CC BY
39
2012
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
№ 180
УДК 621.396.96
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО БАЗИСА И КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПОЛЯ В СЛУЧАЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛЯ ЧЕТЫРЁХВЕКТОРОМ
А.И. КОЗЛОВ, Э.А. ЛУТИН
В статье рассмотрена методика преобразования поляризационного базиса и координат вектора для случая представления поля четырёхвектором.
Ключевые слова: поляризация радиоволн, четырёхвектор, матрица преобразования.
Вектор поляризации может быть представлен с помощью четырех вещественных чисел. Такое представление удобно для обработки информации о поляризации с помощью ЭВМ, а также в связи с тем, что четыре компонента так называемого четырехвектора X!; XI; X3; X4 измеряются непосредственно с помощью когерентной аппаратуры.
Итак, поляризацию радиоволны можно представить в четырехмерном вещественном пространстве в виде вектора столбца (четырехвектора)
где X, - координаты комплексных амплитуд поля, т.е.
(1)
Е1 = Х1 + ]Х2; Е2 = Хз + ]Х4.
Очень важное значение имеет преобразование поляризационного базиса (ПБ) и координат вектора поля при переходе от одной системы координат к другой или от одного базиса к другому. Преобразование поляризационного базиса четырехвектора осуществляется с помощью матрицы преобразования базиса
Х н = КХс, (2)
где Хс и ЛГН - четырехвекторы, определяющие базис соответственно старой и новой системы
R
'31
'32
'33
'34
(3)
координат; ^41 ~42 ~43 ~44 -1 - четырехмерная матрица преобразования базиса.
Матрица преобразования четырехвектора может быть определена с помощью матрицы пре образования базиса вектора, записанного в комплексной форме [1]
Х1 + 2
X н = QXc = Q
x3 + JX4
(4)
где Q = ejj
cosy • ejn - smy • e siny • ej? - cosy • e-jn
- j?
(5)
- матрица преобразования вектора базиса, записанного в комплексной форме; у, П, £ - поляризационные параметры волны; р - фазовый параметр.
r
r
r
r
r
r
r
r
(6)
Производя перемножение матриц выражения (4) и выделяя действительную и мнимую час ти, можно определить новые значения координат базиса:
Х1Н = e j (xj cos gcos r¡ - x2 cos gsin r¡~ x3 sin gcos X - x4 sin gsin X)
X2Н = ej(xj cos gsin r + x2 cos gcosr + x3 sin gsinX- x4 sin gcos X); X3Н = eJj(x1 sin gcos X - x2 sin gsinX + x3 cos gcosr + x4 cos gsinr); X4Н _ eJj(x1 sin gsinX + x2 sin gcosX- x3 cos gsinr + x4 cos gcosr). С другой стороны, эти же координаты согласно (3) с учетом (2) имеют вид
Хкн = ¿rkiXi
i =1 ,
(7)
где к = 1, 2, 3, 4.
Сопоставляя слагаемые в равенстве для ^ле выражения (6) и (7), запишем матрицу преобразования базиса четырехвектора
R = e
j
cosg-cosr- cosg- sinr- sing- cosX- sing-sinX cos g-sinr + cos g- cosr + sin g- sinX - sin g- cosX sin g-cos X - sin g-sin X + cos g-cos r + cos g-cos r sin g-cos r + sin g-cos X - cos g-sin r + cosg-cos r
(8)
В такой матрице возможно выделить сомножитель, определяющий геометрические параметры преобразования, и сомножитель фазового состояния
к- = о, Оох
где D z =
D D -JD jD
- матрица, определяющая фазовое состояние базиса; Q
СЕ
Qo
Qo*
JQo - JQo
(9) (10)
(11)
- матрица, определяющая геометрические параметры базиса; знак * означает комплексное сопряжение параметра;
D = D(n)
Qo = Qo fe j ) =
ejn o
o e-jr
cosy
- smy e
- Jj
smy e cosy
j12
(12) (13)
Ф12 = п - £ - П.
Составляющие Б и Q0 имеют практическое значение, так как разделяют фазовые зависимости и геометрические параметры вектора поляризационного состояния волны при комплексном его представлении в новом базисе ввиду того, что выражение (5) может быть записано
Q = ej D (n )Qo (Y j ).
(14)
Следует отметить, что каждая матрица сомножитель последнего выражения инварианта к параметрам матрицы другого сомножителя и это весьма важно для описания параметров физических устройств, осуществляющих преобразование базиса.
В явном виде произведение (9) с учетом (10) и (11) можно записать
eh 0 e~h 0 cosg sin ej j cosg j sing- eJj
ej 0 e~h 0 eh - sing- e~Jj cosg - j sin g- e~M2 j cosg
2 - jej 0 je~JV 0 cosg sing- e~j2 -jcosg - j sin g- e~n
0 - jeh 0 je]\ - sin g- ej2 cosg j sing- e~Jj -jcosg
При перемножении матриц последнего выражения образуется матрица (7), каждый действительный член которой может быть представлен суммой двух комплексных величин, свертывающихся в одну действительную.
Представление действительной матрицы преобразования произведением двух комплексных матриц, инвариантных к параметрам друг друга, может оказаться весьма полезным для определения параметра функциональных узлов реальных практических преобразователей поляризации. Это произведение довольно просто связывает преобразование базиса комплексного вектора с помощью инвариантных сомножителей (14) с преобразованием базиса четырехвектора (9) единой методикой.
Целью введения четырехвектора было представление поляризационного состояния волны с помощью действительных чисел. Поэтому произведение комплексных матриц может оказаться неудобным. Однако разделение на инвариантные сомножители возможно и в действительной форме. Для этого разделим матрицы сомножителей выражения (9) на мнимую и действительную части
Б ^ = ЯеБх + ДшБ^;
Оох = + .
При этом в соответствии с (10) (9) можно записать
Я = 2 [ЯеБ , + , ][ЯеОо, + .¡«ох ], а в силу действительного характера матрицы преобразования
Я = 1 [ЯеБх • ЯеОох - МБх • 1шОох ]
Учитывая, что Б * = ЯеБ - ¡МБ и Q0* = - jJшQ0, матрица преобразования четырех-вектора может быть определена как
R =
1
2
ReD ReD JmD JmD
JmD - JmD -ReD ReD
JmQ0 - JmQ0
ReQ0 - ReQ0
ReQ0 -JшQ0 - JшQ0
Последнее выражение можно упростить, представляя каждую матрицу как сомножитель в диагональной форме ЯеБ 0
R
0 JmD
ReQ0 0 0 JmQ0
JmD 0 0 ReD
11 -1 -1
JmQ0 0 0 ReQ0
где Б и Q0 - матрицы, определяемые соответственно выражениями (12) и (13);
"1 -1" 1 -1
- единичная матрица.
Подставляя значения элементов матрицы преобразования, определим ее в явном виде
Я =
СОБ^ 0 0 0 " "1 0 -1 0 " СОБ у БШ уСОБ(|2 0 0
0 СОБ^ 0 0 0 1 0 -1 - БШ уСОБ (12 СОБ у 0 0
0 0 0 1 0 -1 0 0 0 БШу бШ уБШ(12
0 0 0 - БШ^ 0 1 0 -1 0 0 ъ\пу$\п(и 0
(15)
0 0 0 " "1 0 1 0 " "0 БтуБт((2 0 0
0 - 0 0 0 1 0 1 ъ\пу$\п(12 0 0 0
0 0 СОБ^ 0 -1 0 -1 0 0 0 СОБ у БШ уСОБ(12
0 0 0 СОБ^ 0 -1 0 -1 0 0 - БШ уСОБ (2 СОБ у
Обозначая первый и второй сомножители уменьшаемого соотношения (15) как второй , третий QR последнее выражение может быть записано в более компактной форме
^ = -DR-1TRQR-1}, (16)
где знак (-1) означает матрицу, обратную индексируемой; знак ~ означает транспонирование матрицы. Преобразование базиса влечет за собой и изменение координат четырехвектора, определяющего поляризацию волны. Для определения этих координат следует учесть преобразование вектора из старого базиса в новый в комплексной форме
*
ЕН = Q Ес . (17)
Используя алгоритм, аналогичный выводу выражения (7), с помощью (17) можно получить выражение "новых" координат четырехвектора через известные параметры нового базиса
XН =
Х\н
Х 2 Н
Х3Н
_ Х4 Н _
соъусоъц - БтуСОБ^ соБ^т^ ътуътХ
бШ уСОБ X соъусоъц ътуътХ - СОБУБШ^
- СОБуБШГ - БтуБт^ СОБУСОБ^ - БШуСОБ^
- БШ уБШ X СОБуБт^ БШуСОБ^ - СОБУСОБ^
1С 2С 3С 4С
= ЯвХс.
Отметим, что матрица преобразования волны совпадает с матрицей преобразования базиса (7) за исключением знака при членах, содержащих 1ш и - 1ш е^.
С учетом этого матрица преобразования вектора может быть записана
R = I ± • R ■ I
(18)
где
I ± =
10 0 0 0 10 0 0 0 -10 0 0 0 - 1
Представление матрицы преобразования волны в виде произведения инвариантных матриц очевидно и может быть осуществлено подстановкой (15) или (16) в соотношение (18) и будет полезным при описании трансформации сигнала при его обработке с помощью реальных физически реализуемых устройств для представления сигнала при расчетах на ЭВМ и в ряде других случаев анализа взаимодействия волны и системы обработки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного радиоизлучения земных покровов. - Л: Гидрометеоиздат, 1981.
2. Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. Радиолокационная поляриметрия. - М.: Радиотехника, 2007.
TRANSFORMATION OF POLARIZATION BASE AND COORDINATES OF FIELD VECTOR IN CASE OF FIELD REPRESENTATION BY FOUR-VECTOR
Kozlov A.I., Lutin E.A.
The article describes the technique of transformation of polarization base and vector coordinates for case of representation of field by four-vector.
Key words: radiowave polarization, four-vector, transformation matrix.
Сведения об авторах
Козлов Анатолий Иванович, 1939 г.р., окончил МФТИ (1962), заслуженный деятель науки и техники РФ, академик Академии транспорта РФ и Международной академии информатизации, профессор, доктор физико-математических наук, Соросовский профессор, профессор кафедры технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного транспорта МГТУ ГА, автор более 300 научных работ, область научных интересов - радиофизика, радиолокация, радиополяриметрия, дистанционное зондирование окружающей среды.
Лутин Эмиль Аркадьевич, 1942 г.р., окончил МАИ (1966), доктор технических наук, профессор кафедры технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного транспорта МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - радиолокация, радиополяриметрия, дистанционное зондирование окружающей среды.
