Предельное равновесие анизотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием и системой трещин сложной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII 1987 М3

УДК 624.073.419 539.4.013.3

ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ И СИСТЕМОЙ ТРЕЩИН СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

В. Н. Максименко

Решается задача об упругом равновесии анизотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием и системой трещин сложной формы. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений; предлагается эффективный алгоритм ее численного решения. Обсуждается случай краевых трещин. Приводятся результаты расчетов, иллюстрирующие влияние анизотропии материала и расположения трещин около отверстия на величину критической нагрузки и коэффициенты интенсивности напряжений.

В последнее время достигнуты значительные успехи в задаче исследования распространения трещин вблизи отверстий в изотропных упругих пластинах (см., например, обзор в [1]). Изучение этой проблемы для пластин из анизотропных композитов движется относительно медленно [2]. Причина этого, в частности, в недостатке сведений о влиянии анизотропии материала и границы отверстия на распределение напряжений у вершин разрезов сложной формы в пластине.

. Ниже с помощью аппарата сингулярных интегральных уравнений решается задача об упругом равновесии анизотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием и системой криволинейных разрезов. Предлагается эффективный алгоритм численного решения возникающих уравнений. Приводятся результаты расчетов, иллюстрирующие влияние анизотропии материала и расположения трещин около отверстия на величину критической нагрузки и коэффициенты интенсивности напряжений. Полученные результаты могут быть использованы в инженерных расчетах для оценки опасности дефектов и .исследования роста усталостных трещин у отверстий в пластинах из анизотропных и изотропных материалов.

1. Пусть однородная анизотропная пластина, занимающая область вне эллиптического отверстия А* = {(х/а)2+ (у/Ь)2 = 1} содержит систему 1, Щ гладких сквозных непересекающихся криволинейных

разрезов (см. рис. 1). Пластина подвержена действию заданной системы внешних усилий на бесконечности и на контуре отверстия А*. Бе-

pera разрезов (трещин); свободны йт внешних усилий и не контактируют между собой.

Здесь в п. 2 считаем, что все разрезы внутренние. Обобщение на случай разрезов, исходящих от контура отверстия, дано в п. 3.

Напряжения и смещения в пластине можно выразить через две аналитические функции Ф„(2\,)[3], для определения которых имеем

Здесь ^ (V = 1,2) характеристические числа [3]; плюс (минус) относится к левому (правому) берегу разреза при движении от его начала а, к концу Ьу, <ф = 'ф (/) —угол между нормалью п в точке t^L, направленной вправо при положительном обходе Ь, и осью х (см. рис. 1).

Используя функцию Грина для бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, свободным от внешних усилий [5, 6],. Фч(гч), следуя [4, 6], представим в виде

для пластины с отверстием без трещин, которое будем считать известным. При заданных внешних усилиях Ф?(2У) можно определить с помощью известных методов [3].

Функции ФДг,), определяемые равенствами (1.2), автоматически удовлетворяют заданным краевым условиям на контуре отверстия Л* и на бесконечности.

k

следующие граничные условия на L= (J LA4]:

•• __ -i ^

а (/) Ф? &) + Ь (t) Ф? (tj + Ф2± (t2) = 0;

(I)

——=?•; (t) = [i, eos ф — sin ф (v = 1, 2).

j*2 — {*2 ta2 — ^2

(2 >

Здесь использованы обозначения работы [6]. Ф°(г„)—решение задачи

Неизвестные комплексные функции А.,У)= {&•,j{t)\t(:Lj с. Ц (\=1,2) определяются краевыми условиями на разрезах X, и дополнительными условиями однозначности смещений.

Подставляя предельные значения функций (2) в краевые условия (1) и вычитая из первого предельного равенства второе, получим

(3)

Складывая предельные равенства с учетом (3), приходим к основному сингулярному интегральному уравнению задачи [Л(0=Аі(0]:

.. .. . , “і (Сі) I [6 (т)-6 (01 л2

Лі -С) ов = „ і ■■ , +

2 Ь(і) { *»2 (С2) (% - С2)

+ -==

-,Ы_—, (М +і1п

"*2 (Сз) (Чз — Сг)

в (О

“1(Сі) С,

щ а (т) гіт2

“і (Сі) (-»її - Сі)

*1*1

Чі - *і

+

-1~

.(С2) с2

и

Пі Ь (і) Ь (т) ¿т2 “і (Сі) Сі (1 — С^)

«2 Я (т)

К2(*. Х)* = Д^|^Міі£ій_гіх2

26 (о и;(сі)(^-с2)

— а(0

°1 (ї1і) “і (Сі) «2 Ы — ш2 (Сз)

"і (Сі) (41 — Сі)

ш2 (Сг) (’’¡з — Со)

-С, і]2 — С2

+ -т!

*(0

1 (Сі)?

1\ сІ~\ пх а (х) й?т2

! — Сі тії 1— Спг

+ Ь (х)й?т3

«і а (/)

+ ==

°і"(Сі) Сі (1 Сі 7]2) »2 (£2) С2 (1 — С2 ^г)

/(о—** [«(о ф? (<і)+* ю ф? (^і)н- (ї2)] «>; ко/а «)•

(4)

Ядра /СР(/, т), согласно допущениям относительно /,3(/=1, ¿), непрерывны.

Уравнения (4) необходимо решать совместно с дополнительными условиями однозначности смещений [4]

|А(т)Лі:=0 (/=1,£).

(5)

1

к 1

+ £ J{Äi*(ß0l P)AS(P) +А^(Ро, ß)A,(ß)}rfP=/i(P). (6)

_1 S— 1 —1

1

jA/(ß)x*(ß)dß = 0; Al(ß) = A[t*(p)] (/ = О). (7)

Общий вид (р0, Р)> ^г(?о. Р)> /г(Р) ввиду громоздкости не приводим.

Искомые функции А;ф) имеют вид [7]

МР)~Д?(Р)(1-Р*Т*', (8)

где Ауф)— непрерывные по Гельдеру на [—1, 1] функции. Применяя квадратурные формулы Гаусса — Чебышева, сводим (6) — (7) к системе линейных алгебраических уравнений

+ + О*?*]} =№,■);

/=11 ‘ 1 ^=1 J

&&)*% = 0, (/ = 1, А);

*=1

(9)

(¿=1, л; / = 1, л - 1)

относительно приближенных значений искомых функций в чебышевских узлах [8].

Если система (9) решена, величины Д/(+1) определяются выражениями

д? (-1)=4 £ ]>г+и ^ ^;

¿=1 '

А? (+ 1) = 4- ¿(-!)г+1 A°i ctg (^я •

Определив значения А°(+1), распределение напряжений и коэффициенты интенсивности напряжений отрыва kt и сдвига k2 в вершинах трещин т5’ (± 1) находим по известным формулам [4].

(г,) =

2л/о>' (С,) {

4— | {Ж,(г, х) Л! (х)аГх, + ТУ, (г, х) -\! (х) ¿х,} + Ф° (г,);

> I С 1 ч

Мх (г,

V, (г, *) = ± (-> _ -*£0-Ь- .

Сг \ 1 — ^2ГЧ 1 — Сг'Чг/ '"¡г — £2

В случае внутренних разрезов ядра Л1Дг, х), М(г, х) вследствие выполнения условий однозначности смещений (5), определяются с точностью до любой функции /(г). Если разрез Ьр выходит, например, концом ар на контур отверстия Л*, то условие (5) при ¡ = р не выполняется, поскольку меняется связность области, и его следует отбросить,, а соответствующий потенциал уточнить.

Можно показать (см., например, [8] стр. 138—140), что если разрез Ьр исходит от контура отверстия, то интегралы по Ьр в (10) следует брать в виде

Аналогично следует изменить соответствующие члены в системе интегральных уравнений (6).

В случае краевого надреза ЬР функция АР (р) =Л{тР (р)] уже не имеет в точке р = -—1 корневой особенности. Характер ее поведения в окрестности точки ар может быть установлен из анализа интегрального уравнения задачи [9].

Численный метод решения (9) для случая краевой трещины уже не годится. Ниже в этом случае применяется упрощенный способ решения [8]. Искомую функцию Ар(Р) ищем по-прежнему в виде (8), но вместо (7) подчиним ее условию Ар (—1) = 0, указывающему на то, что функция Др(Р) имеет при р = — 1 особенность меньшего порядка, чем

(1 + р) 2. Этот упрощенный способ решения эффективен для определения напряжений в окрестности внутренней вершины краевой трещины Ьр. Если необходимо исследовать поле напряжений вблизи точки ар выхода трещины на контур отверстия, то решение следует искать в виде, верно отражающем особенность в угловой точке ар, и использовать более сложные квадратурные формулы [9].

х) — Ж (г, ар)] А1р(х)йх1 + [М(г, ^)-N■í(z, ар)\ Л1р (х) ¿х^.

1р

Тогда в уравнении (4) интегралы по Ьр примут вид

£

'!>

х) = к а, X) — АТ(г, ар)\ ар, = Яе (ар) + (1„1т (ар).

К (- -1)/0>У2«0 *1 0)/(р Уы)

р А V п п

10 20 30 10 20 30

0,05 0 тс Т 0,908 0,879 0,907 0,878 0,907 0,878 1,880 1,871 1,862 1,872 1,861 1,872

1,0

0 0,879 0,879 0,879 1,531 1,526 1,526

0,10 71 ~2 0,851 0,851 0,850 1,499 1,500 1,500

0 0,755 0,751 0,751 1,558 1,717 1,702

0,05 тс ~т 0.749 0,746 0,745 1,461 1,725 1,733

5

0 0,748 0,745 0,745 1,357 1,407 1,400

0,10 тс тг 0,742 0.740 0,739 1,280 1,393 1,394

0 0,733 0,730 0,730 1,304 1,652 1,672

0,05 я Т 0,729 0,727 0,727 1,202 1,627 1,701

10

0 0,730 0,727 0,727 1,204 1,376 1,373

0,10 ТС тг 0,726 0,724 0,724 1,117 1,350 1,373

Полученные выше сингулярные интегральные уравнения и указанные алгоритмы их численного решения для системы гладких внутренних и краевых криволинейных разрезов могут быть использованы при рассмотрении кусочно-гладких криволинейных разрезов. При этом каждый разрез разбивается на гладкие участки и рассматривается как система гладких разрезов, имеющих общие точки пересечения [8].

4. Построенные потенциальные представления Ф„ (2„) оказались эффективным инструментом решения двумерных задач анизотропной теории упругости распространения трещин возле отверстия.

Ниже приводятся результаты расчетов для пластин из стеклоэпоксидного композита (¿! = 53,84 ГПа; Ег= 17,95 ГПа; (?12 = 8,63 ГПа;

= 0,25) и изотропного материала ^ = 0,33). Данные для изотропного материала получены путем предельного перехода в параметрах анизотропии. в численном решении.

Рассмотрим анизотропную пластину, ослабленную круговым отверстием | г | = Н и прямолинейной трещиной ¿ = {т ф) =—(Л-|-/р) | р | < 1} (А > Н + /) вдоль оси х. Пластина растягивается равномерным усилием а™ = р. В табл. 1 для различных значений р = ///?, Д = — (Н — 1 — Я)//? (/?Д — длина перемычки), <р (угол, образованный

главным направлением анизотропии Ех с осью х) и п (число чебы-шевских узлов разбиения) приводятся значения коэффициентов интенсивности напряжений отрыва kx в левой (ß =—1) и правой (ß = 1) вершине трещины L. Здесь kx (с) = lim а„ j/2w; с — вершина Z.;

t-t-C

¿ — точка, лежащая на продолжении L за конец с; r = \t — c |. С уменьшением р и ростом Д сходимость улучшается. При сближении трещины с отверстием, а также в случае увеличения ее длины, величина напряжений около контура отверстия и в точках перемычки резко возрастает. Взаимное влияние трещины и отверстия значительно, когда длина перемычки меньше длины трещины. Результаты расчетов для случая изотропного материала пластины совпадают с известными данными [8].

Рассмотрим анизотропную пластину, ослабленную эллиптическим отверстием с полуосями а, b и краевыми трещинами ¿12 = = {т(6) = + [а + /(Р+ l)]/|ßi < 1}, исходящими от контура отверстия в вершинах эллипса (+я, 0). Пластина растягивается усилиями °у=Р>°7 = *Р-

На рис. 2 для случая а = 0 представлены результаты расчетов приведенной критической нагрузки р* = р/р0 (Ро — критическое значение внешней нагрузки для пластины с «эквивалентной» трещиной L* = = {\х\<а + 21\ г/ = 0} в зависимости от 8 = 2l/а для различных значений

т — аа ^ = 1; 0,9; 0,5; 0; —0,5; —0,9 (кривые 1—6). Здесь и ниже

сплошные (штриховые) линии относятся к случаю, когда угол ф = 0 (я/2). Приведенные числовые данные показывают, что в случае малых трещин величина критической нагрузки существенно зависит от формы контура отверстия, степени анизотропии материала EJE2, ориентации главных направлений анизотропии. Даже для сильно вытянутых эллипсов с малым раскрытием значение критической нагрузки р сильно отличается от величины критической нагрузки р0 для «эквивалентной» трещины. Результаты расчетов р* для изотропного материала пластины занимают промежуточное значение между соответствующими

значениями р* для анизотропного материала при ф = 0 и ф = я/2. С увеличением степени анизотропии расхождение в р* при ф = 0 и Ф = я/2 растет.

На рис. 3 для случая т = 0 (круговое отверстие) приведены значения поправочного коэффициента интенсивности напряжений отрыва К~кх!к\ (&1 —р У ъ (а + 21)— коэффициент интенсивности напряжений отрыва в вершинах «эквивалентной» трещины Ь* длины 2Л = = 2(а + 2/) в поле напряжений =р) для различных значений а=1, 0, —1 (кривые 1, 2, 3). При 1^а эффект отверстия пренебрежим и и /С-> 1. Приведенные зависимости позволяют установить для заданной степени анизотропии материала те минимальные размеры реальных трещин вблизи отверстия, для которых данные дефекты можно рассматривать как трещины-разрезы, а также определять характеристики разрушения в том случае, если применение расчетных формул, основанных на модели «эквивалентной» трещины, дает значительную погрешность.

Расчеты показали высокую .эффективность алгоритма численного решения. В табл. 2 приведены для случая я=8,16 и различных значений 6 = 21/а результаты расчетов кг/{\грУ 2тс/ ) в вершинах одной (6=1) или двух (& = 2; см. рис. 3) краевых трещин ¿1,2, исходящих от точек контура кругового отверстия в изотропной пластине при равномерном растяжении о“ *= р. Для различных длин трещин приведено сравнение с известными результатами [10, 11]. Заметим, что в работе [11] результаты были получены методом конформных отображений. Процедура, развитая в настоящей статье, более эффективна с точки зрения вычислений: для решения соответствующего интегрального уравнения требуется 20 чебышевских узлов для получения результата с точностью до 0,1%, в то время как техника конформных отображений требует удержания от 40 до 140 членов ряда для получения результата той же степени точности. Второе преимущество используемой процедуры состоит в том, что не происходит потери точности для коротких краевых трещин, т. е. при 1/а-*-0. Техника конформных отображений теряет точность с уменьшением длины краевых трещин. Результаты работы [12] при б = 2//а<0,1 недостоверны.

k= = 1 6=2

5 п=8 п= 16 [10] [И] п=8 л=16 [И]

0,01 3,288 3,292 3,291 3,289 3,293

0,04 3,092 3,096 3,095 3,152 3,095 3,099 —

0,06 2,976 2,979 2,978 3,011 2,981 2,985 —

0,1 2,769 2,772 2.771 2,786 2,782 2,785 2,780

0,2 2,371 2,374 2,373 2,380 2,409 2,412 2,413

0,40 1,883 1,885 1,884 1,885 1,968 1,970 1,971

1 1,305 1,306 1,306 1,306 1.470 1,471 1,472

2 1,030 1,031 1,030 1,0301 1,243 1,244 1,244

4 0,877 0,878 0,877 0,878 1,121 1,122 1,123

10 0,779 0,780 — 0,779 1,048 1.049 1,049

со 0.707 0,707 — 0,707 1,000 1,0С0 1,000

Отметим, что полученные результаты с учетом [6] могут быть использованы для оценки роста трещин у отверстий в подкрепленных панелях из анизотропных и изотропных материалов.

Автор благодарит Ю. Н. Хана за помощь в численной реализации алгоритма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Каминский А. А. Хрупкое разрушение вблизи отверстий.—

Киев: Наукова думка, 1982.

2. Механика композитных материалов и элементов конструкций.

Т. 1. — Киев: Наукова думка, 1982.

3. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. — М.: Гостехиздат,

1957.

4. Максименко В. Н. Расчет анизотропных пластин, ослабленных трещинами и подкрепленных ребрами жесткости, при помощи сингулярных уравнений. — Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. (Материалы VII Всесоюзной конференции), Новосибирск, 1982.

5. Грилицкий Д. В. Влияние точки приложения силы и момента на распределение напряжений в бесконечной анизотропной пластине с эллиптическим отверстием. — Прикладная механика, 1956, т. 2, вып. 2.

6. М а к с и м е н к о В. Н., X а н Ю. Н. Влияние ребер жесткости на напряженно-деформированное состояние около отверстия или трещины в анизотропной пластине. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 3.

7. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Наука, 1968.

8. С а в р у к М. П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. — Киев: Наукова думка, 1981.

9. Erdogan F., Gupta G. D., Cook T. S. Numerical solution of singular integral equations. In: Meehan, fracture. I Methods of analysis and solutions of crack problems. Ed G. G. Sih. Leyden, Noordhoff Int. Publ. Co.,

1977.

10. Tweed J., Rooke D. P. The distribution of stress near the tip of radial crack at the edge of circular hole. Intern. — J, Eng. Sci., 1973, vol. 11, N 11.

11. Hsu Y. C. The infinite sheet with two radial cracks from cylindrical hole under indined tension of in-plane shear. Intern. — J. Fract., 1977, vol. 13, N 6.

12. Hsu Y. C. The infinite sheet with cracked cylindrical hole under inclined tension or in-plane shear. — Int. J. Fract., 1975, vol. 11, N 3.

Рукопись поступила 20jXII 1985 г.