CC BY
66
УДК 621.301
Повышение энергетической эффективности классических и сверхразрешающих методов пространственной локализации априорно неизвестных широкополосных сигналов методом собственных векторов
Николай Григорьевич Пархоменко, к.т.н., генеральный директор, e-mail: [email protected] ФГУП «Государственное конструкторское бюро аппаратно-программных систем «Связь»
(ФГУП «ГКБ «Связь»), г. Ростов-на-Дону
В результате решения оптимизационной задачи предложен и исследован с применением численного эксперимента новый метод оценивания амплитудно-фазового распределения в многоэлементных антенных решетках, основанный на вычислении главного собственного вектора пространственной корреляционной матрицы и повышающий эффективность классических и сверхразрешающих методов пространственной локализации априорно неизвестных широкополосных сигналов.
As the result of the solution of optimization problem, the author proposed and studied using numerical experiment, a new method of estimating the amplitude and phase distribution in multi-element antenna arrays, based on calculation of the principal eigenvector of the spatial correlation matrix and increases the efficiency of classical and super resolution methods for spatial localization of the a priori unknown broadband signals.
Ключевые слова: обработка широкополосных сигналов, многоэлементные антенные решетки, когерентное усреднение, собственные векторы.
Keywords: processing of wideband signals, multi-element antennas’ arrays, coherent averaging, the eigenvectors.
Введение
Основными задачами обработки сигналов пассивными многоэлементными антенными системами являются обнаружение сигналов и измерение их параметров, таких как центральная частота, полоса и энергия сигнала, а также угловые координаты источника радиоизлучения. Широкое использование сложных сигналов с низкой спектральной плотностью мощности в системах связи, локации, опознавания и др. увеличивает актуальность задачи оценки параметров этих сигналов.
Целью данной работы является повышение энергетической эффективности пространственной локализации априорно неизвестных широкополосных сигналов в многоэлементных антенных решетках.
Особенности алгоритмов пространственной локализации сигналов и постановка задачи
При решении задачи оценивания направления на источники радиоизлучения широко используются как классические, так и более совершенные методы с повышенным разрешением. Классический метод диаграммообразования с использованием N -элементной антенной решетки заключается в синтезе М -мерного вектора Б комплексной диаграммы направленности на заданной сетке направлений с азимутами ат и углами места вт, т е [0,М -1], где вектор Б имеет вид
Б =А+£о.
Здесь А - N х М фазирующая матрица, явный вид элементов которой зависит от пространственной конфигурацией антенной решетки и принятой модели волнового фронта; £0 - измеренное амплитудно-фазовое распределение (АФР) поля падающей электромагнитной волны на элементах решетки; при этом углы прихода а0 и в0 находятся по максимуму модуля комплексной диаграммы направленности, т.е. элементов вектора Б.
В методе сверхразрешения на основе неквадратичной регуляризации при построении углового распределения энергии электромагнитного поля пеленгуемых сигналов производится более сложное преобразование измеренного АФР [5, 9].
Таким образом, основной задачей обработки сигналов в многоэлементных антенных решетках является получение оценки вектора АФР £0 . Для этого возможны различные способы, которые представлены в настоящей работе.
Рассмотрим наиболее общий способ предварительной обработки сигналов [6 - 8, 10], который заключается в когерентном приеме и цифровой регистрации N х Q матрицы сигналов О, где N - число антенных элементов решетки; Q - число отсчетов сигналов. Применяя для перехода в частотную об-
ласть дискретное преобразование Фурье к строкам матрицы сигналов О, получим комплексную Nх((2+1) спектральную матрицу 80 = (з0,...^2),
где , q е [0, Q/2] - столбцы матрицы 80 , которые
представляют собой одночастотные АФР. Для обнаружения сигнала в частотной области может использоваться, например, метод пространственной корреляции [6 - 8], который заключается в вычислении квадратной (Q/2 + 1)х(2/2 +1) матрицы К коэффициентов пространственной корреляции сигналов с элементами
Ккд = SkSq|\К || ||^||,
где к, q е[0,Q|2]; символ (•)+ означает эрмитово
сопряжение, а евклидова норма вектора определя-
II ||2 +
ется соотношением ||$|| = $ $ .
Локализация частотной области сигнала осуществляется сравнением с заданным порогом модулей элементов матрицы К .
Если область существования сигнала (не обязательно односвязная) локализована, то в матрице 80 достаточно сохранить только сигнальные компоненты. Статистически устойчивая оценка АФР может быть найдена когерентным усреднением одночастотных АФР в локализованной полосе сигнала по формуле
10 = §0§ + ,
где g / - вектор-строка матрицы 80 (/ - номер антенны, выбранной в качестве опорной).
Этот метод естественно назвать методом когерентного усреднения. К недостаткам рассмотренного подхода следует отнести недостаточную эффективность при низких отношениях сигнал/шум, что характерно для обработки сложных сигналов с низкой спектральной плотностью мощности.
Существует другой подход к задаче оценивания АФР, основанный на сингулярном разложении матрицы 8 [2]. Рассмотрим новый метод оценивания АФР - метод собственных векторов. Будем предполагать, что мощные узкополосные сигналы обнаружены, обработаны и тем самым исключены из рассмотрения. Если групповое время запаздывания сигнала на апертуре решетки существенно меньше величины, обратной полосе частот сигнала, то модель сигнала на элементах решетки можно записать в виде
8 = 4а+ , (1)
где 4 и а+ - неизвестные векторы АФР и спектра сигнала.
Из (1) следует, что обработка сигнала в частотной и пространственной областях может выполняться раздельно. Тогда основная система уравнений, из которой находятся оценки векторов 4 и а, записывается в виде
80 =4а+. (2)
Алгоритм оценивания АФР методом собственных векторов
Решение системы (2) будем искать методом наименьших квадратов, поскольку в общем случае она оказывается сильно переопределенной.
Для невязки системы уравнений (2) пишем:
а2 = 1г((8+-44+)^ -4а+)), (3)
где символ й(•) означает операцию определения следа матрицы.
Приравняв производные а2 по 4+ и а+ к нулю, получим систему уравнений вида
80а = |а2 4 , 8+4 = |42 а. (4)
Из N решений системы уравнений (4) надо выбрать то, которое доставляет минимум невязке а2. Для этого, учитывая возможность циклической перестановки сомножителей под знаком й, переписываем выражение (3) в виде
а2 = *(8+80 - 8+4а+- 4+ 80а + |42|Ы12 ) .
Отсюда с учетом (4) получаем:
а2 = * (8+80 )-| |4||2Ы|2. (5)
Следовательно, невязка а2 минимальна для
11Н|2|| ||2
решения с максимальным значением 4 |а| .
Нормируя векторы 4 и а на единицу, т.е. полагая и = 4/||4||, V = а/||а11, и вводя обозначение ц = |4| I а , приходим к задаче разложения матрицы 80 по сингулярным числам [1, 4]:
80V = ии , 8+и = и.
Эта задача имеет, как известно [1], N решений - неотрицательных сингулярных чисел ип и соответствующих им нормированных векторов ип и vn . Тогда из выражения (5) следует, что невязка принимает N значений:
а2п = (8+80 )-и2.
Следовательно, если /и0 - максимальное сингулярное число, то значение минимально и оценкой вектора АФР будет вектор и0 [2].
Для получения вектора оценки АФР и0 нет необходимости решать задачу разложения матрицы 80 по сингулярным числам в полном объеме. Вектор и удовлетворяет уравнению на собственные значения:
808+и = ц2и,
и, следовательно, достаточно найти единственный собственный вектор и0 матрицы 808+ с максимальным собственным значением. Такой метод оценивания АФР можно назвать методом собственных векторов.
Вектор и0 целесообразно находить методом Рэлея [3] или аналогичным ему итерационным методом для сингулярного разложения [2]. Эти методы, имея быструю сходимость, позволяют ограничиться нахождением единственного вектора и0 .
Результаты моделирования
Для сравнения эффективности методов был поставлен численный эксперимент, методика которого заключалась в следующем. Задавался тип антенного элемента, выбирались геометрия, размеры и число элементов антенной решетки. Задавалось число отсчетов сигналов Q. Для каждого антенного элемента генерировалось Q отсчетов сигнала, которые отличались только задержкой времени прихода относительно начала координат в соответствии с заданными углами прихода а0 и Д,. Отсчеты сигналов подвергались дискретному преобразованию Фурье, в результате чего получалась матрица сигналов 80 в отсутствие шумов. Для каждого элемента решетки генерировалось Q независимых отчетов гауссовского шума с заданной дисперсией, которые также подвергались дискретному преобразованию Фурье. В результате получалась спектральная матрица шума Н. Результирующая матрица сигналов находилась сложением матриц 80 и Н. Входное отношение сигнал/шум д0 оценивалось как отношение суммарной энергии сигнала к суммарной энергии шума на всех антеннах в полосе частот сигнала:
*(808+)
40 =—(-----Ч .
* (НН+)
Истинное значение АФР 4о вычислялось по формуле
£о« = Gn (аоА )Х
X ехр{-2от {n cos во cos («о-ап) + zn sin Д, /с},
где rn,ап,zn - цилиндрические координаты фазовых центров антенных элементов; f - центральная частота сигнала; с - скорость света в среде распространения; Gn (а,Д) - диаграмма направленности n - го элемента.
Для сравнения эффективности методов необходимо иметь критерий близости найденных различными методам оценок АФР 4 с истинным значением 4о . Для выработки такого критерия вводим невязку
Д = | |4 о -г4\\2,
где у - комплексный множитель, необходимый для согласования уровней 4 и 4о .
Величина Д может служить оценкой энергии шума, вносимого в АФР шумами в каналах приема. Минимизация Д по у приводит к следующему выражению:
Д = | |4 о ||2 (1 -14+4| 7l 14 о||2| 42).
Тогда отношение сигнал/шум q^ для АФР можно определить соотношением
q?=\ |4о||7д = (1 -14+4| 7||4о||2И2)1.
Определенная таким образом величина является искомым критерием близости оценки АФР и его истинного значения.
Численный эксперимент проводился для круговой эквидистантной решетки из вертикальных вибраторов с параметрами N = 12, r = X , где X -длина волны. Диаграмма направленности антенного элемента имеет вид G (а,Д) = cos (Д) . Для моделирования использовался шумоподобный сигнал с полосой частот 1о МГц. Объем выборки Q
о9 012
варьировался от 2 до 2 .
Для нескольких значений входного отношения сигнал/шум qo проводилось по 1 оо статистических испытаний. В каждом испытании выполнялись все операции, предписываемые каждым из методов оценивания АФР, и находились значения qo и q^, которые затем усреднялись.
Один из результатов численного эксперимента приведен ниже на рисунке, где показаны зависимости отношения сигнал/шум для АФР д^ от
входного отношения сигнал/шум д0 .
ДБ
50
40
30
20
10
®18 -12 -6 0 6 12 18
90>дБ
Отношение сигнал/шум для АФР при 2 = 2048: сплошная кривая - метод собственных векторов; пунктирная кривая -метод когерентного усреднения
Из рисунка следует, что в области значений д0 , расположенной ниже 6 дБ, метод собственных векторов превосходит метод когерентного усреднения на 3-7 дБ. При очень больших и очень малых значениях д0 разница между ними стирается. При увеличении объема выборки, т.е. времени накопления, сплошная и пунктирная кривые смещаются вверх, примерно на 3 дБ на октаву.
Вычислительная сложность метода собственных векторов несущественно превышает сложность метода когерентного усреднения, поскольку для нахождения собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению, существуют простые итерационные методы, которые при надлежащем выборе начального приближения быстро сходятся при минимальных вычислительных затратах на одну итерацию.
В результате решения задачи оптимизации оценивания амплитудно-фазового распределения в многоэлементных антенных решетках предложен метод собст-
венных векторов, повышающий энергетическую эффективность классических и сверхразрешающих методов пространственной локализации априорно неизвестных широкополосных сигналов. В отличие от известного метода когерентного усреднения предложенный метод предусматривает вычисление собственного вектора пространственной корреляционной матрицы одночастотных амплитудно-фазовых распределений, соответствующего максимальному собственному значению. Моделированием, с использованием круговой антенной решетки и предложенного критерия сравнения эффективности методов оценивания АФР, подтверждено, что метод собственных векторов при наиболее типичных значениях входного отношения сигнал/шум превосходит метод когерентного усреднения на 3 - 7 дБ при незначительном увеличении вычислительной сложности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука. 1983.
2. Иванов Н. М. Цифровая обработка сигналов в многоэлементных антенных решетках // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. № 2. С. 159.
3. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука. 1978.
4. Марпл С. Л. (мл.). Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. 1990.
5. Шевченко В. Н. Вариационные методы оценивания параметров многолучевого поля // Автометрия. 2003. Т. 41. № 4. С. 24 - 30.
6. Шевченко В. Н. Непараметрический метод частотновременной локализации энергии широкополосных сигналов в условиях априорной неопределенности // Автометрия. 2003. Т. 39. №1. С. 28.
7. Шевченко В. Н., Вертоградов Г. Г., Викулов П. Н. Метод частотно-временной локализации сложных сигналов в условиях априорной неопределенности // Радиофизика. 2008. Т. 51. № 3. С. 264 - 272.
8. Шевченко В. Н., Викулов П. Н. Оптимальная частотновременная локализация сигналов с расширенным спектром в многоэлементных антенных системах // Антенны. 2007. Т. 118. № 3. С. 59 - 63.
9. Шевченко В. Н., Иванов Н. М., Звездина Ю. А. Метод не-квадратичой регуляризации пространственных спектров с фильтрацией ложных составляющих // Автометрия. 2007. Т. 43. № 1. С. 3 - 9.
10. Марчук В. И., Воронин В. В., Шерстобитов А. И. Методы восстановления значений двумерных сигналов на основе синтеза текстур и структур изображений // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2010. Т. 6. № 2. С. 25 - 33.
Поступила 01.09.2010 г.
