Построение квазианалитического решения задачи о фильтрации однородной жидкости в пористой среде и его применение для получения формулы притока к горизонтальной скважине в ограниченном пласте Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Вычислительные технологии

Том 2, № 6, 1997

ПОСТРОЕНИЕ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКОГО

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ФИЛЬТРАЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ФОРМУЛЫ ПРИТОКА К ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СКВАЖИНЕ В ОГРАНИЧЕННОМ ПЛАСТЕ

А. И. Ибрагимов, А. А. Некрасов Институт проблем нефти и газа РАН, Москва, Россия

The stationary tributary of fluid to a horizontal well in a limited stratum is considered allowing for refluxes from the stratum to the well the influence of the stratum and well geometry on the pressure drop along the forehole. A new formula for the tributary to the horizontal well has been obtained.

Горизонтальные скважины (ГС) являются новой, очень перспективной технологией разработки нефтяных и газовых месторождений. Тем не менее при проектировании разработки месторождений с применением ГС возникают вопросы, хорошо изученные для вертикальных скважин и мало или совсем не изученные для горизонтальных. Одной из таких проблем является формула притока в случае стационарной фильтрации. В работах ЛоэЫ, Борисова, Пилатовского и др. (см. библ. в [5]) эта задача решается как суперпозиция плоских задач при условии постоянного давления вдоль ствола ГС, однако течение в пласте имеет существенно трехмерный характер и поэтому совсем не очевидно, что полученные таким способом решения будут верными.

Мы рассматривали вопрос о притоке к ГС в трехмерной постановке с учетом непостоянства давления вдоль ствола. При этом использовалась модель сопряженного течения М. Б. Панфилова [1], полученная из следующих предположений:

а) вязкости флюидов считаются близкими, конденсатонасыщенность мала;

б) в самой скважине постулируется уравнение Стокса для давлений и скорости;

в) в пористой среде течения подчинены закону Дарси Но=--grad р; из уравнения

неразрывности div(гy)=0 и закона Дарси следует Др=0, р=рпл — на контуре питания;

г) на стыке пористой среды и скважины задаются равенство давлений и соотношения для истинных скоростей в пористой среде и скважине, допускающие разрыв;

д) скважина представляет собой трубу произвольной конфигурации в трехмерном пространстве;

© А. И. Ибрагимов, А. А. Некрасов, 1997.

е) исходные данные: геометрия пласта (наличие кровли и подошвы), проницаемость по трем выбранным направлениям, пластовое давление и давление на закрепленном конце скважины, вязкость и плотность флюида как в скважине, так и в пласте. Система уравнений, описывающая эту модель, имеет вид

/ 2

К(я) =--тг (ж),

Те

1 ¿Р 8ТЛ. . 2 /. . ~~Г=^2 Кх(ж) +— тг (ж), ^ аж Т2 те

р(ж)=Р (ж)+2— [т^^Г (ж)-4т (ж)], 2Те

Р

=Ре

х=0

V=

2

Те

3(0; г с)

к др ^ дж

при ж=Ь.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь Б(0; те)={(ж1, ж2, ж3), ж^Ь, ж2+ж2<те}, т — скорость фильтрации в пористой среде, Р(ж)} — осредненное давление в стволе, УХ(ж)} — компонента осредненного вектора скорости вдоль оси ствола, тг (ж) — радиальная компонента вектора скорости на стенке ствола скважины, ^ — вязкость флюида, те — радиус ствола скважины.

Область течения П рассматривалась как сферический слой в шаре с радиусом контура питания, на верхней и нижней плоскостях (кровле и подошве) задано условие непротекания, на контуре питания и на скважине задано давление. В предположении, что пласт П однороден, а течения подчиняются закону Дарси (см. [2, 3]), имеем следующую систему уравнений для функции давления р(ж):

АР=0, жеП/Ш,

дР

дж1

Р =Р/с,

дР

Х1=0,

дж1

0,

Х1=Н

жедв П {ж : 0<ж1<Л,},

Р

Ре

(6)

Здесь Ш={ж : (ж1-а)2+ж2<те; 6<ж3<6+Ь}, те — радиус скважины, Ь — ее длина, плоскости ж1=^ и ж1=0 соответствуют кровле и подошве, рк — заданное давление на контуре питания дВ, ре — заданное давление на скважине Ш. Для простоты полагаем р=0, ре=1. В качестве приближения выбрано представление функции р(ж) в виде

N

РМ =

(7)

г=1

где ^ — дискретные точки, расположенные на оси скважины, а С(ж,£^) — функция Грина задачи

АС(ж,&) = 0 в П/&, (8)

дС(ж)

дж1

дС

Х1=Н

дж1

0,

(9)

Х1=0

_I_I_I_I___I_I_I_I_

О 1200 2400 3600 4800 6000 0 1200 2400 3600 4800 6000

Rk Rk

Рис. 1. Зависимость дебита ГС от ее длины (a), от радиуса контура питания (б), от мощности пласта (в), от радиуса ГС (г): 1 — по формуле Борисова; 2 — по формуле Пилатовского; 3 — по формуле авт. наст. статьи.

G = 0 на дВ П {x : 0<xi<h}. (10)

Для построения такой функции Грина применяется модифицированный алгоритм Шварца. Основная идея этого метода состоит в следующем: в шаре вводится симметричная относительно верхней плоскости подобласть типа линзы, примыкающая к верхней полусфере. Нижняя плоскость, ограничивающая сферический слой, совпадает с диаметральной плоскостью. Коэффициенты уравнения доопределяются во всем шаре так, чтобы они были четными функциями в линзе относительно верхней гиперплоскости и четными функциями в шаре относительно диаметральной плоскости.

В шаре существуют решения задачи Дирихле с симметричными граничными условиями, с особенностью функции Грина в точке, принадлежащей сферическому слою, такие, что производные по нормали у этих функций, в силу симметрии, на верхней и нижней гиперплоскостях равны нулю. При этом решение краевых задач имеет явное представление как сумма классических функций Грина и интеграла Пуассона.

Далее с помощью специальных условий сопряжения строятся две последовательности решений краевых задач соответственно в линзе и в шаре с вышеназванными свойствами такие, что их разности в линзе стремятся к нулю со скоростью геометрической прогрессии.

В работе [4] доказывается, что в шаре существует последовательность решений задачи Дирихле со смешанным граничным условием, таким, что ее предел в исходной области стремится к функции Грина задачи Зарембы в сферическом слое.

Предложенная процедура позволила получить зависимость интегральных гидродинамических характеристик ГС от параметров системы "пласт+ГС". Полученные в результа-

те расчетов кривые аппроксимировались, что позволило эмпирически подобрать формулу притока к ГС. Если пренебречь изменением давления вдоль ствола ГС, эта формула при-

мет вид

Q ~ _

2пЬ

1п Ь +0,1 ^^ 1п ^

Те Л Л

АР.

Сравнение этой формулы с ранее известными (см. [5]) показало (рис. 1), что эти зависимости от радиуса контура питания, радиуса скважины, мощности пласта имеют примерно одинаковый характер и принципиальное отличие предложенной формулы от других заключается в том, что от длины скважины дебит зависит линейно.

Рис. 2. Зависимость давления на забое ГС от ее длины (а) и от расстояния до контура питания (б).

Представляет особый интерес зависимость значения давления на забое скважины от расстояния до контура питания. Как видно из рис. 2, а, с увеличением длины горизонтальной скважины при фиксированном расстоянии до контура питания давление падает на 5 %

Рис. 3. Распределение среднего давления вдоль ствола ГС при плоском (1 )и сферическом (2) контуре питания.

при увеличении длины в 3 раза. Рис. 2, б иллюстрирует зависимость давления на забое от расстояния до контура питания 1. Значительное падение давления (90 %) происходит на расстоянии менее 20гс. Непосредственно к этому результату примыкают расчеты среднего давления внутри ствола скважины, полученные при £=100 м, гс=0.1 м, 1=5 м (рис. 3). Среднее давление внутри ствола скважины падает в этих условиях очень незначительно, однако в соответствии с результатами, показанными на рис. 2, а, ясно, что с увеличением длины это падение будет возрастать.

В целом отметим, что учет кривизны контура питания существенно влияет на характер технологических параметров горизонтальной скважины. Еще более заметна разница в распределении среднего давления вдоль ствола скважины, расположенной в пласте с криволинейным контуром питания, распределении давления в случае плоского контура питания. Если во втором случае падение незначительно (см. рис. 3), то в случае сферического контура питания оно составляет 0.5% при тех же условиях.

Тем не менее численные эксперименты показали, что и с учетом непостоянства давления вдоль ствола ГС наша формула дает хорошие результаты. Погрешность не превышает 3%.

Список литературы

[1] Антипов Д. М., Ибрагимов А. И., Панфилов М. Б. Модель сопряженного течения жидкости в пласте и горизонтальной скважине. Изв. АН, Сер. МЖГ, №5, 1996, 112-117.

[2] Маскет М. Течение однофазных жидкостей в пористой среде. Гостехиздат, М.-Л., 1949.

[3] Чарный И. А. Подземная гидромеханика ОГНЗ. Гостехиздат, М.-Л., 1948.

[4] Иврлгимов А. И., Некрасов А. А. Об одном аналоге метода Шварца для построения функции Грина задачи Заремба и его применении в задачах подземной гидромеханики. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., в печати.

[5] Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. Недра, М., 1994.

Поступила в редакцию 5 июля 1996 г.