Предельные переходы в калибровочных теориях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып.И.2010

УДК 530.24

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ1

Костяков И.В., Куратов В.В.

Мы показываем, как используя предельные переходы, можно получать лагранжианы с неполупростой калибровочной симметрией. Рассмотрены предельные переходы 30(2) и 311(2) калибровочных теорий.

1. Введение

В статье [1] мы описали калибровочные теории для некоторых неполупростых групп симметрии. Важность этих теорий обусловлена безхиггсовским механизмом приобретения массы калибровочными полями [2] и некоторыми другими необычными свойствами [3]. Здесь мы покажем, как эти теории могут быть получены предельными переходами [4] из соответствующих теорий с полупростыми группами. Предельный переход выполняется в специальным образом построенном семействе лагранжианов. Способ построения заключается в суммировании лагранжианов с разными калибровочными группами Ь = Ьц + /я • ¿с с весовой //-инвариантной функцией /я, причем группа С содержит как группу Н, так и ее контракцию Нс — Н(е). В качестве примеров

разобраны предельные переходы БО(2) и 311(2) калибровочных теорий. Основную идею контракций мы напоминаем в Приложении.

2. Описание метода

Рассмотрим следующие очевидные инварианты группы 30(2):

1 Работа частично поддержана грантом РФФИ — Беларусь 08-01-90010 и программой „Математические проблемы нелинейной динамики" Президиума РАН.

I = <1ср1 + <1(р1,

J = /О? + Ч>\) (<Р2<1<Р1 - (р^(р2)2 ,

(1) (2)

© Костяков И.В., Куратов В.В., 2010.

здесь если /(р) = 1, где р2 — (р\ + то Л это квадрат площади, а если /(р) — 1/р2 - квадрат угла. Сумма их будет также 50 (2)-инвариантом, как впрочем и любая функция от них. Однако ясно, что второй инвариант при /(р) = 1 выдерживает и более общую группу 51/(2)-преобразований. Таким образом, весовая функция /(р) ограничивает 51/(2) симметрию второго инварианта до 50(2).

Рассмотрение суммы этих инвариантов можно интерпретировать как неевклидово обобщение длины в полярных координатах введением функции Я(р)

<1ср1 + <1ср1 = ¿р2 + р2&а2 —> ¿р2 + Я(р)р2сЬ2. (3)

Если перейти обратно к декартовым координатам, имеем выражение

(1 р2 + Я(р)р2(1а2 = &(р\ + с!^ + ^^\—- ~ = ,

Р (4)

= (1 <р\ + <1<р1 + ¡(р) {(р1(1(р2 - ^(рг)2 ,

являющееся суммой двух упомянутых инвариантов. Отметим, что в случае группы 5 С/(2) указанной интерпретации суммы инвариантов как неевклидова обобщения длины нет, но на применимость предлагаемого метода это не влияет.

Рассмотрим набор полей материи преобразующихся в изопро-

странстве под действием групп Н. Пусть их лагранжианы ¿я, ¿с ~~ инварианты групп Н и С, соответственно, а /я-инвариант группы Н. Тогда если Я С С, то сумма

Ь0 = Ьн + /я • Ьс (5)

Я-инвариантна.

Введем в группу Н параметр контракции тогда при е Ф 0 имеем набор эквивалентных лагранжианов

Ь(е) = Ьн{£) + /Я(£) • Ьс. (6)

При переходе к пределу £—>>() получаем не эквивалентный предыдущим контрактированный лагранжиан

Ьс = ЬНс+!Нс-Ь0. (7)

Построенные лагранжианы (5-6), обладают глобальной инвариантностью, которую мы будем далее локализовывать введением калибровочных полей А^

Ь(ср{, д^г) —> ьн(щ, (д^ + +

+ /я • Ьа(сри (д» + А^г) + Ьум(А„, (8)

Мы будем всегда рассматривать вариант, когда поле А^ принадлежит алгебре Ли группы Н. Если Нс С бг, то после локализации (7) получаем лагранжиан теории с неполупростой калибровочной группой Нс.

3. Предельный переход 50(2) —O(l)

Простейшей калибровочной теорией с абелевой группой внутренней симметрии S0(2) является скалярная электродинамика Максвелла. Контракция S0(2) в группу Галилея G( 1) разобрана в Приложении. Рассмотрим предельный переход S0(2)-электродинамики в С(1)-электродпнампку. Пусть поля ((fii^^Y G R2 преобразуются группой Н = S0(2), а в качестве объемлющей группы G выберем SL(2). Тогда имеем первоначальный лагранжиан, определяемый двумя инвариантами I и J

L0 — LSo{2) + fso(2) ' Lsl{2) =

= д»ч>\ + + V(ip¡ + ipl) + f(ip¡ + ipl) ~ , (9)

инвариантный относительно вращений

(Vi W cosf "sin/ V M = Q(S) ( M . (10)

\ (p2 J \ Sin Ó COS Ó J \ (fi2 J V J

Удобно работать в полярных координатах р, а

( (Pl)=p(C°Sa -™а)(1п)=М«)(1), (П)

V ^2 / \ sina cosa / \ 0 у v/yOy 4 7 где лагранжиан принимает вид

L0 = (д,р)2 + (.f(p2)p2 + 1) + VV) (12)

и инвариантен относительно преобразований

р —> р, а —^ а + (13)

здесь = д^а.

После введения параметра набор эквивалентных SO£(2) лагранжианов определяется деформированными инвариантами,

I£ = áip\ + e2áipl (14)

Je = f((pj +£2(fl) ((f2<i(pi - (pid(p2)2. (15)

выглядит

Le = д„ч>\ + е2д^\ + V(<pl + e2ifil)+

+ f(<p\ + e2ip\) {<р2д»ч>i - , (16)

и инвариантен относительно деформированных параметром е вращений

(р[ = cos(s5)(pi — s sin (^2 = б:-1 + cos(6:í)(^2-

В "деформированных" полярных координатах р£1 а£

(17)

^ ) = ( Г™* ~£SÍU£a£ )( I ) = РеЪ (I), (18)

<Р2 J Ve sm eo¿z cossa£ j \ 0 j r V 0

где р£ = tg(£a£:) = б^а, лагранжиан становится

¿£ = (д,р£)2 + (/(р2)р2 + г2) р2(д,а£)2 + У(р2). (19)

При г —> 0 получаем лагранжиан Ьс, инвариантный относительно галилеевских преобразований в пространстве полей. Вычисляя предел в (17) и (19) имеем в декартовых координатах

Ч>'\ = Ч>\,

(20)

= оар\ + <р2,

Ьс = (д,^)2 + + /(^2) - (ргд^2)2 . (21)

Определим "контрактпрованные" полярные координаты

рс = Ит р£ = <рь «с = Нта£ = —, (22)

поскольку tg(£a£) = б^а. В координатах рс, ас преобразования Галилея и лагранжиан выглядят

'РГР\, (23)

ас — ас + о,

¿С = (^Ре)2 + У(р2) + ¡(р2с)р1(дцас)2. (24)

Из этой формулы видна роль функции /. При / = 0 предельный переход приводит к тривиальному занулению компоненты (р2-

Перейдем теперь от глобальной инвариантности к локальной. Сначала локализуем 30£(2) лагранжианы. Как обычно [5], если групповой параметр зависит от точки пространства-времени а = а(х), необходимо удлинить производную калибровочными полями Ац

^ = ^ + £=(1 (25)

где Т£ - генератор преобразований (17). Соответственно, семейство лагранжианов (16) в декартовых координатах

Ье = - 82А^2)2 + е2 + А^х)2 + У{ч>\ + е2(р22) +

+ /(^ + е2(р2) • ((р2д„(р1 - ч>1дц<р2 ~ + е2(р2))2 + Ьум, (26)

где Ьум ~ лагранжиан калибровочного поля. При / = О, (26) описывает заряженное комплексное скалярное поле, взаимодействующее с электромагнитным обычным способом [5]. При / ф 0 имеем нелинейное взаимодействие полей ^ и Напомним, что калибровочные преобразования для группы БО£(2) выглядят

( ^ ) —► ехр(6(х)Те) ( ^ ) , д»5(х). (27)

При переходе к пределу 50£(2) из (26) получаем локализо-

ванный бг(1) лагранжиан

ьс = («%и^)2 + + /(^) • <р\ (д^ - А,,) + Ьум, (28)

с галилеевыми калибровочными преобразованиями

срг—>сри ср2—> (р2 + 6(х)сри А^—(29) Те же формулы в "контрактированных" полярных

Ьс = (д,рс)2 + У{р2с) + ¡(р2с) ■ р\ (д,ас - А,)2 + ЬУМ. (30)

рс—> рс, «с—>ас + 5(х), Ац—уА^-дцб. (31)

Введем, пользуясь калибровочной инвариантностью, поле В^ (фиксация калибровки)

Вц = Ац- д„ас,

тогда лагранжиан будет иметь штюкельберговский вид [6]

Le = (d,pcf + V(pI) + f(£)pÍBl + LyM, (32)

а преобразования (31) станут тождественными. При специальном выборе /(Рс)Рс = 771/2 > тРетье слагаемое можно интерпретировать как массовый член калибровочного поля.

4. Предельный переход SU(2) —)► Е(2)

Первая неабелева калибровочная теория была предложена Ян-гом и Миллсом для группы внутренней симметрии SU(2) [7]. Посмотрим, как работает наш метод в этом случае. Для полей (<р1з ср2У G С2, преобразуемых группой Н = 5СУ(2), инвариантами являются

I = |d^|2 + |d^2|2, (33)

J = /(|d<¿>i|2 + \dcp2\2) • Ivzdíf! - • (34)

В качестве объемлющей группы G выберем SL(2,C).

Нам понадобятся комплексные "сферические" координаты

sMSsiMi)- (з5>

р = + (36)

^=fer7C0Sf "eISÍn/lV^( 2).

у eZ7sm р е га cos р ) к '

Отметим, что сумма I и R(p) • J не будет в этом случае являться неевклидовым обобщением инварианта I, поскольку

I (dp)2 + R(p)p2 (d/32 + cos2 /3da2 + sin2 f3dj2) ф I + f(p) • J. (37)

Тем не менее, 5[/(2)-инвариантный лагранжиан выбираем в виде

L0 = \д^г\2 + \д^2\2 + + И2) +

+ /(|^i|2 + |^2|2) \ч>2дцЧ>1 ~ • (38)

Опуская описание глобальной SU(2) - контракции перейдем сразу к локальной SU(2) калибровочной теории. Локализация, как обычно, приводит к необходимости удлинения производной

^ = ^ + (39)

Dpipi = (fy + ^ + + (40)

D^2 = (fy - + - ¿4)^1,

и добавления Ьум в лагранжиане (38)

Ь0 = + + У(Ы2 + и2)+

+ КЫ2 + И2) - + Ъум- (41)

Или в сферических координатах (35)

и = (ад2 + Р2 ((В1Г + (Б2)2 + (Б^)2) + Пр2)+

+ /(Р2) ((Б;)2 + (Б2)2) , (42)

где калибровочные поля В^ мы связали с полями А^ калибровочными преобразованиями

Б1-\в1 В'л-вр ) + (43)

После введения параметра е в (41), получим набор лагранжианов в декартовых координатах

Ь£ = \Dlvi? + е2\Б^2\2 + + г2|^2|2)+

+ /(|^|2 + £2\у2\2) - (р^щ]2 + Ьум, (44)

с е-деформированной ковариантной производной

= *- + »( А'% еЧА^1А1))- <45>

Переходя к "деформированным" сферическим координатам

р2 = Ы2 + е2\ср2\2, (46)

_ / соэ е/З -е-е~^8т е/З \ , .

~ \ ^зте/З е-"* соэ £¡3 ) 6 получим лагранжиан

и = (ад2 + р2 {е2 ту + (Б2)2) + (Б*)2) + ПР2)+

+ /(¿V т? + (Б2)2) + ьум, (47)

где

(вг в}щ £2 ) = а АЛ-1 + эдя"1. (48)

При ечОв (46) и (47) будем иметь £"(2) - калибровочную теорию

ьс = (ад)2 + Р2С (.в;)2 + у(р2) + /(р2) ((б;)2 + (б2)2) + ¿УМ. (49)

При / = М2 калибровочные бозоны В^ и В2 массивны, а остался безмассовым.

5. Выводы

В работе предложен простой способ получения неполупростых калибровочных теорий с помощью операции предельного перехода. Применимость этого метода к изучению неполупростых калибровочных теорий требует дальнейших исследований. Например, Е(2) калибровочную теорию можно получить также контракцией БО(3) группы, что приведет, по-видимому, к другим формулам. Кроме того, существует вариант локализации слагаемых в (7) разными калибровочными поля-

ЬОг, Э^г) -У ЬН{(д^ + +

+ /я • Ь0(ср{, (д^ + в^щ) + Ьум(А», в^ д^А^ (50)

где А^ принадлежит подалгебре Я, а ^ С. Эти вопросы будут изучены отдельно.

Приложение

Напомним кратко идею контракций групп на примере перехода 50(2) вращения в преобразования Галилея, который можно рассматривать как сингулярную замену переменных. Рассмотрим вращение единичного вектора (а, Ь) по окружности

х

у2 = 1

X

/2

е2у'2 = 1

сой ср — йш (р \ I а БШ(р соБ(р ) I Ь

Проведем гладкую замену переменных

у' = у/е, 0 < 6 < 1,

(51)

(52)

в которых наш вектор имеет компоненты

а'

V

1 О О 1/е

а

Ъ/е

и вращается теперь по эллипсу х + е у — 1 матрицей

1 0 \ / cos ср — sin ср \ / 1 О О 1 /е J у sin ip cos ср J \ 0 s

-s2 tg у/

COS Lp —SSlIiip \ _ / у/i+£2 tg <p> y/l+e* tg if'

(sin ф)/е cos ср J \ tg (pf i

Vi+e2 tg <p' y/ltg <p'

, (54)

где мы учли, что tg ср' — у'/х — у/(ех) — ( tg ф)/е. В новых переменных „поворот" (51) выглядит

V ) х/ГТ^™^7 V ^ ч* 1 Аь') { ]

и при £ —>> О переходит в преобразования Галилея

а' а', Ъ' Ъ' + а' tg <р'. (56)

Таким образом, сингулярная при £ —>> 0 замена переменных (52), приводит к переходу, или контракции, от группы вращений 50(2) к группе Галилея. В неабелевом случае, контракции связывают неизоморфные группы.

Литература

1. Костяков И.В., Куратов В.В. Массивные поля Янга-Миллса, трансляционные и неполупростые калибровочные симметрии. // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика, механика, информатика, выпуск 10, с.57-70. //ArXiv:0909.0634 [hep-th].

2. Higgs P.W. Broken symmetry and the masses of gauge bosons. // Physical Review Letters. V.13. 1964. p.508. Englert, Brout R. Broken symmetry and the masses of gauge vector mesons.// Physical Review Letters. V.13. 1964. p.321.

3. Nappi C.R., Witten E. Wess-Zumino-Witten model based on a non-semisimple group.// Physical Review Letters. V.71. 1993. Pp. 3751-3753. Tseytlin A.A. On gauge theories for non-semisimple groups. // Nuclear Physics B. V.450. № 1-2. 1995. Pp. 231-250.

4. Громов H.A. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. КНЦ, Сыктывкар, 1990.

5. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. // Главная редакция физико-математической литературы изд. „Наука", М. 1978. 249с. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. // Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика". 2001. 784с. Поляков A.M. Калибровочные поля и струны. // Ижевск: Издательский дом „Удмуртский университет", 1999. 312 с.

6. Stueckelberg Е.С. Helv. Phys. Acta. V.ll. 1938. Pp.226,229.

7. Yang C.N. and Mills R.L. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance.// Physical Review. N96. 1954. Pp. 191-195.

Summary

Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Limit transitions in gauge theories.

We show how to obtain Lagrangians with nonsemisimple gauge symmetry, using contractions. The limit transitions of SO(2) and SU(2) gauge theories are considered.

Отдел математики КНЦ УРО РАН Поступила 26.04-2010