!-1 E yE n+r -E yE n+r =iln(1 - r)i-1E(n + 1)-1 e

k

k ^ n + 1 ' k ^ n + 1 / k

\k=1 n=0 k=1 n=k / n=0 k=n+1

те те

> C91 ln(1 - r)|-1^(n + 1)-1 rn+14 > C101 ln(1 - r)|-1^(n + 1)-1 rne„

n=0 n=0

при условии 1/2 < r < 1. Теорема доказана.

Аналогично теореме 2 с помощью леммы 6 доказывается

Теорема 6. Пусть f £ Cp, 1 < p < га. Тогда w1-1/p(L(r, f), 5) < Cw1-1/p(/, 5 £ [0, 2п]. Из неравенства (9) вытекает

Теорема 7. Если f £ Cp, 1 < p < га и /1-1 w1-1/p(f, t) dt < га, то

0

||f - L(r, f)Уср = O(| ln(1 - r)|-1), 1/2 < r < 1.

Замечание. Теоремы 1 и 5 верны в С2п, поскольку лемма 3 справедлива в этом случае. Теоремы 6 и 7 дают возможность получить аналог теоремы 4 для логарифмических средних, но скорость сходимости в гельдеровых пространствах будет еще ниже, чем O(| ln(1 - r)|-1.

n

те

n

Библиографический список

1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной p-вариации // Изв. вузов. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Труды Моск. мат. о-ва. 1956. Т. 5. С. 483522.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в ?? т. Т. 1. М. : Мир, 1965. 616 с.

4. Khan H. On some aspects of summability // Indian J. Pure Appl. Math. 1975. Vol. 6, № 6. P. 1468-1472.

5. Khan H. On the degree of approximation // Math. Chronicle. 1981. Vol. 10, № 1. P. 63-72.

6. Харди Г. Расходящиеся ряды. М. : Изд-во иностр. лит., 1951. 504 с.

7. Тиман М. Ф. Наилучшее приближение функций и линейные методы суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1965. Т. 29, № 3. С. 587-604.

8. Borwein D. A logarithmic method of summability // J. London Math. Soc. 1958. Vol. 33, № 2. P. 212-220.

9. HsiangF. C. Summability of the Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1961. Vol. 67, № 1. P. 150-153.

10. Chikina T. S. Approximation by Zygmund-Riesz means in the p-variation metrics // Analysis Math. 2013. Vol. 39, № 1. P. 29-44.

11. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М. : Физматгиз, 1960. 624 с.

12. Голубов Б. И. О наилучшем приближении p-абсо-лютно непрерывных функций // Некоторые вопросы теории функций и функционального анализа. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-та, 1988. Т. 4. С. 85-99.

13. Бари Н. К. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1955. Т. 19, № 5. С. 284-302.

14. Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Analysis Math. 2000. Vol. 26, № 1. P. 63-80.

15. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физмат-гиз, 1961. 936 с.

Approximation of Bounded p-variation Periodic Functions by Generalized Abel-Poisson

and Logarithmic Means

A. A. Tyuleneva

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected]

An asymptotic estimate of approximation by generalized Abel-Poisson means in p-variation metric on the class of functions with given majorant of p-variational best approximation is proved. Several other quantity results on approximation by these means are obtained.

Key words: functions of bounded p-variation, generalized Abel-Poisson means, best approximation, p-variational modulus of continuity.

References

1. Terekhin A. P. The approximation of functions of bounded p-variation. Izv. vysch. ucheb. zaved. Matematika, 1965, no. 2. p. 171-187. (in Russian).

2. Bari N. K., Stechkin S. B. Best approximations and differential properties two conjugate functions. Trudy Mosk. matem. obch., 1956, vol. 5, pp. 483-522. (in Russian).

3. Zygmund A. Trigonometricheskie riady [Trigonometric series], vol. 1. Moscow, Mir, 1965, 616 p. (in Russian).

4. Khan H. On some aspects of summability. Indian J. Pure Appl. Math., 1975, vol. 6, no. 6, pp. 1468-1472.

5. Khan H. On the degree of approximation. Math. Chronicle, 1981, vol. 10, no. 1, pp. 63-72.

6. Hardi G. Raskhodiashchiesia riady [Divergent series]. Moscow, Izd-vo inostr. lit., 1951, 504 p. (in Russian).

7. Timan M. F. Best approximation of functions and linear methods of summation of Fourier series. Izvestiya AN SSSR. Ser. matem., 1965, vol. 29, no. 3, pp. 587-604 (in Russian).

8. Borwein D. A logarithmic method of summability. J. London Math. Soc., 1958, vol. 33, no. 2, pp. 212-220.

9. Hsiang F. C. Summability of the Fourier series. Bull. Amer. Math. Soc., 1961, vol. 67, no. 1, pp. 150-153.

10. Chikina T. S. Approximation by Zygmund-Riesz means in the p-variation metrics. Analysis Math., 2013, vol. 39, no. 1, pp. 29-44.

11. Timan A. F. Teoriia priblizheniia funktsii deistvitel'nogo peremennogo [Approximation theory of real variable functions]. Moscow, Fizmatgiz, 1960, 624 p. (in Russian).

12. Golubov B. I. On the best approximation p-absolutely continnons functions. Several questions of function theory and functional analisis, vol. 4. Tbilisi, Izd-vo Tbil. Univ., 1988, pp. 85-99 (in Russian).

13. Bari N. K. On the best approximations of two conjugate functions by trigonometric polinomials. Izvestiya AN SSSR. Ser. matem., 1955, vol. 19, no. 5, pp. 284-302 (in Russian).

14. Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions. Analysis Math. 2000, vol. 26, no. 1, pp. 63-80.

15. Bari N. K. Trigonometricheskie riady [Trigonometric series]. Moscow, Fizmatgiz, 1961. 936 p. (in Russian).