Приближение функций двух переменных в пространствах Lр(ℝ2) и Lр(ℝ2+) по направлениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

Н. Ю. Додсонов, В. В. Жук

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 2

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ПРОСТРАНСТВАХ £Р(М2) И £Р(М+) ПО НАПРАВЛЕНИЯМ*

В дальнейшем, С, М, М+, N суть, соответственно, множества комплексных, вещественных, неотрицательных вещественных, натуральных чисел; если А — некоторое множество, то Ат = А х А х ... х А (т раз).

Пусть Е С М”, 1 < р < ж. Тогда £Р(Е) множество измеримых функций /: Е ^ С, для которых

II/1и = ( 1Е I/1Р) "< ж.

Через С(Е) обозначим пространство равномерно непрерывных, ограниченных функций /: Е ^ С с нормой

||/||ТО,Е = вир |/(х)|.

Е

Полагаем £ТО(Е) = С(Е). Если х € М”, то х\,... ,хп —координаты х, то есть х = (хь ... ,хп).

Пусть г € М, а,Ь € М, х € М2, /: М2 ^ С. Тогда

ДГа(/,х) = ^^( — 1)г кСк/(хх + сова,х2 + вта),

к=о

Г

<*Г,а(/>ж) = (Ж1 + соэа, ж2 + (^ “ &) ^та) .

В работе рассматривается вопрос, как связано поведение величин

ДГ,а(/, )Фп(^')^^

Р Е

при п ^ ж, где ^ С М, Е есть М2 или М+, а фп —положительное ядро, со структурными свойствами функции /, характеризуемыми ее модулями непрерывности «по направлениям».

Работа состоит из двух параграфов. Первый параграф содержит обозначения и вспомогательные предложения, во втором параграфе устанавливаются результаты общего характера и приводится пример их приложений к конкретным методам приближения.

§ 1. Предварительные сведения

1. Введем ряд обозначений. Пусть 1 < р < ж, / € £Р(Е), где Е € {М2,М+}, Н > 0, г — 1 € М, х € Е. Тогда полагаем

К К

= 2 / / ЯХ1 + ^,ж2 +г>)^г/Лг>, ^Д/) = ^д(^,г-1(/)).

оо

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00742). © Н.Ю.Додонов, В.В.Жук, 2008

Функция Sh,r (f) называется функцией Стеклова r-го порядка с шагом h для функции f.

Пусть 1 < p < ж, f G Lp(E), где E G {R2,R+}, h > 0, r G N, a G R. Положим

^r,a(f,h)p,E = sup ||дг (f)Ур,Е.

0<t<h

Величина wr,a(f, h)p,E называется модулем непрерывности порядка r с шагом h по направлению (cos a, sin a) функции f в пространстве Lp(E).

Через cPr)(E) обозначаем множество функций f G C(E), у которых все частные производные до порядка r (включительно) принадлежат C(E) П Lp(E).

2. Нам понадобятся следующие известные утверждения.

Лемма А. Пусть 1 < p < ж, E G {R2, R+}, f G Lp(E), h > 0, r G N, x G E. Тогда

1) имеет место соотношение

rh rh

Sh,r (f,x) = y / f (xi + u,X2 + v)^h,r (u)^h,r (v)dudv, (1)

00

где

^h,r G C([0,rh]),

2) справедливо равенство

rh

^h,r (t) > 0 при t G [0, rh], J ^h,r = 1;

lim ||f - Sh,r||p,£ = 0; h—0+

3)

имеет место включение

Sh,r+2(f) G Cpr+1)(E).

(2)

(3)

Лемма В (обобщенное неравенство Минковского для интегралов, см., например [1, с. 23, 24]). Пусть 1 < р < ж, М” — пространство М” точек х, М"1 — пространство Мт

точек у, y>(x, у) — измеримая функция, заданная на R^ х Rm. Тогда

^(,y)dy

P,RS

< II^C• , y)Hp,RS-dy-

JRm

(4)

3. Установим ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть 1 < р < ж, а € М, Н > 0, х € М2, Е и А — промежутки в М,

. Положим

A С E, : E —— R+, G Li(E), f G Lp

Un,a(f,x)= f Ar,a(f, x)^„(t)dt, A„,fc =

./ E

t ^„(t)dt

^n,fc = f |t|k^„(t)dt. J A

Тогда если при некотором г € N и всеж т € N имеют место соотношения Дт,Г > 0, ^т,Г+1 < ж и выполнены равенства

Пт = о,

П—— ^О Д„ r

lim Д„ r / = 0

п—О ’ J E\A

A

Ит Л-1,||[/„,«(/)||рд2 <К

П—— ^

влечет соотношение

Е

2(/) , . г_,

С і----г2----— сов^авт ■)а

< к.

Доказательство. Вместо #: М ^ С, то

||рд2 и ^ь,г+2 будем писать просто || • У и если

Г

Д£ (£,х)=^(-1)Г-кС^(х + *і)

к=0

— ее конечная разность г-го порядка. Положим 7 = г + 2.

Прежде всего отметим, что из соотношения 5ПіГ+1 < ж (в силу известного неравенства Гёльдера) следует конечность величин Дп,г. Очевидно, что

ип,а(5(/),*)=/ Д£а(5(/),ж)^(і)^ = / 5(Д£а(/),х)^„(^.

Зе З Е

Отсюда, принимая во внимание (1), находим, что

(7Л, 7^ \

J У ДГа(/,Х1 + М1,Х2 + М2)^Ь , 7(«і)^Ь л(^Ммі^і ^п(^)^. (5)

0 0 /

Покажем, что функция

/(ж,и,£) = Д а(/,х + м)^ь ,7 («і)^Ь ,7 («2)^п(і)|

при почти всех х € М2 суммируема по переменным и и £ на множестве [0, 7Н]2 х Е = ^. Действительно, применяя лемму В, имеем

[ 1( • ,М) < [ ||1(• ,М)|| < [ ||ДГ,а(/,- + и)1^Н,7(М1)^Н,7(м2)^п(£)^М1^М2^£ <

7.р </.р </.р

< 2ГI

/ (иі)^^,7 (и2)^п(^иі^и2^£ = 2ГУ/|| / < Ж.

/Е ./Е

Из установленного неравенства

/ 1( • , и, £) Зр

< ж

следует, что 1(х, м,£)^мЛ конечен при почти всех х € М2. Принимая во внимание этот факт и известную теорему Фубини о повторных интегралах, в силу (5) для почти всех х € М2 имеем

Цп^ (/),х) = 5(ип,а(/),х).

Опираясь на это равенство и применяя лемму В, находим, что

НЦп.аТО))|| = НЯ(Цп,а(/))|<|Цп,а(/)|| .

(6)

Р

Положим

gx(t) = S(f, x1 + t cos a, x2 + t sin a). Принимая во внимание (3), нетрудно убедиться, что

д^а ),х) = дг (gx, 0) =

Jxi t t

=/... J gXr)(yl+...+yr )dyl... dyr =

о о

t t / yi+...+yr

= gXr)(0)tr ...J I J gXr+1)(z)dzj dyl ...dyr.

оо

Снова применяя лемму В, получаем

* * /У1+---+Уг

/.../(У* ^(г+1)(^)^^|^^1...%

о о о Из сказанного следует, что

Дt,a(S(/), • )^n(t)dt

> ||g(r)(0)|^n,r - r^g^1 ■'(О^.г+ь

< rHg-(r+1)(0)H

(r-1)/

ir + l

Теперь, опираясь на это соотношение и неравенство (6), находим, что

/ Д^(/), • )^n(t)dt < l|Un,a(S(/))У + / ДГ,«^(/), • )^n(t)dt <

A E\A

< ||Un,a(/)У +2r || S (/)|| / Vn

E\A

Следовательно, „(r)

l|g(r)H < Д-г( Ja ДГ,^(/), • )^n(t)dt + rllg.^WH^r+l) <

< Д-lr (l|Un,a(/)H +2r ||S (/)У jE\A ^n + rllg^^lK.r+lj .

Таким образом,

||gr(r)(0)|| < lim Д J,||£/„i0,(/)|| + 2r||S'(/)|| lirn Д * f фп + r\\g{r+1)(0)\\ lim

n—> oo п-юс j£;\A n^°<

^n,r+1 Д” r

= lim Д-1,IIUn,a(f)II < K.

n—— О

Остается принять во внимание, что l|g(r)(0)ll

fyj drShr/( f) 7 • Г-7

> CJr-------.. _—7 cos-' a sin J a

A

Замечание 1. Лемма 1 справедлива и при р = ж. Доказательство замечания 1 аналогично доказательству леммы 1, но несколько проще.

Замечание 2. В лемме 1 и замечании 1 разность ДГ а(/) можно заменить на #Г а(/). Доказательство не меняется.

Лемма 2. Пусть 1 < р < оо; о. € [0; К > 0, х € М+, Е и А — промежутки в М+, А С Е, ^п: Е ^ М+, ^п € ^1(Е), / € £Р(М+). Положим

Цп, а(/,х)= [ ДГ а(/,х)^п(£)й£, Дп , к = [ £к^п(£)Л.

ЕЕ

Тогда если при некотором г € N и всех т € N имеют место соотношения Дт ,Г > 0, Дт, Г+1 < ж и выполнены равенства

Ит ^Г±1 = о,

Дп

lim Д

-1

E\A

^п = 0,

то неравенство

влечет соотношение

/^7 3rShr+2(f) , . r_,

> ~—— cos-' a sin J a

j=0

dxj dx2 ?

< K.

Иными словами, лемма 1 и замечание 1 остаются справедливыми, если в них всюду К заменить на И+ и потребовать, чтобы а £ [0, .

Доказательство леммы 2 близко к доказательству леммы 1.

Лемма 3. Пусть 1 < р < ж, г € N Е € {М2,М+}; а € [0, 2п], когда Е = М2, и а (Е [0, когда Е = / (Е £р(Е),

lim

/г—>-0+

Sc?

Тогда

?=о dxidx2 ?

sup t rWr,a(f,t)p,E < K.

0<t<o

K.

p,E

Доказательство. Вместо || • ||p,E, Sh,r+2, wr,a(f, h)p,E будем писать просто || • ||, Sh wr (f, h) соответственно. Положим

gx,h(f, u) = Sh(f, xi + и cos a, X2 + и sin a).

При и > 0 имеем

^,a(Sh(f ),x)=^(gx,h(f ), 0) =

и и

= / "I gX,h(У1 + ... + yr)dyi... dyr.

00

/4—— О

n—— О

p,R+

+

cos? a sinr ? a

Отсюда, применяя лемму B, находим, что

І|Ди,а(Ж/))||

и и

<

J ••• J д(Г) (yi + ••• + Уг )dyi ...dyr

о о

и и

J ••• J |g(,’h)(yi + ••• + Уг)ІИуі ...dyr < u|g(,’h)(0)|.

о о

Таким образом,

(Ж/),t) < tr k(>)||.

Далее, используя соотношение (2), имеем

К(/,t) - ^r(Sh(/),t)| < ^(/ - Sh(/),t) < 2rУ/- Sh(/)|| —- 0.

h—о+

Сопоставление (Т) и (8) приводит к соотношениям

vr(f,t)= lim ivr(Sh(f),t) < tr lim \\g^(0)\\.

h^0+ 0+ ’

Остается принять во внимание, что

iifirnii =

Ecr

5 = о

drS\r+2(f) dx{dxr2~J

(Т)

(8)

cosj a sin j а

§ 2. Основные результаты

1. Приступим к изложению основных результатов.

Теорема 1. Пусть І < p < то, G Є {R2,R+}; E и A — промежутки в R+, A С E,

фп\ Е —> R+; фп Є С\(Е), х Є О, / Є Cp(G), а Є [0,27т], когда О = R2 и а Є [0, §■]>

когда G = R+. Положим

Un,a(/,x)= [ ДГ0(/,ж)^п(І)^І, Дп,к = / |t|k^n(t)dt.

EA

Тогда если при некотором r Є N и всех m Є N имеют место соотношения Дто,г > 0, Дт,т+1 < то и выполнены равенства

lim A"’r+1 = 0, lim А~\. [ фп = 0, (9)

n—TO Дп,г п—то ’ _/E\A

то соотношения

Ит Л-1,||Un,a(f)IIp,g < К, (10)

п—— ^

sup t-rWr,a(/,t)p,G < K (11)

£Є(о,го)

эквивалентны, то есть выполнение одного из соотношений (10) и (11) влечет выполнение другого.

||Un,a(/)||p,G < / УАГ,а(/)ypiG^„(t)dt <

J E

< f ^r,a(/,t)p,G^n(t)dt < K f tr^„(t)dt + 2r II/||p,G f ^„(t)dt.

./E ./A ./ E\A

Отсюда и из соотношений (9) следует, что

lim Л-1,||Un,a(f)||PiG <К + T\\f\\p,G lim A^r f фп=К.

п—>-oo n^oo J E\A

С другой стороны, сопоставляя леммы 1-3 и замечание 1, сразу получаем, что неравенство (10) влечет неравенство (11).

Замечание 3. В теореме 1 если G = R2, то разность Д[ а(/, ж) можно заменить на величину а(/, ж).

Замечание 4. В теореме 1 если дополнительно потребовать G = R2; | £ N, то условие E и A — промежутки в R+ может быть заменено на условие E и A — промежутки в R.

Замечание 5. Замечание 4 остается в силе, если в нем разность Д[ а(/, ж) заменить на величину а(/, ж).

2. Сформулируем одномерные аналоги предложений, содержащихся в пункте 1. Пусть G € {R, R+}.

Для функции / одной переменной положим

r

дг (/,x) = ^(-i)r-fcck / (ж+kt),

k=0

r

ад *) = (ж + (i -k) *) >

k=0

Wr (/,h)p, G = sup 1Д (/)|p ,g .

0<t<h

Теорема 1'. Пусть 1 < p < то, G € {R,R+}, E, A — промежутки в R+, A С E,

^n: E ^ R+, € £i(E), ж € G, / € Lp(G). Положим

и„(/,ж)= [ Дг(/,ж)^„(4)^4, Д„ , fc = f |t|fc^„(t)dt.

./E ./A

Тогда если при некотором r € N и всех m € N имеют место соотношения Дт ,r > 0, Дт, r+i < то и выполнены равенства (9), то соотношения

Щп A^r\\Un(f)\\p,G < к, (10')

n—— W

sup t-rWr (/, t)p ,G < K (11')

£G(0 , oo)

эквивалентны, то есть выполнение одного из соотношений (10') и (11') влечет выполнение другого.

Для доказательства теоремы 1' достаточно применить теорему 1 к функции 7 (ж) = /(ж!)д(ж2), где д(ж2) функция из Lp(G), у которой ||g||p,G = 1 (при а = 0).

Замечание 3'. В теореме 1' если О = М, то разность Д[ (/, х) можно заменить на величину (/, х).

Замечание 4'. В теореме 1' если дополнительно потребовать О = М, г/2 € М, то условие Е и А — промежутки в М+ может быть заменено на условие: Е и А — промежутки в М.

Замечание 5'. Замечание 4' остается в силе, если в нем разность Д[(/, х) заменить на величину (/, х).

Отметим, что приведенные в пункте 2 результаты ранее для 2п-периодических функций были установлены в работе [2], их многомерные аналоги (другого типа, чем в пункте 1) —в работах [3, 4].

3. Приведем пример приложений теоремы 1. Пусть п, г € N. Положим

г=о

Функция Фп,г называется обобщенным ядром Фейера—Джексона—Валле Пуссена. Ясно, что

Ядра Фп,1 и Фп,2 являются классическими (см., например [5, с. 150]). Они в литературе называются, соответственно, ядрами Фейера—Валле Пуссена и Джексона— Валле Пуссена. С их помощью записываются методы приближения Фейера <тп(/) и Джексона—Валле Пуссена /п(/), играющие важную роль в теории аппроксимации:

Теорема 2. Пусть 1 < р < ж, О € {М2, М+}, х € О; а € [0, 2п], если О = М2, а £ [0, если С = п, г, то £ М, / £ Ср{0),

где

Г—1

Тогда: 1) если т < 2г — 2,

то соотношения

Пт

И ГЛ. Т77 II а,т,г (/)\\р,0 — К,

г^оо К (г, т)

яир £—т^т,а(/,-£)р,с < К

£Е(0,го)

эквивалентны.

n 2r 1 K (r)

Mm -------j-----------\\U„,a,2r-l,r(f)\\p,G < К,

n—— ^ in n

sup t-2r + 1W2r-l,a(/,t)p,G < K,

tG(0,ro)

где

n/2

2r

K(r) = (2r - 1)!2"

П2Л2г J

0

эквивалентны.

Доказательство. Нетрудно убедиться, что

п

^1( '

0

при в > 2r — 1;

0

при 0 < в < 2r — 1;

(2r — 1)!2в f sin2r u

~ wMr7lP yit (»- ~)

[tlr~,tnr(t)dt~ ' " /eiir’ Mt (n —со).

7 ’ п2Л2Г n2r 1 у

\2Г n2

00

Учитывая приведенные соотношения и применяя теорему 1 (при A = [0, п], E = R+) к оператору

ип,а(/? x) = UnJa!mJr (/ х)

получим требуемое.

Следствие 1. Пусть 1 < Р < го, G £ {К2, R+}, x £ G; а £ [0, 2п], когда G = К2, и a £ [О, ^-], когда G = R^_; / £ Cp(G),

°nAf^ = —\ А}а(/,*)(^) Л. пп 7к+ V t /

Тогда соотношения

ПП

МШ j---|kn,a(/)||p,G <

n—— ^ ln n

sup t-1Wija(/,t)p,G < K

tG(0,ro)

эквивалентны.

Следствие 2. Пусть выполнены условия следствия 1, A = [0, 2п] при G = К2 и А = [0, при G = R^_. Тогда соотношения

пп

МШ ---- SUp ||cr„,a(/)||p,G < К,

n—— ^ ln n aGA

sup t-1 sup Wi,a(/,t)p,G < K

£G(0,^) aGA

эквивалентны.

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. Физматлит, 1996. 480 с.

2. Жук А. С., Жук В. В. О приближении периодических функций линейными методами аппроксимации // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 134-164.

3. Додонов Н. Ю., Жук В. В. О приближении периодическх функций сингулярными интегралами с положительными ядрами // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 51-72.

4. Додонов Н. Ю., Жук В. В. Об аппроксимативных характеристиках функций многих переменных, входящих в классы насыщения модулей непрерывности различных порядков // Проблемы математического анализа. 2006. Вып. 33. С. 79-90.

5. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука. Физматлит, 1965. 408 с.

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.