Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе отрезков Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 39-45.

УДК 517.537

ПОВЕДЕНИЕ МИНИМУМА МОДУЛЯ РЯДА ДИРИХЛЕ

НА СИСТЕМЕ ОТРЕЗКОВ

А.М. ГАЙСИН, Ж.Г. РАХМАТУЛЛИНА

Аннотация. Рассматривается задача об асимптотической эквивалентности логарифмов точной верхней грани модуля суммы целого ряда Дирихле на вертикальной прямой и ее минимума модуля. В общем случае минимум модуля берется по некоторому компакту, в определенном смысле мало отличающемуся от вертикального отрезка фиксированной длины.

Найдены оптимальные ограничения на последовательность показателей ряда, при которых требуемое соотношение имеет место всюду на положительном луче кроме, быть может, множества конечной меры.

Ключевые слова: ряды Дирихле, минимум модуля.

1. Формулировка теоремы.

Пусть Л = {Ап} — неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел,

ГО

F (s) — aneXnS (s — а + it)

ІЗ) — / апе

п= 1

ряд Дирихле, абсолютно сходящийся на всей плоскости. Если выполняется условие

СЮ

йл — £ £ < ж , (2)

п=1

то говорят, что последовательность Л имеет лакуны Фейера, а ряды вида (1) называют рядами Дирихле с лакунами Фейера.

Пусть

Ыр(а) — вир |^(а + й)|, шр(а, К) — шіп |^(а + й)|, 0 < к < ж.

|*|<го 1*1^

Через ^(а) — шах(|ап |еЛпСТ} обозначим максимальный член ряда (1).

П

Предположим дополнительно, что

с

t2

1

c(t)

dt < со

A.M. Gaisin, Zh.G. Rakhmatullina, Behavior of the modulus minimum of the Dirichlet series on the system of segments.

© ГАйсин А.М., Рахматуллина Ж.Г. 2010.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00779-а, грант 08-01-97023-P-a Поволжье).

Поступила 1 июля 2010 г.

где с(г) = тахдп, = - 1п |?'(Лп)|,

Ап

Ф) = Щ1

СЮ 9

г2

^ лп

п=1 п

Отметим, что (2) есть условие роста, а (3) — условие на шаг (близость) и концентрацию точек последовательности Л.

Справедливы следующие утверждения:

1. Для того чтобы для любой функции Г вида (1) при а ^ ж вне некоторого исключительного множества Е С [0, ж) нулевой плотности имело место асимптотическое равенство

1пЫр(а) = (1 + о(1))1п |Г(а)| , (5)

необходимо [1] и достаточно [2], чтобы выполнялись условия (2) и (3).

2. Пусть выполняется условие (3). Если

СЮ ч

£Л-11п лп <ж, (б)

п=1

то при а ^ ж вне некоторого множества Е С [0, ж) нулевой плотности [2]

1п Ыр(а) = (1 + о(1))1пшр(а, К). (7)

3. Если выполнены условия (2) и (3), то для любой кривой 7, уходящей в бесконечность так, что если в Е 7 и в ^ ж, то И,е в ^ +ж, верно равенство [1]

<г(г; 7) = пт 1п|Г (в)| ’ -

^ 1п Ыр (И,е в)

(необходимость условий доказана в [3] и [1] соответственно).

Таким образом, видим, что если 7 лежит в некоторой горизонтальной полосе 5^ = {в: |1тв| ^ К}, а пару условий (2), (3) заменить на условия (3), (6), то вместо (8) имеет место более сильное асимптотическое равенство (7). Возникает естественный вопрос: сохранится ли асимптотическое равенство (7), если отказаться от условия (6)? Оказывается, в этом случае имеет место некоторое промежуточное между равенствами (7) и ^(Г; 7) = 1 утверждение, а именно, справедлива

Теорема 1. Пусть выполняются условия (2), (3). Тогда существует множе-

ство Е С [0, ж) конечной меры, такое, что для любого вертикального отрезка Iн(а) = {в = а + И: |£ — £0| ^ Н} (Н = сопэ^ для всех а ^ ао вне Е найдется измененный отрезок Рн(а), обладающий свойствами:

1) теэ (1н(а) П 1^(а)) ^ 2Н при а ^ ж;

2) 1п Ыр(а + ^(а)) < 1п Ыр(а) + о(1) при а ^ ж вне Е,

где ^(а) = тах |И,ев — а|; ве1*н (ст)

3) 1п Ыр(а) = (1 + о(1)) 1п шр (а) при а ^ ж вне Е,

где шр (а) = тт |Г (в)|. зеГн (ст)

Заметим, что в данной теореме отрезок 1н (а) — любой, и он, вообще говоря, не обязан содержаться при всех значениях а в какой-то фиксированной полосе 5^.

2. Вспомогательные леммы.

Для различных классов монотонных функций введем следующие обозначения. Пусть Ь — класс всех непрерывных на К+ = [0, ж) функций ,ш = и’(ж), таких, что 0 < и’(ж) | ж,

’ и>(ж)

тт/ Г г 7 )

ж, W = < w Е L: J —— dx < ж >.

v 1 X J

х —— ж, У = ^ ^ ^ ^ 2

1 х

Пусть Л = {Аи} (0 < Ли | ж) — последовательность показателей ряда Дирихле (1),

п(£) — считающая функция последовательности Л: п(£) = ^ 1. Вместе с п(£) рассмотрим

л„^*

. лт/ \ г п(х) ,

также функцию N т = ---ах.

0 х

Заметим, что при условии (2) функция N(£) принадлежит классу У. Действительно,

°° ^п(^)

5л < ж равносильно сходимости интеграла /------------ < ж, и все следует из равенства

1 ^

t2 t

СЮ

+

dN (t) N (t) + n(t)

i j t t

СЮ

+

dn(t)

it

Для характеристики исключительных множеств вещественной оси, вне которых будут получены оценки, будем пользоваться понятием ^-меры.

Пусть V(г) — неубывающая абсолютно непрерывная на К+ функция. Она определяет ^-меру на К+ по правилу

V-шее (е) = ^ V;(г) аг,

е

где е — произвольное борелевское множество из К+.

Верхней v-плотностью измеримого множества Е С называется величина

v-шes Ег

v-dens E = lim ---------- —, Er = E П [0, r].

v (r)

r

Если в последнем равенстве знак lim заменить знаком lim, получим определение нижней v-плотности (v-dens E). Если v-dens E = v-dens E, то говорят, что множество E имеет v-плотность (v-dens E). При v(r) = r v-плотность называется линейной, а при v(r) = ln r — логарифмической.

В дальнейшем (если не оговорено противное) считаем, что все исключительные множества E из R+ допускают покрытие отрезками вида Дп = [an, аП], ап | ж (отрезки попарно не имеют общих внутренних точек), причем, говоря о мере множества E, всегда будем иметь в виду меру множества E' = иДп.

n

Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся следующие леммы.

Лемма 1 ([4], [5]). Пусть функция g(z) аналитична и ограничена в круге {z: |z| < R}, |g(0)| ^ 1. Если 0 < r < 1 — N-i (N > 1), то существует не более чем счетное множество кружков

К = {г: |г - *и| ^ рга}, ^Ри ^ Вгм(1 - г),

П

таких, что для всех г из круга {г: |г| ^ Вг}, но вне у Уи справедлива оценка

и

В - ы

1п |^(г) | ^ В-ы 1п ^(0) | - 5ЖЬ ,

где

2п

Ь = 2- у 1п+ |д(Яе" )| ^ - 1п |д(0)|.

0

Отметим, что Ь ^ 0. При Ь = 0 оценка (9) следует из неравенства Гарнака, и она верна всюду в круге (г: |г| < Я} (см. в [4]).

Оказывается, в условиях леммы 1 об исключительных кружках можно сказать нечто большее. Верна

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда имеется конечное число кружков Уп = (г: |г — гп| < рп} (1 ^ п ^ т) с общей суммой радиусов

т л

^рп ^ Ягм, г< 1 — N (#> 1), (10)

п=1

вне которых в круге (г: |г| ^ Яг} верна оценка

Я - ы

1п |д(г)| — 1п |д(0)| ^ —6ЖЬ. (11)

Доказательство. При Ь = 0 утверждение верно (см. замечание к лемме 1). Пусть теперь Ь > 0.

Оценка (9) справедлива в каждой так называемой легкой точке круга Д = (г: |г| ^ Яг} [4] (см. также в [6]). Остальные точки круга Д называются тяжелыми.

С каждой тяжелой точкой г связан некоторый круг (см. в [7], [4]) К = {£: |£ — г| ^ рх}.

Как известно, из покрытия множества тяжелых точек кругами К ограниченного радиуса рх можно выделить не более чем счетное, при котором каждая тяжелая точка будет покрыта не более чем шестью кружками [8]. В круге Д функция д имеет лишь конечное число нулей а1, а2, ... , ап. Очевидно, они все являются тяжелыми точками.

Несколько увеличивая радиусы исключительных кружков, можно считать, что оценка (9) верна вне объединения открытых кружков УП = (г: |г — гп| < рп} с общей суммой радиусов

^ рп ^ Ягм, г < 1 — N, Ж> 1.

п

Тогда для всех г Е Д вне У = и Уп подавно верна оценка

п

Я - ы

у(г) > — 6^ у(г) = 1п |д(г)| — Я — |г| 1п|д(0)|. (12)

Далее, выкидывая из Д все открытые кружки из У, содержащие а1, а2, ... , ап (их не более 6п штук), получим замкнутое множество, которое обозначим через С. Пусть

В = {г Е С: у (г) ^ —6ЖЬ}.

Множество В замкнуто и В С У. Следовательно, по лемме Гейне-Бореля существует конечное число кружков из У, покрывающих В. Значит, для любого г из С \ В вне указанных кружков верна оценка (12).

Таким образом, для любого Ь ^ 0 справедливо неравенство (11). □

3. Доказательство теоремы.

Пусть выполнена пара условий (2), (3). Через и = и(£) обозначим любую, но фиксированную функцию из класса Ш, такую, что шах(у/£, N(е£), с(£)) ^ и(£). Здесь с(£) —

наименьшая неубывающая мажоранта последовательности {— 1п |5/(Ага)|} (^ — произведение Вейерштрасса (4)). Ввиду условий (2), (3) такая функция и имеется. Найдется и* Е вида и*(£) = в(£)и(£) (в Е Ь, 1 ^ в(^)). Как и в [2] через V = •и(ст) обозначим решение уравнения

и^) = 31п^(а) ,

где и1(^) = у/в(£)и(£), ^(а) — максимальный член ряда (1). Показано [2], что при а ^ ж вне некоторого множества Е С конечной меры имеют место оценки:

1) 1пЫр(а + о*) < (1 + о(1))1пЫр(а);

2) мр+0(1)(а) < пих |ЕК)|, (13)

|£—а| Х^

/-Г, \ < г г/ \ и1 (V) и * (V)

где а (Кеа = а)— любое комплексное число, о = от = -, о = о (V) = ----------------------,

V V

V = v(а).

Пусть Да = К+ \ Е (Да называется асимптотическим множеством). Тогда для а Е и а ^ ж из (13), очевидно, имеем

мр+0(1)(а) « шах |ЕЮ| = |Е(Г)|, (14)

где £ * Е дК, К — описанный вокруг круга Д(а,0) = {£: |£ — а| ^ 0} квадрат, стороны которого параллельны осям координат.

Применим теперь лемму 2 к функции д(г) = Е(г + £ *), полагая N = 4, Я = 0 *, г = 2р^-.

Так как Яг = 2\^2 0 — длина диагонали квадрата К, то К С Д(£ *,Яг). Если г < 1 — —,

то согласно лемме 2 для всех г из круга Д(£ *,Яг) вне конечного числа исключительных кружков ^П, радиусы которых удовлетворяют условию (10), при а Е и а ^ ж верна оценка

|Е(£ *)| ^ |Е(г)|1+о(1) ^ ы1+о(1)(а + 0*). (15)

Количество исключительных кружков для каждого квадрата свое. Обозначая это число через т(К), имеем

тк 4 64 о , ,

« Яг < в5Т5м. <16>

П=1

Таким образом, из (14), (15) получаем, что при а Е и а ^ ж

в3/2 (v)'

7 Е Da и

lnMf(7) = (1 + o(1))ln |F(z)|, (17)

m(K)

если z Е K \ У Vn (K — рассмотренный выше квадрат с центром в точке а = 7 + it).

n=1

Для любого 7 Е Da рассмотрим прямоугольник P = {z = x + iy: |a — x| ^ $,

|y — t01 ^ H} (H = const). В [2] показано, что если выполнено условие

1 X

V —ln -n < ж,

П=1 -n n

то общая сумма диаметров исключительных кружков квадратов типа K, покрывающих P, есть величина o($) при 7 ^ ж. Поэтому прямоугольник P содержит некоторый вертикальный отрезок I длины |I| = 2H, не пересекающийся с исключительным множеством.

В условиях теоремы 1, как видно из оценки (16), каждый квадрат К обладает таким свойством, но общая сумма диаметров кружков из Р есть 0( ^ ) при а ^ ж. По этой

ф 3/2 (V),

причине Р может и не содержать никакого вертикального отрезка длины 2Н, целиком свободного от точек исключительного множества (функция в(^) может расти не так быстро). Поэтому поступим следующим образом.

Рассмотрим минимальное число квадратов типа К, не имеющих попарно общих внутренних точек и покрывающих Р. Исключительное множество е = {ег} прямоугольника Р состоит из исключительных кружков вг квадратов покрытия и их конечное число. Круж-

тк

ки ег могут пересекаться и образовывать так называемые гроздья dк = и ег

г=1

компоненты в.

связные

|\

2Н{

ЭОэ

'/ ЗГ~

'н

8е еь

о

Щь'к °°~

о

6-5

6+6

Рис. 1. Измененный отрезок

Пусть П — проекция множеств dx, имеющих непустое пересечение с отрезком Ih (а), на

П

этот отрезок. Тогда П = (J Ij, где Ij — некоторые попарно не пересекающиеся отрезки,

j=i

Ij С Ih (а), причем в силу (16)

n П

v—"v , т , v—Const , ч

1 ^2Еpj^^(0<9<х) j=i j=i и у }

при а ^ а0.

Измененный отрезок IH (а) строится следующим образом. Для каждого j = 1, 2, ..., n находим наименьший прямоугольник Pj со стороной Ij и охватывающий соответствующие множества dx. Участок Ij отрезка Ih (а) заменим на ломаную Yj = dPj \ Ij. Если Pj примыкает к какой-то горизонтальной стороне P, то из Yj исключаем и отрезок, целиком лежащий на этой стороне P. Проделав эту процедуру с каждым отрезком Ij, получим требуемый “отрезок” IH(а) (см. рис. 1).

Из непрерывности функции F следует справедливость оценки (17) и на границах гроздей dx. Следовательно, оценка (17) имеет место на всем “отрезке” IH(а) и при а Е Da, и а ^ ж

ln MF(а) = (1 + o(1)) lnm*F(а),

где mF (а) = min |F(s)|.

sei*H (ct)

Теорема полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гайсин А.М. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. Т. 194, №8. 2003. С. 55-82.

2. Гайсин А.М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. Т. 39, №3. 1998. С. 501-516.

3. Юсупова Н.Н. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук, Башкирский гос. ун-т, Уфа. 2009.

4. Гайсин А.М. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН. Сер. мат. Т. 58, №2. 1994. С. 73-92.

5. Гайсин А.М. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста // Матем. заметки. Т. 50, №4.

1991. С. 47-56.

6. Гайсин А.М. Асимптотические свойства функций, заданных рядами экспонент. Дисс. .. .докт. физ.-мат. наук, Ин-т матем. с ВЦ УНЦ РАН, Уфа. 1994.

7. Говоров Н.В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций, функц.

анал. и их прил., Харьков №6. 1968. С. 130-150.

8. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука. 1966.

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Жанна Геннадьевна Рахматуллина,

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]