Представление конечного детерминированного автомата рядом Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

упорядоченным множеством с порядком для которого:

ал = (ал , ал) <Зк ЬЛ = (Ьл ,...,Ъзи) ^ ал <л Ьл Л ... л ал <л Ьл.

Ясно, что порядок в общем случае не является линейным. Этот порядок естественным образом индуцирует изоморфный порядок на множестве концептов С/%:

Ро (а%) Ро (Ь%) ^ а% <% Ь%.

Теорема 2. Пусть К = (С, (Ы,ь),р) - однозначный контекст, с упорядоченными множествами атрибутов, X — некоторый концепт по ЬА(Х) - множество концептов, покрываемых концептом, X; Ь^ (X) - множество концептов, покрывающих концепт X. Тогда, справедливы следующие утверждения.

1. Если ро (а%) <%ро (Ь)%), т,о ро (аТв) <-г,ро (Ьга) для любого ъ3 С ]к.

2. Если множество концептов ЬА (X) имеет наибольший или наименьший элемент по отношению <п, то этот элемент является атомом решётки Ь(К).

3. Если множество концептов Ьу (X) имеет наибольший или, наименьший элемент по отношению < ^ для некоторого га С ]к) то этот элемент является концептом, пога.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Новиков В. Е. Решётка концептов в однозначном контексте // Математика, Механика : еб, науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 53-56,

УДК 519.95

С. И. Поликарпов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АВТОМАТА РЯДОМ ФУРЬЕ

Распространенные способы задания автоматов (таблицы, матрицы, системы канонических логических уравнений) основываются на рекурсии: последовательно определяются такты функционирования автомата и указываются правила рекурсивного совмещения тактов в процессе функционирования. Указанными способами задания автоматов явно выделяются только начальные фрагменты возможных вариантов функционирования. Для того чтобы заменить рекурсивное задание законов

функционирования автомата явным определением функций переходов и выходов на всей оси абстрактного времени, в работах В. А. Твердохле-бова предложено и развито представление автоматов геометрическими образами в специальных словарных геометриях (см., например, [1]). На содержательном уровне геометрический образ автомата совпадает с ломаной линией. В данной работе рассматривается задача о представлении геометрического образа конечного детерминированного автомата рядом Фурье [2]. Разработаны алгоритм построения ряда Фурье по заданному закону функционирования автомата и алгоритм восстановления по заданному ряду Фурье закона функционирования автомата. На конкретном примере показывается связь ряда Фурье и автомата. Взятый в примере периодический (с периодом, равным 10) геометрический образ автомата А изображен на рисунке.

Пусть A = (S, X, Y, ó, А), где S = {su...,s5} , X = {0,1, 2, 3} , Y =

= {0,1, 2, 3,4}, - конечный детерминированный автомат. Присвоим первым десяти словам на оси X * следующие ном ера: 0,1, 2,..., 9. Ломаной yS0 , являющейся геометрическим образом автомата A в целочисленной геометрии Г\, сопоставим конечный ряд Фурье F(x) [3], построенный разложением по следующей системе из 10 базисных функций:

f nx nx 2nx 2nx 3nx 3nx 4nx 4nx 1

< 1, cos —, sin —, cos-, sin-, cos-, sin-, cos-, sin-, cos nx > . (1)

[5555 55 55 J

Система базисных функций (1) ортогональна на множестве точек {0,1, 2,..., 9}, из соотношений ортогональности следует, что ряд Фурье, соответствующий ломаной , имеет вид

4

г-,/ ч a0 yr-^, mx . mx. a5 ..

F (x) = — + 2_^(аг cos —- + ог sin —-) + — cos nx, (2)

2 5 5 2

i= 1

где

1 9

«0 = (х)

х=0

1 9 ¿ПХ « = 7в0 (х)еов —, г = 1, 2,..., 5, (3)

х=0

9

1 / л • гпх

Ьг = 52_^ 7*0 Нет —, г = 1,..., 4.

5 х=0 5

В точках {0,1, 2,..., 9} сумма ряда (2) в точности равна значениям ломаной 750.

В соответствии с предлагаемыми принципами интерпретации и совмещения структуры ряда Фурье со структурой автомата каждую базисную функцию из системы (1), входящую в ряд (2), можно рассматривать как геометрический образ некоторого конечного детерминированного автомата. Для этого предварительно заметим, что все функции системы (1) па множестве точек {0,1, 2,..., 9} принимают лишь 11 разных вещественных значений от -1 до 1. Занумеруем эти значения на оси координат согласно табл. 1:

Таблица 1

Значение -1 -0,95106 -0,80902 -0,58779 -0,30902 0

Номер в 0 1 2 3 4 5

Значение 0,30902 0,58779 0,80902 0,95106 1 -

Номер в Г1 6 7 8 9 10 -

Каждая базисная функция системы (1) является 10-периодической, определим значение этих функций в Г1 на первых 10 точках оси абсцисс. Для каждой новой целочисленной функции yi(x), i = 1, 2,... , 10, по-

i.

соответствующие каждой из базисных функций. А по этим геометрическим образам однозначно восстанавливаются автоматы A1,..., A10. Например, автомат A2, соответствующий функции cos ПХ, задается табл. 2:

Таблица 2

5 Л ^^ Si S2 S3 S4 S5

0 S2 10 Si 2 S5 6 S4 6 S3 2

1 S3 8 S2 0 Si 8 S5 4 S4 4

2 S4 6 S3 2 S2 10 Si 2 S5 6

3 S5 4 S4 4 S3 8 S2 0 Si 8

Пусть инициальному автомату (А, йо) соответствует геометрический образ 7з0. Как было показано, геометрический образ представим рядом Фурье (2). Если функциям системы (1) сопоставить набор автоматов А1,..., А1о, то функции выходов этих автоматов определяются формулами

Аг(йго,х) = уг(х), х Е {0,1,...,9}, г = 1,10.

Функции переходов автоматов указаны в соответствующих таблицах.

А1, . . . , А1о

в ряд Фурье геометрического образа и выделением в ряде Фурье соответствующих автоматам компонент.

Композиция автоматов А1,..., Аю, где элемент О задается равенством

М-^о, х) = У {У1} + а1{У2} + Ь1{У3} + а2{У4} + ... + Ь4{У9} + У {У1о},

({уг} означает вещественное значение, соответствующее номеру Уг), за-

А

На основе разработанных связей конечного детерминированного автомата, его геометрического образа и соответствующего ряда Фурье для решения задач анализа, синтеза, управления и диагностирования автоматов может быть использована теория рядов Фурье. Для этого предполагается устанавливать соответствие между свойствами автомата и свойствами ряда Фурье. Таким образом свойства исходного автомата на основе разложения его геометрического образа в ряд Фурье переносятся

А1, . . . , А1о БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов // Проблемы точной механики и управления : сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004.

2. Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 64-66.

3. Хемминг Р. В. Численные методы. М. : Наука, 1972.