Предельные токи релятивистского электронного пучка в дрейфовой камере с двухсвязным поперечным сечением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Предельные токи релятивистского электронного пучка в дрейфовой камере с двухсвязным поперечным сечением

М.В. Кузелева, Е. А. Хапаева6

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физической электроники. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected], ь [email protected] Статья поступила: 23.12.2010, подписана в печать 15.02.2011

Получены формулы для предельного вакуумного тока и предельного пирсовского тока тонкого трубчатого релятивистского электронного пучка, распространяющегося в цилиндрической дрейфовой камере коаксиального (двухсвязного) поперечного сечения.

Ключевые слова: предельный вакуумный ток, предельный пирсовский ток, релятивистский электронный пучок, пространство дрейфа, коаксиальное поперечное сечение, неустойчивость.

УДК: 533.9. PACS: 52.35.^g.

В релятивистской сильноточной электронике одной из важных формул является формула для предельного вакуумного тока тонкого трубчатого релятивистского электронного пучка, распространяющегося в цилиндрической дрейфовой камере [1, 2]:

(-у2/3 _ 1)3/2 4°-/о 21пЩгь ■ (1)

Здесь /о = тс3/е и 17.03 кА — постоянная, имеющая размерность тока, гь — средний радиус трубчатого пучка, Я — радиус дрейфовой камеры, 7 = (1 — -и2/с2)^1/2 — релятивистский фактор электрона, и — скорость инжекции электронов пучка в камеру дрейфа. Формула (1) получена в предположении, что электронный пучок полностью замагничен внешним магнитным полем, направленным вдоль камеры дрейфа, и толщина трубчатого пучка Аь мала по сравнению с его средним радиусом, т. е. Аь -С гь < R. Если ток электронного пучка 4 превышает предельный вакуумный ток 4о, то стационарная инжекция пучка и его транспортировка в камере дрейфа невозможны: вблизи плоскости инжекции в камере формируется виртуальный катод, отражающий часть электронов, т. е. при 4 > 4о происходит срыв тока пучка, что подтверждается компьютерным моделированием и многочисленными экспериментами [3, 4].

Трубчатые сильноточные релятивистские электронные пучки находят широкое применение в различных приложениях, в частности в плазменной релятивистской СВЧ электронике [5], как источники мощного когерентного электромагнитного излучения. В настоящее время плазменные излучатели на трубчатых сильноточных электронных пучках уже успешно реализованы экспериментально и имеют рекордные характеристики по мощности излучения и по возможности перестройки их частоты [6, 7]. Имеются определенные теоретические соображения, по которым в электродинамических системах плазменных излучателей целесообразно использовать волноводные структуры с двухсвязным поперечным сечением — коаксиальные волноводы. Настоящая работа посвящена вычислению предельного вакуумного тока релятивистского трубчатого электронного пучка в коаксиальном пространстве дрейфа, а также некоторым дальнейшим обобщениям.

Рассмотрим стационарную инжекцию и транспортировку полностью замагниченного электронного пучка в цилиндрическом вакуумном пространстве дрейфа коаксиального поперечного сечения (R2 — внешний радиус коаксиала, R\ — его внутренний радиус, i?2 > гь > R\ )• Значение максимального тока бесконечно тонкого полностью замагниченного электронного пучка в таком пространстве дрейфа определяется как условие разрешимости следующей стационарной системы уравнений [2]:

1 д dip д2и> . . . . r/

7 д?ГW + Ш = ^4nenb&AbS(r - rb)-

R{<r<R2, z> 0, (2)

rib(z)v(z) = Поьи = const, z> 0, mc2*f(z) + eipfo, z) = mc2j = const, z > 0.

Здесь r — цилиндрическая координата, z — координата вдоль камеры дрейфа, ip(r,z) — скалярный потенциал собственного электростатического поля пучка, поь — концентрация электронов пучка в плоскости инжекции ,г = 0, пь(г) — концентрация электронов в произвольном сечении z > 0 дрейфовой камеры, и — скорость пучка в плоскости инжекции, v(z) — скорость пучка при z> 0, 7 (z) = [1 — v(z)2 / с2}^1/2. Первое уравнение в (2) является уравнением Пуассона, второе — стационарное уравнение непрерывности, третье — стационарное уравнение Эйлера. При написании первого уравнения системы (2) было учтено, что пучок является тонким трубчатым, а поэтому радиальное распределение его плотности определяется выражением Аь5(г - гь), где 5(г) — дельта-функция.

Уравнение Пуассона в системе (2) дополняется следующими граничными условиями:

V{Ruz) = V{R2,Z) = Q, ip(r, 0) = 0, ^(г, оо)=/(г), 1 '

где /(г) — некоторая ограниченная функция, зависящая только от поперечной координаты г. Первые два условия в (3) означают, что внутренняя и внешняя границы пространства дрейфа представляют собой проводящие цилиндры. Третье условие в (3) предпо-

18 ВМУ. Физика. Астрономия. № 3

лагает, что в плоскости инжекции г = 0 расположена проводящая сетка (фольга) прозрачная для инжектируемых электронов. Последнее граничное условие в (3) означает, что на большом расстоянии от плоскости инжекции (при г^Щ), потенциал выходит на некоторое значение, независящее от координаты г. Действительно, продольное электрическое поле Е? = —дф/дг существенно только вблизи плоскости инжекции, где оно тормозит инжектируемые электроны, но при гоо продольное поле исчезает. Для вычисления предельного вакуумного тока, т. е. тока, прошедшего далеко в глубину камеры дрейфа, достаточно рассмотреть задачу (2) при оо, когда она существенно упрощается.

Краевую задачу (2) при д^/дг = Ь можно решать или методом сшивки потенциала, или методом разложения по собственным функциям поперечного сечения камеры дрейфа. Рассмотрим сначала метод сшивки. В областях вне трубчатого пучка (т.е. при гфгь) потенциал находится из следующего уравнения:

1 d dip -г

г dr dr

00 = О,

(4)

где ц>оо(г) = (р(г, 2Ч>оо). Решая уравнение (4) с учетом первых двух граничных условий (3), имеем

9?оо (г) =

Cilnr/Ri, Ri^r<rb,

C2\nr/R2, rb<r^R2,

(5)

где С[ 2 — постоянные.

Для определения постоянных Своспользуемся следующими условиями сшивки в точке г = гь потенциалов в областях г <гь и г >

9?оо (гь + 0) - <¿>00 (гй + 0) = О,

^оо_(гь _ 0) — — 0) -АкеАьПы ^

dr

dr

где пж = пь(г ^ оо). Первое условие в (6) — непрерывность потенциала — следует из конечности радиальной составляющей напряженности электрического поля Ег = -д(р/дг. Второе условие (6) получается из первого уравнения системы (2) интегрированием по окрестности точки г = гь. Подставляя выражения (5) в условия сшивки (6) и определяя постоянные вычисляем

потенциал электрического поля в точке нахождения электронного пучка

VooiXb) = ~Gati v A/,r(1. G =

In rb/Ri • In R2/rb lnR2/Ri

(7)

где в — геометрический фактор тонкого трубчатого электронного пучка в коаксиальном волноводе.

Выразим далее из второго уравнения системы (2) величину пж и подставим ее вместе с (7) в третье уравнение. В результате получим

/о7оо + 2 GIb

7оо

\П\

ОО ^

= /о7.

(8)

где 7оо = 7(z -t оо) — релятивистский фактор электрона на бесконечности, а 4 = 2-7ГгьАьпоьи — ток тонкого трубчатого пучка. Для получения соотношения (8) скорость v(z -t оо) была выражена через 7^. Как видно из (8), ток пучка зависит от релятивистского фактора электронов на бесконечности (или энергия

тс2700 электронов, прошедших в камеру дрейфа, зависит от тока инжекции). Выражая из (8) ток пучка 4 и максимизируя его по , получаем окончательно следующее выражение для предельного вакуумного тока тонкого трубчатого электронного пучка в коаксиальной дрейфовой камере:

l)3/2lnR2/R^

(72/3_1)3/2 (72/3

4о —'0-2Q--

2Ыrb/Rl■ЫR2/rb ■ (9)

Максимум (9) достигается при 7^ = 71/3. Следовательно, если ток пучка равен току (9), то энергия электронов в камере дрейфа далеко от плоскости инжекции есть тс271/3. В плоскости инжекции энергия была тс27.

Рассмотрим теперь кратко метод разложения по собственным функциям поперечного сечения камеры дрейфа. Этот метод полезен тем, что в принципе может быть обобщен на случай двухсвязного поперечного сечения дрейфовой камеры произвольной формы [2]. Известно, что собственные функции краевой задачи

1 д д(р г дг дг

■Ь?п<р = 0, Rl<r<R2,

(10)

(11)

определяются формулой

где а 1.2..... а /оМ и Ыо(х) — функции Бесселя

и Неймана нулевого порядка. Собственные значения задачи (10) !г2 определяются корнями следующего уравнения:

/0(М?!ШМ?2) = О- (12)

Разложим потенциал 1рж (г) в ряд по собственным функциям (11). Коэффициенты разложения с учетом ортогональности собственных функций определяются из первого уравнения системы (2) (при д(р/дг = 0). В результате получается выражение (7), в котором геометрический фактор пучка б представлен в виде следующего ряда:

Г у* г ?(>'/■) и „2 С = 2^ «.911.. 119' Ы =

п= 1

Ь1\\ч>п

(p2n(r)rdr. (13)

Суммирование ряда в (13) представляет собой отдельную задачу. Однако из общих соображений (теорема о существовании и единственности решения краевой задачи для уравнения Пуассона (2)) ясно, что сумма ряда (13) должна совпадать с величиной, приведенной в формуле (7).

Определим ток Пирса тонкого трубчатого цилиндрического пучка в коаксиальном пространстве дрейфа. Напомним, что при токе, превышающем ток Пирса, ток пучка срывается из-за развития электростатической пирсовской неустойчивости даже при полной нейтрализации поля пространственного заряда пучка [2, 3]. Воспользуемся результатом, сформулированным в [8], где показано, что для развития электростатической неустойчивости Пирса необходимо, чтобы в некоторой области волновых чисел одна из волн плотности заряда пучка имела отрицательную групповую скорость

РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА

37

(при и> 0). Чтобы в нашем конкретном случае воспользоваться этим общим результатом, необходимо установить дисперсию волн плотности заряда тонкого трубчатого нейтрализованного электронного пучка в коаксиальном пространстве дрейфа. В принципе для этого можно было бы ограничиться потенциальным приближением. Однако поскольку волны плотности заряда релятивистского пучка представляют большой интерес для многих проблем электродинамики плазмы и плазменной СВЧ-электроники [5], мы получим здесь общее дисперсионное уравнение для собственных частот таких волн.

В непотенциальном случае при описании волн £-типа в волноводе вместо скалярного потенциала удобно использовать поляризационный потенциал Герца г/', удовлетворяющий в цилиндрической геометрии следующему волновому уравнению:

(14)

где шь = у^тге^поь/т — ленгмюровская частота электронов пучка, а — продольное волновое число. При получении уравнения (14) предполагалось, что зависимость поляризационного потенциала от времени и продольной координаты описывается функцией ехр(—гш^ + г&г,г), и было использовано выражение для продольной диэлектрической проницаемости электронного пучка в сильном магнитном поле [5, 8]. Уравнение (14) дополняется обычными граничными условиями

да) = = 0, т + 0) - Цгь - 0) = О,

юТО10, рад/с

(1ф с1г

(гь + 0)

(1ф с1г

(гь^0) =

--I к2- —

~ I «г с2

9

(ш - к^и)2

А ьЦгь), (15)

{ш-кги?=<4гЪ х

где

к2 ,-■

к2 '

К,Л\Я2) _ К,Л\Я) ыхя2) /„(д;/?,)

(17)

Л , г, г Vг, \ *»(№) _ Кп(\Я\) КП(ХЯ2) _ КЛХ'/,)

^ь'ь'оКХ'ь) \/п(гг.) /,,и/г,) /„(то,)

Ых'ь) МхЯ\ ) } [Ых1Ь) Ыхп)

(18)

Дисперсионные зависимости ш{кг) волн плотности заряда пучка, удовлетворяющие дисперсионному уравнению (17) при и = 2.6 • Ю10 см/с, /?1 = 0.5 см,

имеющими такой же смысл, что и граничные условия (3) и (6).

Общее решение уравнения (14) имеет вид

ф{г)=\АШг) + ВК0{хг), Я,<г<гь, (Ш)

\с10{хг)+ОК0{Хг), гь <г < Я2,

где /о(хг)> Ко{хг) ~ функции Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, А, В, С, О — постоянные, X2 = к2 - иг/с2. Подставляя решение (16) в граничные условия (15), получаем однородную систему алгебраических уравнений относительно постоянных А, В, С, Б. Условием разрешимости этой системы является следующее дисперсионное уравнение для частот волн плотности заряда пучка в коаксиальном пространстве дрейфа:

Дисперсионные зависимости волн плотности

заряда пучка при токе пучка 4 = 8.2 кА (а), 127.9 кА (б), и 295.2 кА (в). Кривые / и 2 изображают медленную и быструю волны

Я2 = 2 см, гь = 1 см для трех значений токов пучка, приведены на рисунке. При = 8.2 кА (а) групповые скорости пучковых волн положительны; в этом случае развитие пирсовской неустойчивости невозможно. При ¡ь = 295.2 кА (в) групповая скорость одной из волн пучка меньше нуля; в этом случае при достаточно большой длине системы развитие пирсовской неустойчивости неизбежно. Случай 4= 127.9 кА (б) является граничным, а ток пучка при этом равен току Пирса.

Для определения тока Пирса в уравнении (17) следует положить ш = 0, а затем перейти к пределу кг ^ 0. В результате получится соотношение

и2к1„{ 0)

= 1,

(19)

где к2±ь(0) есть величина (18), взятая при х = Из (19) находим выражение для тока Пирса (предельного тока электронного пучка скомпенсированного по электрическому заряду) трубчатого пучка в коаксиальном пространстве дрейфа:

= 1пЯ2/Я,

'' 0 с3 ' 21п гй/Я, • 1п й2/гА'

19 ВМУ. Физика. Астршюмин. .>6 3

Для оценки значений предельных токов (9) и (20) возьмем скорость пучка и радиусы дрейфовой камеры, уже использованные нами ранее при построении дисперсионных кривых на рисунке (эти параметры близки к используемым в экспериментах [6, 7]). Расчет по полученным формулам дает для предельного вакуумного тока 4о и 11.06 кА, а для тока Пирса 1р и 128.23 кА. Эти значения примерно вдвое превосходят соответствующие токи такого же пучка в обычном круглом волноводе с радиусом R = R2.

Список литературы

1. Богданкевич Л.С., Рухадзе A.A. // УФН. 1971. 103.

С. 609.

2. Кузелев М.В. Рухадзе A.A. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М., 1990.

3. Рухадзе A.A., Богданкевич Л.С., Росинский С.Е. и др. Физика сильноточных релятивистских электронных пучков. М„ 1980.

4. Диденко А.Н., Григорьев В.Н., Усов Ю.П. Мощные электронные пучки и их применение. М., 1977.

5. Кузелев М.В., Рухадзе A.A., Стрелков П.С. Плазменная релятивистская СВЧ электроника. М., 2002.

6. Стрелков П.С., Ульянов Д.К. // Физика плазмы. 2000. 26, № 4. С. 329.

7. Богданкевич И.Л., Иванов И.Е., Лоза О. Т. и др. // Физика плазмы. 2002. 28, № 8. С. 748.

8. Александров А.Ф., Кузелев М.В. Радиофизика. Физика электронных пучков и основы высокочастотной электроники: Учебное пособие. М., 2007.

The limit currents of relativistic electron beam in a drift camera with coaxial transverse section M. V. Kuzelev , E.A. Khapaeva

Department of physical electronics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

The formulas for limit vacuum current and limit Pears current of thin relativistic electron beam which propagates in a cylindrical drift camera with coaxial transverse section have been derived.

Keywords: limit vacuum current, limit Pears current, relativistic electron beam, drift space, coaxial transverse section, instability. PACS: 52.35.-g.

Received 23 December 2010 2010.

English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2011).

Сведения об авторах

1. Кузелев Михаил Викторович — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-25-47, e-mail: [email protected].

2. Хапаева Екатерина Андреевна — аспирант; e-mail: [email protected].