CC BY
38
УДК 514.763.8, 517.956
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ РАБЕЛО
О.И. МОРОЗОВ
Найден класс нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, обладающих представлением нулевой кривизны со структурной алгеброй sl(2). Четыре уравнения из этого класса совпадают с уравнениями, предложенными М. Л. Рабело.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, накрытия, представления нулевой кривизны.
1. Введение
В работе [7] М.Л. Рабело нашел класс уравнений, допускающих псевдосферическое представление или, в терминах [2-5], дифференциальное накрытие со структурной алгеброй sl(2) (в литературе накрытия также называются парами Лакса или представлениями нулевой кривизны). Уравнения из этого класса имеют вид
UX =( (ag + b) Ux ) x + g , (1)
где g = g (u) - решение обыкновенного дифференциального уравнения
g+mg = q (2)
a, b, m, q - произвольные константы. Автопреобразования Бэклунда для уравнений из этого класса были найдены в работе [1].
При а= 0 уравнения (1), (2) эквивалентны относительно контактных преобразований либо уравнению sin-Gordon utx = sin u, либо уравнению Лиувилля utx = eu. В статье [9] было показано, что в случае a Ф 0 уравнения из этого класса контактно-эквивалентны одному из следую-
щих уравнений
ux = 2(u 2) xx +1; (3)
ux = i(u 3) xx + u; (4)
/ u \ u ux =(e)xx- e; (5)
ux = (sin u)xx - sin u. (6)
Уравнение (4) известно как уравнение короткого импульса [8]. Уравнение (6) представляет собой обобщенное уравнение sin-Gordon [6].
В данной статье мы приводим обобщение класса уравнений Рабело (1), (2). Все уравнения из этого нового класса обладают представлением нулевой кривизны со структурной алгеброй sl(2).
2. Обобщение уравнений Рабело
Мы рассматриваем класс уравнений
ux = ((tf" + ktf)»x)x-k H , (7)
где H = H (u) - произвольная (гладкая) функция; k1 и k2 - произвольные константы. Основной
результат составляет следующая теорема, доказательство которой получается прямым вычислением.
Теорема. Уравнение (7) является условием совместности переопределенной системы
4x
2 к ихЧ + к ч-—ux;
к
(8)
(Н + к Н) их -k2 Н ) q2 + к к2 НЧ + -4 ((Н + к Н) u + к Н ).
В терминах [2-5] система (8) определяет накрытие уравнения (7). Структурная алгебра этого накрытия порождена векторными полями Э , q Э , q2 Э ^ и совпадает с алгеброй 8І(2).
3. Частные случаи
Покажем, что уравнения (3) - (6) являются частными случаями уравнения (7) при соответствующем выборе функции Н и параметра к .
3.1. Квадратичное уравнение Рабело
Подстановка H = -к—2 u и к = —к в уравнение (7) дает уравнение (3), при этом (8) дает его накрытие
4x =
qt
2 к uxq +к2 q-—ux;
\
к
q +K2 uq - — (K2 uux -1).
3.2. Кубичное уравнение Рабело
При H =--г(к22 u2 + 2) и к = — к уравнение (7) прибретает вид (4), а (8) дает накрытие
2 к
4x =
2 K2
ux4 +к2 q-—ux;
q. = (к, u2 u + 2u)q2 +—— (к? u2 + 2)q- —(k u2 u - 2u)
‘ 2к2 v 2 x ' 2к2 2 8 2 x
уравнения (4).
3.3. exp -уравнение Рабело
При H = k- eu и k = k22 -1 мы получаем уравнение (5) и его накрытие
qx =
qt =
2 к^ -1
ux4 +к2 q+—— ux;
г
к
\
к2 -1
(к2 ux-1) q2 + (k -1) q+~А—(к2 ux+1)
V 4 )
3.4. sin-уравнение Рабело
Наконец, в случае H = -k-2 cos и и k = 1 - k2 уравнение (7) переходит в уравнение (6), в то время как (8) дает его накрытие
•<
1
u
e
Чх =
uxq +к2 q + ■
1 - к
u
х
4
q, = — к
(к2 cosuux - sinu)q2 + (к22 - 1)cosu q +
1 - к;
(к2 cosuux + sinu)
f
\
1
4
ЛИТЕРАТУРА
1. Beals R., Rabelo M., Teneblat K. Backlund transformations and inverse scattering solutions for some pseudo-spherical surface equations. Stud. Appl. Math., 1989. - Т. 81, pp. 125-151.
2. Krasil shchik I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings. Acta Appl. Math., 1984.
- Т. 2, pp. 79-86.
3. Krasil shchik I.S., Lychagin V.V., Vinogradov A.M. Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations. Gordon and Breach, New York, 1986.
4. Krasil shchik I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations. Acta Appl. Math., 1989. - Т. 15, pp. 161-209.
5. Krasil shchik I.S., Vinogradov A.M. (eds.). Symmetries and Conservation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics. Transl. Math. Monographs, Amer. Math. Soc., Providence, 1999.
6. Lenells J., Fokas A.S. On a novel integrable generalization of the sine-Gordon equation. J. Math. Phys. - 2010.
- Т. 51. - № 023519. 2010.
7. Rabelo M.L. On equations which describe pseudospherical surfaces. Stud. Appl. Math., 1989. - Т. 81, pp. 221-248.
8. Sakovich A., Sakovich S. The short pulse equation is integrable. J. Phys. Soc. Japan, 2005. - Т. 74, pp. 239-241.
9. Sakovich A., Sakovich S. On transformations of the Rabelo equations. Symmetry, Integrability and Geometry:
Methods and Applications, 2007. - Т. 3. - № 086.
ZERO-CURVATURE REPRESENTATION FOR THE GENERALIZED RABELO EQUATION
Morozov O.I.
We find a class of second order nonlinear equations admitting a zero-curvature representation with the structure algebra sl(2) . Four of equations from this class coincide with equations introduced by M.L. Rabelo.
Key words: differential equations, coverings zero-curvature representation.
Сведения об авторе
Морозов Олег Игоревич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), член Московского математического общества, доктор физико-математических наук, доцент МГТУ ГА, научный сотрудник института математики и статистики Университета Тромсё (Норвегия), автор 52 научных работ, область научных интересов - дифференциальные уравнения, симметрии, псевдогруппы Ли.
