Построение листа Мебиуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М.А. Чешкова

Построение листа Мебиуса

M.A. Cheshkova

The Construction of the Moebius Strip

В работе устанавливается формула для задания листа Мебиуса с помощью 4п-периодической вектор-функции. Строятся примеры таких поверхностей, используя математический пакет.

Ключевые слова: лист Мебиуса, плоский лист Мебиуса, 4^-периодическая функция.

We establish a formula for the setting the Mobius strip with a 4^-periodic vector-function The examples of such surfaces are constructed using the mathematical package.

Key words: Mobius strip, flat strip of Mobius, 4n-periodic function.

Впервые уравнение неориентируемой поверхности, открытой Мебиусом, было получено Машке [1]. Если гауссова кривизна листа Мебиуса равна нулю, то он называется плоским. Библиография работ на эту тему дана в работе [2]. В работах [3-5] строятся пересекающиеся листы Мебиуса, указано разрезание бутылки Клейна на два листа Мебиуса.

В евклидовом пространстве Е3 рассмотрим гладкую замкнутую неплоскую кривую 7 без самопересечения, заданную 4п-периодической вектор-функцией р = р(у), которая не является

2п-периодической и 2п-антипериодической.

Так как

р(у) = р(у + 4п), (1)

то функция

в(у) = \(Р(у) + Р1(у)) (2)

где

Р1(у) = р(у + 2п)), (3)

есть 2п-периодическая, не равная нулю, а вектор-функция

1(у) = 1(р(у) - р1(у)) (4)

есть 2п-антипериодическая, не равная нулю. Рассмотрим линейчатую поверхность [6, с. 102]

М:

т(и,у) = в (у) + и1(у). (5)

Когда точка кривой в = в (у) завершит полный оборот, то прямая Ь = (в(у),1(у)) сменит направление на противоположное.

Рассмотрим вектор нормали п = [в'(у),/(у)] вдоль линии в = в (у). Если п = 0, то п = п(у) сменит направление на противоположное, когда точка кривой в = в (у) завершит полный оборот. Поверхность М в этом случае есть односторонняя.

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Если гладкая замкнутая неплоская кривая без самопересечения задается 4п-периодической вектор-функцией р = р(у), которая не является 2п-периодической и 2п-антипериодической, то вектор-функция т(и,у) = в (у) + и1(у), где 1(у) =

(Р(у) - Р1(у))1/2 , в(у) = (Р(у) + Р1(у))1/2, Р1(у) = р(у + 2п), определяет лист Мебиуса, для которого в = в (у) - средняя линия, а р = р(у) = т(1,у) -край.

Приведем несколько примеров построения листа Мебиуса.

Пример 1. Классический лист Мебиуса.

Рассмотрим вектор-функцию в Е3

р(у) = ((а + Ьсов( — )сов(у),

,,ку /ку

(а + Ьсов( — ))вгп(у),Ьвгп( — )). (6)

Если к - нечетное число, то вектор-функции: р(у)-4п-периодическая, в = в(у)-2п-периодическая, I = I(у)-2п-антипериодическая. Кривая (6 )расположена на торе [6, с. 101]

т(и,у) = ((а + Ьсов(и)сов(у),

(а + Ьсов(и))вгп(у),Ьвгп(и)). (7)

Уравнение

т(и,у) = ((а + исов( — )сов(у),

ку ку

(а + исов( — ))вгп(у),ивгп( — )) (8)

есть уравнение листа Мебиуса.

Если к = 1, то это уравнение классического листа Мебиуса, полученное Машке ([1] ), если нечетное к = 1 , то это уравнение перекрученного к раз листа Мебиуса.

Рис. 1. Классический лист Мебиуса и край на торе

Рис. 2. Перекрученный трижды лист Мебиуса и край на торе

Имеем

ку ку ку

I = (сов(-)сов(у), сов( — )вгп(у), вгп( — )). (9)

в = (асов(у), авгп(у), 0).

(10)

Замечаем, что средняя линия есть окружность, а из равенства (в'(у), 1(у)) = 0 следует, что образующие прямые пересекают среднюю линию ортогонально.

Используя математический пакет, построим эти поверхности (рис. 1, 2).

Пример 2. Лист Мебиуса-цилиндроид. Пусть кривая р = р(у) определяется в виде уу

р = (сов(у) + вгп(2), сов(2), вгп(у)). (11)

Тогда

у

р1 = р(у + 2п) = (сов(у) — вгп(^), (12)

у

—сов(2), вгп(у)), уу

1 = (вгn(2),coв(2)), 0). (13)

в = ((сов(у), 0, вгп(у)). (14)

Уравнение поверхности примет вид уу

т(и, у) = (сов(у) + ивгп(2), исов(2), вгп(у)). (15)

Средняя линия есть окружность, а из равенства [в'(у), 1(у))] = 0 следует, что поверхность односторонняя. А так как направляющий вектор I параллелен плоскости г = 0, то линейчатая поверхность (15) есть цилиндроид [7, с. 91]. Цилиндроид может быть задан двумя направляющими кривыми (лежащими на нем) и направляющей плоскостью (которой параллельны образующие цилиндроида)(рис. 3).

Пример 3. Лист Мебиуса E4. Рассмотрим кривую в Е4

р(у) = ((а + Ьсов( — )сов(у), (а + Ьсов( — ))вгп(у),

ку ку

Ьвгп( — )сов(у), Ьвгп( — )вгп(у)). (16)

Если к - нечетое число, то вектор-функции: р(у)-4п-периодическая, в = в(у)-2п-периодическая, I = I(у)-2п-антипериодическая. Уравнение

т(и,у) = ((а + исов( — )сов(у), ку

(а + исов( — ))вгп(у),

ку ку

ивгп( — )сов(у), ивгп( — )вгп(у)). (17)

Рис. 3. Лист Мебиуса-цилиндроид

Рис. 4. Плоский лист Мебиуса, средняя линия, край и поверхность, содержащая край

есть уравнение листа Мебиуса в Е4. Имеем I = (соз( — )соз(у), соз( — )зіп(у),

■ ^ . /ку ,

зт( — )соз(у),зт( — )зт(у)). (18)

в = (асоз(у), азіп(у), 0, 0).

(19)

Замечаем, что средняя линия есть окружность, а из равенства (з'(у), 1(у)) = 0 следует, что образующие прямые пересекают среднюю линию ортогонально.

Пример 4. Плоский лист Мебиуса. В работе [2] И.Х. Сабитовым рассмоторен пример плоского листа Мебиуса (рис. 4). Для этой поверхности

1 3у V

р(у) = (соз(у) + ззіп(—) — зіп(2)’

■/ л /V 1 3у

зіп(у) + соз(-) - -соз(—),

2' 3 4 2

(3у) 1 (

~~з( — )-------соз(

3 у 2 ; 5 12

1 /3^ 1 /5у

зт(у)соз(у) + -соз( — ) — -соз( — ) (20)

1 3у . у у 1 3у

I = ( — зт( — ) — зт( — ), соз( — )----соз( — ),

3 ^2У V’ V 3 12;’

1 ,3у, 1 ,5у.. ,

3соз(~2) — 5(21)

з = (соз(у), зіп(у), соз(у)зіу(у)). (22)

Рассмотрим поверхность (рис. 4)

г (и, у) = (соз(у) — зіп(и) + — зіп(у + и),

вгп(у) + сов(и) — 3 сов(у + и),

вгп(у)сов(у) + —(сов(у + и)------сов(2у + и)). (23)

3 5

Край (20) листа Мебиуса расположен на поверхности (23), где и = 2.

Если положим и = Щг, где к = 1 нечетное число, то получим уравнение края листа Мебиуса, для которого средняя линия задается в виде в = (сов(у), вгп(у), сов(у)вгу(у)). Однако этот лист Мебиуса уже не является плоским.

Библиографический список

1. Note on the unilateral surface of Moebius // Trans. Amer. Math. Sos. 1900. Vol. 1/1.

2. Сабитов И.Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мебиуса в эвклидовы пространства // Известия РАН. - 2007. - Т. 71, №5.

3. Чешкова М.А. О листе Мебиуса // Вестник Барнаульского государственного педагогического университета. - 2006. - Вып. 6.

4. Чешкова М.А. Самопересечение листа Ме-

биуса // Математическое образование в регионах России: тр. междунар. науч.-практ. конф. - Барнаул, 2007.

5. Чешкова М.А. О бутылке Клейна // Известия АлтГУ. - 2012.- №і/і.

6. Норден А.П. Теория поверхностей. - М., 1956.

7. Щербаков Р.Н., Лучинин А.А. Краткий курс дифференциальной геометрии. - Томск, 1974.

бб