CC BY
43
Том 153, кн. 3
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2011
УДК 514.7^517.9
ПОСТРОЕНИЕ СОЛИТОНОВ УРАВНЕНИЙ СИНУС-ГОРДОНА И КОРТЕВЕГА — де ФРИЗА ПРИ ПОМОЩИ СВЯЗНОСТЕЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
А.К. Рыбников
Аннотация
При помощи связпостей. определяющих представления пулевой кривизны, можно строить решения типа бегущей волпы (и в частности, солитоппые решения) дифференциальных уравнений с частными производными. В статье приведены примеры построения солитоиов уравнений сипус-Гордопа и Кортевега де Фриза. Заключительный раздел посвящен сравнению предложенного метода построения солитоиов с методом обратной задачи рассеяния. В работе систематически используется инвариантный аналитический метод Картапа Лаптева.
Ключевые слова: связность в главном расслоении: связность в ассоциированном расслоении: связность, определяющая представление пулевой кривизны: дифферепциаль-пое уравнение: солитопы: отображения Вэклуцда.
1. Специальные связности, определяющие представления нулевой кривизны
1.1. Дифференциально-геометрические структуры, о которых идет речь в настоящей статье, ассоциированы с дифференциальными уравнениями с частными производными 2-го и 3-го порядков с неизвестной функцией г двух аргументов х1, х2. В работе систематически используется инвариантный аналитический метод Э. Картана Г.Ф. Лаптева (см. [1] или работы самого Г.Ф. Лаптева [2 5]).
Переменные х1, х2, г мы рассматриваем как адаптированные локальные координаты (2+1)-мерного расслоения Н общего типа [6] с 2-мерной базой (при этом х1 , х2
формы многообразия Н обозначим через ш1, и2, ш2+1 (при этом и)1, и2 являются главными формами па базе). Обозначим через хг, г, рд...д (где = 1, 2; к = 1,..., г) локальные координаты в расслоении 7г Н (расслоение голономных г-струй сечений). Напомним, что Рд-д. симметричны ш нижним индексам. Для любого сечения а С Н, заданного уравнением 2 = 2 (х1, х2), можно рассматривать поднятые сечения (поднятия) аг С Н, заданные уравнениями 2 = 2 (х1, х2); Рд -Д = гд - д (к = 1,..., г). Здесь г.^....^ - частные производные порядка к функции г(х1,х2) по соответствующим аргументам.
Дифференциальное уравнение 2-го порядка мы рассматриваем как гиперповерхность в многообразии 72Н, заданную уравнением
^(хг, г,р.,ры)=0. (1)
На поднятии а2 С 72Н произвольного сечения а С Н уравнение (1) принимает
^(хг, г, г.,гы) = 0. (1')
Соответственно, дифференциальное уравнение 3-го порядка это гиперповерхность в многообразии J3H, заданная уравнением
С(х1 ,г,рз ,ры ,Рэы)= 0. (2)
На поднятии а3 С пронзвольного сечения а С Н уравнение (2) принимает
С(х1,г,г^ ,гы , 3) = 0. (2')
Решения г = г (х1, х2) заданного дифференциального уравнения - это сечения аСН
Н
(формы ш1, ш2, ш^1) удовлетворяют структурным уравнениям ¿ш" = шз Л ш®, ¿ш2+1 = шз Л ш2+1 + ш2+1 Л ш2+1.
Формы
i 2+1 2+1 i 2+1 ш , ш , шз , шз, ш.
З , шЗ, ш2+1
представляют собой систему структурных форм расслоения К1Н (расслоение реперов первого порядка). В процессе правильного продолжения (см. об этой процедуре в [4] ) возникают симметричные по нижним индексам формы
2+1 i i 2+1 /л\
ш]к , ш]к, шз, 2+1, ш2+1, 2+1. (4)
На следующем этапе продолжения возникают формы
ш2+1 ш
ш з к I , ш з к I ...,
также симметричные по нижним индексам.
Формы (3) и (4) в совокупности представляют собой систему структурных форм расслоения Е2Н (расслоение реперов второго порядка). Заметим, что формы ш", ш2+1, ш^+Зк ( к = 1,... ,т) одновременно являются главными формами в многообразии г-струй JrН.
Наряду с многообразиями реперов можно рассматривать их фактор-многообразия, и в частности:
• многообразие *Д1Н то структурными формами ш", ш2+1, ш?+1, ш, ш2, ш^, где ш = ш^ — ш|;
• многообразие *Е2Н со структурными формами шг, ш2+1, ш2+1, 1, ш, ш2,
ш2-
Каждое из многообразий *Д1Н и *Д2Н имеет структуру главного расслоения. Многообразие J1Н является базой расслоения *Д1Н а J2Н - базой расслоения *Д2Н. Структурной группой расслоений JkН (к = 1, 2) является группа БЬ(2) (как при к = 1, так и при к = 2). Формы ш, ш2, ш-2 - слоевые формы в *КкН к = 1 к = 2 превращаются в инвариантные структурные формы группы БЬ(2).
Среди связностей, заданных в главных расслоениях *КкН (к = 1, 2) , инвариантным образом выделяются специальные связности [7], то есть связности, у которых все коэффициенты связности, кроме коэффициентов при ш1, ш2, равны нулю. Обозначим через ш, ш2, Щ формы связности, соответствующие специальной связности в *КкН (к = 1, 2). Они связны со слоевыми формами ш, ш2, ш^ соотношениями
~ I 1 , 2 ~2 2 , 2 1,2 2 ~1 1,11,12
ш = ш + 71ш + 72ш , ш>1 = ш1 + 711ш + 712ш , ш = ш2 + 72 1ш + 72 2<ш .
В случае k = 1 коэффициенты связности зависят от ж®, z, pj, а в случае k = 2 -от x®, z, pj, ры.
Рассматривая специальные связности в *Rk H, можно выбрать в качестве главных форм контактные формы (инвариантное определение контактных форм можно найти в [6]):
w® = dx®, w2+1 = dz — р® dx®, w2+1 = dpj — pjk dxk, w^^1 = dpjk — Pjki dxl.
В этом случае w = w2 = w! =0. Следовательно, при таком выборе главных форм формы связности, соответствующие специальной связности, имеют вид
w = yi dx1 + Y2 dx2, с^2 = y2i dx1 + Y12 dx2, w1 = Y^dx1 + Y22 dx2. (5)
Замечание 1. Если главные формы на JrH - контактные, то интегральными многообразиями системы Пфаффа
w2+1 =0, wJ+.j =0 (k = 1, ... ,r — 1),
являются поднятые сечения аг С JrH сечений а С H (и только они).
Структурные уравнения, которым удовлетворяют формы (5), имеют на поднятии любого сечения а С H следующий вид:
dw = 2w 2 Л w 2 + R12 dx1 Л dx2,
а а а а
dw2 = w Л w2 + R212 dx1 Л dx2, (6)
а а а а
dw2 = w 2 Л w + R 212 dx1 Л dx2.
а а а а
Здесь w, w2, w 2 - формы w, w2, w^ рассматриваемые на поднятии сечения а а а 1 2
а С H, a R12, R212, R212 _ соответствующие компоненты тензора кривизны,
а а а
рассматриваемые на поднятии сечения а С H.
1.3. В дальнейшем мы будем рассматривать специальные связности в *RkH, определяющие представления нулевой кривизны для наперед заданного уравнения (то есть связности, у которых формы кривизны обращаются в нуль на решениях уравнения и только на них). Заметим, что связности, определяющие представления нулевой кривизны, могут быть заданы также в отличных от *RkH главных расслоениях над базой JkH, то со структурной группой G, которая является подгруппой группы SL(2).
R12, R1212, R1212,
а а а
получим систему уравнений с частными производными
R12 =0, RJ12 =0, R|12 =0. (7)
а а а
При k =1 уравнения (7) являются дифференциальными уравнениями 2-го по-k=2
Очевидно, что в случае, когда каждое из уравнений (7) можно получить из заданного дифференциального уравнения (1') (или (2')) умножением обеих частей заданного уравнения на множитель, рассматриваемая связность определяет представление нулевой кривизны для уравнения (1) (или (2)).
Пример 1. Специальная связность в *Д1Н с коэффициентами связности
z i z i i z i
71= cos 7ii = "2sinf " 72\ = "2sinf +
Z о 1 Z 1 i 1 Z 1
72 = COS -, 7Í2 = - sin - + -P2, 722 = ^ sm TJ " JP2
определяет представление нулевой кривизны для уравнения синус-Гордона
Z12 = sin Z.
В этом случае
ш = cos — • (dx1 + dx2),
~2 Ч ■ z 1 \ 1 . z 1
= + dx +
-21 = (sin \ - ipi) ¿г'1 + I (sin 1 - dx2.
Уравнения (6) имеют вид
dù = 2ù 2 Л ù 2,
a a a
düJi=ojAüJi-\—(^i2 — sin г) ¿г'1 Л dx2,
a a a 2
dcDo = 2 Л ¿D--(¿12 — Sin л) d.X1 Л dx'2.
a a a 2
Пример 2. Специальная связность в *Д2Н с коэффициентами связности
Y1 =0, 7i2I =z - с, 7221 = -1,
72 = —2pi, Y22 = -Р 1 1 - (4с +2z)(z - с), = 4с + 2z,
где с = const, определяет представление нулевой кривизны для уравнения Корте-вега де Фриза
z2 + 6z • z1 + z111 = 0.
В этом случае
ù = —2p1 dx2,
ù2 = (z — с)йх1 — (p11 + (4с + 2z)(z — с)) dx2, ù1 = —dx1 + (4с + 2z) dx2. Уравнения (6) имеют вид
dù = 2ù 2 Л ù 2,
a a a
dù2 = ù Л ù2 — (z2 + 6z • z1 + zm) dx1 Л dx2,
a a a
dù 2 = ù 2 Л ù
2. Солитоны уравнений синус-Гордона и Кортевега —де Фриза и связности, определяющие представления нулевой кривизны
В дальнейшем мы условимся обозначать x1 через ж, a x2 через t. Переменную x будем называть пространственной переменной, at— временем.
Рассмотрим проблему существования для заданного дифференциального уравнения (1) (или (2)) решения типа бегущей волны, то есть решения вида z(x — kt), где k = const. В особенности интересен случай, когда решение типа бегущей волны является солитоном, то есть случай, когда график функции z(x) имеет форму колокола либо подобен графику функции arctgx (или arcctgx).
Справедлива очевидная
Теорема. Пусть специальная связность в *RkH, коэффициенты связности
xt
вой кривизны для данного уравнения (1) (или уравнения (2)) и ее система форм связности, рассматриваемая на поднятиях произвольного сечения (то есть система форм и> i, и> 2), при замене неизвестной функции na z(x — kt) (гОе z(ж)
а а а
некоторая наперед заданная функция одного переменного ж) превращается в систему форм uj, tól, и)2, которая при к = ко (где ко некоторая фиксированная
а а а
постоянная)) удовлетворяет структурным уравнениям группы SL(2).
Тогда z(x — k0t) является решением типа бегущей волны уравнения (1) (или уравнения (2)) и удовлетворяет начальному условию z(x, 0) = z(x).
Следовательно, можно построить солитон заданного дифференциального уравнения (1) (или (2)), если окажется возможным построить специальную связность, определяющую представление нулевой кривизны, для которой можно подобрать подходящие функцию z(x) и константу ко. Заметим, что при этом не возникает необходимости привлечения каких-либо физических понятий (таких, например, как «данные рассеяния квантовой частицы в потенциальном поле»).
Пример 3. Приведем пример построения солитона уравнения сипу с-Гордона zi 2 = sin z при помощи связности из примера 1 по заданному начальному условию ¿(ж,0) = z(x) (которое мы подберем позднее).
Формы и>, со i, uj о в этом случае имеют вид
си = cos — • (dx + dt), а2
CU í = — I sin —I— z
2 V 2 2
dx H— 2
• z k , .
sm---z dt,
2 2
u> о = — sm---z
2 V 2 2
If. z k , dx H— sm —I— z
2 V 2 2
dt.
При этом z = z(^), где ^ = x — kt и z' = dz/d^. Эти формы удовлетворяют уравнениям
dui = 2üj f A ujÍ,
dio f = to /\ to2--—sinz dx A dt — ~(z" — sin z) dx A dt,
а а а 2 2
(8)
-i . - . k + 1 .
dio 2 = cu 2 A cu +
k
sin z dx A dt H— (z" — sin z) dx A dt. 2 2 '
Здесь z'' = d2z/di2
1
z
1
z
Если положить k = — 1, то система (8) будет иметь вид duj = 2из i А
а а а
duj2 = uj A uj2 -\— (z" — sin z) dx A dt,
а а а 2
(£>2=¿22A¿5 — ~{z" — sin z) dx A dt
а а а 2
Заметим, что z(x) = 4arctg e-x является одним из решений обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
d2z
= sin Z.
dx2
Очевидно, что в случае, когда k = — 1 и z(x) = 4arctge-x, система (8) превращается в систему структурных уравнений группы SL(2).
Следовательно, z(x,t) = 4arctg e-(x+t) является солптоном уравнения синус-Гордона.
Пример 4. Приведем пример построения солитона уравнения Кортевега де Фриза z2 + 6z • zi + zm = 0 при помощи связности из примера 2 по заданному начальному условию z(x, 0) = z(x) (которое мы подберем позднее). В этом случае формы из, uj 2, uj\ имеют вид
а а а
U = —2z' dt,
а
из 2 = (z — c) dx + (z'' + (4c + 2z)(z — c)) dt,
а
из1: = — dx + (4c + 2z) dt.
а
При этом z = z(£), где £ = x — kt, z' = dz/d£, z'' = d2z/d£2 . Эти формы удовлетворяют уравнениям
duj = 2из 1 А из о,
а а а
duj \ = ~из А ш f - (z'" + 6z ■ z' - kz') dx A dt, (9)
а а а ^ '
díü 2 = ¿D 2 A ¿D.
a a a
Здесь z''' = d3z/d£3.
2c2
Заметим, что функция г(х) = ———- является одним из решений обыкновен-
ch 2(cx)
ного дифференциального уравнения 3-го порядка
d3z dz 2 dz
d^+6zTx=4cTx
В случае, когда z(^) = ——, система уравнений (9) имеет вид
2É.
ch2(cO
duj = 2из i А из о.
du32 = из А из2 (к — 4c2)z' dx A dt,
а а а
duj о = UJ 2 A UJ
и при k = 4c2 превращается в систему структурных уравнений группы SL(2). Следовательно.
_ 2с2
" ~ ch2 [с(х — 4c2i)] является солитоиом уравнения Кортевега де Фриза.
3. Связности Бэклунда и отображения Бэклунда. Связности Лакса. Замечание о построении солитона уравнения Кортевега —де Фриза методом обратной задачи рассеяния
3.1. Специальные связности, при помощи которых можно строить солитон-иые решения (см. теорему из разд. 2. а также примеры 3 и 4). это связности в главных расслоениях. Наряду со связностями в главных расслоениях мы будем рассматривать связности в ассоциированных расслоениях. Следуя [1]. мы обозначаем символом P(B, G) главное расслоение с базой B и структурной группой G. Ассоциированное с ним расслоение с типовым слоем Э (Э - пространство представления структурной группы G) обозначаем через Э (P (B, G)).
Напомним (см.. например. [1]). что связность, заданная в главном расслоении P(B, G), порождает связность в ассоциированном расслоении Э(Р(B, G)). Формы связности О1 (I, J, K,... = 1,..., N = dim Э), соответствующие связности в Э(Р(B,G)), имеют вид
0 = dY1 — eA (Y) • wA.
Здесь wA - формы связности в P(B, G), (A, B,... = 1,..., dim G), которая порождает связность в Э^(B, G)). Коэффициенты eA = Ca(Y..., YN) удовлетворяют тождествам Ли:
del dib
дук '"»с? QYK в _1>А 5G'
где С"А с _ структурные константы группы Ли G.
Формы О1 удовлетворяют структурным уравнениям
где ПА - формы кривизны, соответствующие св^етост^, заданной в P(B, G). Связность в ассоциированном расслоении Э (*Rk H) мы называем связностью k
она порождена специальной связностью в *RkH, определяющей представление нулевой кривизны для уравнения (1) (или (2)).
Пусть в1 формы связности Бэклунда для данного уравнения (1) (или (2)), раса
сматриваемые над сечением а С H). Очевидно, что система уравнений Пфаффа
01 = 0 (10)
а
вполне интегрируема в том и только в том случае, когда сечение а С H является решением дифференциального уравнения (1) (или (2)). Система Пфаффа (10) определяет отображение
H D а ^ Е СЭ (*RkH) , (11)
а
( а С )H
переходит в сечение Е С Э (*Rk H), являющееся решением системы Пфаффа (10)
а
при заданном а с И. Мы называем отображение (11) отображением Бэклунда класса к, а систему (10) - системой уравнений Пфаффа, определяющей отображение Бэклунда.
Если dim Э = 1, система уравнений Пфаффа (10) состоит из одного уравнения. В случае, когда в качестве главных форм выбраны контактные формы, это уравнение Пфаффа эквивалентно системе уравнений с частными производными, которую мы называем системой Бэклунда. Примеры отображений Бэклунда при условии dim Э =1 можно найти в [8].
3.2. Наряду со связностями Бэклунда в расслоениях с 1-мерными типовыми слоями можно изучать связности Бэклунда в расслоениях с 2-мерными типовыми слоями. Можно, в частности, рассматривать связность Бэклунда в расслоении L2 (*RkЯ), где - 2-мерное векторное пространство представления группы SL(2) (то есть пространство векторов 2-мерного эквицентроаффинного пространства).
к
случае будем называть отображением Лакеи.
В случае, когда в качестве главных форм выбраны контактные формы, система уравнений Пфаффа, определяющая отображение Лакса, эквивалентна системе уравнений с частными производными, которая имеет (при x1 = x, x2 = t) следующий вид
2 а а
а 2а (12)
(Y1)t = --72Y1-7i2Y2,
2 а а
СY2)t = -ll2Yl+l-l2Y\
а 2а
Можно убедиться, что для уравнения Кортевега-де Фриза z2 + 6z • z1 + z111 = 0 система (12) эквивалентна системе
Ухх = (c - z)y,
yt = Zxy - (4c + 2z)yx, известной под названием «пара Лакса».
Замечание 2. Сравним предложенный в разд. 2 (пример 4) метод построения солитона уравнения Кортевега де Фриза с методом обратной задачи рассеяния [9, 10].
По существу метод обратной задачи рассеяния это метод построения соли-тона при помощи но связности, определяющей представление нулевой кривизны (определенной в главном расслоении *R2И), а связности Лакса (определенной в ассоциированном расслоении L2 (*R2H)) . Этот метод представляет собой сложную процедуру, состоящую из нескольких этапов (включая, в частности, решение интегрального уравнения Гольфанда Левитана Марченко).
Заметим, что в случае, когда нам известно «представление Лакса для уравнения Кортевега де Фриза» (то есть система (13), эквивалентная системе (12)), нам одновременно известна специальная связность, определяющая представление нулевой кривизны для этого уравнения. Следовательно, можно построить солитон при помощи этой связности, и нет необходимости применять метод обратной задачи рассеяния.
Summary
А.К. Rybnikuv. Creation of Solit.ons for Sine-Gordon and Kort.eweg de Vries Equations by Means of Connections Defining the Representations of Zero Curvature.
It is possible to create traveling wave type solutions (and in particular solit.on solutions) of partial differential equations by means of connections defining the representations of zero curvature. In this paper we create the solit.ons of the sine-Gordon equation and the Kort.eweg de Vries equation. In the final section we compare the proposed method for solit.on creation with the inverse scattering method. We systematically use the Cart.an Laptev invariant, analytic method in the work.
Key words: connection in principal bundle, connection in associated bundle, connection defining the representation of zero curvature, differential equation, solit.ons, Backlund maps.
Литература
1. Евтушик JI.E., Лумисте ЮЛ., Ослтаиу Н.М., Широков А.П. Диффоропцнальпо-геометрические структуры па многообразиях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1972. Т. 9. С. 5 246.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275 382.
3. Лаптев Г.Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально- геометрических исследований // Труды 3-го Всесоюз. матем. съезда, М., 1956 г. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 3. С. 409 418.
4. Лаптев Г. Ф. Основные ипфипитезимальпые структуры высших порядков па гладком многообразии // Труды геом. семинара. М.: ВИНИТИ, 1966. Т. 1. С. 139 189.
5. Лаптев Г. Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Труды геом. семинара. М.: ВИНИТИ, 1969. Т. 2. С. 161 178.
6. Васильев A.M. Теория дифференциально-геометрических структур. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 190 с.
7. Рыбников А.К. О специальных связпостях, определяющих представление пулевой кривизны для эволюционных уравнений второго порядка // Изв. вузов. Матем. 1999. 9. С. 32 41.
8. Рыбников А.К. Отображения Вэклупда с точки зрения теории связпостей // Учен, зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2009. Т. 151, кп. 4. С. 93 115.
9. Абловиц М., Сигур X. Солитопы и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 с.
10. Новоклиенов В.Ю. Введение в теорию солитопов. Ижевск: Ип-т компыот. исслед., 2002. 96 с.
Поступила в редакцию 19.06.11
Рыбников Алексей Константинович кандидат физико-математических паук, доцепт механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Е-шаП: arybnikuvemail.ru
