ПРЕДЕЛ БЕЦА-ЖУКОВСКОГО ДЛЯ МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ ВЕТРА Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

ВЕТРОЭНЕРГЕТИКА

WIND ENERGY

УДК 533.6.01

ПРЕДЕЛ БЕЦА-ЖУКОВСКОГО ДЛЯ МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ ВЕТРА

12 3

В.Л. Окулов ', Г.А.М. ван Куик

1Институт теплофизики СО РАН и Новосибирский госуниверситет, 630090, Новосибирск Машиностроительный факультет Датского технического университета, ДК-2800, Люнгби Тел./факс: (383) 330-70-50, e-mail: [email protected] 3Институт ветроэнергетики, Аэрокосмический факультет, Университет г. Делфта. 2629, Делфт, Нидерланды

Заключение Совета рецензентов: 10.09.09 Заключение Совета экспертов: 20.09.09 Принято к публикации: 30.09.09

Статья посвящена истории открытия одного важного научного результата ветровой энергетики о максимальной эффективности идеальной ветровой турбины. Это значение было известно как «предел Беца», названный по имени немецкого ученого, который сформулировал этот максимум в 1920 г. Британский ученый Ланчестер также ассоциировался с этим пределом, однако его анализ не имел строгого доказательства. Изучение старых российских публикаций по аэродинамике ротора показало, что российская аэродинамическая школа также получила этот же самый результат; ее лидер Н.Е. Жуковский получил максимальную эффективность для идеальной ветряной турбины в том же самом 1920 году и путем строгого обоснования, как и Бец. Следовательно, чтобы быть корректным, эту идеальную эффективность ветряков нужно называть «пределом Беца-Жуковского».

Ключевые слова: аэродинамика ветряков, нагруженный диск, вихревая теория винта

THE BETZ-JOUKOWSKY LIMIT FOR THE MAXIMUM POWER COEFFICIENT OF WIND TURBINES

V.L. Okulov1'2, G.A.M. van Kuik3

'Institute of Thermophysics, SB RAS, and Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia 2Department of Mechanical Engineering, Technical University of Denmark, DK-2800 Kgs. Lyngby Tel./fax: (383) 330-70-50, e-mail: [email protected] 3Delft University Wind Energy Research Institute, Faculty of Aerospace Engineering. 2629 HS Delft, The Netherlands

Referred: 10.09.09 Expertise: 20.09.09 Accepted: 30.09.09

The article addresses to a history of an important scientific result in wind energy. The maximum efficiency of an ideal wind turbine rotor is well known as the "Betz limit", named after the German scientist that formulated this maximum in 1920. Also Lanchester, a British scientist, is associated with this limit, but his analysis relies on assumptions. A study of early Russian publications on rotor aerodynamics now shows that the Russian aerodynamic school also produced the same result in the same year; in 1920 its leader Joukowsky derived the maximum efficiency for an ideal wind turbine based, like Betz, on a rigourous proof. Consequently, in order to honour all, this ideal efficiency should be named the "Betz-Joukowsky limit".

Валерий Леонидович Окупов

Сведения об авторе: д-р физ.-мат. наук (1994), профессор.

Образование: Новосибирский государственный университет (1979 г.).

Профессиональный опыт: более 25 лет работы в Сибирском Отделении РАН, 1998-2004 -два раза получал профессорскую стипендию имени Ото Мёнстеда и работал приглашенным профессором во Франции и Японии, 2005 - секция Механики жидкости Датского технического университета. Развил теорию винтовых вихрей и применил ее для прикладных аэродинамических задач ветроэнергетики и для исследования устойчивости вихрей.

Область научных интересов: аэродинамика и акустика турбомашин; гидродинамика, теп-ломассоперенос и горение в закрученных потоках.

Публикации: более 150 научных работ, в том числе 1 монография.

Статья поступила в редакцию 01.09. 2009. Ред. рег. № 593

The article has entered in publishing office 01.09.2009. Ed. reg. No 593

106

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 9 (77) 2009

© Scientific Technical Centre «TATA», 2009

É? M

Сведения об авторе: профессор, Президент Европейской Академии Ветроэнергетики (2009 г.). Образование: аэрокосмический факультет Технического университета г. Делфта (1976 г.), специальность «теоретическая аэродинамика». Аспирантура Технического университета г. Эйд-ховен. В 1991 защитил диссертацию и получил степень доктора философии.

Профессиональный опыт: С 1977 до 1984 г. - один из первых исследователей в области ветроэнергетики на факультете. Работал в промышленности в «Stork Product Engineering», с 1988 г. вовлечен в проектирование и производство ветряных турбин для всей Голландии и некоторых европейских производителей. 1998 г. - университет г. Делфта в качестве профессора и научного директора НИИ Ветроэнергетики Делфтского Университета - «DUWIND». Область научных интересов: ветроэнергетика.

Гайс А.М. ван Куик

Введение

За пределами России имя великого русского ученого Николая Егоровича Жуковского в основном ассоциируется с теоремой о подъемной силе крыла -теорема Кутта-Жуковского - и с семейством его профилей крыла, построенных с помощью конформного преобразования Жуковского. Конечно же, этими двумя фактами далеко не исчерпывается огромное наследие этого великого ученого - одного из основателей аэродинамики, «отца русской авиации», полное собрание сочинений которого насчитывает девять томов [1]. Наверное, есть много причин, по которым зарубежные коллеги не всегда упоминают имя Жуковского в связи с его научными достижениями, но очевидно, что среди всех причин далеко не последнее место занимает неполная их информированность. В этой статье мы расскажем о возвращении имени Николая Егоровича еще одному нетривиальному результату, про который ученым за рубежом не было известно, что он был независимо получен также и Жуковским. Речь пойдет о максимуме кинетической энергии ветра, которая может быть утилизирована идеальным ветряком. Долгое время в мире этот результат был известен как предел Беца, ученика Л. Прандтля, который впоследствии возглавил его лабораторию. Однако в 1979 г. Бергей [2], не полностью разобравшись с историей вопроса, ошибочно предложил переименовать его в предел Ланче-стера-Беца. Другое предложение, прозвучавшее в [3], о возвращении данному результату имени Н.Е. Жуковского кажется более обоснованным. Оно сделано после анализа оригинальной статьи Жуковского [4], поддержано ведущими специалистами в области аэродинамики ветряных турбин и торжественно принято участниками конференции Т"ЩМЭ-2007, проходившей в Копенгагене в 2007 г. Попробуем разобраться с этими вопросами подробнее.

Максимальная эффективность использования энергии ветра

Результат, о котором идет речь, утверждает, что максимальная энергия, которую можно извлечь из кинетической энергии ветра, или коэффициент использования энергии ветра, не превышает 59,3%. Это

означает, что если выделить в свободно движущемся воздушном пространстве фиксированную трубку тока, состоящую из одних и тех же «жидких» частиц, то путем их замедления во внутреннем сечении трубки тока с помощью любого допустимого способа можно получить полезной работы не более значения, определенного этим пределом. Конечно, этот результат будет справедлив только если на трубку тока не оказывается никаких внешних воздействий, например, в виде заключения ее в кожухи или диффузоры.

Объяснить существование этого предела можно тем, что полностью остановить поток для 100%-го использования энергии ветра невозможно, так как некуда будет девать вновь поступающие объемы воздуха. Поток может быть только заторможен, причем максимально возможная степень этого торможения 59,3% строго следует из теории нагруженного диска. Данная теория, несмотря на ее сугубую абстрактность, является базовой в аэродинамике ветро-установок. Значение этого предела, так как он никак не связан с типом отборника энергии, иногда даже называют «циклом Карно ветроэнергетики». Учитывая исключительную важность данного результата, попытаемся еще раз более внимательно исследовать историю его открытия.

Теория нагруженного диска: ретроспектива

Теория нагруженного диска - самая старая математическая модель винта, пропеллера или ветровой турбины. Нагрузка на реальном роторе заменяется распределением скачка давления на бесконечно тонком водопроницаемом диске того же диаметра. В этом самом элементарном представлении ротора нагрузка считается однородной и нормально направленной к диску, помещенному в осевой поток. Теория нагруженного диска используется до сих пор как простейшая качественная математическая модель, с нее начинается любой учебник по аэродинамике роторных лопаточных машин или теории вращающегося крыла.

Идея замены ротора нагруженным диском восходит к работам Рэнкина [5] и Фруда-старшего [6], однако впервые правильную динамическую интерпретацию действия нагруженного диска (ротора без рассмотрения лопастей) дал Фруд-младший в 1889 г.

[7]. К сожалению, его работа долгое время оставалась незамеченной. По мнению ученика Жуковского профессора В.П. Ветчинкина, непосредственного участника описанных ниже событий, главной причиной здесь было то, что эту теорию никак не удавалось связать с действием лопастей винта. Наиболее распространенным заблуждением было мнение, что жидкость подходит к винту в невозмущенном состоянии, затем на протяжении винта получает полное приращение скорости и далее течет, также не меняясь. Другое неверное толкование идеального пропеллера или турбины основывалось на наблюдениях Парсонса и заключалось в том, что жидкость получает все приращение/замедление скорости перед винтом/турбиной, а позади него идет уже невозмущенной цилиндрической колонной. Сторонники данного подхода основывались на том, что невозможно найти какую-нибудь причину или силу для получения ускорения/замедления потока в свободной струе после ротора, когда его действие закончилось. Несмотря на то, что это предположение приводит к несовместимым уравнениям для идеальной работы, оно было очень популярно в английской аэродинамической школе начала ХХ века и поддерживалось многими авторитетными учеными. В период с 1910 по 1915 г. даже возник горячий спор между профессорами Хендерсоном, Фрудом, Парсонсом и Ланчестером на страницах английского издания «Transactions of the Institution of Naval Architects» (см. тома 52, 53, 55 и 56). Последняя статья принадлежит Ланчестеру [8], и в ней он пытается найти компромисс между теориями идеального пропеллера/турбины с точек зрения Фруда и Парсонса, причем с точки зрения В.П. Ветчинкина [9] сам Ланче-стер склонялся более к теории Парсонса. Действительно, в примере 2 упомянутой статьи [8] рассматривается теория идеального ветряка в виде некоторого симбиоза между двумя моделями с некоторым переходным параметром Q (1 < Q < 2), характеризующим степень близости к модели Фруда при Q = 1 и к модели Парсонса при Q = 2 (см. рис. 1, 2, повторяющие рисунок 6 из [8]). Дополнительно эти модели характеризовались разными значениями скоростей на роторе и в дальнем следе за ним. При Q = 1 скорость в следе уменьшалась в два раза по сравнению с ее значением на роторе (рис. 1), а при Q = 2 скорость на роторе и в следе за ним сохранялась постоянной (рис. 2). Для модели-симбиоза (1 < Q < 2) Ланчестер вывел формулу доступной мощности, равной 16/27Q2, которая при Q = 1 совпадает с предельным значением теории Фруда, однако сделал ложное заключение, что доступная мощность должна достигаться при значениях Q > 1,5, что, конечно, ближе к теории Парсонса.

В связи с этим вывод Бергея [2] верен только в том, что Ланчестер знал предельное значение теории Фруда, но считал его неверным. По этой причине, конечно же, его никак нельзя назвать первооткрывателем результата, являющегося непосредственным

следствием теории Фруда, который Ланчестер, впрочем, даже и не пытался формулировать, т.к. был противником самой теории. Конечно, в 1979, спустя более полувека, когда лишь одна верная теория Фруда безальтернативно излагается в учебниках по аэродинамике, Бергею легко было ошибиться. Ему очень трудно было представить себе и поверить в то, что Ланчестер [8] считал теорию Фруда неправильной, а сам придерживался другой, более сложной, но действительно неправильной теории, которая была симбиозом правильной теории Фруда и ошибочной теории Парсонса. Впрочем, ни сам Ланчестер, проживший до 1946, ни его биографы не оспаривали его соавторства в этом важном для ветроэнергетики результате.

Рис. 1. Правильная модель нагруженного диска Фруда Fig. 1. torrec model of the Froude's actuator disc

Рис. 2. Ошибочная модель Парсонса Fig. 2. Erroneous model by Parsons

Между тем, по свидетельству Ветчинкина [9], появлялось все больше и больше сторонников теории Фруда, признающих изменение индуктированной скорости в следе по сравнению с ее значением в плоскости ротора. В сочинении Бандемана (Бюллетени Политехнического общества, № 7, 1910) указывалось на то, что в 1904 г. профессор Финстерваль-дер в своих лекциях показал, что в следе далеко за ротором происходит удвоение индуктивной скорости по сравнению с ее значением в плоскости нагруженного диска. То есть он полностью пришел к заключению Фруда, вероятно, даже не зная его статьи 1889 года. На втором Всероссийском воздухоплавательном съезде в 1912 г. этот факт сообщил Г.Х. Сабинин, а потом его описал Ветчинкин в статье «Расчет гребного винта» (Бюллетени Политехнического общества, № 5, 1913). В 1917 г. Г.А. Ботезат в работе «Исследование явления работы лопастного винта», изданной в Петрограде, обобщил данный результат на случай, когда нагруженный диск сообщает жидкой струе не только поступательное, но и вращательное движение. Скорее всего, этот список сто-

ронников теории Фруда можно продолжить и каждый из них мог получить или знать предельное значение теории Фруда в приложении к ветряным турбинам. Действительно, этот вывод можно найти у Ланчестера [8], если положить Q = 1, но Сабинин в [10] свидетельствует, что первым его сделал в 1914 г. Ветчинкин. Наверное, были и другие, т.к. теория Фруда существовала долго, с 1889 г., и если ее принять, то вывод этого предела не представляет особых затруднений. Большой энтузиаст ветровой энергетики из Санкт-Петербурга М.Н. Розин даже сделал предположение, что на подобные формулы и оценки, полученные на рубеже девятнадцатого и двадцатого столетий, просто не обращали внимания как на не имеющие отношения к авиации.

Однако проблема заключалась в другом. В первые два десятилетия ХХ века шла борьба точек зрения и теорий, не было еще однозначно установлено, что теория Фруда верна. Авторы работ, ее поддерживающих, не могли показать связь между этой элементарной теорией нагруженного диска со скачком давления и действием на поток лопастей ротора, не могли объяснить причину двукратного ускорения/замедления потока в свободном следе по сравнению с плоскостью воздействия ротора. Поэтому, чтобы установить максимальное значение коэффициента использования ветра как предела теории Фруда, сначала было необходимо показать справедливость самой теории.

Вихревая теория пропеллера -обоснование теории Фруда

В начале 1913 года появилась первая статья профессора Н.Е. Жуковского из цикла «Вихревая теория гребного винта» [11] (сообщено 1 октября 1912 г. Московскому математическому обществу). В ней он строит свою вихревую модель пропеллера на основе вращающегося подковообразного вихря - первой простейшей вихревой модели крыла конечного размаха (рис. 3).

Рис. 3. Первая элементарная вихревая модель крыла конечного размаха в виде подковообразного вихря, доложена Прандтлем на конгрессе в Геттингене в 1913 г. Fig. 3. The first elementary vortex model of a wing with a finite span based on a single horse-shoes vortex reported by Prandtl on Gottingen congress in 1913

Согласно этой модели каждая лопатка винта заменялась вращающейся несущей вихревой линией с постоянной циркуляцией, описывающей присоединенный вихрь, а свободная вихревая система состоя-

ла из концевых винтовых вихрей, сходящих с концов каждой лопатки, и суммарного прямолинейного центрального вихря, как показано на рис. 4.

1 i i

\

\

V

Рис. 4. Вихревая модель пропеллера, предложенная Жуковским на основе вращающихся подковообразных вихрей Fig. 4. Joukowski's vortex model of a propeller based on the rotating horse-shoes vortex

Ветчинкин [9] свидетельствует, что данная статья Жуковского обосновала элементарную теорию идеального пропеллера в форме, предложенной Фрудом. Действительно, сделанный в статье точный расчет индуцированных вихревой системой пропеллера скоростей подтвердил предсказания элементарной теории Фруда. Впервые стал понятен источник увеличения/замедления скорости в следе за пропеллером/турбиной. Им стала вихревая система концевых вихрей, сходящих с концов вращающихся лопаток, которая в плоскости ротора индуцирует осевую скорость, в два раза меньшую, чем скорость, индуцированная ими в дальнем следе на бесконечности. Однако окончательно закрепить элементарную теорию идеального пропеллера в форме, предложенной Фру-дом, удалось только после выхода последней, четвертой статьи этого цикла [11], изданной в 1918 г. в Трудах Авиационного расчетно-испытательного бюро. В 6 параграфе этой работы Жуковский излагает теорию идеального пропеллера - теорию Фруда -впервые в полном объеме и в принятом сегодня безразмерном виде.

Одновременно с Жуковским над созданием вихревой теории пропеллера работал в Германии Альберт Бец - ученик Людвига Прандтля. Его результаты вошли в диссертацию, опубликованную в 1919 г. [12]. Для построения своей теории Бец использовал другую, более совершенную модель крыла конечного размаха с эллиптическим распределением нагрузки, предложенную Прандтлем (рис. 5) [13]. Согласно его модели, распределение циркуляции вдоль несущей линии, заменяющей вращающуюся лопатку, должно быть таким, чтобы сходящая с лопасти свободная вихревая пелена имела строгую винтообразную форму и двигалась равномерно в осевом направлении (рис. 6).

Рис. 5. Уточненная вихревая модель Прандтля для крыла конечного размаха с эллиптическим распределением нагрузки (1918) [13]: A - плоскость крыла с присоединенной циркуляцией; B - свободная вихревая пелена Fig. 5. Refined Prandtl's vortex model of a wing with elliptic load distribution published in 1918 [13]: A - the wing plane with bound circulation; B - free vortex sheet

Рис. 6. Вихревая модель пропеллера Беца (1919), основанная на решении Прандтля [13]: A - плоскость крыла с присоединенной циркуляцией; B - свободная вихревая пелена Fig. 6. Betz vortex model of a propeller (1919) based on new Prandtl's solution [13]: A - the wing plane with bound circulation; B - free vortex sheet

Такое распределение циркуляции, называемое циркуляционной функцией Гольдштейна, очень трудно определить точно, и эта задача так и не была решена Бецем. Впрочем, для обеих вихревых теорий и Жуковский, и Бец только сформулировали концептуальные идеи для ротора с конечным числом лопастей, в то время как основные выводы ими были сделаны на основе модели нагруженного диска с обобщением простейшей теории Фруда на случай закрутки потока за ротором. Однако, как уже отмечено выше, вихревая теория пропеллера, причем в обеих своих интерпретациях (и Беца, и Жуковского), позволила утвердиться теории Фруда как единственно правильной простейшей теории.

Предел Беца-Жуковского

Закономерным результатом осмысления и обоснования теории Фруда стала независимая публикация Жуковским и Бецем в 1920 г. статей, в которых они определили максимальную работу, которую можно извлечь из кинетической энергии ветра. Статья Беца [14] имеет название, которое непосредст-

венно отражает данный результат - как результат максимального использования энергии ветра, а не просто как предел некоторой теории. Статья Жуковского [4] вовсе имеет специальное предназначение, она была отзывом на предложение изобретателя М.П. Виноградова, сулившего неоправданно большую мощность от своей ветроустановки. Его ответом стал вывод максимального коэффициента использования энергии ветра идеальным ветряком. Жуковский привел в той же статье необходимые расчетные формулы учета влияния вращения в отходящей струе за ротором в предположении постоянства циркуляции вдоль вращающихся лопаток.

Во всем мире данную теорию называют теорией Беца. Наверное, потому, что оригинальная статья Беца [14] имела название, которое отражало данный результат, и еще в 1926 г. он выпустил замечательную книгу «Энергия ветра и ее использование посредством ветряных мельниц», которая сделала его популярным среди ветроэнергетиков. Статья же Жуковского [4] была издана в трудах его научного института - литографическим способом, имеющим более ограниченную возможность распространения. Это была последняя статья в жизни ученого. Последовавшие болезни и смерть не оставили возможности 73-летнему ученому продолжить работы по данной теме. Поэтому его работа осталась незамеченной мировым научным сообществом. Более того, даже внимание соотечественников в 1927 г. было отвлечено ошибочной теорией идеального пропеллера Г.Х. Сабинина [10], которая незаслуженно находит сторонников и сегодня и отмечается в некоторых учебниках и учебных пособиях, и даже в полном собрании сочинений Жуковского есть ремарка по поводу уточнения этого предела инженером Сабининым. Чтобы описать более точно экспериментальные данные о режимах работы ветряков с турбулентным следом, где теория идеального ветряка просто не может работать, он построил теорию, отличную от теории Фруда. Причем, чтобы избежать противоречий теорий Парсонса и Ланчестера ^ > 1) с законом сохранения энергии, когда идеальная работа и остаточная энергия в следе не совпадают с исходной энергией ветра, он строит свою теорию, на первый взгляд, в полном соответствии с законами сохранения. Проблема в том, что в отличие от теории Фруда при определении силы давления на ветроколесо им подсчитывается импульс сил не на колесе, а по вихревому соленоиду - далеко в следе, когда уже след принял цилиндрическую форму. Так как соленоид в цилиндрической части (это уже практически на бесконечности) имеет площадь больше, чем площадь, ометаемая колесом, то максимальный коэффициент использования ветра становится несколько большим, равным 68,7%. Если же переписать решение Сабинина в терминах теории Ланчестера, то нетрудно найти, что в его модели Q = 1,137. Приходим к тому же противоречию, что было в теориях Парсонса и Ланчестера.

Таким образом, первыми письменными работами, посвященными определению предельной мощности идеального ветряка, а не предельному случаю абстрактной теории Фруда, следует признать вышедшие независимо и почти одновременно в 1920 г. статьи Жуковского [4] и Беца [14]. Абсолютно очевидно, что обе работы были сделаны совершенно независимо. Работа Жуковского датируется февралем, а статья Беца вышла в сентябре. Жуковский в своей статье, кроме того, использует более современные безразмерные величины и строит более сложную теорию, учитывающую вращение в отходящей струе. Заключение же Бергея о роли Ланчестера в получении данного результата представляется очень неубедительным, так как он просто не разобрался в ситуации. Конечно, из выкладок Ланчестера следует предельное значение теории Фруда, но сам он не поддерживал теорию Фруда, а строил более сложную теорию, которая, к сожалению, оказалась ошибочной. Дополнительным аргументом здесь является решение их современников. Ланчестер был хорошо известен и в Германии, и в России, и его работа [8] была также хорошо известна. Она была опубликована в доступном издании, на нее ссылались. Тем не менее, результат по определению максимальной энергии ветра, которая может быть утилизирована, был назван современниками этих событий и стал известен в мире как предел Беца (без ссылки на кого-нибудь еще). В России этот результат знают как предел Жуковского, со ссылкой, что в мире его называют пределом Беца. Конечно, отдавая должное вкладу обоих ученых, впредь этот результат следует именовать и в России, и во всем мире одинаково: предел Беца-Жуковского.

Благодарности

Работа выполнена при частичной поддержке Федерального агентства по образованию и Российского фонда фундаментальных исследований.

Список литературы

1. Жуковский Н.Е. Полное собрание сочинений в 9 томах (С. А. Чаплыгин, А.И. Некрасов, В. А. Архангельский, В.П. Ветчинкин и А.П. Котельников -ред.). М.-Л.: ОНТИ, 1935-1937.

2. Bergey K.H. The Lanchester-Betz limit // Journal of Energy, 1979. Vol. 3. P. 382-384.

3. Kuik, G.A.M., van. The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit // Wind Energy. 2007. Vol. 10. P. 289-291.

4. Жуковский Н.Е. Ветряная мельница типа НЕЖ // Труды ЦАГИ, 1920 (литографированное издание).

5. Rankine W.J.M. On the mechanical principles of the action of propellers // Transactions of the Institution of Naval Architects. 1865. Vol. 6. P. 13-39.

6. Froude W. On the elementary relation between pitch, slip and propulsive efficiency // Transactions of the Institue of Naval Architects. 1878. Vol. 19. P. 47-57.

7. Froude R.E. On the part played in propulsion by differences of fluid pressure // Transactions of the Institute of Naval Architects. 1889. Vol. 30. P. 390-405.

8. Lanchester F.W. A contribution to the theory of propulsion and the screw propeller // Transactions of the Institute of Naval Architects. 1915. Vol. 57. P. 98-116.

9. Ветчинкин В.П. Расчет гребного винта // Труды авиационного расчетно-испытательного бюро. 1918. № 4.

10. Сабинин Г.Х. Теория идеального ветряка // Труды ЦАГИ. 1927. Вып. 32.

11. Жуковский Н.Е. Вихревая теория гребного винта, I-IV // I-III в Трудах Отделения Физических наук Общества Любителей Естествознания: I, 1913, т. 16(1); II, 1914, т. 17(1); III, 1915, т. 17(2); IV в Трудах авиационного расчетно-испытательного бюро (1918) № 3.

12. Betz A. Schraubenpropeller mit Geringstem Energieverlust: Dissertation, Gottingen Nachrichten, Gottingen, 1919.

13. Prandtl L. Tragflügeltheorie. Part I and II. // Mitteilung, Nachr. Ges.Wiss. Göttingen. Math.-Phys. Kl., 1918. P. 151-177 and 1919. P. 107-137.

14. Betz A. Das Maximum der theoretisch moglichen Ausnutzung des Windes durch Windmotoren // Zeitschrift fur das gesamte Turbinenwesen. 1920. Vol. 26. P. 307-309.

3

№

111