Представление случайных процессов с помощью неканонического разложения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.2

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ НЕКАНОНИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

© 2008 С. Н. Перов, Ю. В. Скворцов Самарский государственный аэрокосмический университет

При решении задачи статистической динамики требуется по известным вероятностным характеристикам входной случайной функции строить её выборочные функции - реализации. Данная проблема решается представлением случайных процессов в виде детерминированных функций некоторой совокупности случайных величин. Наиболее распространены линейные канонические разложения случайных функций, которые удобно использовать при анализе линейных систем. Для решения нелинейной задачи статистической динамики каноническое разложение по базисным координатным функциям трудно реализуемо. В настоящей работе применяется нелинейная неканоническая форма представления случайных процессов, предложенная в [1].

Стационарный случайный процесс, корреляционная теория, метод интерполяционных полиномов, нелинейное неканоническое разложение

Для неканонического представления стационарных случайных процессов со сложным спектром можно воспользоваться методом интерполяционных полиномов, согласно которому k-я реализация случайного процесса x(t) записывается в виде

xk (t) = < x(t)> + gt1 sin wt31 + dt2 cos wt3t, (1)

где < x(t )> - математическое ожидание процесса; gkj, dk2, (Ok - значения независимых

случайных величин g d, w в узлах интерполирования; номер k определяется соответствующим перебором индексов k k2 и k3. Поскольку законы распределения случайных величин g и d здесь могут быть произвольными с параметрами <g>=<d > = 0,

Dy = Dd = Dx (где Dx - дисперсия стационарного процесса x(t)), то целесообразно задавать их нормальными. При этом функция плотности вероятности случайной величины w определяется выражением

f (w) = -2- J Ё x (t) e-w dt = ^. (2)

- Dx 0 Dx

Здесь Kx (t) и Sx (w) — корреляционная функция и спектральная плотность исходного стационарного случайного процесса x(t).

В рамках корреляционной теории неканоническое разложение вида (1) обеспечивает абсолютно точное представление случайных процессов. Небольшое число случайных величин (у <5, ю) даёт возможность разработки эффективного алгоритма получения реализаций случайных процессов заданной спектральной плотности.

Для определения узлов интерполяции случайной величины с целесообразно не искать соответствующую систему ортогональных полиномов, а выполнить 1^-преобразо-вание.

В табл. 1 представлены аналитические выражения для корреляционных функций и спектральных плотностей случайных процессов, которые наиболее часто употребляются в практике для аппроксимации реальных характеристик [2]. В эти зависимости входят следующие параметры: Б - дисперсия процесса, а - коэффициент затухания корреляционной функции, (Оо - собственная круговая частота нелинейной системы, (Ос - предельная круговая частота.

В табл. 2 для каждой спектральной плотности приведены функция распределения случайной величины ю

с

^ (с) = | / (с) йю

0

и ^-преобразование для получения узлов

Таблица 1. Корреляционные функции и спектральные плотности некоторых стационарных случайных процессов

№ процесса К(т) £ (О)

1 ^ 8т асТ — — аТ —, 0 < а < ас 0с

2 (ОТ — — (2 ео8 (ОТ — 1) ОТ —, оос < а < 2ас ас

3 Ое~аТ\ а > 0 2— а р а2 + а2

4 2 2 Бе-аг гч ^ 2 \ — а 1~ехР л 2 аык 4а V /

5 Бе ~ат cos оо0т , а > 0 2а— оо2 + а2 + о02 р (а2 — а2 — а22)2 + 4а2 а2

6 ( л — е““|Т| со8 ю0т а2 \т | , а > 0 оо0 V 2 / 4а— а2 р (а2 + а2 + а22)2 — 4а22а2

Таблица 2. Функции распределения и ^-функции

№ процесса Р(о) о II

1 а ас оо = — (х + 1) 2

2 а—1 0с а = — (х + 3) 2

3 2 а —arctg — р а р (х +1) а = а tg— - 4

4 Л а ег/ — 12а ,( а Л 1 , ег/ — = - (х + 1) ^ 2а 0 2

5 1 р а+а2 а — а2 Л arctg + arctg а а —а ±J а2 + (а2 + а22) t2 а = ; t t = tg р(х +1); ”+ ” 1 де t > 0; ” " 1 де t < 0 2

6 а п а2 — 2а а+а2 + а2 О 2 а —1п 02 п( О 1 О о2 — 2а а+а2 + а2 2 2 + = р (х + 1)

2ро 1 + — р г а 4 ^ а2 + 2а2а+а2 + а22 а+а2 а— 2 О \ / а2 + 2о2о + а2 + о22 + а2 , 0 — 02 Л

а а ^ а а

интерполяции по соответствующим узлам интерполяции случайной величины, распределенной по равномерному закону:

Р (х) = |(х +1), х е [—1; 1].

Анализ табл. 1 и 2 показывает, что для нахождения значений узлов интерполяции процессов вида 4 и 6 необходимо решать трансцендентное уравнение. Поэтому в этом случае получить решение возможно только с

применением тех или иных итерационных алгоритмов.

Реальный широкополосный случайный процесс можно схематизировать суперпозицией п процессов, имеющих типовые спектральные плотности с одним максимумом (табл. 1). При этом спектральную плотность широкополосного процесса можно представить как

(®)—X«,(®).

і=1

где Sx (о) - спектральная плотность узкополосного процесса, имеющая стандартный вид.

Аналогично для корреляционной функции можно записать

К, (Т) = 1К,(Т).

1=1

Используя и далее принцип суперпозиции, неканоническое разложение реального процесса можно осуществить в виде

п

х0) = X [(х (t)) + Уг «'п о1 + 8г с™ о1] •

1=1

Тогда конкретные реализации случайного процесса с использованием метода интерполяционных полиномов будут определяться как

Xі)=X [< х(іу>+^5іп %і+5чг со5 %і ]

і=1

п

(к = д = ^дд2ді3).

го нормального распределения; а^ - узлы

интерполяции случайной величины о., определяемые с помощью ^-преобразования

(табл. 2); %п, %2 и %3 - числа узлов интерполяции, выбираемые соответственно для переменных у, 8 и а.. случайного процесса х.(1).

Были исследованы возможности неканонического разложения случайных процессов сложной структуры с помощью метода интерполяционных полиномов (3). При этом приближённые значения корреляционной функции процесса определялись по отдельным его реализациям с использованием зависимости

п | % 1 Чг 2 % 3

КХ (т)=ХіХХХ5-к2 (Гік, *»' +

і—1 I к, —1 к2 —1 кз —1

+ дк2 С05 V ) Рч Рк2 Ркз \ ,

(4)

где , ркг, ркъ - числа Кристоффеля случай-

ных величин у, 8 и а.

г г

Сглаженная оценка спектральной плотности находилась по дискретным значениям корреляционной функции

£ (ю) — - АіХ Кхг П(г) со5 (ю гАі). л г—0

(5)

(3)

Здесь Я, 8к2 - узлы интерполяции случайных величин нормального закона распределения, которые находятся по формулам

у,„= ; 8к, =

(к = ^.^ди; ^ =1,2)

где Кк - табулированные значения узлов типа Чебышева центрированного нормированно-

Здесь Аі - шаг дискретизации корреляционной функции по времени; Кхг = Кх(гАі) - дискретные значения корреляционной функции;

0.(г) = 0,5[1 + со5(лг/Ь)] - сглаживающее «окно» Тьюки [3]; Ь - точка отсечения «окна».

Оценки, полученные по формулам (4) и (5), сравнивались с точными значениями корреляционной функции и спектральной плотности. Поскольку вычисления по формуле (5) позволяют находить лишь приближённую оценку спектральной плотности, проводилось качественное сравнение спектров. Следует отметить, что критерием точности в методе интерполяционных полиномов является сравнение значений корреляционных функций в соответствующие моменты времени.

На рис. 1.. .4 представлены теоретические и рассчитанные методом интерполяционных полиномов значения корреляционных функций и спектральных плотностей типовых узкополосных процессов с номерами 1, 2, 3 и 5 соответственно (табл. 1). Используемые при этом исходные данные сведены в табл. 3.

На рис. 5 приведены результаты для случайного процесса сложной структуры, полученного суперпозицией всех четырёх изображённых на рис. 1.4 узкополосных процессов.

Анализ результатов показывает, что надлежащим выбором числа узлов интерполяции случайных величин у 5 и а неканонического разложения можно добиться достаточно точного представления реализаций узкополосных процессов и случайных процессов сложной структуры. Это доказывает приемлемость принципа суперпозиции при моделировании реализаций. Следует отметить, что для случайных величин у и 5 достаточно брать по два узла интерполяции, а для параметра а требуется от восьми до шестнадцати узлов.

0008

0,006

0,004 0 002 \ 1 \

г 1 Тг 1|

1 1. 1 ч \ *, ч

0 5 10 15 20

а, рад/с

б)

теоретические значения рассчитанные значения

% с

а)

0,010

Sx С)

0,005

10

15 со, рад/с б)

20

25

30

теоретические значения рассчитанные значения

3

0

5

% с а)

с, рад/с б)

------------ - теоретические значения

------------ - рассчитанные значения

%, с а)

а, рад/с б)

------------ - теоретические значения

------------ - рассчитанные значения

% с а)

с, рад/с

б)

---------- - теоретические значения

---------- - рассчитанные значения

Рис. 5. Корреляционная функция (а) и спектральная плотность (б) случайного процесса сложной структуры

Таблица 3. Параметры узкополосных процессов

№ процесса D а>с, рад/c а, 1/с wo, рад/с

1 0,04 8 - -

2 0,1 10 - -

3 0,02 - 0,5 -

5 0,07 - 0,8 30

Библиографический список

1. Чернецкий, В. И. Анализ точности нелинейных систем управления / В. И. Чернецкий. - М.: Машиностроение, 1968. - 248 с.

2. Гусев, А. С. Расчет конструкций при случайных воздействиях / А. С. Гусев,

В. А. Светлицкий. - М.: Машиностроение, 1984. - 240 с.

3. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения / Г. Дженкинс, Д. Ваттс. -М.: Мир, 1972. - Вып.2. - 287 с.

References

1. V. I. Tchernetsky. Analysis of non-linear control system accuracy. / V. I. Tchernetsky. -Moscow: “Mashinostroyeniye” (Machine building), 1968. - 248 pp.

2. A. S. Gusev. Analysis of structures under

random exposures / A. S. Gusev, V. A. Svetlitsky. - Moscow: “Mashinostroyeniye” (Machine building), 1984. - 240 pp.

3. G. Jenkins. Spectral analysis and its applications / G. Jenkins, D. Watts. - Moscow: Mir, 1972. - issue 2. - 287 pp.

RANDOM PROCESS PRESENTATION BY NON-CANONICAL DECOMPOSITION

© 2008 S. N. Perov, Yu. V. Skvortsov Samara State Aerospace University

When solving a problem of statistic dynamics it is necessary to build its selected functions-realizations- by the known probability characteristics of an input random function. This problem is solved by presenting random processes as determinate functions of a set of random variables. Linear canonical decompositions of random functions are most commonly used. They are convenient to use in linear system analysis. It is, however, hardly feasible to use canonical decomposition on basic coordinate functions in order to solve a non-linear problem. This paper deals with a non-linear non-canonical form of presenting random processes proposed in [1].

Stationary random process, correlation theory, method of interpolation polynomials, non-linear non-canonical decomposition.

Информация об авторах Перов Сергей Николаевич, доцент кафедры прочности летательных аппаратов, кандидат технических наук, доцент; место работы: кафедра прочности летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университета; область научных интересов: надежность, динамика и прочность конструкций, механика разрушения, усталостное разрушение.

Скворцов Юрий Васильевич, доцент кафедры прочности летательных аппаратов, кандидат технических наук, доцент; место работы: кафедра прочности летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университета; область научных интересов: надежность, динамика и прочность конструкций, механика разрушения, метод конечных элементов.

Perov Sergey Nikolayevitch, Associate Professor of Aircraft Strength Department, Candidate of Technical Science, Associate Professor; office: Aircraft Strength Department, Samara State Aerospace University; area of research: structure reliability, dynamics and strength, destruction mechanics, fatigue failure.

Skvortsov Yuri Vassilievitch, Associate Professor of Aircraft Strength Department, Candidate of Technical Science, Associate Professor; office: Aircraft Strength Department, Samara State Aerospace University; area of research: structure reliability, dynamics and strength, destruction mechanics, finite element method.