Потеря продольной устойчивости шпинделем задвижки трубопровода при гидравлическом ударе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Давыдова Елена Викторовна, канд. техн. наук, доц., elen-davidovaamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Пантюхин Олег Викторович, канд. техн. наук, доц., директор издательства, olegpantyukhin@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

COMPARA TIVE ANALYSIS OF PERFORMANCE HOPPER SOUVENIR FOR PET CONTAINERS WITH PRONOUNCED ASYMMETRY

E. V. Davidova, O. V. Pantyukhin

Mathematical models of the performance of mechanical disk hopper with radial slots and profile with tangential slots souvenir PET containers with a pronounced asymmetry and various geometrical and physical-mechanical parameters, selected the most productive structure.

Key words: feed hopper, souvenir PET packaging, automatic feeding.

Davidova Elena Viktorovnа, candidate of technical science, docent, elen-davidova@,mail. ru, Russia, Tula, Tula state university,

Pantyukhin Oleg Viktorovich, candidate of technical science, docent, publishing director, olegpantyukhin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula state university

УДК 539.4; 621.646

ПОТЕРЯ ПРОДОЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ШПИНДЕЛЕМ ЗАДВИЖКИ ТРУБОПРОВОДА ПРИ ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ

И.В. Лопа, А.И. Ефимова, А.И. Жукаев

Моделируется поведение шпинделя затвора трубопровода при гидравлическом ударе, когда осевая нагрузка превышает критическую силу по Эйлеру. Разрабатывается квазистатический подход, позволяющий учесть неравномерность распределения нагрузки по длине шпинделя, определить истинную форму потери устойчивости и рассчитать геометрические параметры шпинделя, обеспечивающие сохранение продольной устойчивости при его ударном нагружении.

Ключевые слова: шпиндель, затвор трубопровода, гидравлический удар, продольная устойчивость.

Одним из важнейших видов расчетов шпинделей затворов трубопроводов является их расчет на продольную устойчивость. Описание геометрической формы изогнутой оси после потери устойчивости стандартной функцией Эйлера справедливо только при равномерном распределении сжимающего напряжения по длине шпинделя. Однако, при ударной нагрузке при гидравлическом ударе [1], распределение напряжения

257

в волне, распространяющейся от нагружаемого торца шпинделя, характеризуется существенной неоднородностью. Особенно это характерно для ряда высокопрочных материалов, в которых затухание волн происходит более интенсивно [2]. Для уменьшения погрешности, привносимой использованием при расчетах шпинделей на продольную устойчивость симметричной синусоиды Эйлера, предлагается уточнить форму изогнутой оси, для чего использовать критерий Лагранжа: положение равновесия стержня устойчиво, если полная потенциальная энергия П в этом положении минимальна. Полная энергия складывается из энергии изгиба и (рассматривается упругий изгиб) и работы А осевых сил, совершаемой при переходе оси шпинделя из прямолинейной в криволинейную форму равновесия:

1

ь

П=и+А= -С

2 2 0

Гй 2 у( 2 )

EJ

\2

¡2 2

- Бо(

2

(у(-)

¡2

2

¡2

и имеет вид функционала П = | ¥

а

ная подынтегральная функция:

а ' ^

(у(2) (2у(2) . ¡2 ¡22

¡2, где ¥ (у', у") - извест-

¥

¡У(2) й у(2) , ¡2 ' ¡22

= EJ

' *2 у (2) ¡2 2

2

- ^0(2)

' ¡у(2) '2 ¡2

(1)

Известно, что функционал имеет экстремум, если подынтегральная функция Б удовлетворяет уравнению Эйлера [3]:

д¥ Э2 ¥ Э2 ¥ ¡у Э2 ¥ И2 у

Эу Э2Эу' ЭуЭу' ¡2 Эу'Эу' ¡22

которое в случае (1) принимает вид:

= 0,

И 4 у(2)

EJ

¡2^

¡2

0( 2 )

¡у( 2 )

¡2

(2)

Для дифференциального уравнения четвертого порядка (2) имеются дополнительные условия:

у"(0) = У( Ь) = у(0) = у (Ь) = 0,

которые определяются в соответствии с принятыми шарнирными условиями закрепления. Таким образом, формируется смешанная краевая задача. Входящую в (2) функцию о = 0(2) можно аппроксимировать уравнением:

/

о( 2, г) = о(0, г) 1 -а(г)

2

V

258

а • г

где о(0,0 - контактное напряжение на нагружаемом торце стержня (в сечении 2 = 0); ОС(/) - функция, численные значения которой определяются путем обработки моментных снимков профилей волн напряжений, полученных из решения соответствующей волновой задачи [2], методом наименьших квадратов.

Изменение контактного напряжения 0(0,0 на нагружаемом торце описывалось функцией, обобщающей решение для линейно-упругого материала:

л/ ЕЗ ^ ^ | хи)

о(0,0 = а(0,0)г М где о(0,0) - первоначальное значение контактного напряжения; Х(£) -функция, определяемая аппроксимацией результатов соответствующих численных расчетов методом наименьших квадратов.

В наиболее неблагоприятный момент нагружения, когда фронт волны напряжений сжатия достигнет свободного торца шпинделя, то есть в момент времени ? = Ы а

ф) = о(0-) а

1-а

I

С учетом (3) уравнение (2) запишется так:

$ /л <3 Ей а а 2

1-а

(Ь) гЛс1у{г)

\а)

1 1

(3)

(4)

причем о(0,—) является в нем параметром, критическое значение которого а

подлежит определению. Уравнение (4) не имеет аналитического решения и для получения формы изогнутой оси стержня и определения критического значения о(0,—) = о 1 удобно воспользоваться методом последователь-

а

ных приближений. Сходимость и трудоемкость последнего существенно зависит от вида первоначального приближения. В качестве первого приближения у\ - У1 (£) анализировались три вида функций. На рисунке 1 представлены их графики:

кривая 1 - функция Эйлера: у^\г) = <?о

81П-

Эта функция полностью удовлетворяет дополнительным условиям, но ее график симметричен, а, следовательно, ее вид не соответствует ожидаемой форме потери устойчивости. Все это приводит к необходимости получения ряда приближения для получения достаточной точности;

кривая 2: у^

с0

1-а

~а)Т

81П-

т

Т

Предложенная функция учитывает вид распределения нагрузки, точка бифуркации находится в наиболее нагруженной половине возмущенной волной напряжений сжатия части шпинделя, причем при a = 0 а( z) = а(0,0) = const, и рассматриваемое уравнение вырождается в известную синусоиду Эйлера. Недостатком этой функции является то, что она не удовлетворяет краевым условиям;

кривая 3: 3 (z)= c0

2a 4a z . Pz

------+ sin— ■

P P L

2a „ Pz z . Pz

--Cos--a— sin—

L P L L L

(5)

Рис. 1. Графики первоначального приближения формы изогнутой оси стержня

Уравнение (5) получено из решения вспомогательного дифференциального уравнения:

d 2 ^1(z)_ c0P

dzA

L2

1 -a

V a У L у

z

L

sin-

Pz

L

удовлетворяющего обоим дополнительным условиям. График функции (5) несимметричен и стрела прогиба у него смещена в сторону более интенсивной величины нагрузки. Заметим, что при а = 0 это уравнение также вырождается в известную синусоиду Эйлера. Как показали дальнейшие вычисления, использование функции (5) в качестве первоначального приближения наиболее целесообразно - сходимость решения достигалась уже на втором шаге интегрирования.

260

Подставляя (5) в правую часть уравнения (4) и производя интегрирование, получаем второе приближение:

/ \ *1 8Ь

у2 (2 ) = -0 с0Т77 EJ

2 С2

С4 + с3 — + —

4 3 Ь 2

V Ь у

+С1 6

,2

V Ь у

+-

а 6р

V Ь у

+

15а2 1

л

р

р

У

. Л2

81П-+

Ь

7а ^ р2 2а 2 . р2 7а^ 2 ^ Р2 а

+--— -СОЯ--1-----Б1И-------СО8-

2' ^ 2

где с1

Р3

а2 - 6а р

Ь

р

2 Ь Ь

р

3Ь

Ь

р

2

Ь

р2

Б1И--(6)

Ь

с2 =

3а р

с3 =

2 2 14а- 7а2 2а2 - 3а

р3

6р

; с4

7а

р3

Для определения первого приближения критического значения на* 1

пряжения на нагружаемой поверхности 0 приравниваем амплитуды первого у1 и второго у2 приближений функции у=уф при 2=0,5Ь и, раз* 1

решая полученные уравнения относительно 0 , получаем:

о*1 = /1(а)

2р2 EJ 81?

/1(а)

1 - 0^5а

15а2 7а2

2 13а2р

р

(а- 2) „ +-+ Л-— +

2 р 4 96

(7)

Интересным обстоятельством является то, что при а = 0 /1(а) = 1

и решение (7) совпадает с классическим решением Эйлера для однородно нагруженного стержня. При а = 1 (нагрузка распределена по закону треугольника) /1(а) = 1,866, что достаточно близко к известному решению задачи о потере устойчивости стержнем под действием собственной массы. Для нахождения третьего приближения следует повторить описанную процедуру, подставляя (6) с учетом (7) в правую часть уравнения (4). Однако, интегрирование получаемого при этом уравнения сопряжено с техническими трудностями, а при нахождении последующих приближений громоздкость преобразований становится практически непреодолимой. Представляется удобным воспользоваться разложением, входящих в структуру первого приближения тригонометрических функций в ряд Тей-

лора:

у1(2) = с0

( 4а ^ р--

V р У

2 р

Ь "3|

3' ^ 3

V Ь у

6!

2 V Ь у

р

7!

2 V Ь у

4!

6ар7

8!

2 V Ь у

( 2 ^ V Ь у

р

5!

2 V Ь у

(8)

Теперь новое представление второго приближения записывается

так:

2

3

4

у2(2) =

о ^8Ь

а

4!

4а 4

р-

где с1

7 р5-р3

3 5! 3!

2

р УV Ь у /

EJ

р~

2 С2 2 1

С1-1Ь 6

2 ^ у

+— 3!

р-—

V

р А Ь

5!

2 л5 Ь у

5ар3

6!

2 16 Ь у

р3 ( + ^(р

а 2а

+-

12 35

V у

; С

2

2 8«2 (г

2

\7

4аУа Л р5 л3/ ..

р— I —1----а-0.4а

. р Л2 у 3! 3!У

(9)

Третье приближение с использованием разложения в ряд записывается так:

у3 (2) =

о* 2с08Ь2

EJ

С4 Ь +

2 , С1 + С3

3!

( 2 13 V Ь у

+

С1а

4!

+-

5!

р-

4а 1( 2

\5

р уЧ ь

с3 9!

4а ( 4а У 2

р-^р А Ь

6!

л6

V

+-

7!

с

(214

V Ь у

4а

+-

С

2

5!

(215 V Ь у

3С2а

6!

(£ 16 V Ь у

+

р

V р у

9 ^

4а2 -р3

( 217 юар3 ( 218

2 VЬ у

+-

+р1 (р2 _ 38а2

\9

Ь у

8рЧр2-7а2Г2110 .р5 р3г2

10! у

Ь

8!

л9

2 VЬ у

+

+— (96а2-р31-11 \Ьу

1

+ — 5!

С3 = С1

' 4а р--

V р у

1 -а 2

л С2 (1 а 1 1 г

+-

2

ч3 4 у

+ — 3!

4а1 а

р

V р у

3!

4а

9 ^

4а2 - р3

+-

10ар

33

р

V р у

3

р3а|

+

6!

+- (р2 - 38а2 )-р-а(2р2 - 7а2

7! \ / ц \

С

С1а С1 + С С2 3С2а 1

/

4!

3!

1 7!

р-

4а р

о "2

4а2 -р3

5!

10ар

_8!

3

6! 5!

3

4а р--

V р у

+-

4а

"б!

с

4а р--

V р у

-р3 (р2 - 38а2)+ ^р2 - 7а2). (10)

10!

При этом второе приближение критического напряжения на кон-

Л *2 1.86р2 EJ

тактной поверхности при а = 1 о =--—, что фактически совпадает

БЬ

с вычисленным по формуле (7).

*1

Такой же вывод можно сделать из сопоставления значений о и

_*2

о . Следовательно, уже второе приближение дает достаточно точный результат как для функции, описывающей форму потери устойчивости, так и для критического значения напряжения на контактной поверхности. Рисунок 2 иллюстрирует влияние степени неоднородности напряжения по длине стержня на виртуальную форму искривления его оси. Видно, что

3

1

1

это влияние существенно, причем увеличение а смещает абсциссу экстремума функции у = у(2) к зоне контакта и увеличивает асимметрию функции.

О 0.2 0.4 0.6 У,хСо 0 Оэ

Рис. 2. Влияние степени неоднородности напряжения на виртуальную форму искривления оси стержня

Следует отметить, что предложенный подход, несмотря на кажущуюся громоздкость, легко программируется и позволяет получать конечные результаты расчетов для реальных конструкций шпинделей в прикладных пакетах математических программ типа МаШсаё.

Таким образом, рассмотрены особенности расчета на продольную устойчивость шпинделей затворов трубопроводов при их ударном нагру-жении в результате гидравлического удара. Показано, что учет неравномерности распределения нагрузки по длине шпинделя при отыскании функции, описывающей ожидаемую форму потери устойчивости, необходим, так как оказывает существенное влияние на точность получаемых результатов.

Список литературы

1. Лопа И.В., Ефимова А.И., Жукаев А.И. Гидравлический расчет трубопроводной арматуры. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 11. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 3-8.

2. Лопа И.В., Лопа И.В., Ефимова А.И., Судаков С.П. Напряженно -деформированное состояние материала шпинделя затвора трубопровода при динамическом нагружении [Текст]. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 11. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 312-316.

3. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов / перевод с английского языка под редакцией Э.И. Григолюка. М.: Мир, 1976. 480 с.

Лопа Игорь Васильевич, д-р техн. наук, проф., pmdmatsu. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ефимова Анна Игоревна, канд. техн. наук, доц., pmdmatsu. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Жукаев Артём Иванович, асп., pmdma tsu. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

FACTOR DYNAMICALLY HEAVY DUTY GEAR TRAIN.

I. V. Lopa, A.I. Efimova, A.I. Zukaev

We consider the high-speed and highly loaded gears at the time of launch. It is shown that the transmission of torque to the surface of the stu-pizzas gear generated and distributed in the interior of the material for the torsional wave-cial. The equations to determine the distribution of the voltage-tion torsion along the radius of the gear and to determine the torque on the outer surface of the gear at the start of its rotational motion-tion. It is shown that this overload are greater magnitude than is-polzuemye with modern calculations.

Key words: dynamic factor, gears, waves, on-torsion stresses, overloads.

Lopa Igor Vasilevich, doctor of technical science, professor, pmdmatsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Efimova Anna Igorevna, candidate of technical science, docent, pmdmatsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Zukaev Artem Ivanovich, postgraduete, pmdmatsu. tula. ru, Russia, Tula, Tula State University