Практические вопросы аппроксимации экспериментальных кривых степенными и дробно-линейными функциями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.0+624.13

РУДЫХ ОЛЕГ ЛЬВОВИЧ, канд. техн. наук, доцент, [email protected]

Дальневосточный государственный университет путей сообщения, 680021, Хабаровск - 21, ул. Серышева, 47

ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ СТЕПЕННЫМИ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Рассмотрены практические вопросы аппроксимации опытных кривых степенными и дробно-линейными функциями. Приводится геометрический и физический смысл эмпирических коэффициентов, входящих в аппроксимирующие формулы. Запись предлагаемых формул в трансформированных осях описывается уравнениями прямой, что позволяет оценить точность принимаемых аппроксимаций. Методика применена для определения физико-механических характеристик в нелинейной строительной механике, механике грунтов, теории тепло- и массопереноса, инженерном мерзлотоведении.

Ключевые слова: аппроксимация, физико-механические характеристики, дробнолинейная и степенная функции, нелинейная строительная механика, механика грунтов, тепло- и массоперенос, инженерное мерзлотоведение.

RUDYKH, OLEG LJVOVICH, Cand. of tech. sc., assoc. prof.,

[email protected]

The Far East University of Transport,

47 Serysheva st., Khabarovsk, 680021, Russia

PRACTICAL QUESTIONS OF APPROXIMATION OF EXPERIMENTAL CURVES BY SEDATE AND LINEAR-FRACTIONAL DEPENDENCES

The article considers the practical questions on approximation of tested curves by sedate and linear-fractional dependences. The geometrical and physical sense of empirical factors included in approximating formulas is given. Record of suggested formulas in the transformed axes is described by the equations of a straight line. It allows us to estimate the accuracy of accepted approximations. The technique is applied for definition of physics-mechanical characteristics in nonlinear building mechanics, soils mechanics, the theory of heat- and mass transferring, engineering science studying the permafrostology.

Keywords: approximation, physics-mechanical characteristics, linear-fractional and power functions, nonlinear structural mechanics, soil mechanics, heat- and mass transfer, engineering permafrostology.

При численном решении многих инженерных задач в строительстве необходима аппроксимация экспериментальных кривых. Это зависимости между напряжениями и деформациями в физически нелинейных материалах (содержание незамерзшей воды во влажном грунте от температуры) семейства кривых, описывающих влагоперенос в дисперсных породах и др.

Для практического применения формул, используемых в деформационной теории пластичности, необходимо экспериментальным путем установить

© О. Л. Рудых, 2010

зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций в;. В большинстве случаев реальные диаграммы деформирования в целях их упрощения схематизируют, описывая их с помощью аналитических формул. Наиболее часто диаграмму = /(в;) стремятся аппроксимировать единой анали-

тической функцией. Автором для описания экспериментальных диаграмм предлагается использовать совместно степенные и дробно-линейные функции.

Степенная функция между напряжением и деформацией Бюльфин-гера [1] имеет вид:

где А - константа, имеющая размерность напряжений, к - показатель степени (безразмерная величина).

Согласно работе [1], физический смысл параметров А и к состоит в следующем: А - модуль продольной деформации; к - отношение дополнительной энергии к энергии деформации.

Для большинства материалов (рис. 1, а) 0 < к < 1. При к = 1 (рис. 1, б) получаем закон Гука (А = Е), а при к = 0 (рис. 1, в) - закон жесткопластического тела (А = от ). Это означает, что из решения, найденного для конструкции из материала с произвольным значением к, можно автоматически получить решение для линейно-упругой и жесткопластической конструкции. Данная функция, как это отмечается в работе [1], имеет ряд серьёзных недостатков. В данной работе формула (1) в предлагаемой методике будет использоваться только для определения по семейству экспериментальным кривых начальных модулей упругости или других параметров, имеющих геометрический смысл tga наклона касательной к кривой в начале координат.

Наиболее простой способ для определения постоянных А и к , по данным экспериментальной диаграммы, состоит в том, что при логарифмировании выражения (1) получаем уравнение прямой линии в логарифмических координатах

Из формулы (1) легко получить секущие и касательные переменные модули деформации (рис. 2, а) [2]:

Из формулы (2) видно, что параметры \^Л и к имеют простой геометрический смысл (рис. 2, г).

В статье зависимость (1) будет использована для определения начального модуля продольной деформации при описании семейства опытных кривых. Дробно-линейная функция имеет вид (рис. 2, а) [2]:

(1)

(2)

Ес =с,(к)/ Є (к) = Л( Л /с) Л Ек = йс{ / йє, = Лк(Л / с).

(3)

с =Є, /(а + Ыг X где а и Ь эмпирические коэффициенты.

Рис. 1. Степенной закон Бюльфингера:

а - 0 < к < 1; б - к=1 и А = Е; в - к = 0 и А = стт ; г - к определению параметров

А и к в логарифмических координатах

Для определения опытных констант а и Ь дробно-линейную функцию (4) следует построить в трансформированных осях « в; / - в;» (рис. 2, б)

в; / = а + Ьв;, (5)

где виден их геометрический смысл.

Коэффициенты а и Ь соответственно равны:

а = 1/Ео; Ь = 1/ск, (6)

где Е0 - начальный модуль, соответствующий бесконечно малой деформации; сй - предельное значение напряжения в соответствии с теориями

прочности.

Для дробно-линейной аппроксимации соотношения = Е(в;) в; пере-

менные секущие и касательные модули деформации будут иметь следующие значения [2]:

(7)

Е = Е0 ю;

с 0 ’

б

а

в

где ю = (1 -о1 /оь) - коэффициент линейной деформируемости, харак-

теризующий уровень мобилизации прочности среды.

Рис. 2. Дробно-линейная функция:

а - в осях «о( -е1»; б - в осях «в( / ст( - е1»

а

При = да имеем Е(в;) = Е0 и зависимость (5) переходит в закон Гука. Таким образом, дробно-линейная функция (5) позволяет одной кривой описывать как допредельное, так и предельное (при ^да) состояния материала,

причем в этот закон входят как деформационные Е0, так и прочностные характеристики, которые выражают из критериев прочности (теории Треска -Сен-Венана, Мизеса, Мора - Кулона и др.) [2].

Рассмотрим практическое использование этих формул.

1. Аппроксимация семейства кривых, описывающих влагоперенос в дисперсных породах. Параметрами влагопереноса в дисперсных грунтах являются коэффициенты влагопереноса ХЖ и диффузии влаги кЖ (Ж - влажность). Эксперименты, выполненные в МГУ [3], показывают, что коэффициенты ХЖ и кЖ существенным образом зависят от состава и строения дисперсных пород и изменяются в зависимости от влажности. Семейства кривых ХЖ = / (Ж), кЖ = / (Ж) имеют сходный характер, подобны для грунта с различной его плотностью и смещены одна относительно другой по оси абсцисс пропорционально изменению уск (плотность скелета грунта). Сущность предлагаемой методики покажем на примере описания зависимости кЖ = / (Ж, у ск).

Подобие кривых позволяет достаточно просто рассчитывать зависимость кЖ = /(Ж, уск) для одного и того же типа грунта при различной его плотности. Каждая отдельная кривая из рассматриваемого семейства аппроксимируется дробно-линейной функцией

Ж = кЖ/(а + Ь • кЖ), (8)

кЖ = аЖ /(1- ЬЖ). (9)

Коэффициенты а и Ь легко определяются, если гиперболу построить в модифицированных координатных осях к / Ж -кЖ .

Величина Ж8, представляющая предельное значение объёмной влажности для грунта данной плотности, является функцией от уск . Экспериментальная зависимость Ж8 = / (у ск) описывается выражением

Ж =l - m •у ск, (10)

где l и m - опытные параметры графика Жв = /(уск).

Зависимость тангенса угла наклона касательной к дробно-линейной функции в начале координат Е0 = / (у ск) аппроксимируется степенной функцией

Ео = К(уж / уск )п, (11)

где К, п - опытные коэффициенты; уЖ - объёмная масса воды.

Параметры К и п определяются по графику в осях £gE0 -1%уск.

Учитывая, что Е0 = 1/ а , а Ж = 1/ Ь , окончательно получаем

к = Ж /[К (уж / уск )п (1-—)]. (12)

с - ту ск

Интересно отметить, что в формуле (12) выражение (1 - Ж / Ж8) характеризует уровень насыщения грунта влагой.

2. Зависимость содержания незамерзшей воды во влажном грунте от температуры. Решение системы уравнений тепло- и массопереноса с использованием численных методов позволяет моделировать процесс промерзания (протаивания) влажного грунта. В этом случае рассматривается тепло-и массоперенос при переменном критерии фазового превращения [4]. Использование данной физической модели промерзания грунта сводит решение задачи теплопроводности с краевым условием на подвижной границе к решению системы дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса с краевыми условиями на неподвижных границах.

Согласно [5] в зоне промерзания происходит непрерывное выделение тепла фазовых переходов связанной воды. Интенсивность возникающих при этом распределённых в зоне промерзания источников тепла ю(Т, Ж) определяется тангенсом угла наклона кривой незамерзшей воды Жп (Т, Ж) с осью температур, а также скоростью охлаждения

<а(Т, Ж) = г[с1Жп (Т, Ж)/ ёТ ] (дТ / о*), (13)

где г - удельная теплота фазовых превращений воды.

Если используется зависимость выделения льда в грунте от температуры %л = %л (Т), то значение ю (Т, Ж) определяется

ю(Т, Ж) = г[ё%л(Т)/ёТ](дТ/дг). (14)

Зависимость содержания незамерзшей воды от температуры в грунтах различного состава описывается семейством кривых, которые имеют сходный характер. Содержание незамерзшей воды и льда изменяется по экспоненциальному закону как функция времени, причём скорость фазовых переходов убывает со временем [6].

При учёте нестационарности процесса численным методом система дифференциальных уравнений МКЭ решается приближенно путём пошагового интегрирования по схеме Кранка - Николсона. Согласно этой схеме узловые значения температур и влажности устанавливаются в фиксированные интервалы времени. Поэтому представляет практический интерес получение эмпирической зависимости для вычисления критерия фазового превращения в = в(Т, Ж), который обычно при рассмотрении систем, содержащих лёд, также называют коэффициентом льдистости.

На рис. 3 приведена типовая зависимость содержания незамерзшей воды от температуры. Рассмотрим аппроксимацию кривой льдистости от температуры (рис. 4, а) с помощью дробно-линейной функции:

%л = Т/(а + Ь • Т), (15)

где а и Ь - эмпирические коэффициенты.

Рис. 3. Зависимость содержания незамёрзшей воды от температуры

Геометрический смысл коэффициентов а и Ь показан на рис. 4, б. Эти коэффициенты легко определяются, если дробно-линейную функцию построить в модифицированных координатных осях Т / %л -Т (рис. 4, б).

а - кривая %л=Т/(а+вТ); б - прямая Т/%л=а+вТ

а

%

Критерий фазового превращения воды в лёд определяется по формуле [4]

1_Рл ]

где р, рл - удельные плотности воды и льда.

Учитывая, что Ж = Ж0 - %л (см. рис. 3) и подставляя %л из выражения (15), получаем

Использование зависимости (15) позволяет получить также формулу для вычисления тангенса угла наклона кривой льдистости с осью температур

Выражение (18) удобно использовать для определения эффективной теплоёмкости мерзлого грунта.

Анализ дробно-линейной функции (15) показывает, что она достаточно достоверно отражает процесс выделения тепла фазовых переходов связанной воды в зоне промерзания грунта.

3. Деформационные показатели грунтов. Из анализа результатов опытов в стабилометрах следует, что коэффициент Пуассона грунта - величина переменная, изменяющаяся в широком диапазоне. Опыты в компрессионном приборе показывают, что коэффициент Пуассона грунта изменяется в незначительных пределах. Модуль деформации и коэффициент Пуассона могут быть определены как в приборе трёхосного сжатия, так и компрессионном. Однако в последнем случае эти характеристики надо относить только к определённому напряжённо-деформированному состоянию (НДС) грунта - сжатию отдельного слоя грунта под действием его собственного веса. Поэтому параметры, используемые в настоящей работе, получены из испытаний на стабилометре.

Для рыхлых песков, не обладающих дилатантными свойствами, применение упругопластической модели грунта возможно при индексе хрупкости 1в меньше 30 % до относительных деформаций среды порядка 15-20 % [7]. В этом случае обобщенная кривая деформирования = /(в;), полученная в испыта-

ниях песка засыпки в стабилометрах, может быть аппроксимирована дробнолинейной функцией (рис. 2, а). Соотношение между «пиковой» и остаточной прочностью песка учитывается эмпирическим коэффициентом Я = 1 - 1е, а предельное состояние грунтовой среды описывается критерием Мора - Кулона.

Модуль деформации. Обобщённая кривая деформирования как для глины, так и для песка с высокой степенью точности аппроксимируется дробно-линейной функцией (см. рис. 2) [8]:

в=%л / — (Ж0 -%л ) + %:

(16)

(17)

^л / йТ=1(1 - %л / )2,

(18)

а

где %л = Ж - Ж; = 1/Ь.

(®1 -сэ) = вг /(а-Ьвг),

где в2 - осевая относительная деформация; а и Ь - эмпирические константы.

Асимптотическую величину (с1 -с3)ас можно сопоставить с величиной прочности грунта на сжатие [8]

(°1 -СТ3)пр = К (°1 -СТ3)ас , (20)

где (с1 -ст3) - прочность грунта на сжатие; Rrip - эмпирический коэффициент разрушения, учитывающий прогрессирующую природу разрушения [9]

( Кр = (°1 -°3)/(СТ1 -CT3)ac =1 - h)-

Величина Кпр для различных грунтов колеблется между 0,75-1,00.

Подставляя в формулу (19) параметр а в виде начального модуля, а b -через компрессионную прочность, получаем

1 s Кпр

(°1 -®3) = sz/[— +, Z \ ]. (21)

Е0 (°1 -СТ3)пр

Зависимость между начальным касательным модулем и боковым давлением при активной деформации грунтов может быть довольно точно выражена степенной функцией [8]

E = KAp^(aJ pj, (22)

где КА, n - эмпирические коэффициенты; pa - атмосферное давление.

Уравнение (22) в логарифмическом масштабе представляет прямую линию с угловым коэффициентом n, которая отсекает на оси ординат отрезок lgKA pa.

Предельное состояние сыпучей среды, обладающей внутренним трением и сцеплением, описывается известным условием Кулона - Мора. Если предположить, что разрушение происходит без изменения значения с3,

то соотношение между пределом прочности на сжатие и боковым давлением записывается в виде [8]

(с1 -а3) = (2с • cos ф + 2c3sin ф)/(1 - sin ф), (23)

где с, ф - сцепление и угол внутреннего трения грунта.

Подобное допущение принимается Г. А. Гениевым в механической модели сыпучей среды как жёстко-упруго-пластического тела.

В твёрдых деформируемых телах при пластических деформациях, по мнению академика В.В. Новожилова, происходит пластическое разрыхление, т. е. их можно считать сыпучими телами с очень большим сцеплением между частицами.

Особенность предложенной методики состоит в том, что предложенные формулы используют физико-механические характеристики механики деформируемого тела (Е и ц) и теории предельного равновесия (ф и с).

Решение упругопластической задачи методом последовательного нагружения (МПН) [2] предполагает применение касательного (точнее, хордального) модуля деформации Ек, если ц = 0,5. Формула для определения Ек, полученная в работе [8], имеет вид:

Ек = ю2 Клра(^з /ра)и, (24)

где

Д(1 - вш ф)( С1 -Сз)

ю =

1 --

2(с • соэ ф + с3 эт ф)

(25)

При коэффициенте Пуассона, отличном от 0,5, приведённый касательный модуль деформации следует определять по формуле [9]

е* =Ек /[^ЦЫ+Ек ]. (26)

3 3Е0

Подставляя в (26) значения Ек и Е0 из соотношений (22) и (24), имеем

Ек* =------3юЕ---------------------------------г. (27)

к [2(1 + ^) + (1 - 2^ )ю2] v 7

Метод переменных параметров упругости (МППУ) предполагает применение приведенного секущего модуля деформации, который, по И.А. Биргеру, определяется по формуле [2]

Е; = Ес /[2(1 + Ца) + Ес], (28)

3 3Е0

где Ес = С; / В; - секущий модуль упругости.

Из соотношения (21) после деления на в; имеем

Ес = 1^ + ^-^]. (29)

Е0 (°1 -СТ3)пр

Подставляя в (29) значение в г из формулы (21) и используя соотношения (22) и (24) после математических преобразований, получаем:

Ес = юКрл(ръ/ ра)и. (30)

Подставляя в (28) значения Ес и Е0 из формул (30) и (22) и учитывая

формулу (25), получаем:

Е* =-------3юЕо---------------------------------. (31)

с [2(1 + Ца ) + (1 - 2^а )Ю]

В формулах (27) и (31) коэффициент линейной деформируемости ю характеризует уровень мобилизации прочности. В свою очередь, второе слагаемое в выражении (25) представляет величину, обратную коэффициенту устойчивости грунта в точке ^ = х^р / та .

При пассивной деформации, т. е. включающей разгрузку, в получаемые в дальнейшем формулы вводится модуль пассивной деформации

Е = КпРа (С3 / рХ, (32)

где Кп, т - эмпирические коэффициенты; ра - атмосферное давление.

Формулы (24) и (30) согласуются с результатами теоретических исследований сыпучего тела по контактной теории.

Таким образом, в рассматриваемой модели среды могут иметь место три характерные области: жёсткая, упругопластическая и пластическая. В случае плоской деформации при ц = 0,5 возникает жёсткая на сдвиг область. Область в интервале от ц, до ц<0,5 является упругопластической. Условие ц<ц, определяет границу пластической и упругопластической областей. Причём, ц, определяется из условия

Коэффициент Пуассона. Многочисленные экспериментальные исследования по определению коэффициента Пуассона грунта ц весьма противоречивы: так, в большинстве опытов коэффициент ц получен меньше 0,5; в отдельных случаях он превышал эту величину, а в ряде опытов зафиксированы даже отрицательные его значения.

В большинстве работ по анализу НДС грунта МКЭ принято постоянное значение коэффициента Пуассона для каждого конкретного материала, что не соответствует многочисленным экспериментам. Поэтому в публикациях последнего времени предложены методики определения коэффициента Пуассона грунта с учётом данных экспериментальных исследований.

В настоящей работе предлагается для определения коэффициента Пуассона грунта применять формулы, полученные из теории упругопластических деформации [9]. Из анализа экспериментальных работ установлено, что опытная величина коэффициента Пуассона при нулевой деформации близка к коэффициенту ца, соответствующему активному давлению (33). При ^>^а имеет место пассивное состояние деформации, когда с ростом £, коэффициент Пуассона увеличивается; а при £, <^а коэффициент Пуассона уменьшается. В МППУ приведённый коэффициент Пуассона определяется [9] как

Подставляя в (34) значения Ес и Е0 из формул (22) и (30) и учитывая соотношение (25), получаем:

Так как МПН предполагает пошаговую линеаризацию задачи на каждом приращении нагрузки, то переменный коэффициент Пуассона должен подсчитываться аналогично:

^ = 182(45о -ф/2) = ц, /(1 -ца).

(33)

= [(1 + ц,) -(1 -2ц,)Ес/ Е0] [2(1 + ц,) + (1 -2ц, )Е0/ Е0]

(34)

= [(1 + ц,)-(1 -2ц, )ш] [2(1 + ц,) + (1 -2ц>]

(35)

[(1 + ц,)-(1 -2ц,)Ек /Ер] ^к [2(1 + ц,) + (1 -2ц,)Ек /Е0]

Подставляя в (36) значения Ек и Е0 из формул (22) и (24) и учитывая соотношение (25), получаем

= [(1 + Ц )-(1 -2Ца )Ю2] (37)

^ [2(1 + Ц а ) + (1 - 2Ца)ю2].

Формулы (35) и (37), базирующиеся на основных гипотезах теории упругопластических деформаций, дают значения коэффициента Пуассона в пределах от ца до 0,5, что согласуется с данными большинства экспериментов.

4. Значения показателей деформируемости в контактной среде. Опытная зависимость т = / (А я) также может быть аппроксимирована дробнолинейной функцией, проходящей через начало координат и через точки на кривой, в которых прочность на сдвиг мобилизована на 70 и 95 %. В этом случае касательные напряжения в контакте, в зависимости от величин смещения А я, определяются по формуле

х = А /[1/ КгК / Ра)И + ЯпрА, / си(38)

где Кг - безразмерный коэффициент жёсткости; п - эмпирическая константа; Лпр - коэффициент разрушения; 5 - угол внешнего трения.

Таким образом, касательные напряжения в контактной среде зависят от параметров Кг, п, Лпр и 5, которые определяются из серии испытаний контактной поверхности на сдвиг.

Значения показателей деформируемости контактного элемента.

Для принятой аппроксимации сил трения в контакте «конструкция-грунт», с помощью одномерных контактных элементов, необходимо знать сдвиговую жёсткость к, величина которой принимается различной для каждого метода расчёта. При использовании МПН определяются касательные сдвиговые жёсткости кк [9]. При аппроксимации опытной кривой х = /(А) дробно-

линейной функцией (38) параметр жесткости контактного элемента к* может быть записан в виде:

Кк = К0 •ю?, (39)

где

ю1 =(1 - ^ ^ / °п • гв5); (40)

х, сп - касательное и нормальное напряжения в контакте; 5 - угол внешнего трения; К0 - начальная жёсткость контактной среды; Лпр = хтах / хас =1 -1д.

Зависимость между начальной жесткостью контактной среды и нормальным давлением по контакту принята в виде степенной функции [9]:

к0 = Ку„ (Сп / Ра )к, (41)

где К, к - эмпирические коэффициенты; уК - объёмная масса воды; Ра - атмосферное давление.

При использовании МППУ определяются секущие жёсткости

КС =х/А*. (42)

Подставляя в полученное выражение х из соотношения (38), получаем кС = 1/[1/ КТу„ (Сп / Ра )п + ДпрА, / Сп 185]. (43)

Из соотношения (38) находим

А* = х / К1У* (Сп / Ра )п [1 - х • Япр / Сп 185] . (44)

Подставляя соотношение (44) в формулу (43), после преобразований получаем:

КС = К0 ^ (45)

В формуле (45) обозначения те же, что в формулах (42) - (44).

В формулах (39) и (45) коэффициент линейной деформируемости характеризует уровень мобилизации прочности контактной среды. В нём второе слагаемое представляет величину, обратную известному в механике грунтов коэффициенту устойчивости грунта в точке. Деформационные характеристики контактного элемента в нормальном и касательном направлениях к поверхности стены назначаются в зависимости от знака нормального давления. При сжатии Кп ^<х> (в расчёте принимается 106), а Кг определяется по формулам (39) и (45). При растяжении Кп = Кг = 0 (в расчётах принимается 10-3).

Выводы

Представленные в статье методики определения опытных физикомеханических характеристик различных материалов могут быть использованы при решении различных инженерных задач нелинейной строительной механики, тепло- и массопереноса, механики грунтов и в инженерном мерзлотоведении. Достоинством этой методики является простое получение эмпирических коэффициентов из их геометрического смысла, используя линейное представление в модифицированных осях, что одновременно позволяет проверить степень достоверности принятой аппроксимации.

Библиографический список

1. Лукаш, П.А. Основы нелинейной строительной механики / П.А. Лукаш. - М. : Стройиз-дат,1978. - 208 с.

2. Рудых, О.Л. Введение в нелинейную строительную механику / О.Л. Рудых, Г.П. Соколов, В. Л. Пахомов; под ред. О.Л. Рудых. - М. : Изд-во АСВ, 1999. - 103 с.

3. Ершов, Э.Д. Влагоперенос и криогенные текстуры в дисперсных породах / Э.Д. Ершов. -М. : Изд-во МГУ, 1979. - 213 с.

4. Лыков, А.В. Теория тепло- и массопереноса / А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. - М.; Л. : Госэнергоиздат, 1963. - 536 с.

5. Лукьянов, В.С. Расчёт глубины промерзания грунтов: тр. / В.С. Лукьянов, М.Д. Головко / ВНИТС, 1957. Вып. 23. - 164 с.

6. Фазовый состав влаги в мерзлых породах / Э.Д. Ершов [и др.]. - М. : Изд-во МГУ, 1979. - 188 с.

7. Ильюшин, А.А. О соотношениях и методах современной теории пластичности / А.А. Ильюшин, В.С. Ленский // Успехи механики деформируемых сред. - М. : Наука, 1975. - С. 240-255.

8. Duncan, J.M. Chin-Yung Chang Nonlinear analysis of stress and strain in soils// J. Soil Mech. And Found. Div.: Proc. ASCE, Vol. 96, 1970, № SM 5.

9. Рудых, О.Л. Влияние перемещений подпорной стены на параметры эпюры бокового давления грунта / О.Л. Рудых // Гидротехническое строительство. - 1979. - № 12. -С. 31-34.