CC BY
18
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №1-2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.Н.Мехмонзода
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
^-СПЛАЙНАМИ В МЕТРИКЕ C
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 06.11.2015 г.)
В статье найдено точное значение верхней грани уклонений интерполяционных ф-сплайнов от интерполируемых функций двух переменных на некоторых классах функций, задаваемых модулем непрерывности в равномерной метрике.
Ключевые слова: многогранная функция, модуль непрерывности, выпуклая функция, решётка узлов.
1. Пусть Q := {(х,у) : 0 < х,у < 1} - единичный квадрат в плоскости переменных x и y , на котором задана непрерывная функция f (х, у) и решетка равноотстоящих узлов Mki = M(xk, у) ,
где xk = k / m , k = 0, m ; у = i / n, i = 0, n, где m, n - фиксированные натуральные числа. Положим
Qk, = {(х у): xk-i < х < хк, у-1 < у < у}, k =1 m;i =1 n-
Пусть Hw'p (Q) - класс непрерывных функций, определенных на Q , и таких, что для любых точек M (х , у ),M (х , у ) е Q выполняется неравенство
\f(M') - f(M ")| < ю [Pp(M' ,M')],
где
pp(M ' , M ') = p | x '-x '|p + | у '-у '|p, 1 < p <ю,
а o(t) - заданный на отрезке 0 < t < p2 модуль непрерывности. Следуя обозначениям [1,2], положим
гх
p(х) := p(p; х) = J (p(t)dt (-1 < х < 1),
где p(t) - чётная неотрицательная невозрастающая на [0,1] функция. Из определения функции p( х) и свойства функции p(t) следует, что p(х) на отрезке [-1,0] - выпукла вниз, а на отрезке [0,1] - выпукла вверх и имеет место равенство
p(х) + p( х) = p(1), (0 < х < 1).
Пусть
Адрес для корреспонденции: Мехмонзода Сабзина Навбухор. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Р(к;г) = р{\-1}/р(1), 0 < г < к. (1)
Для функции (1) с учетом определения функции р(х) легко проверить равенства [1,2]:
а) Р(к;г) + Р(к, к - г) = 1;
б) Р(к; 0) = 1, Р(к, к) = 0, Р(к, к / 2) = 1 / 2 ;
в) Р(к; г) для 0 < г < к / 2 - выпукла вверх, а для к / 2 < г < к - выпукла вниз;
г) Р(к; г) строго убывает на [0,Ц от 1 = Р(к, 0) до 0 = Р(к; к) .
Для произвольной функции / (х, у) е С О) поставим в соответствие функцию
рт,п(/; х у)=/(х-1, у,--1)Р( х - х-1, у - у,-1)+ +/(хк, у,)Р(хк- x, у, - у) + /(хк, у,-1)Р(хк- х у - у,-1) +
+/(хк-1, у,)Р(х - хк-1, у, - у\ (2)
где (х, у) е О г, к = 1, т; г = 1, п и положено
Р(и, V) = Р(к; и)Р(8; V), 0 < и < к, 0 < V < 8. (3)
Из равенств (2) и (3) следует, что рт п (/; х, у) е СО) и, кроме того,
рт,п (f; x, y, ) = f(xk, y, )(k = o,m; 1 = 0n). (4)
Функцию pm n ( f ; x, y) , удовлетворяющую условию (4), назовем интерполяционным р -сплайном
[1,2] . Из определения р-сплайна сразу следует, что если p(t) = (1 — t2)r (r = 1,2,...;), то
Ртп ( f ; x, y) - интерполяционная сплайн-функция, которая рассматривалась В.Ф.Сторчаем в [2]. В
этой заметке находится точная верхняя грань уклонений р -сплайном pm п ( f ; x, y) от функций
f (x ,y) g H » 'p (Q) в равномерной метрике C (Q) . Имеет место следующее утверждение.
Теорема. Если oj(l ) Ф 0 - выпуклый модуль непрерывности, то для любых т,п N справедливы равенства
\\f ( x,y) — pmn (f ; x,y)|| с ( Q ) 1 ^ ^
sup --,—. -,-— = 1 , 1 < p < œ.
/gh",p (Q ) фт^ + ПР
Доказательство. В самом деле, для произвольной точки (х,у) еО,-, к = 1,т; , = 1,п , полагая и = х - хк_р V = у - у к = 1 / т, 8 = 1 / п, учитывая (2) и (3), с учётом свойства а) будем иметь
/ (X, у) (/; -X, у) =
= [/(X, у) - / (хк-!, у,_1)]Р(к, и)Р(8, V) +
+[/(х, У) - /(хк, у-1 )]Р(к, к - и)Р(8, V) +
+[/(х, У) - /(хк, у )]Р(к, к - и)Р(8, 8- V) +
+[/(х, у) - / ( хк-1, у, )]Р(к, и)Р(8,8- V). (5)
Оценивая по абсолютному значению равенство (5), для произвольной /(х, у) е Нср (О) будем иметь
I/(х у) Рт,п(/; х у)
< Р(к; и) Р(8, у)с [[|х-хк_х |р +| у - у_х Iр ] + +Р(к; к - и)Р(8; у)с [[хк- х |р +| у - у-1 * ] + +Р(к; к - и) Р(8; 8- у)а [ | хк - х 1Р +| у - у |р j + +Р(к; и)Р(8; 8 - у)с [[х-^+йу-у]? ] = = Р(к; и)Р(8, у)а [рир + Vр } + +Р(к; к - и)Р(8; у)а [[(к - и)р + V11 j + +Р(к; к - и)Р(8; 8 - у)а [(к - и)р + (8- V)р } +
+Р(к; и)Р(8,8 - у)с [(к - и)р + Vр ]. (6)
Используя выпуклости функций ), и свойства а) функции Р( к; ?), из (6) будем иметь
| /(х у) Рт,п(/;x, у) ^
< с[Р(к; и)Р(8; у)рйр~+ур + Р(к; к - и)Р(8, V) фк-йу+у7 + +Р(к; к - и)Р(8; 8 - V)р(к - и)р + (8- V)р + Р(к; и)Р(8; 8 - у)рир + (8- V)р ] < <С{[(ир + Vр )]Р(к; и)Р(8; V) + Р(к; к - и)Р(8, v)[(к - и)р + vp ] +
+[(к - и)р + (8 - V)р ]Р(к; к - и)Р(8; 8- у) + [(к - и)р + ур ]Р(к; к - и)Р(8, у)}17р ) =
= а>([ирР(к; и) + (к - и)р Р(к; к - и) + урР(8; у) + (8 - у)рР(8;8- у)]17р). (7)
Покажем, что для функции
а(и) = ирР(к; и) + (к - и)р Р(к; к - и), (8)
тах{а(и) : 0 < и < к} = а(к / 2) = (к / 2)р, 1 < р (9)
В силу того, что а(и) = а(к - и), то функцию (8) достаточно исследовать на отрезке [0,^2] . В силу того, что на отрезке [0,Ь/2] функция ир возрастает и вместе с функцией Р(к, и) выпукла вверх, а функция (к - и)р убывает и вместе с функцией Р(к, к - и) выпукла вниз, то из геометрических соображений и в силу того, что а(0) = а(к) = 0, сразу получаем равенство (9). По аналогичным соображениям получаем
тах{ур Р(8; у) + (8-у)рР(8;8-у) : 0 < V <8} = (8/2)р, 1 < р (10)
В силу (9) и (10) из неравенства (7) следует, что для произвольной функции /(х, у) е Н т'р (0) справедливо неравенство
| /(х, у) -р (/; х, у) |<ю 1рЦ- + -1 , 1 < р <ю. (11)
, 2\ тр пр
\ у
Положим
0£ := {Хк-1 < х < хк-1 +1 / (2т),у,- < у < у,- +1 / (2п)}; 0$ : < х < хк- +1 / (2т), у,- +1 / (2п) < у < у,};
:= К-1 +1 / (2т) < х < х^, у,- +1 / (2п) < у < у,}; 04) := К-1 +1 / (2т) < х < х^, у,- < у < у,- +1 / (2п)} и определим функцию /0 (х, у) следующими соотношениями
Л( x, у) :=<
(| х - хк_ 11р +1 у - у,-1 |р
/| х - хк_ 11р +1 у, - у|р ],
| хк - х |р +1 у, - у|р ],
(х,у) е 0к1)-
С к,, '
(х, у) е 0%;
р I хк - х|р + | у - ум|р ], (х, у) е 0к4/.
Покажем, что функция /0 (х, у) е Н<а'р (0) . Пусть М (х , у ),М (х , у ) - две произвольные точки квадрата 0 = {(х, у) : 0 < х, у < 1}. Из определения функции /0 (х, у) следует, что сущест-
вуют две точки \/[ (х ,у ) и \/[ (х ,у ), принадлежащие прямоугольнику
Q ' = {(х y) ■
0 < -X , 0 < y < „ 2 m' 2 n
1-) Inf'
/ 'я "
такие, что f0(M ) = fo(м ), f0(M ) = fa(м )
Pp (M ,M ) < Pp (M ',M "). Но тогда имеем
\f0(M' ) - f0(M ")\ = |f0(м ') - f0(M ')
о
<
<о
#у+(л2-#")2+(л2
<
< ß (¡lQx'-x'\p + \ у'-у'п) = o{Pp(M \m ")) ^ ® [pPiM 'W "))•
Поскольку, как легко проверить, ртп (f0; X, y) = 0, то имеем: ||f0( X, У) Pm,n (f0 ; X, У±в ) Hl f0( x y)ll
с (Q )
= о
1 1 л-+-
\(2m) p (2n)P
11 1
= О - P-+-
2\mP nP
, 1 < P
чем и завершаем доказательство теоремы.
Замечание. При р = 2 теорема доказана в [2]. Задачи одновременного приближения функций и их частных производных интерполяционными сплайнами рассмотрены в [3,4].
Поступило 06.11.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сторчай В.Ф., Лигун А.А. Об отклонении некоторых интрерполяционных сплайнов в метриках C и Lp. Теория приближения функций и ее приложения. - Институт математики АН УССР. - Киев, 1974, с.148-158.
2. Сторчай В.Ф. Приближение непрерывных функций двух переменных сплайн-функциями в метрике C. Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. - Днепропетровск, 1972, с.92-97.
3. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами. - Укр. матем. журнал, 1994, т.46, №1, с.1554-1560.
4. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами. - Мат. заметки, 1996, т.59. №1, с.142-159.
С.Н.Мехмонзода
НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯ^ОИ БЕФОСИЛАИ ДУТАГЙИРЁБАНДА БА ВОСИТАИ ^-СПЛАЙЩО ДАР МЕТРИКАИ С
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола кимати аники сардади болоии хатогии ^-сплайндои интерполятсионй аз функсиядои дутагйирёбандаи интерполятсионишаванда барои баъзе синфдои функсиядое, ки ба воситаи модули бефосилагй дода шуданд, дар метрикаи функсиядои бефосила ёфта шудааст. Калима^ои калидй: функсияи бисёрруя, модули бефосилагй, функсияи бараста, гиреууои панцара.
S.N.Mehmonzoda
APPROXIMATION OF CONTINUOUS FUNCTIONS OF TWO VARIABLES
BY ^-SPLINE IN С METRIC
Tajik National University
In this article the exact value of the upper bound of the deviations of ^-spline, interpolating functions of two variables for certain classes of functions defined by module of continuity in the uniform metric was found.
Key words: polyhedral functions, module of continuity, convex function, lattice of nodes.
