CC BY
87
масштабе помещен рис. 3 в пределах от д = 25 дБ до д = 40дБ. Ранее принятые обозначения на этом фрагменте рисунка сохранены. Из анализа графиков можно видеть, что оД(р = 0,7° при Да=10, д = 35дБ. Такие данные присущи фазометру, работающему в лабораторных условиях, где отношение сигнал/шум может достигать даже 40 дБ. Тогда оДф = 0,4°. На практике в каждом отдельном случае надо правильно выбирать Д и Т, чтобы выполнить требование в отношении помехоустойчивости фазометра, использующего значения х.ф.
Сравнение графиков 1 и 5 на рис. 4 между собой показывает, что оптимальный алгоритм обеспечивает почти в 2 раза меньшее среднее квадратичное значение погрешности измерения разности фаз сигналов, чем алгоритм, изучаемый нами. При одинаковых погрешности измерения и быстродействии, изучаемый алгоритм проигрывает по помехоустойчивости оптимальному алгоритму в 1,7 раза. Однако этот проигрыш исчезает, если снизить быстродействие фазометра. Так, например, при уменьшении быстродействия фазометра в 4 раза погрешность оптимального и исследуемого алгоритмов практически совпадают при любом отношении сгнал/шум (кривые 4, 5 на рис. 4). Кроме того, установлено, что отсутствие шума в любом одном канале фазометра одинаково влияет на помехоустойчивость оптимального алгоритма и алгоритма (3), а именно снижает СКО погрешности измерения в Л раз.
Вполне понятно, что рассмотренный алгоритм проигрывает по помехоустойчивости оптимальному, поскольку при его разработке оптимальные методы оценивания параметров сигнала не применялись. Поэтому алгоритм выглядит просто, не содержит сложных процедур вычисления отношения правдоподобия и в
условиях слабых помех дает неплохие результаты.
В заключение отметим, что с помощью оценок х.ф. можно получить оценку МО (или других вероятностных характеристик), не уступающую оптимальной, однако, при этом алгоритм получается гораздо сложнее рассмотренного [5].
Список литературы
1. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986.
2. Вешкурцев Ю.М. Прикладной анализ характеристической функции случайных процессов. — М.: Радио и связь, 2003.
3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы — 3-е изд., М.: Высш. шк., 2000.
4. Переход Н.Г. Измерение параметров фазы случайных сигналов. — Томск: Томское отд. изд-ва «Радио и связь». — 1991.
5. Вешкурцев Ю.М. Кучеров М.В. Исследование нового алгоритма измерения разности фаз сигналов / Ю.М. Вешкурцев, М.В. Кучеров // Материалы VII Международной конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП - 2004 в 7 томах 21-24 сентября 2004. - Новосибирск, 2004. - Т.3. - С.32-38.
ВЕШКУРЦЕВ Юрий Михайлович, доктор технических наук, профессор кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики». КУЧЕРОВ Михаил Викторович, инженер ОАО «Центральное конструкторское бюро автоматики».
Дата поступления статьи в редакцию: 16.12.2007 г. © Вешкурцев Ю.М., Кучеров М.В.
УДК 621.372.632.001.5:621.382.2 Г. В. НИКОНОВА
Омский государственный технический университет
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ФАПЧ ПРИ УСТАНОВКЕ ВРЕМЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ В ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВАХ С УПРАВЛЯЕМОЙ ТОЧНОСТЬЮ_
Дана оценка поведения системы ФАПЧ в устройствах с самонастройкой и слежением за электрическим сигналом в области ультравысоких частот.
Исходя из современных тенденций развития методологии измерений, следует отметить значимость средств измерений с управляемой точностью для областей науки и техники, сложных в исследовании и реализации. Измерительные приборы интегрируются в высокопроизводительную информационно-вы-
числительную среду посредством сети (в том числе Internet), что определяет эффективность развития конкретной области. Базы данных такой среды пополняются сообществом пользователей, и затем в соответствии с объектом измерений и воздействий выбирают аппаратуру, методы и режимы измере-
ний. Применение современных методов построения генераторов и синтезаторов временных интервалов позволит создать генераторы синхронизации с требуемыми характеристиками.
Для систем ФАПЧ, работающих на высоких частотах в синтезаторах временных интервалов, необходимо учитывать все задержки в элементах цепи регулирования для определения времени переходного процесса при воздействии на вход системы скачка фазы опорного сигнала. Учет задержек, как показано в [1, 2], может быть произведен с использованием коэффициента передача идеализированной линии задержки КЗ = ехр(—ртЗ), где тЗ — суммарное время задержки прохождения сигнала в цепи регулирования.
В теории систем фазовой автоподстройки частоты [3] важную роль играет дифференциальное уравнение, описывающее изменение во времени разности частот опорного и подстраиваемого генератора в кольце с идеализированной линией задержки, имеющей коэффициент передачи К(р) = е~тР:,
Р ф ( I )
+ ае—т1Т[ф() = Ь, (1)
где а — постоянный коэффициент, характеризующий полосу удержания ФАПЧ; Ь — начальная растройка опорного и подстраиваемого генераторов; ф(^ — разность частот опорного и подстраиваемого
генераторов; р = — оператор дифференцирова-
(-Т р)
То есть на классе аналитических функций с ограниченными производными, задачи (1), (2) и (3), (5) эквивалентны при условии (6). В [2] сделано исследование указанных задач и представлены результаты, показывающие, что в классе моделей первого и второго порядков можно отыскать модели, хорошо описывающие решение нелинейного дифуравнения (3) при большом времени запаздывания. Поэтому целесообразно рассмотреть в общем виде модели систем ФАПЧ с запаздыванием при наличии наиболее часто применяемых простых и комбинированных фильтров нижних частот.
В системе ФАПЧ часто применяется пропорционально-интегрирующий (ПИФ), интегрирующий, ЛСЛС, ЛЬС и другие фильтры. Особенность ПИФ заключается в том, что его мгновенное выходное напряжение на высоких частотах пропорционально мгновенному значению входного напряжения, а в области нижних частот оно зависит от интеграла последнего. При т = 0 этот фильтр превращается в обычный интегрирующий ЛС-фильтр с постоянной времени Т.
На рис. 1 приведены схемы ЛСЛС и ЖС фильтров. Коэффициент передачи таких фильтров в операторной форме имеет вид:
—- (7)
Р~ 1
■- т + р +1
— операторный ряд, определенный на классе ¿есконечно-дифференцируемых функций с равномерно ограниченными производными.
Так как оператор е~тР представляет собой дифференциальный оператор бесконечного порядка, то дифференциальное уравнение (1) корректно определено — оно имеет единственное решение при условии, что заданы значения всех производных в некоторый момент времени:
ф = ф(к)(0), к = 0, 1, 2, ... (2) Из теории аналитических функций [4] следует, что при перечисленных выше ограничениях на функцию Р[ф(У], дифференциальное уравнение (1) эквивалентно дифференциальному уравнению с запаздывающим аргументом:
Р ф ( ± )
+ а¥[ф(г — т)] = Ь. (3)
Это видно из того, что:
ЛфСО]=¿^г^МО]-¿(~г)'?Ф(0] = -X)]
м '! а 1\ . (4)
Это равенство представляет собой разложение в ряд Тейлора по параметру т функции Р[ф(1 — т)]. Поскольку у ряда (4) радиус сходимости бесконечен [4], то разложение справедливо при любых значениях параметра т.
В отличие от дифференциального уравнения (1), для уравнения (3) начальные условия должны быть заданы в следующем виде:
ф(0 = Ф(0- 16 (0.1) • (5)
Если функция фД) аналитична, то для нее условия (2) и (5) эк! валентны, если положить:
где
фильтра;
К
— граничная частота
— затухание филь-
тра.
£
Эти фильтры просты для реализации и анализа. Но введение в их схемы дополнительных элементов может существенно улучшить характеристики. Одна из таких схем дана в [5] и приведена на рис. 2. Первая часть фильтра — это неидеальный фильтр второго порядка типа ПИФ. Развязывающие усилители имеют единичное усиление и высокое входное сопротивление. Операторный коэффициент передачи фильтра: _1+т,е 1
(8)
ф <к1(0)= ф '"(0).
(6)
1+Т,/7 а+Т^Нб+Т ър) где т1 = (Л1 + Л2)С1, т2 = Я2С, т3 = Л3С,, 1/8 = Л/Л3. Фильтр обладает меньшей чувствительностью к воздействию шума по сравнению с системой второго порядка. Кроме этого, полоса захвата увеличивается примерно в (если 8 = 0,01, увеличение равно 10 дБ).
Исследуя быстродействие системы ФАПЧ, при составлении общего дифференциального уравнения нужно описывать поведение неавтономной ФАПЧ при действии на нее импульсного сигнала, что учитывается, если на вход ее управляющего элемента подается соответствующее напряжение. Это уравнение будет описывать работу данной системы ФАПЧ.
Для автономной системы, учитывая, что на управляющий элемент (УЭ) системы ФАПЧ кроме выход-
Рис. 1. RCRC, RLC фильтры для цепи управления системы ФАПЧ
Рис. 2. Комбинированный ФНЧ для цепи управления
ного напряжения фильтра нижних частот подается еще и исследуемый скачок напряжения, получим: РФ + ОуК(р)Р(<Р) = £2„ (9)
В общем случае это уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением произвольного порядка. Порядок уравнения определяется выбором фильтра нижних частот: при отсутствии фильтра порядок уравнения N равен единице и уравнение (9) имеет вид:
1Ч> + Ц.Я(Ф) - Я. - (Г). (Ю)
Для пропорционально-интегрирующего фильтра N = 2:
такие случаи и найденные для них решения.
1) Характеристика ФД — пилообразная, ФНЧ отсутствует:
(13)
Для прямоугольного импульса последнее слагае-
(14)
]у[0£1 Т/ГМОйТ Т2ТЛ"Л *
(о (г - О {1 - ехр [-ОуАтСг-!!)]{- О а- х
Для фильтров типа ДСДС и ЖС, N = 3: 1
.РФ+ £2
У й
(11)
(12)
I х - ехр
2) Характеристика ФД пилообразная, ФНЧ — пропорционально-интегрирующий. Уравнение имеет вид:
Щ «Ь
Выбор типа характеристики фазового детектора определяет, является ли данное уравнение линейным. Если используется ФД с пилообразной характеристикой, то уравнение будет линейным. Если характеристика ФД является синусоидальной, косину-соидальной или тригонометрической, то уравнения становятся нелинейными. Получение решений этих уравнений — сложная математическая задача, выполнимая не всегда.
Поскольку реальные скачки напряжения в цепи управления ФАПЧ разнообразны, то для анализа их воздействия на систему можно использовать их идеализированные упрощенные модели: ступенчатый, прямоугольный, экспоненциальный, нарастающий и спадающий треугольный, трапецевидный.
Получить точные аналитические решения уравнения, описывающего работу ФАПЧ, можно только для ограниченного числа случаев. Ниже приводятся
I о„( П - П кЬ з„ А-~ + Птк. В— £-—-— Ы--2-
(15)
л1-Я,
где Т ' ~ т 1 Т , т Вид решения зависит от параметра X, который определяется выражением =*!а:-а и , При > 0 получаем:
(16)
Для прямоугольного импульса последнее слагаемое имеет вид:
■■((О ((-«■{!-
н^-гА^уС'-У ^)-<3(/-/2) {1-ехр
(17)
(18)
Для прямоугольного импульса последнее слагаемое имеет вид:
■■№<ММ1
0-4)
При =0, получим:
I-11г-
том, что в явных методах значение искомой функции в последующий момент времени находится через значение функции в предыдущий момент, в то время как в неявных методах значение функции имеется как в левой, так и в правой частях уравнения. То есть для решения этого уравнения необходимо использовать итерационные методы. Ниже показаны несколько таких методов.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка — это явный одношаговый метод, схема вычислений у которого имеет вид:
К. = / Ц + \> У( + \к2у ■■- У1 +
(22)
(19)
(21)
(20)
Для прямоугольного импульса последнее слагаемое имеет вид:
-С (с-!,)) .^-ехр^-у
гж, , [а, Л,
--^{сг-уехр --(С-0 К'-У-С
Ввиду громоздкости полученных выражений, точное решение дифференциального уравнения третьего порядка можно найти только в отдельных случаях. Кроме того, вид решений не удобен для анализа. Более простой способ получения решений — это использование численных методов.
Существует большое количество численных методов для решения дифференциальных уравнений. Они основаны на замене производных конечно-разностными соотношениями и делятся на классы явных и неявных методов. Различие между ними состоит в
Недостатком этого метода является возникновение числовой неустойчивости решения при большом шаге Л, однако уменьшение шага интегрирования приводит к значительному увеличению времени счета и накапливанию погрешностей, неизбежно возникающих в процессе вычислений.
Неявный метод Эйлера: в нем каждое новое значение у.+1 находится по значению правой части при { = , у = у.+1. Получающееся конечно-разностное уравнение имеет вид:
= \<а». (23)
Решается уравнение в общем случае итерационным методом. Однако иногда его можно разрешить относительно у.+1 в явном виде. Достоинством этого метода является простота реализации, а также возможность его применения для решения систем с разрывными правыми частями.
Смешанный метод. Этот метод сочетает в себе явный и неявный методы Эйлера:
(24)
При А = 1 реализуется явный метод Эйлера, при А = 0 — неявный, а при 0 < А < 1 реализуется комбинированный метод. Значения погрешности явного и неявного методов близки, но по знаку различны. При А ~ 0,5 смешанный метод имеет значительно меньшую погрешность, чем эти методы, используемые в отдельности.
При использовании указанных методов необходимо предусмотреть выбор параметров ФАПЧ и входного импульса, выбор полосы удержания, начальной растройки при разомкнутой цепи управления, крутизны характеристики управляющего элемента, вида фазового детектора и типа ФНЧ. Скачок напряжения в цепи управления ФАПЧ необходимо представить с учетом формы, полярности, амплитуды и длительности исследуемого импульса.
В практике наиболее часто используются ФД с пилообразной, синусоидальной и ко-
