Построение оптимальных опционных комбинаций Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ОПЦИОННЫХ КОМБИНАЦИЙ

а. а. Пузановский

Центральный экономико-математический институт рАН

Актуальность проблемы инвестирования на срочном рынке обусловливается ростом потребности в инструментах с повышенной доходностью и возможностью управления финансовыми рисками. именно производные финансовые инструменты позволяют обеспечить эти потребности. В условиях роста интереса к деривативам на отечественном рынке остро встает вопрос об эффективном использовании данных финансовых инструментов. с одной стороны, деривативы расширяют возможности инвестора как с точки зрения увеличения потенциальной доходности, так и с точки зрения управления финансовым риском. с другой стороны, деривативы усложняют сам процесс инвестирования, привнося тем самым дополнительные риски (операционные, ликвидности, модельные и др.). Примеры недооценки рисков, связанных с процессом инвестирования на срочном рынке, широко представлены в истории развития западных компаний. Вошедший в учебники по риск-менеджменту пример финансовой катастрофы компании Metallgesellschaft [1, 6] меркнет по сравнению с мировым кризисом ликвидности, развивающимся на наших глазах. Причины кризиса ликвидности во многом связаны с недооценкой кредитных рисков на ипотечном рынке сША, а также непрозрачностью широко используемых кредитных деривативов. данные исторические примеры четко указывают на необходимость строго контролировать риски при использовании производных финансовых инструментов.

к процессу инвестирования на финансовом рынке можно подходить с разных точек зрения, но так или иначе инвестору все равно приходится столкнуться с задачей оптимального распределения капитала между различными инструментами.

В данной статье задача распределения капитала на финансовом рынке сужается до задачи распределения капитала на рынке опционов и базовых активов. При этом на рынке опционов можно выделить следующие основные стратегии инвестирования: динамическое управление портфелем, торговля волатильностью, построение опционных комбинаций. динамическое управление портфелем предполагает управление портфелем опционов так, чтобы выполнялись определенные условия оптимизации портфеля (максимизация функции полезности, максимизация ожидаемой доходности), а также ограничения (например, на безубыточность портфеля). торговля волатильностью предполагает построение портфеля, чувствительного к изменению подразумеваемой волатильности и нейтрального к изменению цены базового актива. Построение опционных комбинаций предполагает, что инвестор обладает прогнозом поведения цены базового актива и уровнем допустимого риска. на практике инвестор обладает определенным арсеналом стандартных опционных комбинаций, применяемых в зависимости от прогноза. стандартные комбинации не построены на основе решения определенных оптимизационных задач. Они позволяют учитывать направление движения рынка, направление движения волатильности рынка, но при этом не способны оптимально учитывать количественные выражения этих характеристик рынка1. В данной статье предполагается, что инвестор ищет оптимальную, с точки зрения выбранного критерия, опционную комбинацию. В качестве критерия оптимальности выбран критерий риск-доходность.

1 т. е. можно подобрать стандартную комбинацию для растущего рынка (например, «спрэд быка»), но она может быть неоптимальной при росте рынка, например на 5 %.

финансы и кредит

39

Выбор данного критерия обусловливается простотой его экономической интерпретации2.

В последующем формулируется алгоритм оптимального инвестирования, формулируется задача оптимизации опционной комбинации в общем виде, приводится описание процедуры стресс-тестинга построенных портфелей, а также проводится сравнительный анализ оптимальных опционных комбинаций со стандартными опционными комбинациями.

Алгоритм оптимального инвестирования с использованием опционных комбинаций. Прежде чем перейти к формулировке оптимизационной задачи, необходимо сформулировать общий алгоритм инвестирования, в рамках которого решается оптимизационная задача.

Алгоритм инвестирования. Начальный момент времени:

1. Определение множества инструментов I = ([с, I р ) состоит из следующих шагов

• выбор набора базовых активов В = I

• выбор набора дат исполнения Т =

• выбор набора страйков

' I»

b2,.... ъп) T1. T2,.... Tk )

X =

(П..

x2

' . ym+\ у m+ 2 ъ ,Xb2 , Xb2 ,

, X

, XП

ХП

Щ- - Ъ

определение подмножеств опционов колл 1С и пут 1р :

Ic =

T.xb ' T .х2

. c.

m+1

c

T.xm' т..Xb

X xm!

2m

. CT v 2 m t T1. Xb2

опционов, из которых впоследствии строятся более сложные опционные конструкции (комбинации). Количество возможных опционов будет равно 2ктп . Необходимо отметить, что портфель может состоять не только из длинных позиций по инструментам множества I = (сС, I р ), но и из коротких позиций по тем же инструментам, что будет отражаться отрицательным значением доли инструмента в портфеле.

2. Формулировка оптимизационной задачи исходя из выбранного критерия оптимизации (например, минимизация риска для заданной доходности).

3. Нахождение оптимального портфеля для выбранного критерия.

Для каждого нового момента времени дальнейшие шаги могут быть различными. Если инвестор получил удовлетворяющую его доходность, то он может закрыть позиции, пересмотреть свои прогнозы по рынку и снова повторить шаги 1 — 3. Если по истечении момента времени доходность не получена, то инвестор может подождать до следующего момента времени в надежде на улучшение ситуации. для принятия решения о закрытии или об удержании позиции необходимо руководствоваться «греками» полученного оптимального портфеля, а именно дельтой, гаммой и тэтой (вега не учитывается, так как

по условию оп-

т. xnm:

nm+1 CT2. Xh'

nm+2

Ip = [p1. xb ' pTi.X?

.pm+1 m 'FT. xm

.Pm+ 2 m 'ft. xm

P 2m ' PT.. x?

pnm+1 pnm+2

'rT X1 ' LT X2 T 2 .Xb T2.Xb1

где п — количество видов базовых активов;

k — количество различных дат исполнения опционов;

т — количество различных страйков (цен исполнения) для каждого опциона, т. е. предполагается, что для всех опционов торгуется одинаковое количество страйков, равное т;

b1. T1. Xb1. т

опцион колл на базовый актив b1 ,

1'" Ь],т л

датой Т| и страйком Хът , соответствующим Ь и Т1;

р] „ „1 — опцион пут на базовый актив Ь ,

ъ1,т1,ХЬ1,Т1

датой Т1 и страйком ХЬ1 Т , соответствующим Ъ и Т .

Для краткости записи у элементов подмножеств !с и ^ опускались индексы базовых активов Ъх п. Построенное множество I=к' IV)

является множеством базовых (элементарных) инструментов, т. е.

тимизации она равна нулю).

Постановка задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде. Для выполнения второго шага алгоритма инвестирования необходимо сформулировать задачу оптимизации портфеля опционов для заданного критерия оптимизации. Сформулируем данную задачу в общем виде:

Пусть существует портфель позиций опционов (в долях):

Ц 3 (ЦЦса11 , ЦрШ, ЦЪа™),

где ЦсаП, Цри( — трехмерные матрицы долей опционов колл и пут в общем портфеле Ж;

— вектор долей базового актива опционов в общем портфеле Ж

Размерность матриц Цса11, Wput равна п х т х к , а длина вектора ЦЪа!,. равна п. Элементы данных матриц обозначаются следующим образом:

w.

, call

2 Более сложные подходы к оптимальному инвестированию (с точки зрения максимизации ожидаемой полезности) рассмотрены, например, в [7, 10].

w

. j. i — элемент матрицы Wc

— элемент матрицы

call

put

i. j.l

, basis

ри

w

— элемент вектора Цъ

basis

2

m+ 2

m

T . X

начальные средства для инвестирования равны C, известно множество цен опционов P 3 (Pcaii'Pput'Pbasis) и множество размеров гарантийного обеспечения М з (Лсап,мputМbass) для коротких позиций по опционам и базису:

— элемент матрицы гарантийного обес-

m

call

печения опционов колл Mcall;

m^jj — элемент матрицы гарантийного обеспечения опционов пут Mput.

необходимо отметить, что размеры гарантийного обеспечения могут изменяться на каждом новом моменте времени процесса инвестирования. В случае их изменения необходимо использовать новые значения гарантийного обеспечения, в противном случае результаты оптимизации будут неадекватными, т. е. для каждого нового момента времени необходимо обновлять множество M.

для получения денежного выражения элементов множества ^необходимо каждый его элемент умножить на C:

w ^ (wcall wput1;

m — V m ' m /

call call call

C ' Wi,j,l = Wm;i,j,l eWm — матрица позиций

опционов колл в денежном выражении;

C ■ wj = wpmuihhl e wmut — матрица позиций опционов пут в денежном выражении.

Поскольку в дальнейших расчетах потребуется использование «греков» опционов, которые рассчитываются для каждого опциона, необходимо получить количественное выражение позиций:

W Vcall, Wput) — множество позиций опционов колл и пут в количественном выражении (штук контрактов);

W.

call

q;i. i.l

C ■ Wj

4,j,l с ■ wj

m

call

i,i,l

wj > 0

wj < 0

wcaU.,

call

' q

элемент матрицы позиций опционов

c

колл Wq в количественном выражении,

С1 е Рса11 — элемент множества цен покупок опционов колл, соответствующий /-му базовому активу со страйком Xи датой исполнения Т ;

С ■ МгЛ ,

> 0

w

put _

q.-ij'^ =

РЩ

C ■ wj

m

wPuL, — .

put i,j,l

,w' < 0

— элемент матрицы позиций опционов пут Црг" в количественном выражении;

рил, 1 е Рри( — элемент множества цен покупок опционов пут, соответствующий /-му базовому активу со страйком Х}- и датой исполнения Т .

ковариационную матрицу логарифмических доходностей базовых активов опционов обозначим через £ , порядок данной матрицы равен п.

Для расчета показателя VaR, использовался метод дельта-гамма с разложением корниша-Фише-ра. Для портфеля с известными Д, Г и факторами риска, распределенными нормально с параметрами (0, £), можно найти:

Е(Д/)= 1 ^ [Г£]— математическое ожидание изменения стоимости портфеля;

0(Д/)=8Т£8 +1 ^ [Г£]2— дисперсия изменения стоимости портфеля, где

8 =

(f, Л

dS1 1

Г =

dS1 n

iL

öS,2

Л

Si2

0

dS2

S2

или более подробно

( m к

Si ■YL('Cq%.ll i=i l=i

8 n =

+ w,

S

m к ,

i.call \call

■ЪЪ дщ

+ w,

S

...i=1.1=1. m к /

■Ъ Ъw

j=i l=i

call

call

Iw..... • ; + w

' q;n.j.l n.j.l q

rnt дput )

mt дput )

mt \put I ;n.j.lД n.j.lj

m к , ч

Si2 ■zztei гщ+wprntjj гщ )

j=i l=i

m к ,

'■■ъ ъ fe

/ , / , \q;i,i,l i.i.l j= l =

put г Рut I

q; i.i.l i.i 1 /

m к ,

'■■Ъ Ъ w

i=1 l=1

recall put p put q;n,i,lГп,Щ,1 wq;n.i,l n.j.l;

0

0

У nx 1

nxn

У nx 1

0

0

Гп =

0

S

0

0

0

S

финансы и кредит

41

AcПи l — дельты опционов колл, Ар"', — дельты

'■>' п, J,1

опционов пут;

Г call г put

-п, j, i — гаммы опционов колл, гп. j. 1 — гаммы опционов пут;

£ — ковариационная матрица доходностей базового актива опциона;

tr[...] — обозначает след матрицы, т. е. сумма элементов главной диагонали матрицы. Af - E(Af)

Введем X = -

, тогда моменты

VDAf)

можно найти по следующей формуле [5]:

r > 3

1 r! ST ЩГ1]r 8 +1 (r -1)! tr [rs]r

E( Xr) =

D{6f )i Найдем E(X3) и E(X4): X338TE8[rz]8 + tr[n]3

E

-36 (24 - 5z„|E

)E (X3 ))2.

Vegan =

Vegan =

m к

ZZWiabVegaj + wjegaPUl) j=1 1=1

m к * -v

ZZWca11,iVegaj + wpUjiVegaPUti) j=11=1......................................................

m к s v.

YlSwtUVegaj + wjegaj )

v j=1 1=1

Задача оптимизации опционной комбинации выглядит следующим образом: VaR(Wmin,

R(W) = r

Vegan =0

n m k

zzz

_i=1 j=1 г=1

, (1)

wj\ +1wPu'\ + U™*

t,j,l\ 1 z, j,l 1 z

= 1

0(Д/

X 4 )_ 125т Е8[ГЕ]2 8 + Э^Г!]4 1 о(д/)2 .

Разложение Корниша-Фишера для четырех моментов будет выглядеть следующим образом:

- га + 6(га2 - 1)е(X3)+ ^(г3 -Эга)Е(X4)-

где Ж) — показатель риска Ю^К для портфеля Ж;

— веса позиций опционов колл в портфеле;

w

call i.j.l

w

put _

i, j,l

где — квантиль нормального стандартного распределения уровня а.

Показатель VaR с доверительным уровнем (1 — а) может быть получен по формуле [9]:

ГаЯ = га 40(Д/) + Е(Д/)

Для формулировки одной из систем ограничений необходим вектор VegaП. Структура данного вектора выглядит следующим образом:

/

Эаг /

д

V п Упх1

где /— функция стоимости портфеля опционов, ст;. — волатильность опциона с г'-м базовым активом. Тогда для портфеля опционов вектор VegaП будет следующим:

веса позиций опционов пут в портфеле; Я(Ц) — функция доходности портфеля Ж; г — необходимая доходность (задается инвестором);

VegaП — вега портфеля.

Проведение стресс-тестинга. Необходимо отметить, что показатель VaR не отражает максимально возможных потерь, он указывает лишь на наиболее вероятные потери. Поэтому для выявления экстремальных убытков и для получения более полной картины того, какими могут быть убытки по выбранному портфелю, необходимо использовать процедуру стресс-тестинга3 [2].

В данной статье в качестве стрессовых сценариев поведения рисковых факторов использовались диапазоны движения доходностей базовых активов и подразумеваемых волатильностей. Для доходностей был выбран отрезок [-0,2; 0,2], для волатильностей — [0,2; 0,7]. Выбор данных отрезков обусловлен историческим поведением цен базовых активов и подразумеваемых вола-тильностей опционов на эти активы в периоды кризисов на отечественном рынке. Для оценки максимального убытка (в рамках определенного выше стрессового поведения риск-факторов) минимизировалась доходность портфеля с учетом описанных выше диапазонов. Формально данную задачу можно записать следующим образом:

3 Модели оценки опционов с учетом стрессовых состояний

рынка рассмотрены в [3, 8].

r(w ) ^ mm

Г- 0,2 < r < 0,2 i = 1,2 [0,2 < аг < 0,7

где R(W) — функция доходности портфеля W, Г — доходность /-го базового актива, CTi — подразумеваемая волатильность опционов на /-й базовый актив. сравнение оптимальных портфелей (комбинаций) со стандартными опционными комбинациями. Построив набор оптимальных портфелей, проведя процедуру бэктестинга выбранных моделей и убедившись в их адекватности, далее сравним некоторые оптимальные портфели со стандартными опционными комбинациями и построим эффективные границы. Сравнение оптимальных портфелей производилось с опционными комбинациями и единичными опционами, которые используются при ожидании роста цен базовых активов. К данным комбинациям относятся4:

1) длинный опцион колл (long call);

2) короткий опцион пут (short put);

3) длинный стрэддл (long straddle);

4) длинный стрэнгл (long strangle);

5) бычий спрэд колл (bull call spread);

6) бычий спрэд пут (bull put spread);

7) бэкспред колл (call backspread). Доходности и риски данных стандартных комбинаций различны, что делает необходимым поиск

Парето эффективных комбинаций. В качестве критерия сравнения использовались дневная доходность, показатель VaR в относительном выражении, максимальный риск в относительном выражении. Расчет доходности комбинаций проводился на основе дневного прогноза роста цен базовых активов на 1 %. Под оптимальной комбинацией понимается портфель опционов и базового актива, полученный из решения задачи (1). Результаты сравнения опционных комбинаций на 13.02.2006 представлены ниже (табл. 1).

Из табл. 1 видно, что по дневной доходности бычий спрэд пут доминирует над комбинациями стрэддл, стрэнгл и бэкспрэд колл (выделены жирным). Эффективная кривая будет выглядеть следующим образом (рис. 1).

Построенная на основании табл. 1 эффективная кривая включает в себя недоминируемые стандартные комбинации и одну оптимальную комбинацию. Рассмотрим, как изменится эффективная кривая, если она будет полностью состоять из оптимальных комбинаций. Для построения новой эффективной кривой необходимо для каждого значения доходности доминирующих комбинаций из табл. 1 построить оптимальную комбинацию. Результат данного построения приведен в табл. 2.

Сравним обе эффективные кривые (рис. 2).

Как видно из рис. 2, оптимальные комбинации доминируют над стандартными комбинациями, т. е. полученное по оптимальным портфелям значение риска меньше, чем у стандартных комбинаций

Таблица 1

Наименование комбинации Однодневный 95 %-ный VaR, % Дневная доходность, % Максимальный риск, % Стресс сценарии, %

Pi Pi ст2

Длинные коллы -31,64 5,26 -99,61 -20 -20 20 20

Короткие путы -65,23 8,95 -430,85 -20 -20 70 70

Стрэддл -11,12 1,42 -66,86 -1 -16 20 20

Стрэнгл -11,29 0,75 -75,78 1 -14 20 20

Бычий спрэд колл -4,61 0,79 -18,55 -20 -20 20 20

Бычий спрэд колл -6,89 1,54 -42,09 -20 -20 20 20

Бэкспред колл -7,97 1,45 -30,81 1 -16 20 20

Оптимальный портфель 3 -23,74 5,00 -133,31 -20 20 20 20

Таблица 2

Наименование комбинации Однодневный 95 %-ный VaR, % Дневная доходность, % Максимальный риск, % Стресс сценарии, %

P1 P2 СТ2

Оптимальный портфель 1 -0,11 0,79 -4,00 -20 -3 70 20

Оптимальный портфель 2 -4,84 1,54 -19,47 -20 -20 70 20

Оптимальный портфель 3 -23,74 5,00 -133,31 -20 20 20 70

Оптимальный портфель 4 -29,37 5,26 -157,67 -20 -20 20 70

Оптимальный портфель 5 -41,18 8,95 -269,58 -20 -20 70 20

4 Более подробно различные опционные комбинации рассмотрены в [4, 11].

Эффективная кривая (на 13.02.2006)

Риск, %

■Стандартные комбинации # Неэффективные комбинации

Рис. 1

2006)

0 I ■ ■ ■ ■ ■ | ■

0 10 20 30 40 50 60 70

Риск, %

.Стандартные комбинации - -ь- - Оптимальные комбинации Рис. 2

Эффективная кривая (на 23.01.2006)

Риск, %

•Стандартные комбинации - - Оптимальные комбинации

Рис. 3

при том же уровне доходности. Уровень максимального риска по оптимальным опционным комбинациям также оказывается ниже, чем у стандартных комбинаций, что лишний раз подтверждает необходимость построения оптимальных комбинаций.

Аналогично тому, как строились эффективные кривые для 13.02.2006, далее построены эффективные кривые для 23.01.2006 и 07.03.2006 (рис. 3 и рис. 4 соответственно). Эти три даты выбраны таким образом, чтобы примерно соответствовать началу, середине и концу жизни опционов (считая от даты инвестирования), используемых при инвестировании.

Рисунки 3 и 4 показывают, что и для других дат, когда «греки» используемых опционов значительно отличаются от первоначальных (на 13.02.2006), общая картина сохраняется — оптимальные комбинации доминируют над стандартными комбинациями. Что в очередной раз подтверждает состоятельность предложенного подхода к построению оптимальных комбинаций в рамках изложенных условий и ограничений.

Таким образом, как видно из приведенного вычислительного примера, предложенный подход к построению оптимальных опционных комбинаций позволяет решить задачу распределения капитала с точки зрения критерия «риск-доходность». Применяя данный подход, инвестор может в достаточно короткий срок получить математически обоснованный результат по распределению капитала между опционными контрактами и их базовыми активами. Получаемые оптимальные опционные комбинации обладают лучшими соотношениями «риск-доходность», чем стандартные опционные комбинации, поскольку оптимизация портфеля производится под конкретный вектор прогнозных доходностей базовых активов. В то же время, задавая не один вектор прогнозных доходностей, а набор таких векторов, и получив при этом соответствующий набор оптимальных портфелей, комбинируя полученные

20 л 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

портфели, можно впоследствии более гибко подстроиться под возможное поведение цен базовых активов. К недостаткам данного подхода можно отнести большой объем вычислений при большом количестве инструментов, а также необходимость оценки большого количества параметров (ковариаций, греков) что, естественно, увеличивает время вычислений. Частично данный недостаток можно ликвидировать с помощью методов упрощения опционных портфелей, заменяя несколько схожих опционов одним опционом.

Таким образом, предложенный подход является одновременно простым и гибким механизмом, способствующим оптимальному использованию капитала на рынке опционов.

Литература

1. Digenan J., Felson D., Kelly R., Wiemert A. Metallgesellschaft AG: A Case Study, Illinois Institute of Technology: Stuart School of Business, 2004.

2. Einmahl John H. J., Foppen Walter N., Laseroms Oliver W., Casper G. de Vries, VaR stress tests for highly non-linear portfolios, Journal of Risk Finance, 2005. P. 382 - 387.

3. Harvey Campbell R., Whaley RobertE. Department of Economics University of California, Market volatility prediction and the efficiency of the S&P 100 index option market, Journal of Financial Economics, 1992. No. 31, p. 43 - 73, North-Holland.

4. Hull John C. Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall, 1997.

5. Javanainen Timo. Analytical delta-gamma VaR methods for portfolios of electricity derivatives,

Сравнение эффективности стандартных комбинаций с оптимальными (на 07.03.2006)

30 Риск, %

-Стандартные комбинации - ■

Рис.4

- Оптимальные комбинации

Helsinki University of Technology Department of Engineering Physics and Mathematics Systems Analysis Laboratory, 2004.

6. Jorion Philippe. Value at risk (The new benchmark for managing financial risk), 2-nd edition. McGraw-Hill, 2000.

7. Korn R., Trautmann S. Optimal control of options portfolios and applications, OR Spectrum — Quantitative Approaches in Management, 1999. Vol. 21, No 1 — 2, p. 123 — 146.

8. Malz Allan M. Vega risk and the smile, The RiskMetrics Group, journal of risk, 2001. Vol. 3, number 2.

9. Mina J., Ulmer A. Delta-Gamma Four Ways, RiskMetrics Group, 1999.

10. Schachermayer W. Optimal Investments in Incomplete Financial Markets, Vienna University of Technology, 2001.

11. Галанов В. А. Производные инструменты срочного рынка. М.: Финансы и статистика, 2002.