Представление общего решения многомерных неклассических систем уравнений высшего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Саркисян Р.А., О дифференциальных инвариантах геометрических структур II, Символ науки, том 2(2015), № 7, стр 7-10.

3. Саркисян Р.А., О дифференциальных инвариантах геометрических структур III, Символ науки, том 2(2015), №9, стр 7-10.

4. R. L. Bryant, S. S. Chem, R. B. Gardner, H. L. Goldschmidt, P. A. Griffiths, Exterior differential systems, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 18, Springer-Verlag, New York, 1991.

© Р.А.Саркисян, 2015

УДК 517.953

Сафаров Джума Холович

д.ф.-м.н.,профессор, зав. отделом математики НИИ при ТНУ

Email: safarovdh@mail. ru г. Душанбе, РТ Мирзоев Собирчон Содикович м.н.с. отдела математики НИИ при ТНУ Email:[email protected] г. Душанбе, РТ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ НЕКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Анотация

В работе найдены представления общего решения многомерных неклассических систем уравнений с частными производными высшего порядка, обладающих одним семейством многократных вещественных характеристик.

Ключевые слова

Система уравнений высшего порядка - представление общего решения - бигармоническая функция -полигармоническая функция - семейство вещественных характеристик.

Неклассические системы уравнений с частными производными второго (и выше) порядка и связанные с ними задачи рассматривались в работах [1-4]. В частности, в работах [3-4] рассматривалась неклассическая система уравнений второго порядка относительно векторфункции U (t, х) = (u1, u2,' • •, un )

d2U

—- + grad (divU) = 0, (1)

St

оператор левой части которой вместе с оператором Лапласа по всем переменным пространства R"+1

получаются из квадрата оператора D, олределяемого левой частью следующей системы:

ds си, си-, ди„

— + —1 + —- + • • • + —- = 0,

dt дхх дх2 дхп

ds du1 _

дхх dt ~ ' (2)

ds ди„ _0 дх dt

Найдена формула представления общего решения системы (1) в виде

и (г, х) = + гЖ + V, (3)

где Н - регулярная гармоническая в Я"+1 функция, а Ж и V - произвольные достаточно гладкие в Я" вектор-функции, удовлетворяющие соотношениям

сИУЖ = 0, divV = 0 (4)

и доказано, что задача типа задачи Дирихле в полупространстве Я"1 = {(г,х) : х е Я",г > 0} однозначно разрешима и допускает эллиптическую регуляризацию.

Четвёртая степень оператора П порождает бигармонического уравнения А2 5 = 0 и систему уравнений

б4и Г а2

dt4

л

dt2

grad (divU) = 0

(5)

с характеристическим определителем

х(Мо А,•••,£„) = 42Г2(й_1) (42 +1 £ |2 )2.

Шестая степень оператора П порождает полигармонического уравнения А3 5 = 0 и систему уравнений

б6и Г б4

dt6

■ +

dt4

rdL

dt2

grad (divU) = 0

(6)

с характеристическим определителем

х<Ло А,•••,£„) = 42ПЗ(й_1) (42 +1 ^ |2 )3.

Последовательно, продолжая этот процесс, убедимся, что оператор П2т полигармонического уравнения Дт5 = 0 и систему уравнений

д^у

dt2

■ +

I

j=1

А

■-1 d

2( m-j)

u

dt2(

m-j )

grad (divU) = 0, m > 1

порождает

(7)

или

dru dt2

■ +

d2(m-i) d2(m~2)

+ А +А2

dt2(

m-1)

dt2(

m-2)

d2(m-3) dt2^

dt2

grad (divU) = 0

с характеристическим опаределителем

Жо, = (42+1 £ I2 Г • ш> 1

Найдём формулы представления общих решений систем (5) - (7). Действуя оператором div по х е Я" на систему (5) , получим соотношение

2 • д2 А ^^и) = 0, где А = —- + А„, Ах - оператор Лапласа по х е Я" . Тогда нетрудно заметить, что

дг

система

^ А 2U = 0

dt4

(8)

является следствием системы (5) и если вектор-функция и (г, х) - решение системы (5), то она также является решением системы (8). Следуя методу, разработаннму в работу [4] найдём формулу представления общего решения системы (5) при помощи представления решения системы (8). Всякое решение системы (8) можно представить в виде

и (г, х) = и,(г, х) + Vo(t, х), (9)

где и (г, х) - бигармоническая вектор-функция, а V (г, х) удовлеворяет системе

—Г0 = о (10)

dt4

Выражение (9) будет решением системы (5), если бигармоническая вектор-функция U0 (t, x) удовлетворяет так же соотношению

d 4U id2 .^ —+ А

dt2

0 +

grad (divU0) = 0, (11)

у

д1 4

а вектор-функция V (А х) - соотношению

divV0 = 0 . (12)

при этом ио (1, х) = gradh, а решение системы (10) V (1, х) = ( (х) + ( (-) +12 ( (х) +13 ( (х) , где

х) - бигармоническая функция в пространстве К"+1, ((х) - произвольные достаточно гладкие в К"

вектор-функции, удовлетворяющие соотношениям div(k (х) = 0, к = 0,3.

Таким образом, все регулярные в некоторой области О е К"+у решения системы (5) представляются в виде

3

и(1, х) = gradh + ^ (х), (13)

к=1

что является аналогом формулы (3).

Теперь, найдём формулу представления общего решения системы уравнений шестого порядка (6). Дейсвуя как и выше оператором div по х е К" на систему (6), получим следующее соотношение:

dба

■ +

4 f Я2 V

d

—т +А

dt4

d

—т +А

dt2

А x^ = 0, (14)

ы6

где с = divU. Упростив левую часть уравнения (14), нетрудно заметить, что из (14) следует полигармоническое уравнение А3 с = 0, учитывая которого, из системы (6), как следствие получим систему

д6 ,

—гАА'и = 0 . (15)

д16

Аналогично предыдущему случаю общее решение системы (15) представляется в виде (9), где таперь, в качестве 1/0 (1, х) вступает полигармоническая вектор-функция, т.е. решение полигармонического

уравнения А3ио = 0, а в качестве V (1, х) - решение уравнения

д 6У

—0 = 0, Уо(t,х) = у0(х) + х) + ■ • • +15у(х), д1

где у0 (х), у1 (х), ■,у5 (х) - произвольные и достаточно гладкие вектор-функции переменной х е К"

. Далее, рассуждая также как и в предыдущем случае, запишем формулу общего представления решения системы (6) в виде (13)

5

и (1, х) = gradH + £ 1к~Ук (х),

к=1

где Н(1, х) - полигармоническая функция, у/к (х) - произвольные и достаточно гладкие вектор-

функции, удовлетворящие соотношениям divук = 0 , к = 0,5 .

Таким образом, из приведенного выше способа нахождения представления общего решения неклассических систем (5) - (6) легко заметить , что для нахождении представления общего решения произвольной неклассической системы (7) следует применять следующий алгоритм:

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №9/2015 ISSN 2410-700Х_

• примененить операцию div по л е R" на систему (7), которая систему приводит к соотношению А т с = 0, где с = divU;

• учитывая последнее, получить следствие системы (7) в виде системы

д2т

д А mU = 0 (16)

дХ2т

и найти общее её решение вида (9), т.е.

и(Х, х) = и0 (Х, х) + V (Х, х) , (17)

где и (Х, х) - решение полигармонического уравнения Атио = 0, а V (Х, х) - решение уравнения

д2тК п

= 0, (18)

дХ2т

удовлетворяющее соотношению div V = 0 ;

• очевидно, если вектор-функция и(Х, х) - решение системы (7), то она будет удовлетворять и систему (16);

• обратно, если бигармоническая вектор-функция ио (Х, х) удовлетво-ряет также соотношению

2т т

d2mUo +

т р,2Ст-])

Е Аj —1 д-

j=1

дх2(n—j)

grad(divU0) = 0,

д Х2т

а вектор-функция V (Х, х) - соотношению divV0 = 0, то выражение (17) будет решением системы

(7), при этом и (Х, х) = ^^О,, где О(Х, х) - решение полигармонического уравнения Ат О = 0, а общее решение системы (18) имеет вид

т-1

К>(Х, х) = 2 Хк ¥ к (х) ,

к=0

где ¥к (х) - произвольные вектор-функции класса С2т (Я" ) , удовлетворяющие соотношениям

div¥k (х) = 0 к = 0, т -1.

Таким образом, все регулярные в некоторой области О е Я"+у решения общей системы (7) представляются по следующей формуле:

т-1

и(Х, х) = gradО + 2 Хк¥к (х) . (19)

Из формулы (19)следует, что свойства решений неклассической системы (7) связаны со свойствами полигармонических функций многих переменных. Известно, что некоторые свойства гармонических функций также переносятся с соответствующими изменениями на полигармонические функции (см. [5]).

Для полигармонических функций любого порядка т > 1 обобщаются представления при помощи гармонических функций, известные для бигармонических функций (см. [6-7]). Например, для полигармонической функции двух переменных и(х, у) справедливо следующее представление [5]:

т-1

и(х, у) = 2 г 2кЩ (х, у), г2 = х2 + у2,

к=0

где с к (л, y), k = 0, т — 1 - произвольные гармонические функции.

Список использованной литературы:

1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.:Наука, 1987, 416 с.

2. Бойматов К.Б. - Многомерные системы дифференциальных уравнений составного типа с негладкими коэффициентами. - ДАН СССР, 1990, т. 313, №3, с. 525-528.

3. Сафаров Д.Х. Эллиптическая регуляризация системы уравнений составного типа. - ДАН СССР, 1990, т. 311, №1, с. 36-39.

4. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.

5. Математическая энциклопедия. Полигармоническая функция. Т. 4. - М.: Советская энциклопедия, 1984, с. 403-404.

6. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 296 с.

7. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. - М.: ИЛ, 1961, 256 с.

© Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев, 2015

УДК: 539.37

Станкевич Игорь Васильевич

д.т.н., профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана,

г. Москва, РФ E-mail: [email protected]

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С

ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

Аннотация

В работе рассматривается алгоритм построения численного решения контактной задачи теории упругости применительно к телу, которое имеет одностороннее контактное взаимодействие с абсолютно упругим полупространством.

Ключевые слова

Одностороннее контактное взаимодействие; контактная задача теории упругости; метод конечных

элементов.

Многие ответственные детали и узлы машиностроительных конструкций имеют контакт в пределах некоторой заданной поверхности [1]. В данной работе рассматривается частный случай контактного взаимодействия, когда нагруженное внешними силами упругое тело конечных размеров опирается на абсолютно жесткое полупространство (рис. 1, а). Контакт происходит по выделенной контактной поверхности, которая в общем случае может менять свои размеры. Процесс решения имеет итерационный характер и реализуются следующим образом. Исходная задач рассматривается как задача теории упругости,

при этом на контактной поверхности Sk задаются кинематические (по нормали П) и силовые (по

касательной Т) условия. Если силовые условия на Sk отсутствуют, то данная задача становится

стандартной задачей теории упругости. Силовые условия необходимо учитывать в том случае, когда задача решается с учетом трения [3-7]. Так как рассматривается односторонний контакт, то кинематические

условия в направлении нормали заранее известны, например, и = 0 (рис. 1), а силовые условия на

n Sk

контактной поверхности ^ в касательном направлении после выполнения очередной итерации корректируются, для обеспечения выполнения принятого закона трения, и учитываются при проведении следующей итерации.

Для численного решения был использован метод конечных элементов (МКЭ) [2]. После минимизации

функционала полной потенциальной энергии линейно упругого тела, размещённого в пространстве П " и нагруженного массовыми и поверхностными, получается матричное уравнение (глобальная система линейных алгебраических уравнений), имеющее вид [2],