Построение математической модели кинематики и динамики обрабатывающего станка Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

удк 681.51 С. А. КОГУТ

А. А. СИМАКОВ А. Т. КОГУТ

Омский государственный университет путей сообщения

ПОСТРОЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ОБРАБАТЫВАЮЩЕГО СТАНКА_

В статье рассматриваются вопросы получения математического описания кинематических и динамических процессов, протекающих в многосвязных системах деревообрабатывающего станка. Получены в терминах переменных состояния структурные модели автономных каналов, с помощью которых можно осуществлять синтез систем управления.

Станки с числовым программным управлением типа «Мастер» разрабатываются в ОмГУПСе с 1997 г. Первые варианты отличались оригинальностью конструкции [ 1 ] и применялись в качестве деревообрабатывающих, что и вызвало применение асинхронных двигателей, в том числе в последующих модификациях. В настоящее время эксплуатируется четвертый промышленный вариант станка, являющийся базовым. Он позволяет осуществлять пять независимых управляемых перемещений. Все электрические приводы имеют одинаковую конструкцию, обеспечивая высокую унификацию узлов и ремонтопригод-I ность станка. Регуляторы каждого привода реализу-

ют согласованное управление движением рабочего органа в соответствии с программной траекторией, заданной оператором и хранящейся в памяти ЭВМ [2]. Первоначально, входе доводки конструктивных и схемотехнических решений, доработки аппаратного и программного обеспечения комплекса, регуляторы обеспечивали реализацию детерминированного алгоритма, достаточно хорошо зарекомендовавшего себя в деревообрабатывающих станках [3].

В настоящее время разработан и проходит натурные испытания адаптивный алгоритм прямого оптимального управления асинхронными электроприводами, позволяющий расширить область и эффектив-

Рис. 1. Базовая модель деревообрабатывающего станка.

ность применения комплекса «Мастер». Это потребовало решения задач структурной и параметрической идентификации, выбора и обоснования закона формирования регулирующих воздействий, а также применения рекурсивных процедур текущего оценивания параметров динамических моделей механических нагрузок электропривода. Получен достаточно большой экспериментальный и теоретический материал, изложить который в одной статье невозможно, поэтому в данной работе рассматривается только решение вопросов структурной идентификации, связанной с выбором вида математических моделей, получением условий описания станка автономными моделями и возможностью использования линейных приближений.

Общий вид базовой модели деревообрабатывающего станка «Мастер» приведен на рис. 1, где используются следующие обозначения:

1 — узел крепления рабочего органа. В базовом варианте — фреза, ось вращения которой располагается в горизонтальной плоскости, приводимая в движение асинхронным приводом.

2 — манипулятор рабочего органа, позволяющий инструменту совершать три поступательных перемещения — вдоль осей, параллельных Ох, Оу Ог, а также одно вращательное — вокруг оси Ог (в горизонтальной плоскости).

3 — заготовка и модуль ее поворота. Она ориентирована вдоль оси, параллельной Ох.

4 — задняя бабка станка, которая совместно с модулем поворота заготовки и обеспечивает фиксацию положения изделия в пространстве.

5 - основание станка, состоящее из двух вертикальных станин, фиксирующих два параллельных горизонтальных узла основания, ориентированных вдоль оси Ох. Каждый горизонтальный узел основания состоит из двух вспомогательных цилиндрических направляющих, располагающихся параллельно Друг другу, соединенных узлом фиксации с помощью сварки. Между вспомогательными направляющими Расположен стальной стержень, являющийся основной направляющей для манипулятора рабочего органа. Направляющая фиксируется боковыми стойками с помощью резьбового соединения, обеспечивающего продольное натяжение стального стержня.

6 — управляющая ПЭВМ, на которой установлено программное обеспечение, позволяющее создавать программы управления рабочим органом и состоянием различных устройств станка (привод фрезы, Устройства вентиляции и т.п.), формирующее зада-

Рис. 2. Кинематическая схема станка.

Рис. 3. Общий вид манипулятора.

ющие воздействия для каждого привода системы, контролирующее процесс управления.

Целью управления является обработка поверхности изделия с заданной точностью. Объект управления представляет собой достаточно сложную многосвязную систему, которую обычно представляют как группу взаимосвязанных подсистем [4, 5].

Для получения математической модели, описывающей движение механической части станка, введем, как это делается при проектировании манипуляторов и роботов [6], вектор обобщенных координат я(I), отдельные составляющие которого приведены на кинематической схеме, показанной на рис. 2. Соответствие элементов кинематической схемы узлам ма-

нипулятора отображено на рис. 3. Первые три основные кинематических пары Т,, Т2 и Т3 осуществляют поступательные перемещения на величины qí, д2 и д3 в трех направлениях. Четвертая кинематическая пара Т4 является ориентирующей, поворачивая рабочий орган на угол д4. Звено Т5 осуществляет поворот заготовки на угол д5 вокруг оси, параллельной оси Ох. Параметры 7Э1, У32 и 14 являются технологическими константами. Базовая точка рабочего органа манипулятора 04, пространственные координаты которой являются целью управления, совпадает с режущей кромкой обрабатывающего инструмента. Координаты д6, д7 и дв учитываютвоздействие колебаний основания на манипулятор системы.

Модель динамики механической части комплекса «Мастер» относительно обобщенных координат q= ( = } в матричной форме может быть записана:

А(Ч) д + В(ч, д) + С(ч) = О - Ос

(1)

В формуле (1) матрица инерционных коэффициентов была получена в виде

А|Ч) =

м, м, 0 0 0 0 -я, о4

м, К 0 0 0 0 -Я, 0

0 0 м2 м2 0 0 -«2 0

0 0 мг 0 0 -«2 0

0 0 0 0 Мз Ма 0 0

0 0 0 0 Мз М„ 0 0

-К, -я2 -я, 0 0 мА 0

0 0 0 0 0 0 0 л

(2)

вектор кориолисовых сил —

в(фч) = (я2?<2 адЧ-л,^2 --^<742 | 0 0 | 0 | оУ

вектор сил и моментов сил тяжести —

С(ч) = (О О I О 0 | М3д М0д | 0 | 0)г векторы обобщенных сил —

.............К,а.............

-Ь,(ч)дя-с,(ц] д8

..........................

(3)

(4)

0

М.Н2

;ос = 0

М.НЗ 0

/

(5)

Рис. 4. Система приводов станка.

с,, Ь , г = ТТз — коэффициенты упругости и вязкого трения.

Модель (1) содержит обобщенные силы, соответствующие работе моментов исполнительных двигателей МдР которые, в свою очередь, зависят от вектора задающих управляющих воздействий {ч*

I = ТТз} -

Деревообрабатывающий станок можно рассматривать как систему приводов, приведенную на рис. 4. Тогда модель динамики исполнительных двигателей описывается следующим уравнением [7]:

(6)

где ф = (р, <р2 <ръ <рл <з5)т — вектор углов поворота приводов;

Л — диагональная матрица инерционных коэффициентов;

М,( = {(&„,д, -кП1щ); / = 1,5} — вектор моментов исполнительного двигателя;

( ' - \

М„=<

1

К

/(им

X,

<р,

<Р, и

\ 1>е<11

■ -

моменты нагрузки на его валу;

кт1 , кп! — коэффициенты усиления и внутреннего демпфирования исполнительного двигателя; К^. — коэффициент редукции и преобразования вращательного движения в поступательное; кг XI ~ коэффициенты жесткости и вязкого трения механических передач между звеном манипулятора и исполнительного двигателя.

Выражение для момента электропривода М ., входящего в формулу (5), имеет вид:

М„

'-XI

м„

где М, = £ т), / = 1,4; М0 = М, + ти;

1=1

т. - масса /-го звена, соответствующего кинематической пареТ^ тГ1 — масса основания; Я, = т4/4 со«д4, = я/лд4 ; — момент инерции звена Т3 относительно оси Ох; , г = ТТЗ — моменты электроприводов, приводящих в движение мех. систему;

М(:,„ | г = ТТЗ — приведенные моменты сопротивлений этих приводов;

<Р,

К

V №9'

-я,

+ к,

% к

V и'

1 = 1,5

Объединим модели (1) и (6) в форме принятого в теории управления аппарата переменных состояния [4, 6]. Для рассматриваемого объекта размерность системы уравнений переменных состояния п = 26. Введем векторы:

— переменных состояния

: = (х

14

гт

Г(У

х"М<г, <7, Ян ял <л Ф,)

х'2' = (Я2 <72 Я7 <77 <Рг Фг)

х'' =(Ч:1 Я, Яг, Я-., Ч>, Ф>)

х"' = {Я4 Я А <Ра ФА) =(?.■> Я 5 <Рг, Фь)

— управляющих воздействий

и = (и™ и'2' и'3' и'4' и'5')г и"' = (д,' 0 0 0 0 0)

и'2' = (<72' О О О О О)

и':,; = ((7з' О О О О О) им' = (д/ ООО) и'5' = (д5' О О 0)

— внешних возмущений

£1*1 £/5)

4"' = (М,„, ООООО) 4т={М„а ООООО) ООООО)

£мЧм»„< 0 0 0) *'Мм,115 0 0 0)

Математическая модель представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение вида

x = A(x)x + Bu + F(x,t) + E(x)4-

(7)

Системная матрица А(х) имеет следующую структуру:

А(х) =

А„ А,, 0 А|4 0 ^

А21 Ая 0 д л2 А 0

0 0 A;in 0 0

А„ А<2 0 А« 0

0 0 0 0 А и,

(8)

Матрицы связи со входом В(х) и с внешними возмущениями Е(х) являются блочно-диагональными. Вектор F(x) описывается выражением:

F(x) = (F, F2 0 0 0)т

F, =1 о 0 0 0 0

Д

F2 = | о ^¿-{M.M.-R^-R,2) 0 0 0 0

(9)

д

где D0 = М,М2М4 - R,2M2 - Л22М,.

Элементы вектора F(x) зависят от величин R, и R2, которые определяются формулами:

Ri cos х1У, R2 = rnJt sin хи,

Технологическая константа / — расстояние между осью вращения и рабочей точкой инструмента (рис.5). Во всех последующих модификациях станка рекомендуется максимально уменьшать 14, поэ тому можно считать, что ¡4«0, а следовательно и F(x,t) = 0, и это позволяет исключить из модели (7) влияние ко-риолисовых сил на объект.

Рис.5. Манипулятор рабочего органа.

Ненулевые элементы диагональных матриц А (.(х), входящих в А(х), также зависят от R, и R2, поэтому при выполнении условия ¡/¡0 можно считать, А^х) = = 0 при tej и матрица А(х) станет блочно-диагональ-ной.

Таким образом, требование If 0 можно рассматривать как условие автономности каналов. Кроме того, если для упругих соединений, присутствующих в уравнениях механической части системы и исполнительных двигателей, принять гипотезу о неизменности коэффициентов упругости с,(х) = с( и вязкого трения ЬДх) = Ь-, то А(х) = А, Е(х) = Е и модель (7) будет являться линейной.

Окончательно, с учетом, что выходом j-ro канала уДZ) является наблюдаемый (измеряемый) угол поворота q>t, искомое математическое описание примет форму:

x'"=Ax"''+Bu"+E£w (Ю)

у,. = С,.х"' t = Q (11)

где А( = AlV; В( = В.(; Е. = Ej(. — диагональные блоки соответствующих матриц А, В и Е.

Векторы связи с выходом —

С, = (0 00 0 1 0);/ = 1,2,3;

С, = (001 0); ( = 4,5.

В статье на основе построенных кинематической схемы манипулятора и структурной схемы электрических приводов получены динамические модели для обобщенных координат, соответствующих механическим перемещениям рабочего органа и отдельных узлов деревообрабатывающего станка, которые с выполнением определенных технологических условий преобразованы в автономные, описывающие исходную многосвязную систему в виде переменных состояния.

Задачей дальнейших исследований является параметрическая идентификация, проводимая как с использованием данных, полученных из технической документации, так и при проведении экспериментальных исследований, а затем — синтез системы автоматического управления всеми приводами станка.

Библиографический список

1. Патент РФ 2109625. класс 6 В 27 С 9/10 / Чегодаев ф. В.. Казачков B.C., 1997.

2. Когут С.А Управление многокоординатыми устройствами произвольной конфигурации // Математическое моделирование и расчет узлов и устройств объектов железнодорожного транспорта: Межвуз.темат. сб. науч. тр. / Омск, Омский гос. ун-т путем сообщения, 2000. С. 33 - 38.22

3, Плотников Ю.В., Когут СЛ.. Элементы программно-аппаратного обеспечения станка с ЧПУ // Математическое моделирование и расчет узлов и устройств объектов железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омск, Омская гос. акад. путей сообщен™, 1997. С. 31—35.

4. Справочник по промышленной робототехнике: В 2-х кн. Кн. 1/Подред. Ш.Нофа;Пер.сангл. Д. Ф.Миронова и др.. — М.: Машиностроение, 1989. — 480 с.

5. МирошникИ.В, Согласованное управление многоканальными системами. — Д.: Энергоатомиздат, 1990. - С. 128.

6, Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов — М.:Высш.шк., 1986.— С. 264.

7. Борцов Ю.А., Соколовский Г.Г. Автоматизированный электропривод с упругими связями. — СПб,: Энергоатомиздат, 1992. — С. 288.

КОГУТ Станислав Алексеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».

СИМАКОВ Александр Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».

КОГУТ Алексей Тарасович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».

УДК 514 18:514 7 К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

ЭЛЕМЕНТЫ

КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КРИВОЙ ЛИНИИ_

Исследуется кинематика трехгранника Френе пространственной кривой при перемещении его вдоль кривой. Приведены уравнения подвижного и неподвижного аксоидов трехгранника. В качестве примера рассмотрена цилиндрическая винтовая линия. Для плоской кривой линии показано, что ее трехгранник описывает подвижный аксоид -плоскость и неподвижный аксоид - цилиндрическую поверхность с направляющей линией — эволютой.

В начертательной геометрии известны кинематические исследования плоской кривой, описываемой вершиной ее подвижного трехгранника, и применение этих исследований в задачах кинематической геометрии на плоскости [1]. В плане развития этих исследований рассмотрим некоторые аспекты кинематики пространственной кривой.

Трехгранник Френе (ТФ) пространственной кривой при перемещении вдоль кривой совершает сложное движение, мгновенная вращательная компонента которого описывается вектором Дарбу [2]:

ф) = <тг + кр, (1)

гд &з(Т0)<5<з(Т)-Т11<1<Т\ р = р(1) - параметрическое уравнение кривой; 5 = зЦ) - длина дуги кривой, описываемая функцией, допускающей обращение ? = Цз) ; г , р - орты касательной и бинормали соответственно, определяющих ТФ в данной точке; а и к -соответственно кручение и кривизна кривой в этой точке.

Предположим, что ТФ является абсолютно твердым телом. В таком случае к нему применима основная теорема кинематики [3], которая позволяет определить полное мгновенное движение ТФ. Компонентами этого движения являются: мгновенное вращательное движение, вектор (1) которого может быть преобразован к виду:

7n) = a*L- k*Lp dt dt

(2)

а также мгновенное поступательное движение, описываемое вектором

rM> = TtT

(3)

Сложение движений, описываемых векторами (2) и (3), приводит к мгновенному_винту (МВ) [4], осько-торого параллельна вектору г и удалена от него на

расстояние |рмв|, представляющее собой модуль вектора

— Го х г к Рл|д = -^-= ,

г er + к

(4)

где и - орт нормали кривой. Параметр этого МВ определяется следующим образом:

ГоГ а

г а + к

(5)

Угловое положение оси МВ относительно вектора определяется

1

cosiy = пег ; sinw = пк ; п~ / ,,

Ver + Jr

(6)

Непрерывное однопараметрическое множество осей МВ, образуемое при перемещении ТФ вдоль кривой, представляет собой подвижный аксоид (ПА1 в системе координат т,и,р и неподвижный аксоид