Приближение функций средними Бореля рядов Фурье по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

мысли 2006: материалы науч.-практ. конф. Днепропетровск, 2006. Т. 4. С. 65-69.

15. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной М.: Наука, 1974. 468 с.

УДК 517.51

Т. В. Иофина

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: [email protected]

В настоящей статье мы рассматриваем средние Бореля по системам Виленкина с ограниченной образующей последовательностью и получаем некоторые оценки приближений этими средними по норме Lp, а также в равномерной норме и норме типа Гёльдера в классах функций с заданной мажорантой наилучших приближений или модуля непрерывности. В тригонометрическом случае близкие результаты получены П. Чандрой, Л. Рем-пульской и К. Томчаком.

Ключевые слова: системы Виленкина с ограниченной образующей последовательностью, средние Бореля, метрика типа Гёльдера, Lp-норма, равномерная норма.

16. Кириллова Ф. М., Чуракова С. В. Относительная управляемость линейных динамических систем с запаздыванием // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 6. С. 1260-1263.

Approximation of Functions by Borel Means of Fourier Series with Respect to Multiplicative Systems

T.V. Iofina

Saratov State University,

Chair of Theory of Functions and Approximations E-mail: [email protected]

In the present paper we consider Borel means of Fourier series with respect to Vilenkin systems with bounded generating sequence and obtain some estimates of approximation by this means in Lp, uniform and Holder type norm in classes of functions with given majorant of best approximation or modulus of continuity. In the trigonometric case similar results were established by P.Chandra, L.Rempulska and K.Tomczak.

Key words: Vilenkin systems with bounded generating sequence, Borel means, Holder type metric, Lp-norm, uniform norm.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ СРЕДНИМИ БОРЕЛЯ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

ВВЕДЕНИЕ

Пусть 2п-периодическая функция / е £[0, 2п], Бп(/) — частичные суммы ее ряда Фурье. Тогда

n V

те

, — r „П I

величина Br = e-r rnSn(f )/n! называется средними Бореля функции f. Метод суммирования по

n=0

Борелю является регулярным [1, §4.12].

Обозначим через пространство Гёльдера, т.е. множество функций f е Lp[0, 2п], для которых выполнено неравенство ||f(■ + h) — f (-)||p < u(h), где u(h) — некоторый модуль непрерывности. Норму

в этих пространствах определим равенством ||f ||шр = ||f ||p + sup ||f( + h) — f( )||p. Приближение

he(o,n] u(h)

функций в метрике Гёльдера первым начал изучать З. Прёсдорф [2]. В работах [3-5] изучались оценки приближений средними Бореля в метрике Гёльдера. Так, в работе [3] была доказана следующая теорема.

Теорема А. Пусть f е Lipe[0,2п], т.е. f е И^3, где up(h) = he, 0 < а < в < 1. Тогда

||Br(f) — f ||We= O(ra-e logr).

Л. Ремпульска и К. Томчак [5] обобщили результаты, полученные Чандрой, для случая f е Lp[0, 2п], 1 < p < ro, и получили оценки приближений функций средними Бореля через модули непрерывности различных порядков. Ими были доказаны следующие теоремы.

Теорема B. Для фиксированного 1 < p < ro и q е N существует константа C = C (p,q), что для любой функции f е Lp[0,2п] справедлива оценка

||Br (f) — f ||p < CArpUq (1/r, f,p),

где uq (1/r; f,p) — модуль непрерывности порядка q и Ar,p = < ' < P < ;

I ln(r + 2), p = 1, oo.

Теорема С. Пусть , ^ — модули непрерывности порядка д, q е М, величина Агр определяется, как в теореме В. Если \ := возрастает, то для любой функции / е Ир4, 1 < р < го справедлива оценка

ЦВг(/) - / 1к,р < САГ,Р\Ч(1/г) вир ^(/,Р).

Метод Бореля в применении к мультипликативным системам, насколько нам известно, еще не рассматривался. В данной работе получены аналоги теорем B и C (см. теоремы 1 и 3). Для рядов Фурье по системам Виленкина удобнее получать оценки в терминах наилучших приближений по системе {%п, а вместо Ир^ рассматривать Ер(е), которые можно назвать пространствами с метрикой типа Гёльдера. Приближения в метрике Гёльдера другими методами суммирования для системы {хп}£°=0 изучались в [6].

1. НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть {рп— последовательность натуральных чисел, такая что 2 < pi < N, г е N. Положим по определению т0 = 1, тп = р1 р2...рп при п е N.

Каждое х е [0,1) имеет разложение

те

х.

x = У^ ——, 0 < xn < pn, xn e Z, n e N. (1)

^ m—

n=1

Для x = k/mi, 0 < k < mi, k, l e N берем разложение с конечным числом xn = 0. Для x, y, запи-

те

санных в виде (1), полагаем x Q y = z = £ zn/mn, где 0 < zn < pn, zn e Z, zn = xn — yn( mod pn).

n=1

Сумма x © y определяется аналогично. Каждое k e Z+ = {0,1, 2,... } представимо в виде

те

k = ^^ knmn-1, kn e Z, 0 < kn < pn, n e N. (2)

n=1

Для x e [0,1) и k e Z+, записанных в виде (1) и (2), положим по определению Xk(x) = / те \

= exp 2ni £ xjkj/pj . Система функций {x—}—=о называется мультипликативной системой, или

V j=1 )

системой Виленкина и является ортонормированной и полной в L[0,1), причем

Xk(x © y) = Xk (x)Xk (y); Xk(x Q y) = Xk (x)Xk (y)

для почти всех y при фиксированном x e [0,1) (см. [7, §1.5]).

Коэффициенты Фурье и частичная сумма Фурье для f e L[0,1) по системе Виленкина задаются

л 1 __n — 1 л

формулами /(k) = / f (x)Xk (x) dx, k e Z+, Sn (f)(x) = £ f(k)Xk (x), n e N. Для f,g e L[0,1)

0 k=0

1 1

свертка f * g задается формулой f * g(x) = J f (x Q t)g(t) dt = / f (t)g(x Q t) dt. Далее важную роль

00 1 n —1

имеет представление Sn(f)(x) = / f (x Q t)Dn(t) dt, где Dn(t) = £ Xk(t), n e N — ядро Дирихле.

0 k=0 Будем рассматривать пространства Lp[0,1), 1 < p < го, измеримых интегрируемых в p-й степени

(1 V/P

функций с нормой ||f ||p = I J |f (t)|pdt I , 1 < p < го, и C*[0,1), снабженное нормой ||f ||те =

= sup |f (x)| и состоящее из ограниченных функций, для которых справедливо

же[о,1)

lim ||f (x) — f (x Q h)|U = 0. h^0

Во всех указанных пространствах определим модуль непрерывности следующим образом: <^*(f, 5)p = sup ||f (x Q h) — f (x)||p, 1 < p < го. При 5 = 1/mn, n e Z+, величину o>*(f, 5)p будем

0<h<S

обозначать как (f )p. Пусть Pn := {f e L1 [0,1) : f(k) = 0, k > n}. Тогда наилучшее приближение

по системе Виленкина порядка n вводится следующим образом: En(/)p := inf(||/ — tn||p : tn e Pn}.

Пусть <¿>(5) — функция типа модуля непрерывности (<(5) e О), т.е. <(5) непрерывна и возрастает

на [0,1), причем <(0) = 0 и <(t) > 0 при t > 0. Тогда пространство Hpp [0,1) состоит из / e Lp[0,1)

(1 < p < оо) или / e C*[0,1) (p = оо ), таких что <*(/, 5)p < C<(5), где C зависит только от /. Через

hi1 обозначим подпространство ЯР , такое что для / e hp справедливо lim <*(/, h)p/<(h) = 0. Про-p p p h^ü

странства hp[0,1) и Hp[0,1) с нормой ||/||p,p = ||/||p + sup <*(/, h)p/<(h) являются банаховыми [2].

ü<h<1

При <(5) = 5a, а > 0, 1 < p < оо, пространство Hp [0,1) обозначается через Lip*(a,p). Ясно, что при 0 < ß < а верно Lip*(a,p) с Lip*(ß,p) и ||/||р>в < ||/||p,a.

Пусть е = (еп}^=1 — убывающая к 0 положительная последовательность. Тогда, по определению, Ep(е) состоит из / e Lp[0,1), 1 < p < оо, или / e C*[0,1), p = оо, таких что

||/||ер(е) = ||/||p + supEk(/)p/efe < оо. Через ер(е) обозначим множество функций / e Ep(e),

кем

1 < p < оо, для которых справедливо равенство lim Ek(/)p/ek = 0.

п^те

те r п

В работе изучаются оценки приближений функций величинами Br(/)(x) = e-r ^ —-Sn+1 (/)(x),

n=ü n!

называемыми средними Бореля.

В дальнейшем через Cj, i e N и C(p) будем обозначать некоторые константы, зависящие только от обозначенных аргументов.

2. ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЙ СРЕДНИМИ БОРЕЛЯ В РАВНОМЕРНОЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТРИКАХ

В данном разделе выводятся оценки приближений функций из Lp[0,1), 1 < p < оо и C*[0,1) средними Бореля.

Лемма 1. Для / e Lp[0,1), 1 < p < оо, верно неравенство ||Sn(/, x)||p < C(p)|/||p, n e N, где C(p) не зависит от / и n.

Для произвольных (в том числе и неограниченных) последовательностей (pn }£=i лемма установлена Шиппом [8] и Сайманом [9].

Лемма 2 ([10, гл. 4, § 3, 4]). 1. Для всех n e N и x e (0,1) верно неравенство |Dn(x)| < N/x, где pn < N для всех n e N.

2. Существует C > 0, такое что для всех n e N верна оценка ||Dn|1 < C ln(n + 2). Результат следующей леммы принадлежит А.В. Ефимову [7, §10.5]. Лемма 3. Пусть / e Lp[0,1), 1 < p < оо, или / e C* [0,1) (p = оо). Тогда

2-1<*(/, 1/mn)p < Em„(/)p < ||/ — Sm„(/)|p < <*(/, 1/mn)p, n e N.

В дальнейшем, следуя обозначениям теоремы В, будем использовать величину Ar,p равную 1 при 1 < p < оо и ln(r + 2) при p = 1, оо.

Лемма 4. Для всех / e Lp[0,1), 1 < p < оо, и / e C*[0,1) (p = оо) при r > 1 справедлива оценка ||B(/)|p < C(p)||/||pAr,p .

Доказательство. По лемме 1 имеем ||Sk(/)||p < C11|/||p при 1 < p < оо и по лемме 2 ||Sk(/)||p < < ||/||p||Dk||1 < C2 ln(k + 2)||/||p при p = 1 или p = оо. Тогда при 1 < p < оо сразу получаем

те rn

||B(/)||p < C1e-^ -1|/||p = C11|/||p.

n=0

При p = 1, и r > 1

_ rn

B(/)|p < C2e-r ^ — ln(n + 2)|/||p <

n=ü n-

[r]

< C2e-r(X] n ln(r + 2)+ jr n ln(n + 2)) ||/||p = C2e-r(£1 + £2

,n=ü n=[r] + 1

p 2 1 2 p

Оценим £2. Поскольку 1п х/х убывает при х > е, можно записать при г > 1

< 3 V Ш(П±2) < 31п([г]+2)г V < Зе' 1п(г + 2).

^ (п - 1)! п ±2 - [г] ±2 ^ (п - 1)1" V ;

Так как Е1 < £ гп 1п(г + 2)/п! = ег 1п(г + 2), то оценка леммы 1 верна при С(р) = С2(3 + 1) = 4С2.

п=0

Лемма доказана.

Замечание 1. Аналогично доказательству леммы 4 доказывается оценка

_ гп

V ^п+1 < С 1п(г + 2). ^ п! 1

п=0

Следствие 1. Пусть / е £р[0,1), 1 < р < го. Тогда

Еп(В(/))р < С(р)Еп(/)рАг,р, ^п(В(/))р < С(р)^п(/)рАг,р, п е N.

Доказательство. Ясно, что для ¿п е Рп имеем Вг(¿п) е Рп. Обозначим через ¿п полином наилучшего приближения для / в £р, т.е. ||/ — ¿п||р = Еп(/)р. Известно, что для любой / е Ьр[0,1), 1 < р < го, ¿п существует ([11], глава 1, §8). По лемме 4 имеем

Еп (Вг (/))р < ||Вг (/) — Вг (^п)|р < С1|/ — ¿п УрАГ,р = С1 Еп (/)р Аг,р.

Второе неравенство следствия вытекает из первого и леммы 3. При р = 1, го оно следует также из неравенства ||/* #||р < ||/|р|д|1 и замечания 1. Следствие доказано.

Теорема 1. Пусть / е £р [0,1), 1 < р < го или / е С * [0,1) (р = го). Тогда

[г] к

_ гк

||В(/) — /||р < С(р)АГ)^ -е-гЕк+1(/)р.

к=0 !

Доказательство. Пусть п е N и Еп(/)р = ||/ — ¿п ||р, ¿п е Рп. Тогда в силу оценки леммы 4 имеем

||Вг (/) — / Ур < ||Вг (/) — Вг (^п )|р + ||Вг (^п ) — ¿пУр + У^п — / Ур < ||Вг (^п) — ¿пУр + С1 Аг,рЕп(/)р.

Как указано выше, Вг(¿п) е Рп и 5к(¿п) = ¿п при к > п, поэтому

в (^п) ¿п Ур

п-1 к

е Г (^к + 1(^п ) — ¿п)

к=0 !

п-1 к

< С2 -Г е ГЕк+1(^п )рАг,р к=0 !

Так как при к < п справедливо Ек+1 (¿п)р < Ек+1 (¿п — /)р + Ек+1 (/)р < Еп(/)р + Ек+1 (/)р < < 2Ек+1 (/)р, оценка для ||£г(/) — /||р примет вид

п ^к

В (/) — /Ур < С1 Аг,рЕп(/)р + 2С2Аг,р ^^ —уе гЕк+1(/)р,

к=0 !

где п е N произвольно. Докажем, что при п = [г] верно неравенство

пк У^ е-г ^ к! е

к=0

> С 4

(3)

(4)

п+т

Пусть т = [г1/2]. Сравним = £ гк/к! и 52 = £ гк/к!. Для этого обозначим

к=п-т

к=п+1

п-к

ап,к

-п+к п(п + к) Л 1

(п — к)! (п + к)! г2

1 ... Л _ (к—Д

пп

где 1 < к < т. В силу неравенства П (1 + Л) > 1 + £ Л при Л > —1, п е N, получаем, что

i=l i=l

к-1 2 г2

т

г2

гг ап,к > 1 — £ -2 > 1 — £ -2 = 1 —

i=l

i=l

т(т + 1)(2т + 1) 6г2

В силу определения г последнее выражение стремится к 1 при г ^ го. При достаточно больших г получаем

51 > 52/2. (5)

оо

р

п

г

г

Далее, поскольку rk/k! убывает при k > n = [r] и возрастает при 1 < k < [r] — 1, то S ^^ k! < (n + m)! ( + (n + m) + (n + m)2 + ) < (n + m)! ( n + m) <

k—n ^^

2nrn+m 4nrn-m n ^ rk

< ( ^ м < ^-VT< 4— Е TT < 8S1. (6)

m(n + m)! m(n — m)! m2 , ^^ k!

k—n—m

Здесь в предпоследнем неравенстве использовано неравенство an,k > 1/2 при k = m и достаточно

те

больших г, а в последнем неравенстве применена оценка (5). Наконец, для 54 = £ гк/к! имеем

к=2п+1

в силу неравенства г/(2п + 1) < 1/2, убывания гк/к!, а также (5) и (6), что

S4 - (2n + 1)! V1 + (2n + 1) + (2n + 1)2 + "J - (2n + 1)! —

— П Z kr = 2n-1 (S2 + S3) - . (7)

n ^ k! n

k=n+1

Из полученных соотношений (5)-(7) следует, что

у тТ^ = er — S2 — S3 — S4 > er — 8S1 — 2S1 — —, k=0(k!) n

n

откуда 12 £ rk/k! > 12S1 > er при достаточно больших r. Из последнего неравенства легко следует

k=0

нужная оценка (4).

В итоге, используя (4) и убывание Ek(f)p по k, получаем

[r] rk

En(f)p < C5 Z k!e—ГEk+1 (f )p. k=0 k!

Подставляя данное неравенство в (3), доказываем теорему.

Замечание 2. Правая часть неравенства в теореме 1, при p = 1, го не всегда стремится к 0 при r ^ го.

Применив теорему 1 для функций из классов Липшица, получим следующую оценку, правая часть которой стремиться к 0 для любого p при r ^ го.

Следствие 2. Пусть f e Lip* (a,p), 1 < p < го, a > 0. Тогда при r > 1

— a

IB(f) - f lip < с(p)Ar,pr-a.

Доказательство. Так как для f e Lip*(a,p), a > 0, по лемме 3 верно соотношение Ek(f)p =

[r]

rVJ )p~ J lip — w1^r,p

= O(k a), то согласно теореме 1 имеем ||Br(f)p — f ||p < C1Ar,p £ rke r(k + 1) a/k!. Оценим правую

k=0

часть неравенства

[r] k [r] k /11

J := Ar,p £ ke-r(k + 1)-a < Ar,p(r + 1)-ae-^ k k+y k=0 ! k=0 ! V

(r + Пa (r + 1 \m ( 2r \m

Пусть m = [a] + 1 e N. Тогда ( k+y ) — ( k+1 / < \ k + 1 J при ^ — k — [r] и мы получаем

_[r]_ rk+m 2m ^ rk+m (k +1) (k + m)

J — Ar,p(r + 1)-ae-r £ — 2m-4,,(r + 1)-ae-r £ (¡^ —

^ rk+m

— 2mm!Ar)p(r + 1)"ae"^ (k + = C (a)(r + 1)"aAr,p

k=o (k + m)!

1r,p'

3. ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЙ СРЕДНИМИ БОРЕЛЯ В МЕТРИКАХ ТИПА ГЁЛЬДЕРА

В данном разделе мы получаем оценки приближений функций средними Бореля в метриках Гёль-дера и типа Гёльдера.

Лемма 5. Пусть / е Ер(е) или / е Нр, 1 < р < оо . Тогда при фиксированном г > 1 имеем В' (/) е Ер (е) или В' (/) е Нр соответственно, причем справедливы оценки

||Br (/)||ep (е) < C (p)Ar,p|/||Ep(e), |B (/)||я« < C (p)A,p ||/||Я« . Доказательство вытекает из определения норм, леммы 4 и следствия 1.

Следствие 3. Пусть / e ep (е) или / e hp, 1 < p < оо, тогда Br (/) e ep(e) или Br (/) e hp соответственно.

Доказательство. Пусть / e ep(е), следовательно, En(/)p < апеп, где lim ап = 0. Тогда по

п^те

следствию 1 En (Br (/))p < C1an enAr,p. Снова lim En(Br (/))p/en = 0, т.е. Br (/) e ep (е). Для hP

п^те

доказательство аналогично. Следствие доказано.

Теорема 2. Пусть / e Ep(е), 1 < p < оо, последовательности е, 5, А таковы, что еп, 5п и Ап = еп/5п положительны и убывают к 0, причем

п к

_ nк

ЕтTT ек+1 = еп+1). (8)

к=0 '

Тогда справедливо неравенство ||Br(/) — /||Ep(^ < C(p)Ar,pA[r].

Доказательство. Оценим следующее выражение с помощью следствия 1

Ek (Br (/) — /)p . Ek (Br (/))p + Ek (/)p .

sup ---- < sup --f-- <

k>[r] 5k k> [r] 5k

S sup (1 + Ar,p)Efc (/)p ^ C1Ar,p£fc _ C A .

S SUp --- S SUp --- _ CiAr,pA[rj.

k>[r] Ofc k>[r] Ofc

В то же время

sup Ek(Br(/) - /)p s ||Br(/) - /у,

0<k<[r] 5k ¿[г]

В силу теоремы 1 и условия (8) имеем ||Вг (f) — f ||p = O(Ar>p£[r]), откуда sup Ek(Вг(f) — f)/5k = O(Ar>pA[r]). Оценка ||Вг(f) — f||p = O(Ar,pA[r]) очевидна. Объединяя

0<k<[r]

полученные выше результаты, получаем нужное неравенство.

Следствие 4. Пусть ek = k-e, 5k = k-a, 0 < a < в• Тогда для f е Ep(е) имеем

||Вг(f) — f < CAr,pra-e.

Для доказательства необходимо отметить, что согласно доказательству следствия 2 последовательность ek = k-e удовлетворяет условию (8), а en/5n убывает к 0.

Будем говорить, что <¿>(5) удовлетворяет Д2-условию, если <¿>(25) < Cw(5).

Лемма 7. Если ^(5) е О удовлетворяет Д2-условию, то нормы пространств Ep(e), где еп = = w(1/n), и Яр, 1 < p < оо эквивалентны•

Доказательство. Пусть f е Ep(e) и 5 е [1/(k+1), 1/k) С [1/mn+1, 1/mn), n е Z+, k е N. Согласно Д2-условию и неравенству А.В. Ефимова (лемма 3) имеем при a = [log2 N] + 1

^ (f'5)p < 1/mn)p < Ca ^ (f, 1/mn)p < 2Ca Emn (f )p < 2C«|f ||e (e). (9)

Здесь использовалось неравенство w(1/mn) = w(pn+1 /mn+1) < w(2[log2 N]+1 /mn+1) < C[log2 N]+1 x x w(1/mn+1). Из (9) находим, что ||f ||p,w < (2Ca + 1)||f ||Sp(e). Обратно, пусть f е Яр и k е [mn,mn+1), n е Z+. Тогда

Ek (f )p < Ern„ (f )p < C a Emn (f )p < C a ^ (f, 1/mn)p < с a||f ||

еШта w(1/mn) '

откуда ||f ||ep(e) < (1 + Ca)||f ||p>w. Лемма доказана.

Терема 3. Пусть f e Hp и w, д, к e О и w(5)/,u(5) = к(5). Если для ek = w(1/k) выполнено условие (8), w удовлетворяет Д2-условию, то ||Br(f)p — f ||p>^ < C(p)Ar,pK(1/r).

Доказательство вытекает из теоремы 2 и леммы 7. Следует отметить, что к(1/[г]) < Ск(1/г) в силу Д2-условия на к, которое легко следует из Д2-условия на w.

Следствие 5. Пусть f e Lip* (e,p), д(5) = 5a, 0 < a < в• Тогда при r > 1

||Br(f) — f ||p,^ < С(p)Ar,pra—в.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ по государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).

Библиографический список

1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. 504 с.

2. Prossdorf S. Zur Konvergenz der Fourierreihen holderstetiger Funktionen // Math. Nachr. 1975. Vol. 69. P. 7-14.

3. Chandra P. Degree of approximation of functions in the Holder metric by Borel means //J. Math. Anal. Appl. 1990. Vol. 149. P. 236-248.

4. Das G., Ojha A. K., Ray B. K. Degree of approximation of functions associated with Hardy - Littlewood series in the Holder metric by Borel means //J. Math. Anal. Appl. 1998. Vol. 210, № 2. P. 279-293.

5. Rempulska L., Tomczak K. On Euler and Borel means of Fourier series in Holder spases // Proc. of A. Razmadze Math. Institute. 2006. Vol. 140. P. 141-153.

6. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree on approximation by means of Fourier - Vilenkin series in

УДК 511.3

Holder and Lp norm // East J. on Approximations. 2009. Vol. 15, № 2. P. 143-158.

7. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. M.: Наука, 1987. 344 с.

8. Schipp F. On Lp-norm convergence of series with respect to product systems // Anal. Math. 1976. Vol. 2. P. 49-64.

9. Simon P. Verallgemeinerte Walsch - Fourierreihen // Acta Math. Hungar. 1976. Vol. 27, № 3-4. P. 329-341.

10. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981. 180 с.

11. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимаций. М.: ГИТТЛ, 1947. 324 с.

К ВОПРОСУ ОПИСАНИЯ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ И УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТИПА РИМАНА

В.Н. Кузнецов, О.А. Полякова

Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел E-mail: [email protected]

В работе получены условия на коэффициенты ряда Дирихле, при которых этот ряд определяет целую функцию и удовлетворяет функциональному уравнению типа Римана. Показано, что существует бесчисленное множество таких рядов, отличных от L-функции Дирихле.

Ключевые слова: ряд Дирихле, функциональное уравнение, L-функция Дирихле.

On Characterization Determining Entire Functions

and Consistent with Riman's Type Equation Dirichlet's Series

with Finetly-Valued Coefficients

V. N. Kuznetsov, O. A. Polyakova

Saratov State University,

Chair of Computing Algebra and the Number Theory E-mail: [email protected]

In the investigation were founded specifications for Dirichlet's series coefficients, wherein this series determine entire function and measure up functional Riman's type equation. Were shown that exist infinit multitude of such series that are different from Dirichlet's L-functions.

Key words:

L-function.

Dirichlet's series, functional equation, Dirichlet's

Известно [1], что ¿-функции Дирихле для неглавного характера х определяют целые функции и удовлетворяют функциональному уравнению вида

a —

2

Г

s + 5

L(s,X)=( k

п

s+^1

Г

1 — s + 5

)l(1 — s,X),

(1)

k

2

2

2

п