CC BY
22УДК 623.4 ГРНТИ 78.25.13
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ
Е.Е. КОЛТЫШЕВ, доктор технических наук, профессор
АО «УПКБ «Деталь» (г.Каменск-Уральский) С.Л. ИВАНОВ, кандидат технических наук
ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина» (г.Воронеж) А.Ю. ТРУЩИНСКИЙ, кандидат технических наук ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина» (г.Воронеж) А.А. ИСПУЛОВ, кандидат технических наук
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина» (г.Воронеж)
Решение задачи сопровождения в комплексах вооружения возлагается на информационно-управляющую систему. При этом важным моментом ее решения является описание процессов и явлений в дискретном времени. Для этого в статье обоснован вариант представления непрерывных систем их дискретными аналогами, являющийся альтернативным для метода Эйлера. Сравнительный анализ результатов моделирования показывает высокую сходимость параметров вектора состояния предлагаемого варианта с «истинными» значениями, а также уменьшение ошибки экстраполяции в десятки раз по сравнению с методом Эйлера.
Ключевые слова: непрерывная динамическая система, дискретная система, ряд Тейлора, фундаментальная матрица, экстраполяция.
REPRESENTATION OF NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS IN DISCRETE TIME
E.E. KOLTYSHEV, Doctor of Technical sciences, Professor
JSC «UPKB «Detal» (Kamensk-Uralsky)
S.L. IVANOV, Candudate of Technical sciences
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
A.YU. TRUSHCHINSKIY, Candudate of Technical sciences
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
A.A. ISPULOV, Candudate of Technical sciences
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
The solution of the maintenance task in weapons complexes is assigned to the management information system. At the same time, an important point of its solution is the description of processes and phenomena in discrete time. For this purpose, the article substantiates the variant of representation of continuous systems by their discrete analogs, which is an alternative for the Euler method. A comparative analysis of the simulation results shows a high convergence of the proposed variant state vector parameters with the «true» values, as well as a reduction in the extrapolation error by tens of times compared to the Euler method.
Keywords: continuous dynamical system, discrete system, Taylor series, fundamental matrix, extrapolation
Введение. Задача сопровождения траекторий целей является одной из основных задач, решаемых информационно-управляющими системами комплексов вооружения, военной и специальной техники. Наибольшую точность сопровождения обеспечивают системы, реализующие алгоритмы нелинейной калмановской фильтрации на основе кинематических или динамических моделей изменения наблюдаемых процессов. При разработке указанных
алгоритмов для цифровых систем принципиальное значение имеет описание изменения наблюдаемых процессов в дискретном времени.
Актуальность. В настоящее время при описании процессов в дискретном времени переход от нелинейных дифференциальных уравнений к разностным осуществляется, как правило, методом Эйлера путем замены соответствующих производных конечными разностями. Однако по мере увеличения шага дискретизации по времени (уменьшения темпа обновления информации) точность описания процессов указанным методом существенно снижется, что требует поиска альтернативных путей перехода из непрерывного в дискретное время. При этом причинами увеличения шага дискретизации может быть как ведения скрытного наблюдения за целью, так и отсутствие информации о цели, вызванное постановкой помех.
Таким образом, целью работы является обоснование возможного варианта перехода от непрерывного к дискретному времени при описании параметров взаимного перемещения летательного аппарата (ЛА) и цели в задаче сопровождения.
Математическое представление решаемой задачи. Геометрия задачи сближения ЛА с неподвижной целью в горизонтальной плоскости представлена на рисунке 1.
Система дифференциальных уравнений, описывающая кинематику, взаимное перемещение ЛА относительно неподвижной цели имеет вид:
Д=-усбл;Д(0)=Д°
(1)
\бл = -Ю 2 Д + аб ЛА 81пв ЛА; \бл (0) = \бл0:
(2)
а.
в ЛА = ю; Р™ (°)=в
V ЛА ЛА
ЛА0'
(3)
. ^сбл а бЛАС0§ Р ЛА со = сбл ю--; ю(0) = ю
Д
Д
0
(4)
Рисунок 1 - Геометрия сближения ЛА с неподвижной целью
Определим представление (1)-(4) в матричном виде
X = f (X),
(5)
где
Xх = Д Vсбл вЛА ш]; ?(X)
Vсбл
2
-ш Д + аблА81пвЛА
ю--
б ЛА
VЛА
2 ^ а бЛА С0§ в ЛА
2-Ш--
Д
Д
и разложим нелинейную функцию ? (X) в ряд Тейлора [1]:
Г (х)=п | ° ?^)(х - Х°)п = ? (х° )+ -X? (х°)(x - X0К1 -Х ? (х°)(x - Х° ) + ■
(xo )х - Xo }
(6)
■ + -Ат?IX, «X-Х_ к! -Xк У °Д
Ограничивая (6) последовательностью из первых двух слагаемых:
X = г(х)« г(х°)+ -X?(х°)(Х-х°^ ?(Х°)+ Р(Х°)(Х-Х°^ ?(Х°)-Р(Х°)Х° + Р(Х°)Х, (7)
где г(х°(х°) - матрица производных, с учетом известного вектора начальных условий X ° из (7) находим
Х - р(Х° )Х + С(Х° )
(8)
где С(Х° )= ?(Х° )- Б(Х° )Х°.
Решение уравнения (8) с использованием фундаментальной матрицы определится формулой Коши [2]
ХОО = Ф(М ° )Х^ °) +t Ф(^т)-т * С(X(t °)),
(9)
где Ф(М°) - фундаментальная матрица решения уравнения.
Рассмотрим значения вектора Х(1;) в соседние моменты времени на отрезке [кХ,(к + 1)х] с учетом Ф[(к + 1)Х - кх] = Ф(Х). Используя представления решения (9) для момента времени
к+1
на основе значения на предыдущем шаге X к как начальное, получим:
Xк+1 = Ф(Т)Х, +(к+/)Г Ф((к + 1)г - x)dx * С(хк),
кТ
(10)
где Т = - tk - шаг дискретизации.
Таким образом, для эквивалентного представления непрерывной системы (5) в дискретном времени необходимо определить матрицу производных Ж, вектор-столбец С(х), фундаментальную матрицу Ф(Т). При выводе требуемых матриц аргумент опущен. Матрица производных получена путем дифференцирования выражения (5) по вектору состояния
р = (х) =
dX У 7
-1
0
0
- ю 0
0 а бЛАC0S Р ЛА - 2Д®
0
0
аблаc0sрла - 2усблю 2ю аблаsinp
ЛА
1
2У
сбл
(11)
Д2 Д Д Д
С учетом выражения для нелинейной функции ¥ (х) и Ж(х) вектор-столбец постоянных
значений примет вид
с(х)=
2Д®2 + а бЛА (sinP ЛА - Р ЛАC0S Р ЛА )
а
бЛА
Уи
а бЛА (2с°Ф ЛА+ Р ЛАSinP ЛА )
Д
(12)
Фундаментальная матрица представляет собой матричную экспоненту Ф(Т) = еРТ [2, 3]. Однако сложность и нелинейность системы дифференциальных уравнений (1)-(4) не позволяет вычислить фундаментальную матрицу таким образом. Как известно, матричная экспонента представляет собой ряд [1-3]:
Т
2^2
еРТ = х —Рк = I + ЖТ + к=0 к!
РТ
2
- + ...,
(13)
где I - единичная матрица размером 4*4.
Исходя из сложности кинематики взаимного перемещения фундаментальная матрица определялась в виде
Ф(Т) = I + ЖТ +1Ж 2Т2 = 2
Т 2ю2
+1
т 2 Т2 Ю - Тю -
Д
(а бЛАС°5 Р ЛА - 2Усблю)
Т2
УсблЮ -
1бЛА
ЛА С08 в
ЛА
Д2 ^ 2
Т
Д2
(а бЛАС0§ в ЛА - 2УсблЮ)
Д2
- Т
1-
3Т 2ю2
3УсблЮ -
Т 2 Ю
Д
абЛА^в ЛА 2
Л
2Тю Д
0
0
к
2
2
э1
и
а бЛАТ 2 005 в
ЛА
2
Т 2«Д
б ЛА
т(с05Р ЛА - «Гс^Р ЛА)
а бЛАС05 в ЛА
- 2Усбл «
Т2 - 2ТДю
а б ЛАТ 2§1пв ЛА
Т 2 V
+1
абЛАТ2
Д
«тафдд +
2Д
Vсбл5'пвЛА V абЛАТ51пвЛА Д Д
Т+
сбл
Т
2
Г2Vс2бл „ 2 абЛА51пвЛА сбл - 2«2 +-
Л
Д
2
2Д
2TV
сбл
Д
+1
.(14)
Второе слагаемое выражения (10) после соответствующих преобразований примет вид:
Ф1(Т) = ^ Ф((к + 1)Т - т)dт =
кТ
Т
Т2^2
- I «
Т_ 2
Т
2
0 0 Т2(а6ЛАС05рЛА - 2^бл«) Т2
0
аб ЛАТ 2005Р ЛА 2
Т
а б ЛАТ ^^Р ЛА
0
- Т2 «Д
и 2
« б ЛА
Т2 V
сбл
2Д2
Д
2Д
Д
+ Т
(15)
Следует отметить, что в выражении (15) в качестве фундаментальной матрицы использовалась линейная форма выражения (13). Таким образом, вектор экстраполированных параметров с учетом выражений (10)-(12), (14) и (15) примет вид
" Д к+1 " " Д к "
х к+1 = '^сбл к+1 Р ЛАк+1 = Ф(Т) Vсбл к Р ЛАк
_ «к+1 _ _ «к _
+ Ф1(Т)С
(16)
2
+
Анализ выражения (16) показывает, что:
оно стало намного сложение с аналитической точки зрения, это может вызвать некоторые трудности его реализации в вычислительных системах комплексов вооружения;
наличие в каждой составляющей вектора состояния параметра управления - бокового ускорения ЛА абЛА, это позволит не только адекватно экстраполировать вектор состояния, но и
синтезировать оптимальный закон управления ЛА с требуемой точностью.
Результаты моделирования. В целях проверки адекватности проведен сравнительный анализ точности экстраполяции параметров вектора состояния для предлагаемого варианта и метода Эйлера. В рамках метода Эйлера используются выражения
ХЭ -X k+i -
Д V
k+1
сбл k+1 в ЛАк+1 Юк+1
Дк " ЧблkT
Чблк - ТюкДк + aбЛАТ^ПР ЛАк
Р
ЛАк
'кг
+ Тю -
a бЛАТ
V
1 +
2TV ^
сблк
Дк
б ЛА
TcosP
ЛАк
Дк
(17)
В качестве показателя точности принята абсолютная ошибка между экстраполированным значением параметров вектора состояния и «истинным» значением соответствующих параметров.
«Истинное» значение вектора состояния получено следующим образом. Принято допущение, что координаты ЛА изменяются по следующим законам:
x(t) - Rcos(roKMt );
z(t) - К51П(ЮкМt ),
(18)
2ж
где R = 5000 м - радиус разворота; юкол = — рад/с - круговая частота колебаний; (0 = 95 град. -
фаза. С учетом изменения координат по выражению (18) ЛА будет описывать траекторию в виде окружности. Тогда дальность, скорость сближения, угол пеленга и угловая скорость линии визирования будут изменяться по следующим выражениям:
A(t) -V(x ц - x(t) )2 +(z ц - z(t))
V^ (t) -- - ДО) ; dt
в ЛА (t) - s(t) - уЛА (t);
rn(t) - - e(t),
(19)
(20) (21) (22)
где x -104 ;z -104 м - координаты неподвижной цели; s(t) - arctan
zц - z(t) (xц - x(t))
угол линии
визирования; у ЛА (t) - arctan
Г Vz ЛЛ (t) 1
- угол курса ЛА; V л (t) = Vz лл (t) = -
dt dt
V л (t),
проекции вектора скорости ЛА.
На рисунке 2 представлены значения абсолютной ошибки экстраполяции по модулю с учетом шага дискретизации равного 0,1 секунду, обозначения: линия 1 ошибка для метода Эйлера; линия 2 ошибка предлагаемого подхода. В таблице представлены максимальные значения ошибок для рассматриваемых вариантов при различных темпах обновления информации.
ю к -
Таблица - Максимальные ошибки методов экстраполяции
№ п/п Метод Шаг дискретизации, с
0,001 0,25 0,5
Д, м ^бл, м/с Pла, град ю, град/ с Д, м ^бл, м/с Pла, град ю, град/ с Д, м ^бл, м/с Pла, град ю, град/ с
1 Предлагаемый подход 0,004 10-5 10-7 10-7 25 2,5 0,063 0,03 100 10 0,26 0,12
2 Метод Эйлера 3,6 0,5 0.2 0,03 925 115 5,6 0,9 1850 209 10,5 1,65
1хЮ3
100
10
2
-1 1
0.1
0.01
1хЮ"3
с.
и
я £
-1
И 1x10
^ с
а) по дальности
1x10'
1x10
— Линия 1
- • Линия 2
в) по углу пеленга
ч ю
о >
<1
1x10
0.01
б) по скорости сближения
§ Г |
^ 1x10
3
-1 1x10
1x10
1x10
1.С
г) по угловой скорости линии визирования Рисунок 2 - Ошибки экстраполяции вектора состояния
Анализ изменения модуля ошибок вектора состояния от времени показывает, что: предлагаемый подход является работоспособным и адекватно учитывает изменение параметров вектора состояния при различных условиях наблюдения;
использование метода Эйлера для представления непрерывных систем оправдано лишь при шаге дискретизации менее 0,01 секунды;
ошибки предлагаемого варианта по сравнению с «истинными» значениями вектора состояния (рисунок 2) по дальности не более 5 м, по скорости сближения не более 0,5 м/с, по углу пеленга не более 0,01 градуса, по угловой скорости линии визирования не более 0,005 град/с;
преимущество предложенного варианта (таблица) заключается в уменьшении ошибки экстраполяции по сравнению с методом Эйлера по дальности, скорости сближения, углу пеленга в сотни раз и по угловой скорости линии визирования в десятки раз при времени обновления информации меньше 0,1 секунды. При увеличении шага дискретизации до 0,5 секунд ошибки экстраполяции уменьшаются по всем параметрам в десятки раз;
существенным достоинством предлагаемого подхода является наличие параметра управления в каждой составляющей вектора состояния в виде бокового ускорения ЛА абЛА. Это
позволит в дальнейшем синтезировать адекватный алгоритм траекторного управления;
недостатком данного подхода является громоздкость и сложность выражения экстраполятора (16), что может вызвать некоторые трудности при реализации его в вычислительной системе комплекса вооружения.
Вывод. Таким образом, в ходе проведенного исследования обоснован вариант эквивалентного представлению непрерывных нелинейных динамических систем их дискретными аналогами. Сравнительный анализ точности экстраполяции показал минимальные ошибки предлагаемого варианта по сравнению с «истинными» значениями, а также уменьшение ошибки экстраполяции минимум в десятки раз по сравнению с распространенным методом Эйлера при различных вариантах наблюдения. Практическая ценность полученных результатов обусловлена применением такого подхода в системах вооружения, в которых есть необходимость низкого темпа обновления информации вызванная, либо требованием скрытного наблюдения за целью, либо учетом преднамеренного подавления противником наших систем. Кроме того, в каждом параметре вектора состояния присутствует параметр управления (боковое ускорения ЛА), что позволит синтезировать оптимальный закон управления в соответствии с предъявляемыми требованиями точности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 832 с.
2. Ярлыков М.С., Богачев А.С. Авиационные радиоэлектронные комплексы. М.: ВАТУ, 2008.
616 с.
3. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высш. шк., 1989. 263 с.
REFERENCES
1. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike. M.: Nauka, 1974. 832 p.
2. Yarlykov M.S., Bogachev A.S. Aviacionnye radio'elektronnye kompleksy. M.: VATU, 2008. 616 p.
3. Aleksandrov A.G. Optimal'nye i adaptivnye sistemy. M.: Vyssh. shk., 1989. 263 p.
© Колтышев Е.Е., Иванов С.Л., Трущинский А.Ю., Испулов А. А., 2020
Колтышев Евгений Евгеньевич, доктор технических наук, профессор, начальник отдела Акционерного общества «Уральское проектно-конструкторское бюро «Деталь», Россия, 623409, г. Каменск-Уральский, Свердловской области, ул. Пионерская, 8.
Иванов Станислав Леонидович, кандидат технических наук, доцент 101 кафедры авиационных радиоэлектронных комплексов, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А.
Трущинский Алексей Юрьевич, кандидат технических наук, доцент 102 кафедры авиационных систем и комплексов радионавигации и радиосвязи, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А.
Испулов Аманбай Аватович, кандидат технических наук, заместитель начальника отдела научно -исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
