Предиктор-корректорная схема и численная реализация фрактальной модели динамики финансовых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физика и материаловедение

УДК 51-7:519.6

К.В. Биссенова, А.Г. Масловская

ПРЕДИКТОР-КОРРЕКТОРНАЯ СХЕМА И ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ФИНАНСОВЫХ СИСТЕМ

В работе представлена математическая модель фрактальной динамики финансовой системы. Предложена предикт-корректорная вычислительная схема реализации модели, сконструированная на основе численной аппроксимации производной дробного порядка по формуле Грюнвальда -Летникова. Проведен качественный анализ динамической модели. Описаны результаты вычислительных экспериментов по оценке динамических характеристик финансовой системы при варьировании значений управляющих параметров модели.

Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка, формула Грюнвальда - Летникова, динамическая модель, финансовая система, устойчивость, динамические характеристики финансовой системы.

PREDICTOR-CORRECTOR SCHEME AND NUMERICAL IMPLEMENTATION FOR FRACTIONAL MODEL OF FINANCIAL SYSTEMS DYNAMICS

The paper presents mathematical model of financial system with fractal dynamics. The predictor-corrector computational scheme was proposed to realize the model with use of numerical approximation of a fractional order derivative by Grunwald - Letnikov formula. The qualitative analysis of dynamic model was performed. Computing experiments results are discussed to estimate dynamic characteristics of financial system at variation of operating model parameters.

Key words: system of ordinary differential equations with fractional order, Grunwald - Letnikov formula, dynamic model, financial system, stability, dynamic characteristics of financial system.

Введение

В настоящее время теория дробно-дифференциального исчисления находится в процессе бурного развития и в теоретическом плане, и в части ее практических приложений. Можно сказать, что этот раздел математического анализа превратился в инструмент математического и компьютерного моделирования сложнейших динамических процессов в обычных и фрактальных системах, позволяющий решать различные задачи анализа, синтеза, идентификации, диагностики, создания новых систем. Известен широкий ряд математических моделей, формализуемых с помощью дифференциальных уравнений дробного порядка и имеющий приложения в самых различных областях.

Одним из важнейших направлений использования аппарата дробного дифференцирования является модельное описание процессов и явлений, обладающих фрактальными характеристиками. Для указания на то, что рассматриваемый процесс обладает особым свойством - памятью, используют дробную производную по времени. Чтобы показать, что процесс протекает в самоподобной неоднородной среде, применяют дробную производную по координате.

В настоящее время в экономике известно большое количество математических моделей процессов и явлений, формализуемых с помощью интегро-дифференциального аппарата. В работе [1] предложена модель, описывающая динамику финансовых систем на основе классических методов математического анализа. Впоследствии было представлено множество модификаций данной модели. Так, в [2] описана вариационная модель с четырьмя переменными, в [3-4] использованы элементы теории управления для моделирования нелинейной динамики финансовой системы. Работа [5] посвящена классу хаотических финансовых моделей как моделей систем управления с обратной связью и с учетом эффекта запаздывания. В [6] описана модификация, учитывающая сверхрасходы в экономико-математической постановке задачи. Другие модификации направлены на модернизацию алгоритмов [7]. Оценка параметров модели финансовой системы с запаздыванием проведена в работе [8], в которой для установления времени запаздывания авторы используют ресурсы сайта [9].

В числе известных моделей динамических систем можно выделить класс макроэкономических математических моделей, описывающих эволюцию финансовой системы в терминах экономических показателей: ключевая ставка, валовое накопление основного капитала, индекс потребительских цен. Для учета свойств памяти в таких динамических системах используют дробно-дифференциальный подход. Такие математические модели появились в конце XX - начале XXI вв. и в настоящее время активно развиваются.

Аналитические методы решения разработаны для достаточно узкого класса прикладных задач. Поэтому привлекательной альтернативой поиску аналитических подходов к реализации этих математических моделей является конструирование вычислительных схем решения дифференциальных уравнений с дробными производными. Цель нашей работы заключалась в построении модифицированной вычислительной схемы дробно-дифференциальной модели динамики финансовых систем на основе идеи предикт-корректорного метода, а также в проведении вычислительных экспериментов по оценке динамических параметров финансовой системы.

Математическая постановка задачи моделирования

Трехмерная динамическая модель, описывающая поведение финансовой системы, задается вариацией трех переменных состояния [10] и имеет вид:

' dа х

= г + (у -а)

а) • х,

dtа

d а У Иа X

% =,-4-у-х=, или ^ = '(Х.0. (1>

d а г

= -х - с • г,

dtа

где х = X1, у = X2, г = X3. х(^) = ^у(^) = X2,г(^) = Х03

Переменные модели: х - ключевая ставка, в % или долях единицы; у - валовое накопление основного капитала, в % или долях единицы от ВВП; г - индекс потребительских цен, в % или долях единицы. Параметры модели: а - величина сбережений; Ь - стоимость инвестиций; с - эластичность спроса коммерческих рынков; а - порядок дробного дифференцирования. Для замыкания математической постановки задачи (1) требуется задать начальные условия при t=t0 х ( ^ ) = X1, у (^ ) = X о2, г (^ ) = X О.

Качественный анализ динамической модели Проведем качественное исследование динамической системы (1). Для этого зафиксируем значения параметров с=1, 6=0.1. Определим точки равновесия из решения системы уравнений, соответствующих стационарному режиму, в зависимости от значения параметра а. При а > 9 система имеет одну точку равновесия М1 (0,1/Ь, 0) и характеристическое уравнение запишется в форме:

Я3 +(а - 8.9)Я2 + (1.1а - 9.9)Я + 0.1а - 0.9 = 0.

Используя критерий Рауса - Гурвица, можно заключить, что при а > 9 решение будет характеризоваться асимптотической устойчивостью. При а < 9 имеем три особые точки:

М1 (0,1/Ь, 0), М2,3 (±71 - аЬ - Ь/с ,1/ с + а, + (Vс1 - аЬ - Ь/с )

и неустойчивое решение, исходя из анализа характеристического уравнения: Я3 + 0.1Я2 +(1.8 - 0.2а) Я +1.8 - 0.2а = 0 .

Построение вычислительной схемы реализации модели

Вычислительную схему для реализации модели (1) будем строить с использованием формулы Грюнвальда - Летникова [11] для численной аппроксимации производной дробного порядка на вре-

= = ¡И, i = 0Т}:

менной сетке ю = и. = \

ЛОХ!« 1 ± £ х-{1 - ,и), *=из, (2)

Г(-а) Иа £0 Г(/ +1) v ' где И - шаг по времени; Г(а) - гамма-функция Эйлера.

Для конструирования вычислительной схемы решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка рассмотрим сначала общий принцип решения одного дробно-дифференциального уравнения в следующей общей постановке:

-— = g (х, t), (3)

где х(0 - искомая функция; а - порядок дробной производной; g(x,t) - функция правой части дифференциального уравнения с начальным условием

X ( ^ ) = х0. (4)

Л а X (t)

Формула Грюнвальда - Летникова для аппроксимации производной ——^а— на сетке

: ^ = ?0 + ¡И, I = 0,Т| может быть записана в следующей форме:

Лах(t) 1 1 Т Г(i - а)

-= Ит —--—-fx(t - ¡И) , (5)

Ла г(-а) На ¡=0 Г(i +1) V '

где И - шаг по времени.

Тогда последовательная аппроксимация производной для ¡-го узла х (ti) = :

1 1 (Г(-а) Г(1 - а) "

-х +-

Г(-а) На1 Г(1) 1 Г(2)

= g (^ to), ¡' =1;

11

Г(-а) Г(1 -а) Г(2-а)

х2 I , ч I

Г(-а) На( Г(1) 2 Г(2) 1 Г(3)

= & (х^ tl), ¡ =2;

х0

и подстановка конечно-разностного аналога в уравнение (3) позволяет сконструировать явную конечно-разностную схему:

х+!=г(1)( иаg (х, ^ )-х у:

Л

ах - .+1

.=1

(6)

где у. =

г(. - а)

Г(-а )^Г(. +1)'

Таким образом, обобщим схему численного решения задачи (3)-(4) на случай трех независимых переменных модели (1) с начальными условиями и запишем явную конечно-разностную схему решения задачи:

(

Л

Xki+l =Г(1) И (X,, X, Ь^^

V .=1

а V" к

I-.+1

, = о, N.

(7)

Порядок аппроксимации производной в схеме (7) соответствует 0(Иа>. В этом случае можно провести аналог с явными многошаговыми методами при решении задач Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений целого порядка [12], - например, с методом Адамса. Прибегая к последним, для расчета значения функции в ,-м узле используют р значений в предыдущих узлах, в зависимости от порядка точности метода. В случае решения дробно-дифференциального уравнения используются значения во всех предыдущих узлах. Поэтому общая схема (7) отражает идейный смысл использования дробной производной для моделирования системы с памятью: значение каждого показателя в текущий момент времени рассчитывается с учетом всех значений в предыдущие моменты времени.

Идея предиктор-корректорного метода заключается в совместном применении явного и неявного методов одинакового или смежного порядка. Для модификации вычислительной схемы (7) по явной формуле на первом шаге рассчитаем «пробное» приближение X,* 1, а при помощи неявной схемы уточним это значение, подставив приближенное X 1 в правую часть:

(

,+1

к

,-.+1

=Г(1) Иа Fk (X,, X, )-XYаX

V .=1

( ч ,+1

Xf+l =г(1) иа Fk (х*, Х,+1 )-^ljXk

, = о, N;

Л

.=1

, , = О, N.

(8)

(9)

Вычислительный эксперимент и анализ результатов

Вычислительная схема (7) была реализована в ППП МаАаЬ. Для верификация работы программы рассмотрим тест-пример, а также сравнение аналитического решения и найденного численным методом. Пусть требуется решить задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (целого порядка):

dх

— = -2 х + 4 у dt

— = - х + 3 у dt

с начальными

условиями х(0) = 3, у(0) = 0. (10)

Решая аналитически, получаем общее решение системы в виде: Г х (X ) = 4С1е + С 2 е2 Х [ у (X ) = С^ - + С 2 е2 Х ' где С1, С2 - постоянные.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям х(0) = 3, у(0) = 0:

х (I) = 4е-' - е2'

У (t ) = е '-е2 .

Для сравнения аналитического решения с численным решением положим а=0.999. Результаты сравнения точного и приближенного решения тест-задачи приведены на рис. 1.

Рис. 1. Точное и приближенное решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

для х(0 - а; для у(0 - б.

Абсолютная погрешность оценивалась с помощью двух видов норм: нормы Евклида и нормы-максимум. Значения расчетов практической оценки погрешности приведены в таблице.

Практическая оценка погрешности

Переменная Оценка погрешности численного решения

Норма Евклида Норма-максимум £ = тах X - X

^ = (X - X )2

х 1.155 0.624

у 1.241 0.652

Вычислительный эксперимент № 1. Продемонстрируем реализацию модели для двух режимов - устойчивого и неустойчивого. Установим значения параметров: стоимость инвестиций Ь=0.1, эластичность спроса коммерческих рынков с=1, порядок дробного дифференцирования а=0.9. На рис. 2 показана динамика изменения показателей финансовой системы при различных значениях параметра а - величины сбережений: а=10 и а=3.

Рис. 2. Динамические характеристики: ключевая ставка х(0, валовое накопление основного капиталау(^, индекс цен z(t) (параметры моделирования: Ь=0.1, е=1, а=0.9, х0=2, у0=3, z0=2, T=100); а=10 - а; а=3 - б.

В соответствии с теоретическим анализом устойчивости согласно критерию Рауса - Гурвица можно наблюдать поведение характеристик модели в устойчивом режиме при а=10 (рис. 2а) и неустойчивом - при а=3 (рис. 26). Устойчивое решение характеризуется релаксацией системы к стационарному состоянию: ключевая ставка и индекс цен через 5 усл. ед. времени приближаются к нулевым значениям; валовое накопление основного капитала имеет на первом шаге небольшое снижение и далее более длительный период релаксации - через 100 усл. ед. времени стремятся к постоянному значению 10 усл.ед. Качественно такая экономическая ситуация может быть описана плавным ростом накопления основного капитала и резким снижением ключевой ставки и индекса цен, что характеризует благоприятный инвестиционный климат и стабильное развитие финансово-экономической системы.

Логистический рост основного капитала характерен для многих математических моделей макроэкономических систем. Переменные, описывающие поведение модели, переходят в состояние насыщения. Это объясняется ограниченностью ресурсов и спроса на определенные группы товаров и технологий, существованием внешних политико-экономических факторов, препятствующих независимому развитию экономик отдельных государств, и т.п. Понятно, что в реальных условиях (только для развитых экономик( ключевая ставка и индекс цен, дающий стоимость потребительской корзины, могут стремиться к нулевым значениям. Так, по данным сайта https://ru.tradingeconomics.com финансово «благополучные» страны Еврозоны (Германия, Франция, Австрия, Люксембург и др.) имеют нулевую ключевую ставку, а в некоторых странах (Швейцария, Дания, Швеция) ключевая ставка принимает отрицательные значения. В России значение ключевой ставки 7,5% - свидетельство того, что в этом случае реализуемая экономико-математическая модель может быть применена только для прогнозирования макроэкономических характеристик в краткосрочном периоде.

При преодолении параметром а (величины сбережений), порога, равного 9 усл. ед., система

с аттракторами систем Лоренца и Ресселера.

Вычислительный эксперимент № 2. Исследуем поведение модельных характеристик при варьировании параметра дробного дифференцирования а. Остальные параметры модели зафиксируем аналогично предыдущему случаю: 6=0.1, с=1, х0=2, у0=3, г0=2, 7=100.

переходит в неустойчивый режим при фиксированных значениях параметров Ь и с (рис. 2б). В этом случае можно наблюдать хаотические колебания управляющих переменных модели: ключевой ставки х(0, валового накопления основного капитала у(^, индекса цен z(t). Качественно такая картина соответствует неуправляемому, нестабильному поведению финансовой системы.

Рис. 3. Трехмерный фазовый портрет (значения параметров: 6=0.1, с=1, а=3, а=0.9, х0=2, у0=3, zo=2, 7=100).

2 1

5

Хаос в динамической системе наглядно демонстрирует трехмерная фазовая диаграмма состояния модели, построенная для фиксированного набора характерных параметров модели. На рис. 3 показан аттрактор модели финансовой системы. Состояние системы, к которому она эволюционирует, имеет схожие черты

Как было показано, параметр а отвечает за присутствие в системе эффекта памяти. Если полный интервал возможных значений а есть (0,1), то его предельные крайние значения можно интерпретировать таким образом: при а=0 как производную нулевого порядка, т.е. значение самой функции, и при а=1 - производную первого порядка. При анализе фрактальных систем, моделирующих реальные физические процессы, а, как правило, выбирают из диапазона (0.5,1) [13, 11]. При приближении к правой границе интервала а^1 поведение модели больше соответствует детерминированному случаю - реализации модели в целых производных [1]. Случай модели с более выраженными фрактальными свойствами имеет место при приближении а к левой границе интервала: а^0.5.

Установим для определенности два значения: а=0.75 и а=0.9 и исследуем модельные зависимости при реализации устойчивого и неустойчивого режимов. Результаты показаны на рис. 4.

Рис. 4. Модельное представление динамических характеристик системы: ключевая ставка x(t), валовое накопление основного капитала у(^, индекс цен при различных значениях параметра а ^(0, у(0, ,г(0 при а=0.9 и Xl(t), у^О, при а=0.75) для: устойчивый режим - а; хаотический - б.

Можно заключить, что для устойчивого режима характер поведения зависимостей в целом сохраняется. Однако в начальные моменты рассматриваемого временного диапазона модель с выраженным фрактальным поведением (а=0.75) соответствует медленному накоплению основного капитала и резкому падению ключевой ставки и индекса цен по сравнению с моделью, приближенной к детерминированному состоянию (а=1).

Особенность реализации неустойчивого режима заключается в хаотических колебаниях переменных модели. В этом случае для фрактальной модели (а=0.75) стабилизация состояния наблюдается через 40 усл. ед. времени: колебания затухают.

Таким образом, анализ экономического смысла данных математического моделирования позволяет заключить, что устойчивое состояние финансовой системы должно быть более предпочтительным, для перехода к устойчивой экономике и для обеспечения роста валового накопления уставного капитала требуется снижение ключевой ставки и индекса цен «почти» до нулевого уровня. Например, в период глобального экономического кризиса 2009 г. многие европейские банки снизили ключевую ставку до нуля, что послужило мерой стабилизации экономик ряда государств. Понятно, что в условиях российской экономики (высокая ежегодная инфляция) такие меры труднореализуемы, но в последние несколько лет наблюдается устойчивая тенденция снижения ключевой ставки.

Заключение

Таким образом, в работе на основе численной аппроксимации производной дробного порядка по формуле Грюнвальда - Летникова построена предикт-корректорная вычислительная схема реше-

ния начальной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка применительно к реализации модели финансовой системы. Проведена формализация алгоритма и разработана прикладная программа, предназначенная для имитационного моделирования динамических характеристик финансовых систем. Проведены вычислительные эксперименты при варьировании значений переменных и проанализированы результаты моделирования динамики финансовой системы для набора модельных параметров (в нормированном виде). Установлено, что при фиксированных параметрах Ь и с в определенном диапазоне для значений параметра а модель имеет неустойчивое решение и обнаруживает хаотическое поведение, в другом диапазоне значений параметра а задача имеет устойчивое решение - наблюдается релаксация к стационарному состоянию.

1. Ma, J., Chen, Y. Study for the bifurcation topological structure and the global complicated character of a kind of non-linear finance system (I) // Applied Mathematics and Mechanics. - 2001. - V. 22, № 11. - P. 1240-1251.

2. Juma'a, A.H., Hammodat, A.A.-R. Stability of Chaotic and Hyperchaotic Finance System // Journal of Education and Science. - 2013. - V. 26, № 4. - P. 97-106.

3. Volos, C.K., Kyprianidis, I.M. et al. Nonlinear Financial Dynamics from an Engineer's Point of View // Journal of Engineering Science and Technology Review. - 2011. - № 4 - P. 281-285.

4. Jabbari, A., Kheiri, H. Anti-Synchronization of a Modified Three-Dimensional Chaotic Finance System with Uncertain Parameters via Adaptive Control // International Journal of Nonlinear Science. - 2012. - V. 14, № 2. -P. 178-185.

5. Kai, G., Zhang, W. Chaotic dynamics Analysis for a class of delay nonlinear finance system // MATEC Web of Conferences. - 2016. - № 45. - P. 7-15.

6. Tacha, O.I., Volos, C.K., Stouboulos, I.N., Kyprianidis, I.M. Analysis, adaptive control and circuit simulation of a novel finance system with dissaving // Archives of control sciences. - 2016. - V. 26, № 1. - P. 95-115.

7. Kocamaz U.E., Goksu A., Ta§kin H., Uyaroglu Y. Synchronization of chaos in nonlinear finance system by means of sliding mode and passive control methods: a comparative study // Information technology and control. - 2015.

- V. 44, № 2. - P. 172-181.

8. Novotna, V., Stepankova, V. Parameter estimation for dynamic model of the financial system // Acta universita-tis agriculturae et silviculture mendelianae brunensis. - 2015. - V. 63. - P. 2051-2055.

9. Trading economics. - Режим доступа: https://ru.tradingeconomics.com/.

10. Chen, W.C. Nonlinear dynamics and chaos in a fractional-order financial system // Chaos, Solutions & Fractals.

- 2008. - V. 36. - P. 1305-1314.

11. Учайкин, В.В. Метод дробных производных - Ульяновск: Артишок, 2008. - 512 с.

12. Формалев, В.Ф., Ревизников, Д.Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

13. Васильев, В.В. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем / В.В. Васильев, Л.А. Симак. - Киев, 2008. - 249 с.