Потеря устойчивости тонкого анизотропного эллипсоида Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 3

А. Л. Смирнов

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОГО АНИЗОТРОПНОГО ЭЛЛИПСОИДА*

Конструктивно анизотропные оболочки весьма часто встречаются в инженерных приложениях. В настоящей статье рассмотрены оболочки, армированные упругими нитями. С использованием гипотез Кирхгофа—Лява для всего пакета матрица-нити получены двумерные нелинейные уравнения равновесия предварительно напряженной оболочки. Исследование устойчивости ограничивается рассмотрением случая, когда вмятины при потере устойчивости покрывают всю срединную поверхность или локализуются в некоторой ее части, удаленной от краев оболочки. Сделанное предположение позволяет произвести упрощение системы уравнений, отбросив асимптотически малые слагаемые.

1. Соотношения упругости для тонких анизотропных оболочек

Рассмотрим тонкую оболочку из композитного материала. На срединной поверхности оболочки введены криволинейные координаты а\, а^, совпадающие с линиями кривизны. Ось г направлена по нормали к срединной поверхности.

В соответствии с гипотезами Кирхгофа деформации е^ являются линейными функциями координаты г [1]:

£11 = е1 + Ж1Х, в12 = и + тг, в22 = £2 + К2г,

где £1,ш,£2 —деформации растяжения-сдвига и К1,т, К2 —деформации изгиба-кручения срединной поверхности, выражающиеся через ее перемещения по формулам

е1 =

е1 =

е1 =

и =

и1 =

е2 =

е1 =

е2 =

1

£1 + 271'' 1 ди-1^

А1 да1

и1 + 7172, А2 д

и2 -

1 дА1 А1А2 да.2

А1 д

К1

1 д71

А1 да1

I 1 2

4 +

1 ди2

А2 да.2 1 дА1

и2

м

+

А2 да2

1 дА2

А1А2 да

-и 1

Я1

и1 М

ш

А1 да1 А1А2 да2

72,

= 2 -

К2 =

1 #71

А2 да.2

1 д72

+

А2 да2 71

1 дА2

А1А2 да1

1 дА2

71-

72 +

1

дА1

1 ди2

А1Е2 да1 А1А2Я2 да2

и1

А1А2 да1 1 дш и,1

Ж

А1 да1

72

1 дш

А2 да2

и 2

Ж'

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00257). © А.Л.Смирнов, 2005

(1)

(2)

ш

Здесь 71, 72 —углы поворота нормали к срединной поверхности, п\, п^, 'ш —проекции перемещения точки на срединной поверхности, Д1, Д2 —главные радиусы кривизны, А1, А2 —метрические коэффициенты. В формулы (1) включены главные нелинейные слагаемые (с множителями ^г), а остальные формулы линейны относительно перемещений.

В наиболее общем случае будем рассматривать уравнения упругости, заданными в виде

Т1 = К11 £1 + К12 £2 + К13Ш,

Т2 = К12 £1 + К22 £2 + К23^, (4)

Б = К13 £1 + К23 £2 + К33Ш,

М1 = БцК1 + Б12 К2 + Б 13т,

М2 = Б12К1 + Б22 К2 + Б23Т, (5)

Н = Б13К1 + Б23 К2 + Б33Т. В случае ортотропной оболочки

Е1Н Е2Н Е^2к Е2^1к

(6)

#11 = --, К22 = 1-, #12 = — ,

1 — ^1^2 1 — ^1^2 1 — ^1^2 1 — ^1^2

Кзз = кС, #13 = #23= 0, = 1,3 = 1,2,3.

В случае изотропной оболочки

ЕН

КП=К22=К=--#12 = ^#,

1 — V2

1 — V Н2

#зз = К13 = #23 = О, Бц = —Кц, г, 3 = 1, 2, 3.

Упругая энергия П, накопленная в оболочке, складывается из энергии растяжения Пе и энергии изгиба Пк:

п = п + Пк,

п£ = ^ Ц (Т1£1 + т2£2 + Бш) сЕ = ^ II К^е^сЕ,

их = (Мм +М2Н2 +Нт)(1Я,

где = А1А2 ¿а 1^2 — элемент площади и интегрирование ведется по всей срединной поверхности.

2. Уравнения равновесия и их упрощение

Уравнения равновесия элемента оболочки имеют вид

да.1 да.1 да.2 да.2 \ Д1

да.2 да.2 да1 да1 \ Д2

д{А2др , д(лм , , л ( I \т ^ 1 п

Э(Л2М1) ам^щммlH + AiA2Qi

dai dai da2 da2

da2 da2 dai dai

где qi —проекции внешней нагрузки, отнесенные к площади срединной поверхности.

В третье уравнение (7) включены главные нелинейные слагаемые к-Т-, tS, к2T2.

Последние два уравнения (7) дают равенство нулю моментов внутренних усилий, приложенных к элементу оболочки. Перерезывающие усилия Q- и Q2 могут быть найдены из этих уравнений и подставлены в первые три уравнения. В итоге можно получить систему трех уравнений относительно перемещений ui, U2, w.

Проведем упрощение уравнений (7) при тех же предположениях, которые делаются при выводе уравнений пологих оболочек Доннелла [4]. Метрику срединной поверхности отождествим с метрикой плоскости и будем считать, что величины Ai, A2, R-, R2 постоянны. Положим

dxi = Aidai, dx2 = A2da2.

В формулах (2) и (3) пренебрегаем перемещениями ui и U2 по сравнению с w. В первом и втором уравнениях (7) пренебрегаем слагаемыми, содержащими перерезывающие силы Qi и Q2. В результате формулы (1)—(3) и уравнения (7) существенно упрощаются:

l ди- w i ди2 du 1 1 ди2 w

£li = CX- дw д? дxl дх2 ' е2 — я- дx2 ~R~2

дw

Yi = дxl ' д 2w ^2 дх2 : д2w ) c)2w

К- = t = - о К2 =

дx2l ' дxlдx2 ' дх22 '

dTi dS

Т^ + 7^ + 11 =0'

dx-i дх2

дТ2 dS

7гЛ + -щ- + Я2=0, (9)

дх2 dxi v '

d2Mi д 2H д2М2 ( il \ГТ1 „ ( l \rr,

дх\ дх1дх2 дх\ у ) \В-2

Если нагрузки Ц1, д2 и дз имеют один порядок или {д1, д2} ^ дз, то с той же погрешностью в (7) можно считать д1 = д2 = 0.

Упрощенная система (8), (9) пригодна для рассмотрения не только пологих оболочек, но и в задачах колебаний и устойчивости произвольных тонких оболочек при условии, что образуется много волн деформации и в пределах одной волны рисунка деформации оболочку можно считать пологой.

3. Локальные формы потери устойчивости

Здесь известные результаты о локальной устойчивости изотропных оболочек обобщаются на случай анизотропных оболочек. Пусть в результате нагружения в оболочке возникает безмоментное напряженное состояние, определяемое начальными усилиями Т0, Т2, Б0. Будем исследовать устойчивость этого состояния. Уравнения бифуркации

равновесия (9) принимают вид

дТг dS _Q

дхл дх2 ' дТ2 д$ _о

дх2 дх\ ' ^^

,pd2w | 2g0 d2w | г0Э2«; /Э2М! | 2 д2Я | д2М2\ | | Г2 = | 1 <9ж2 дх\дх2 2 \ <9ж2 дх\дх2 дх\ ) R\

Эти уравнения следует дополнить соотношениями деформации-перемещения (8) и соотношениями упругости (4), (5), причем в соотношениях (4) берем линейное приближение тангенциальных деформаций (ej = ej).

Будем считать, что нагружение является однопараметрическим, и введем параметр нагружения Л по формулам

{Т0 Т0 S0} = -Л{^1, Í2, t3}.

Знак «минус» введен для того, чтобы искать Л > 0, поскольку потеря устойчивости возможна лишь в том случае, когда имеются направления, в которых действуют сжимающие усилия. Последнее условие выполнено тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из трех неравенств:

Т0 < 0 или Т0 < 0 или (S0)2 > T0T0. (11)

Перемещение при бифуркации будем искать в виде

U1 = u° sin z, U2 = sin z, w = w0 cos z, z = klXl + k,2X2, (12)

где амплитуды u0, u°0, w0 и волновые числа ki, k2 подлежат определению.

Из первых двух уравнений (10) выразим величины u° и u2 через w0. Получаем

? = ^«Л и° = 1 Д 2 Д

где

Д = ^22kf - 2^23k?k2 + (2^12 + A33)k2k2 - 2^13kik| + Auk|,

А1 А2

Здесь через А^ обозначены алгебраические дополнения элементов матрицы {К^}:

A11 = K22K33 K2 , K23,

A12 = K13K23 - K12 K33,

A22 = K11K33 K2 ,

A23 = K12K13 - K11K23,

A33 = K11K22 K2 , - K12 ,

A13 = K12K23 - K22 K13.

Теперь все функции в третьем уравнении (10) могут быть выражены только через . Сокращая на и>0, получим

х = т,ь) = *±!±, (13)

где Бе, Бк и Б1 пропорциональны соответственно энергии изгиба-кручения Пк, энергии растяжения-сдвига оболочки Пе при дополнительных перемещениях и работе без-моментных начальных усилий на дополнительных поворотах нормали, причем

Ве = % (тк + ж)2, Ак = КиАи + К12л12 + К13А13,

А \ R2 1 Ri г

-ЪЗъ. i ОСП I о k2 +4D23k1k2

Bt = tik2 +2t3kik2 +12 Щ.

Bk = Diikf + 4Di3k?k2 + 2 (Di2 + 2D33) k2k| + 4D23kikf + Ü22k^,

где через Дк обозначен определитель матрицы {Kij}.

В силу положительной определенности Пк, Пе матрица {Кц} положительно определенна и

Дк > 0, Kii > 0, Aii > 0, Bk > 0,

2 2 (14)

Д > 0 для k2 + k| = 0.

Формула (13), впервые полученная в [3], обладает достаточной общностью. Она может быть использована для оценки величины критической нагрузки и ожидаемой формы потери устойчивости во многих задачах. Критическое значение Ао параметра Л получим, минимизируя функцию f (ki, k2) по всем вещественным ki, k2, таким, что Bt > 0. В силу условия (14) такие значения ki, k2 существуют.

Положим

ki = r cos р, k2 = r sin р. Учитывая, что функции в (13) однородны по ki, k2, введем обозначения

Be = В*(р), Bk = r4BK (р), Bt = r2B*(p), Д = г4Д* (р).

Минимизация функции (13) дает

Л° = г/ (р)} = / (р0), /(у) = 2-——--, г0 = ——-.

V: В* (у)>о) В (р) БК(^о)

В соответствии с формулами (12) вмятины сильно вытянуты под углом —ро к направлению Х2. Описанный здесь алгоритм годится без каких-либо оговорок лишь для оболочек положительной гауссовой кривизны (К\К2 > 0). Для оболочек отрицательной гауссовой кривизны (Д1Д2 < 0) в силу выражения для Бе имеем

А0 = тт{/*(р)} = 0, то = 0 для tanpo = \1 (15)

V V й2

Точно также для оболочек нулевой гауссовой кривизны (й-1 = 0)—цилиндрических и конических — формула (13) дает

Ао = шт{/*(р)} = 0, го =0 для ро = 0. (16)

V

Формулы (15) и (16) означают, что для таких оболочек происходит снижение порядка критической нагрузки (Ао = 0), а форма потери устойчивости не носит локального характера (го = 0). Исключением является случай ¿2 = ¿3 = 0, ¿1 > 0, в котором, по-прежнему, можно исходить непосредственно из формул (13).

4. Анизотропный эллипсоид под действием внешнего давления

В качестве примера рассмотрим эллипсоид вращения с полуосями (a,a,b). Угол между осью вращения и нормалью к поверхности обозначим через в. В качестве характерного размера выберем R = a. Рассмотрим главные кривизны:

р2 = R/R2 = (sin2 в + dcos2 в)1/2, p1 = R/R1 = P2/d2, d = b/a. (17)

Здесь d — коэффициент сжатия эллипсоида.

Эллипсоид состоит из матрицы, выполненной из однородного материала толщины h с модулем упругости E и коэффициентом Пуассона v, подкрепленной двумя одинаковыми системами нитей, расположенных соответственно под углами ±а по отношению к меридиональному направлению. Нити занимают долю 1 — So от общего объема, их модуль упругости в e раз больше модуля упругости матрицы.

Эллипсоид находится под действием равномерного нормального давления равного Л. Известны формулы для начальных усилий [6]:

1 • л . 2Р2 — Р1

— SlgnA, í2 = 0 2 ' 2р2 2р2

11 = 77— signA, í2 = ———¿з = 0,

причем для внешнего давления sig^ > 0, а для внутреннего signЛ < 0. Заметим, что при действии внешнего давления потеря устойчивости в силу (11) возможна для эллипсоидов любой формы, а при действии внутреннего давления только для тех, для которых 2р2 < pi, то есть

p2 > 2d2. (18) Из (17) следует что для p2 справедливы неравенства

1 < Р2 < d при d> 1, d < p2 < 1 при d < 1. (19)

Совместное выполнение неравенств (18) и (19) возможно лишь при 2d2 < 1.

Для указанного выбора системы нитей мы получим ортотропную оболочку и формула для определения Л примет следующий вид

X rrúr,íf*í ЙП f*( й\ f*( й\-0уЩ^ШкЛ 4 Щ(<Ро, во)

А0 = тт{/ (с,,*)} = / (с,0A), f(<P,9) = 2-щ^щ-, г0 = —,

(20)

Д к 2

где В* = (р2 cos2 <р + Pl sin2 ¡p) , Ак = КпАп + К12А12, В* = Dn cosV+

2(D12 + 2D33)cos2 ф sin2 ф + D22 sin4 ф, B* = t1 cos2 ф + t2 sin2 ф, Д = A22 cos4 ф + (2Ai2 + A33) cos2 фsin2 ф + Aii sin4 ф, An = K22K33 — K223, A12 = K13K23 — K12K33, A22 = K11K33 — K23, A33 = K11K22 — K3.

Рассмотрим вначале эллипсоид под действием внешнего давления. Анализ начнем

со случая изотропной оболочки (¿0=1) [2]. При этом

Ап=А22=К2^-^, А12 = -1уАп, А33 = К2(1-1У2),

Лк = 1 - А Д = К2^ (cos2 ^ + sin2 pf,

1 - V2 , 2 . 2 ,2 h2

К = К—-±—--—2 (cos2 УР2 + sin2 m)2 , В* = —К (cos2 <р + sin2 v)2

R2 (cos2 ф + sin2 ф) 12

и формула (13) примет вид

Eh2 (cos2 wp2 + sin2 wpi) Л0 =-, : mm---г;—.

ñ2v/3(l - v2) v,e ti cos2 <p + t2 sin2 <p

Минимум по <p данной функция равен

Eh2

R2 л/3(1-!/2) Eh2

Pi/t2 при ф = п/2, если t2P2 > tipi, fP2/ti при ф = 0, если t2P2 < tipi,

в? л/3(1-^2)'

1 = еСЛИ ЬР2 =

В последнем случае угол р неопределен и возможно множество форм потери устойчивости, хотя величина критической нагрузки определяется однозначно. В рассматриваемом случае условие Ь2Р2 = ^1Р1 переписывается как

Р1 _ 2/32 ~ Р1 2р2 ~ 2р2 '

или р1 = р2, что соответствует случаю ! = 1, то есть сферической оболочке. При ! > 1 имеет место случай Ь2Р2 > ^1Р1, а при ! < 1 случай Ь2Р2 < ^1Р1. Таким образом, формула для критической нагрузки имеет вид

ЕН2 - , 1

2р2 при а < 1,

i?V3(l-z/2) е | Eh2 2pip2

A0 = min

a ■ Eih 21 n

при d > 1.

ñ2V/3(l-i/2)2p2-íoi Теперь минимизация по в дает окончательную формулу:

Eh

I Г?2

A0 =

__= 2 d2 при d < 1,

R2y/3{1 -v2) "

Eh2 2

при а > 1.

Н?у/3(1-^)2<Р - 1

При ! > 1 слабая параллель находится на экваторе (во = п/2), а вмятины вытянуты в меридиональном направлении (ро = п/2). При ! < 1 слабой параллелью является полюс (в = 0). Заметим, что при этом значение Ао не зависит от угла р и, следовательно, угол ро не определен.

Перейдем теперь к рассмотрению ортотропной оболочки. Для нее справедливы формулы (6), а также

А

11

а, А.

22

ЕгИ2 ЕхЕ2к2

-От, Лзз

Е21г2

1 — VI ^2 ^ 1 — VI ^2 1 — VIV2

. v1E2h2а Е1Е2н3а

А12 = —--, Ак =

1 — V1V2

1 — V1V2

Упрощения, которым формула (13) могла быть подвергнута в изотропном случае, теперь невозможны, и нам придется искать минимум функции (20) численно. Для этого зафиксируем параметры а и ¿о и исследуем на минимум функцию

Ао = тт^0 {/*(^,в)}

тт

V е [0, п/2] р2 е [1,

тт

V е [0, п/2] Р2 е [3, 1]

4

Е*хАк р2<12 сов2 V + р4 эт2 V

А 32 соэ2 V + (2<<2 — р2) эт2 V'

3 > 1,

ВК Ак Р2<2 соэ2 V + р| ^п2 V А 3? сои2 ^ + (2сР - эт2 у'

л/2/2 < 3 < 1,

тт

ВКАк Р2<2 соэ2 V + р| ^п2 V

р2 е [3,1]

3 < л/2/2

при разных значениях параметра 3. Как показали численные эксперименты, минимум указанной функции достигается при во = 0 для 3 < 1 и при во = п/2 для 3> 1, причем этот результат не зависит от значений параметров.

Рис. 1. Критическая нагрузка для эллиптической оболочки под действием внешнего давления (1 — изотропная ободочка, 2—5 — подкрепленная оболочка при ¿о = 0.8 и а = 0, п/16, п/8, п/4).

Зависимость критической нагрузки от величины сжатия эллипсоида приведена на рис. 1. Значение критической нагрузки изотропной сферы принято за 1. Как и следовало ожидать, увеличение жесткости нитей и их доли в объеме эллипсоида ведет к повышению критической нагрузки.

Что же касается угла vо, то он зависит от значений параметров 3, а и ¿о. Зависимость угла vо от 3 приведена на рис. 2. При увеличении 3 вмятины вытягиваются в

4

Рис. 2. Угол поворота вмятин (ро для эллиптической оболочки под действием внешнего давления (1 — изотропная оболочка, 2—5— подкрепленная оболочка при ¿о = 0.8 и а = 0, п/16, п/8, п/4).

меридиональном направлении, угол стремится к п/2 и для сильно вытянутых орто-тропных эллипсоидов форма потери устойчивости совпадает с изотропным случаем.

Увеличение жесткости нитей приводит к повороту вмятин на больший угол.

Зависимость критической нагрузки и формы потери устойчивости от угла между системами нитей видна на рис. 1-2. Заметим, при значении этого угла больше п/4 критическая нагрузка практически совпадает с критической нагрузкой для неармиро-ванного эллипсоида. В свою очередь форма потери устойчивости при а > п/4 совпадает с формами потери устойчивости изотропного эллипсоида. Для слегка вытянутых эллипсоидов оптимальным (в смысле увеличения критической нагрузки) является армирование с углом около п/8.

Для сплюснутого ортотропного элипсоида (й < 1) в отличие от изотропного случая величина /о определяется однозначно из условия

из которого следует, что

^о

¥>0

В*

\{<р0, 0) = гшп

V А

( Е2 А1/4 \Е1/

При малых и больших й значения критической нагрузки можно приближенно определять по формулам

А0 = шш

Д2\/А22 д2у/3(1 -г/1г/2)

Иг\/Е1Е2 2 , „ 1

2а при а« 1,

/А^22

Д2

4

Ъ? л/ Е<1

Ап 2сР-1 Д2^3(1 -^2)2СР-1

при й ^ 1.

2

в

5. Анизотропный эллипсоид под действием внутреннего давления

Анализ начнем со случая изотропной оболочки (6о=1). Так как при действии внутреннего нормального давления ¿1 < 0, а ¿2 > 0, условие ¿2Р2 > ¿1Р1 выполнено для любых значений параметра й формула (13) имеет вид

ЕН2

А0 = ТДу3(1-^^ при^тг/2

А0 = — шт

ЕЙ2 2 Р1(% у/2

=- при а < -.

в Д2у/3(1 -1/2)Р1 -2р2 "2

Исследуем функцию = ПРИ условии 2й2 < Го < 1 на минимум. При й < 1/2

минимум достигается в точке ро = 2с1, то есть на параллели в = агсэт = 16с1?. При

1/2 < с1 < минимум достигается при = 1, то есть на экваторе, и равен Таким образом, образующиеся вмятины вытянуты в меридиональном направлении и при уменьшении с! смещаются от экватора к полюсу.

Рассмотрим теперь ортотропный эллипсоид, описанный в §4. Формула для определения критической нагрузки ортотропного эллипсоида перепишется в виде

Ао = шт{/*(р, в)} =

шт

р € (АгсЛапу^

Р22-2С12

р2 е (у/М, 1]

Б1 Ак

р2 !2

2 4 • 2

сов2 р + р4 вт2 р

А —сС2 сов2 р — (2с!2 — р2) вт2 р

Как и ранее, минимум ищется по всем положительным Ао. Напомним, что под действием внутреннего давления потеря устойчивости возможна лишь для эллипсоидов, для которых с!, < \/2/2.

На нижеследующих рисунках приведена зависимость соответственно критической нагрузки, координаты слабой параллели ро и угла ро от коэффициента сжатия эллипсоида.

Рис. 3. Критическая нагрузка для эллиптической оболочки под действием внутреннего давления (1 — изотропная оболочка, 2—5 — подкрепленная оболочка при ¿о = 0.8 и а = 0, п/16, п/8,

т/4).

Армирование эллипсоида нитями приводит к ожидаемому росту критической нагрузки, некоторому смещению слабой параллели в сторону экватора (увеличение ро при 1/2 < й < \/2/2) и существенному изменению ориентации оси вмятин ро.

Увеличение жесткости нитей приводит к повороту вмятин на больший угол.

Из рис. 3-5 видна и зависимость критической нагрузки и формы потери устойчивости от угла между системами нитей. Заметим, что увеличение этого угла снижает критическую нагрузку. В свою очередь, форма потери устойчивости при а > п/4 практически совпадает с формами потери устойчивости изотропного эллипсоида.

При сравнении устойчивости изотропных и анизотропных оболочек можно отметить как сходство, так и различие результатов. Общим является локализация форм колебаний, слабая зависимость от граничных условий, существенное влияние наличия

или

4

Рис. 4- Расположение слабой параллели ро для эллиптической оболочки под действием внутреннего давления (1 — изотропная оболочка, 2—5 — подкрепленная оболочка при ¿о = 0.8 и а = 0, п/16, п/8, п/4).

Рис. 5. Угол поворота вмятин (ро для эллиптической оболочки под действием внутреннего давления (1 — изотропная оболочка, 2—5 — подкрепленная оболочка при ¿о = 0.8 и а = 0, п/16, п/8, п/4).

изгибаний и псевдоизгибаний (это формы с асимптотически малыми тангенциальными деформациями) срединной поверхности. Различие заключается в существенном усложнении анализа, ибо наличие анизотропии общего вида качественно меняет как докри-тическое напряженное состояние, так и форму потери устойчивости.

Summary

A. L. Smirnov. Buckling of thin anisotropic ellipsoid.

Buckling of elastic thin shells reinforced with threads is discussed in this paper. The results of asymptotic analysis for thin isotropic shells are generalized for the case of a shell consisting of a matrix reinforced by fibers. Special attention is devoted to the effect of anisotropy on the critical buckling loads and modes of elliptic shells.

Литература

1. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1966.

2. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, Физматлит, 1995.

3. Haseganu E.M., Smirnov A.L., Tovstik P.E. Buckling of Thin Anisotropic Shells // The Transactions of the CSME. Vol. 24. N 1B. 2000. P. 169-178.

4. Доннелл Л. Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1982.

5. Биргер И. А. Стержни, пластины, оболочки. М.: Наука, 1992.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2005 г.