Повышение надежности систем управления группой объектов за счет автоматизации процесса их синтеза Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

PCT(t) = P(k)^exp(-S^Ä(t)dt),

где P(k) - вероятность того, что перенапряжения не превысят расчётной кратности.

Вероятность безотказной работы обмотки Робм (t) = [РстСО]22 , где z - число пазов статора.

Эта методика учитывает только износовые отказы, а поэтому носит ориентировочный характер, что позволяет пользоваться ею только при сравнительных расчётах.

коэффициент запаса электрической прочности изоляции в функции от времени (для произвольного момента времени).

Пробой наступает при kt = 1, т.е. когда пробивное напряжение изоляции становится равным kÜH. Для этого момента времени t=ToF и к02^Тср/Т.

Отсюда наработка на отказ составляет Тср = (lgk0/lg2)2T0 = (lgk0)2T0/0.091

Соответствующее значение интенсивности отказов Л(0) = 0,091/(lgko)2T0 или для любого произвольного момента времени в интервале 0 ... Тср Ä(t) = 0,091/(lgkt)2T0.

Тогда вероятность безотказной работы стержня

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольдберг О.Д. Надёжность электрических машин общепромышленного и бытового назначения. - М.: Энергия, 1976.

2. Гольдберг О.Д., Гурин Я.С., Свириденко И.С. Проектирование электрических машин. - М.: Высшая школа, 2001.

3. Ермолин Н.П., Жерихин И.П. Надёжность электрических машин. - Л.: Энергия, 1976.

4. Котеленец Н.Ф., Кузнецов Н.Л. Испытания и надёжность электрических машин. - М.: Высшая школа, 1988.

5. Григорьев А.В. Оконтуривание склона электронно-дифракционного рефлекса / А.В. Григорьев, И.Д. Граб, Н.А. Паксяев, В.А. Трусов, В.Я. Баннов // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2008. Т. 1. С. 332-334.

6. Сотсков Б.С. Основы теории и расчёта надёжности элементов и устройств автоматики и вычислительной техники. - М.: Высшая школа, 1970.

УДК 004.896

Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю,

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, Москва, Россия

ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ГРУППОЙ ОБЪЕКТОВ ЗА СЧЕТ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ИХ СИНТЕЗА

Рассмотрена задача синтеза системы управления сложными многоагентными техническими системами, такими как группы роботов. Задача состоит в нахождении управления как функции координат состояния объектов. Найденная функция должна обеспечивать такое управление каждым объектов, которое обеспечит перемещение объектов из некоторого текущего состояния в заданное конечное состояние без столкновений с другими подвижными и неподвижными объектами. Рассматривается задача группового управления с полной информацией, когда система управления каждого объекта использует данные о состоянии всех управляемых объектов. Синтез выполняется в два этапа. На первом этапе решается задача синтеза системы стабилизации каждого объекта относительно точки пространства состояний. На втором этапе находятся оптимальные траектории движения объектов в виде набора точек в пространстве состояний. Для решения задачи используется многослойный сетевой оператор, реализующий автоматический поиск математических выражений, описывающих искомую систему управления. Такой автоматизированный подход к синтезу систем управления должен повысить их качество за счет исключения влияния фактора человеческой ошибки. Приведен численный пример решения задачи синтеза группового управления тремя мобильными роботами. Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (№ 16-29-04224, № 14-08-00008-а) и Президента РФ (М.К-6277.2015.8).

Ключевые слова:

синтез управления, многоагентные системы, стабилизация, оптимальные траектории, эволюционные вычисления, символьная регрессия, группы роботов

зировать процесс синтеза системы управления. Качество и надежность автоматически синтезируемой системы повышается за счет исключения влияния фактора человеческой ошибки.

В настоящей работе рассматривается задача группового управления с полной информацией, когда система управления каждого объекта использует данные о состоянии всех управляемых объектов. Предложен новый двухэтапный подход построения системы управления, включающий этап стабилизации объектов управления и непосредственно построение оптимального управления на основе стабилизирующих точек траектории. На втором этапе мы численно решаем задачу оптимального управления. На общей математической модели, описывающей всех роботов, решаем задачу как задачу оптимального управления для одного объекта, но с учетом всех фазовых динамических ограничений, которые возникают из-за того, что один объект может являться препятствием для другого объекта.

В качестве численного примера рассмотрена задача синтеза системы управления парковки трех мобильных роботов в ограниченном пространстве. Постановка задачи

Рассмотрим задачу синтеза системы управления для группы объектов. Заданы математические модели объектов управления:

Введение

В связи объективными преимуществами применения комплексных многоагентных робототехнических систем все более актуальным становятся задачи исследования их динамики и стабилизации. Для построения оптимального управления движением многих роботов необходимо решить две задачи: обеспечить стабилизацию роботов относительно заданного положения в пространстве состояния и найти оптимальную траекторию движения роботов в этом пространстве. При этом оптимальная траектория будет состоять из множества точек, относительно которых должен стабилизироваться робот.

В общем случае построение системы стабилизации не вызывает сложности для линейных систем управления. Можно использовать ПИД-регулятор [1, 2], метод АКОР [3, 4] или другие подходы, основанные на построении линейной функции в обратной связи. Для нелинейных систем управления в общем случае можно использовать метод функций Ляпунова [5, 6], но нахождение такой функции для нелинейной многомерной системы дифференциальных уравнений, описывающих многоагентный объект управления, вызывает сложности.

В нашей статье для решения задачи стабилизации мы используем численный метод сетевого оператора [7 - 11], относящийся к классу методов символьной регрессии. Методы символьной регрессии ищут с помощью эволюционного алгоритма закодированную для удобного вычисления на машине функцию. Таким образом, они открывают возможность численного поиска математических выражений, описывающих систему управления. Программная реализация данного подхода позволяет автомати-

X 11X111, I 1.....\ , (1)

где N - количество объектов управления, X1 -вектор состояния объекта 1 , и1 - вектор управления объектом 1 , Г1 (X1, и1) - векторная функция,

описывающая динамику влияния управления и на состояние X* объекта / , хг = ... х'п ]Т ,

и'=К ... <]г, Г(х'У) = [//(х'У) ... 4(х>')]г,

щ - размерность вектора состояния объекта ' , т - размерность вектора управления объекта ' , 1=1 .

Задано множество начальных условий для каждого объекта управления

Х^Х^.^Х}1, (2)

где Х„ = {хШ,...,х''0Д<} , 1 = 1 .

Заданы ограничения на управления

и' еИ,., /' = . (3)

Заданы терминальные условия

^.,(х') = 0, ] = \,...,г,, 1 = 1,

Задан функционал качества

V

3 =

► ПИП ,

где - время окончания процесса управления.

Необходимо найти управление каждым объектом в виде

и' = Ь (х'.....хЛ') , / = 1,...,Л' , (6)

где функция ЬЧх1,...^7^):^ пИ.

обеспечивает для каждого объекта ' достижение

цели управления (4) за ограниченное время < /+

с оптимальным значением критерия качества (5).

Особенностью решения задачи синтеза системы управления группой объектов является наличие динамических ограничений, которые учитывают возможности столкновения между объектами

ст(х\х])< 0, , 1Ф]. (7)

Количество условий (7) для N объектов составляет величину

N (N -1)

М = '-

2

Автоматизированный подход к решению задачи

Для решения задачи синтеза управления группой объектов (1)-(8) используем многоэтапный синтез, который в дальнейшем называем методом полного синтеза управления.

На первом этапе решаем задачу стабилизации объекта в пространстве состояний относительно произвольной заданной точки.

Задаем для каждого объекта ' точку в пространстве состояний

х*=[х; ... хщ]т. о)

Определяем критерий качества стабилизации

J0 = шах х/ |—»пип .

з 1

(10)

ми...,/%>

Задаем начальные условия для каждого объекта г в окрестности заданной точки стабилизации (9)

чину

А з от соответствующей компоненты точки

стабилизации Х*

' = [X* -А! ...

'=[X* -л ... Хщ X*, ] Т,

' = [X* -А, ... хщ Хщ + Ащ ]Т ,

' =[X* -А! ... хщ Хщ -1 Хщ - Ащ ]Т

' =[X* -А, ... \ XЩ -1 ^ ]Т ,

' = [X* -А, ... хщ -2-К-2 -1 Хщ + Ащ ]

= [х* - А! ... х* _2 - Ал._2 х* _! + Ал._! X* - АП[ ]т

Х'ар=[х1*+А1 ... х;+АЛ1]Г. (И)

Всего для объекта ' в пространстве Кщ задаем

Р = 3щ начальных условия.

Ищем управление в виде

и = g'(х* - х) , (12)

где g'(х* - х): ^ п и .

Заметим, что поиск управления в виде (12) существенно проще исходной задачи (1) -(8) с управлением вида (6), хотя бы по количеству входных данных. При решении задачи стабилизации мы не учитываем условия столкновения объектов (7). В случае управления группой одинаковых объектов задачу стабилизации решаем один раз для одного объекта.

Задача автоматического синтеза системы управления подразумевает автоматическое описание блока управления в виде функциональной зависимости от состояния объекта. Стабилизирующее управление ищем в автоматическом режиме численным методом сетевого оператора, относящегося к классу символьной регрессии. Метод сетевого оператора подробно описан в работах [7-11]. Подчеркнем, что в данном подходе основное решение по созданию регулятора или блока управления подбирает компьютер. Работа инженера состоит в подготовке исходных данных: задании функционалов, начальных и терминальных условий, определении ограничений и выборе базисного решения.

После решения задачи стабилизации управлением в замкнутой системе является текущее положение стабилизируемого состояния (9).

На втором этапе решаем задачу оптимального

управления каждого объекта ' . В задаче находим оптимальные траектории движения в виде набора точек

, 7 = . (13)

х,, к = (х',°1 х*'

Первой точкой траектории является начальное условие объекта управления из множества начальных условий (2). Последняя точка траектории должна удовлетворять терминальным условиям

= 0, ) = 1,...,г1Г 1 = \,...,Ы . (14)

После решения задачи оптимального управления и нахождения оптимальных траекторий в виде набора точек (13) само движение по траекториям осуществляем с помощью последовательного переключения точек, при достижении окрестности объ-

ектом одной точки х

к

осуществляем х

Ми-ъ)

переключение

(15)

следующую точку

к+1 •

Нахождение оптимальной пространственной траектории и обеспечение стабилизации движения объекта относительно нее, как правило, завершает процедуру синтеза.

Численный пример

Рассмотрим пример решения задачи синтеза управления тремя одинаковыми объектами, N = 3 . Математическая модель каждого объекта управления описывается следующими дифференциальными уравнениями

• I I Г\1

X — Щ СОЭС' ,

,(16)

где X , у' , и

у' = и[ вт в' , в' =^-Ыпи'2 , г = 1,2,3

в' -

компоненты вектора состояния,

И - компоненты вектора управления, объекта

' , ' = 1,2,3, Ь - заданная положительная величина, одинаковая для каждого объекта.

х

0

в виде отклонений каждой компоненты Хз на вели-

1

Величины компонент вектора управления огра ничены

+ -

u1 < u1 < u1 , u2 < u2 < u2 .

(17)

;7j = M f fj2 = sgll(3ß + В)(е1зв+г1

-1) ,

С + sgn(^ )e 4q^xI 1 - e" 2 1 + e"

С = -^2ЛеЛy + ^Лy + q^x ,

A:

+ Л3 , B = sgn(A)e

- I 3A |

D = E cos(^ ) + sgn(E)(e E 1 -1) + — ,

F

E = F + sgn(F x/jFj + sgn^ sgn(Л x ))(e 1 ®Л"sgnl>x , F = q^esgn^+ q^y + q^ +

)Jq6 л.

-1)

+ sgn(лy ) - q6Лx ,

Для проверки условий отсутствия столкновений определим координаты габаритных углов объекта

4 = хЬ С08(в1) _ уЬ ),

ук = х^, , К УЬ ) , к = 1,2,3,4 , (18)

где

х' ,.= X СОвф1) + У1 Бтв) + Ь , у =-х18т(6>1) + У1собв ) + Ь /2 , х' 2,= хсо^в1) + у1 Бтв)-Ь , у '2>,. = -х181п(в1) + у1 оо^(в1) + Ь /2 , х' 31 = х соъв) + у1 Бтв1) - Ь , у ^. = -х1 81П(в1) + у1 оо^в1) - Ь /2 , х' ^ = х со^в) + у1 Бтв) -Ь , у '4>,. = -х 81п(в1) + у1 С08(в1) - Ь /2 .

Определяем столкновение угла к , 1 < к <4 , 1 -ого робота с роботом ] , 1 Ф j , из соотношения

(А! (к, 1,]) А2 (к, 1,у) > 0) Л (А2 (к,1, j) Лз (Ы j) > о) л

(А3(А-,7,у)А4(А-,7,у)>0) , А- = 1,...,4 ,

где

А; (А-,У,у) = - )(52 - ) + (д,- ->\,.)(>\- д,-), Л2 (А././) (.г. . л-; ил-;. - + (>',,. -г\Дг\;. -г\;.), А3(/с,г,/) = (.г-3 у. - - .г\у.) + 0\у. - 1\,)0\у- - 1\у ) '

Л4(М= - .^Д.^,. -+(-укЛУ^ ~Кд ■

Таким же образом определяем столкновение угла к , 1 < к < 4 , ] -го робота с роботом 1 , 1 Ф ] .

На первом этапе решаем задачу стабилизации. Пусть каждый объект управления имеет следующие

значения параметров: Ь = 4 , и =-5 , и+= 5 ,

и 2 = -1 , и + = 1 .

Задаем терминальные условия

х/ = о , у/ = 0 , в/ = 0 . (19)

Задаем отклонения относительно терминального состояния (19) по каждой компоненте вектора состояния объекта управления Ах о =4 , Луо =2 ,

Лв,о =1,57 .

В результате решения задачи синтеза системы стабилизации методом сетевого оператора получаем следующую систему управления для каждого объекта

если н, <и , , j = 1,2 ,

q5Лв sgn(ЛxУ1 q6Лх

q = 10,218 , q = 0,4478 , q = 1,4932 , q3 = 0,42098 , q4 = 14,3774 , q5 = 8,4797 , q = 0,283 , ^ = x* - x ,

Лу = / - y , Лв=в*-в.

График стабилизации системы из различных начальных положений приведен на рис.1.

Рисунок 1 - Стабилизация из начальных положений

(-4,-2,0), (4,2,0), (-4,2,0), (4,-2,0)

Далее ищем оптимальную траекторию в виде набора точек в пространстве состояний.

Оптимальная траектория для каждого объекта состоит из четырех точек: начальной, двух точек стабилизации и терминальной. Так как размерность

каждого объекта П. = 3 , ' = 1,2,3, то с помощью метода оптимизации (генетического алгоритма) находим 18 значений точек стабилизации. В качестве критериев оптимизации выбраны время попадания в терминальные условия и точность попадания.

• min , (20)

•А =

где величина t f определялась из условий

it, если | x(t) - xf | +1 y(t) - yf | +1 в(г) - в l< e,

lf =

t - иначе,

, S - заданные положительные величины,

► min ,(21)

J2 =| x(tf)-xf | +1y(tf)-yf | +1 e(tf)-в

/ I

К обоим критериям в процессе поиска точек добавляется штраф за нарушение фазовых ограничений и условие отсутствия столкновений. Поскольку задача является многокритериальной, решение ищется на множестве Парето.

В вычислительном эксперименте использовались следующие начальные условия:

х0 = 10 , хо2 = 10 , хо3 = 10 , у0 = 2 , уо2 = 4 , уо3 = 6 , в\ = о, в2 = о, в3 = о,

Терминальные условия для каждого объекта были заданы так, что при тривиальном движении объектов к цели траектории пересекались: „2_п ,.3_« ..2

Xf = -5 , x2f = 0 , x} = 5 , y} = 0 , y^ = 0 ,

в1 = 0, в2 = 0, в3 = 0 .

yf = 0,

Полученные оптимальные траектории движения объектов представлены на рис. 2-4.

Рисунок 2

Оптимальное движение 1-ого робота

t

и j, если Uj > Uj

uj =

iij - иначе

С

С

Рисунок 3

Оптимальное движение 2-ого робота

этапе решалась задача стабилизации в пространстве состояний, а на втором этапе построены траектории движения объектов при отсутствии столкновений и выполнения фазовых ограничений. Полученная при синтезе функция управления обеспечивает достижение цели управления с оптимальным значением критерия качества для различных начальных состояний. Применение рассматриваемого подхода, в частности метода сетевого оператора, позволяет автоматизировать технологию создания системы автоматического управления и повысить ее надежность.

В результате решения задачи поиска оптимальной траектории была найдены оптимальные траектории движения объектов, которые позволили объектам оптимально достичь терминальных условий, не сталкиваясь друг с другом.

Заключение

В работе представлен автоматический подход к решению задачи синтеза управления несколькими объектами. Метода основан на применении сетевого оператора, одного из методов символьной регрессии. Решение состояло из 2 этапов, на первом

Рисунок 4 0 Оптимальное движение 3-ого робота

ЛИТЕРАТУРА

1. K. Astrom, and T. Hagglund, "PID controllers: Theory, Design and Tuning", Instrument society of America, Nort Carolina, 1995.

2. M. Fliess, and C. Join, "Model-free control and intelligent PID controllers: Towards a possible trivialization of nonlinear control?" in 15th IFAC Symposium on System Identification, Saint-Malo, France, 2 00 9

3. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов // А и Т. 1960. № 4. С. 436 - 441

4. Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // ПММ. 1962. Т. 26. № 1. C. 39-51

5. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука. 1983.

6. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей А.М.Ляпунова за 100 лет: 1892 - 1992 // Изв. вузов. Математика. №4(371). 1993. С. 3-47.

7. Дивеев А.И. Метод сетевого оператора. М.: ВЦ РАН, 2010. - 178 с.

8. Дивеев А.И., Северцев Н.А., Шмалько Е.Ю. Синтез системы управления спуском космического аппарата в атмосфере Марса // Труды Международного симпозиума Надежность и качество 2011. Пенза. 23 мая -02 июня 2011. Изд-во ПГУ. С. 379-380.

9. Дивеев А. И., Шмалько Е.Ю. Метод символьной регрессии на основе сетевого оператора в задаче синтеза управления // Современные проблемы науки и образования . 2013. №3. С. 76

10. Дивеев А. И., Шмалько Е.Ю. Численный синтез системы управления группой роботов методом символьной регрессии // Известия ЮФУ. Технические науки. № 10 (171). 2015 г. С.29-45.

11. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю., Юрков Н.К. Синтез управления движением мобильного робота по траектории методом интеллектуальной эволюции // Труды Международного симпозиума Надежность и качество 2013. Пенза. 27 мая -03 июня 2013. Изд-во ПГУ. С.188-190

УДК 681.324

Штыков Р.А., Юрков Н.К.

Муромский институт Владимирского государственного университета, Муром, Владмирской обл., Россия ФГБОУ ВО «Пензенский госуниверситет», Пенза, Россия

ЕДИНОЕ КОМПАНЕНТНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СЛОЖНОСОСТАВНОГО ГОРЮЧЕГО ГАЗА

На основе структурного анализа диффузионного факела одно- и многокомпонентного горючих газов показано, что если определяющим фактором для существования такого факела в ламинарном режиме течения является диффузия компонентов, то в турбулентном режиме течения — это единое компанентное уравнение. Ключевые слова:

газопроводная сеть, газ, магистраль, модель.

Введение

В турбулентном режиме течения учет многоком-понентности горючего газа приводит к вопросу о построении единого стехиометрического уравнения химических превращений. Т.е. можно игнорировать вопрос об обеспечении стехиометрического поступления химически активных газов к фронту пламени, который является краеугольным камнем при моделировании диффузионного горения одно- и многокомпонентной горючей смеси в ламинарных потоках.

Постановка задачи

В турбулентном потоке коэффициенты «турбулентной» диффузии для всех компонентов для фиксированной точки области течения одинаковы. Это

позволяет нам записать уравнения сохранения и переноса г -го компонента в единой форме:

Ь(С') = ш, ( ' = 1.^ ) (1)

где Ь(С,) - линейный и однородный относительно своего аргумента - массовой концентрации ' -го компонента С, оператор, а ш, - массовая скорость образования (исчезновения) '-го сорта молекул в данной точке фронта пламени в течение единичного отрезка времени.

Предположим, что в движении участвуют компоненты X, при ' = 1.^ . Из них первый компонент