Построение эффективных моделей покрытия при мониторинге протяженных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 17, № 1, 2012

Построение эффективных моделей покрытия при мониторинге протяженных объектов*

С.Н. Астраков1, А. И. Ерзин2 1 Конструкторско-технологический институт вычислительной техники СО РАН,

Новосибирск, Россия 2Институт математики им. С.Л. Соболева, СО РАН, Новосибирск, Россия е-таП: [email protected], [email protected]

Рассматривается проблема наименее плотного покрытия полосы кругами одного, двух и трех радиусов. Предложены и исследованы новые модели регулярных покрытий. Разработанные методы и полученные результаты имеют фундаментальное значение, а также могут быть использованы как инструментарий для энергоэффективного мониторинга сенсорными сетями протяженных объектов.

Ключевые слова: мониторинг, энергоэффективность, беспроводные сенсорные сети.

Введение

Проблемы поиска эффективных покрытий плоских областей кругами различного радиуса возникают во многих практических приложениях [1-5]. В данной работе эта проблема рассматривается в применении к сенсорным сетям, осуществляющим мониторинг полосы. Как и в [4], предполагается, что область мониторинга сенсора является кругом определенного радиуса с центром в месте расположения сенсора. Будем полагать, что сенсор покрывает часть плоскости, находящуюся внутри его круга мониторинга. Плоская область считается покрытой множеством сенсоров С, если каждая точка области покрыта хотя бы одним сенсором из С.

Плотностью покрытия плоской области кругами называется отношение суммы площадей кругов покрытия к площади области. Очевидно, что плотность не может быть меньше единицы и отклонение ее значения от единицы характеризует эффективность покрытия. Так как энергозатраты сенсора на мониторинг пропорциональны покрытой им площади, основная задача сенсорных сетей — максимизация времени жизни — сводится к решению задачи построения наименее плотного покрытия.

Существует много способов покрытия плоской области кругами различных радиусов. В связи с этим в большинстве работ по данной тематике [4-8] авторы рассматривают так называемые регулярные покрытия, что существенно сужает множество допустимых покрытий и позволяет осуществлять анализ определенного класса покрытий. В регулярном покрытии плоская область (виртуально) замощается одинаковыми многоугольниками (плитками) и все многоугольники покрываются кругами одинаково. При

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-07-92650-ИНД_а) и ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009^2013 гг. (гос. контракт 14.740.11.0362).

а б в

Рис. 1. Покрытие прямой .линии кругами: а регулярное без пересечения кругов, б нерегулярное, в рмулярное гарантированное

этом сенсоры (центры кругов) располагаются в определенных местах плиток и определяются оптимальные радиусы мониторинга сенсоров |4, 5|,

Покрытию кругами всей плоскости посвящено значительное число публикаций. При покрытии ограниченных областей основные трудности возникают на границе области. В настоящей работе рассматривается практически не изученная проблема наименее плотного покрытия бесконечной полосы кругами. Предложены покрытия, использующие круги одного, двух и трех радиусов. Учтены возникающие при этом граничные эффекты и проведен анализ эффективности предложенных покрытий.

Многие реальные объекты моделируются бесконечно длинными полосами. Это автомобильные дороги и железнодорожное полотно, различные .пинии связи, государственные границы, трубопроводы и прочие сооружения, имеющие незначительную кривизну, длина которых существенно превышает ширину. Задачи мониторинга подобных объектов требуют построения эффективных моделей покрытия, удовлетворяющих определенным требованиям.

Рассмотрим, например, прямую Ь, которую необходимо покрыть одинаковыми кругами радиуса К, На рис. 1 показаны три варианта покрытия. В случае а, линия покрыта касающимися кругами, однако точки касания входят в покрытие без своих окрестпо-

Ь

паходится в некоторой полосе, границы которой проходят через точки пересечения окружностей, что обеспечивает гарантированное покрытие. Таким образом, задача о покрытии полосы становится эквивалентна задаче о гарантированном покрытии прямой .пинии.

С другой стороны, практически любой физический предмет имеет ширину (толщину). Поэтому далее будем рассматривать регулярные покрытия полосы, отождествляя эффективность покрытия с его плотностью. Напомним, что в регулярном покрытии область мониторинга разбивается па равные одинаково покрытые многоугольники. Далее в работе рассматриваются только регулярные покрытия.

Назовем покрытие п-слойным, если центры всех его кругов располагаются на п прямых, параллельных границам полосы. В работе предложены и исследованы регулярные многослойные покрытия полосы кругами одного, двух и трех радиусов. При этом радиусы кругов — регулируемые параметры покрытий. В каждом классе покрытий выделены наиболее эффективные и показаны их преимущества. Приведенные результаты, не претендуя па полный анализ многообразия возможных вариантов покрытий, демонстрируют общие методы построения эффективных покрытий, которые могут быть использованы при решении практических задач.

1. Покрытия полосы кругами одного радиуса

Существует большое число регулярных покрытий полосы кругами одного радиуса. При этом эффективность покрытия зависит как от числа его слоев, так и от расположения кругов. Далее будут рассмотрены наиболее перспективные с точки зрения авторов покрытия,

1.1. Однослойные покрытия

Модель 1. Рассмотрим регулярное покрытие полосы шириной h (рис, 2) и найдем радиус круга R, при котором плотность такого покрытия минимальна. Покрытие является однослойным, так как центры кругов располагаются па одной прямой.

Пусть точки A и B — центры двух соседних кругов покрытия. Через эти точки проведем диаметры, перпендикулярные отрезку AB (и сторонам полосы), а через точки пересечения окружностей — отрезки CD и EF, параллельные AB, Прямоугольник CDFE является частью полосы и покрывается двумя полукругами с суммарной площадью nR2, Плотность покрытия всей полосы совпадает с плотностью покрытия прямоугольника и равна D = Sd/Sr, оде Sd = nR2 — площадь кругов, покрывающих CDFE a Sr — площадь прямоугольника CDFE. Оптимальным является покрытие,

R

расстояние d между центрами соседних кругов в зависимости от ширины полосы h. Согласно обозначениям рис, 2

d = |AB| = 2R cos a, h = 2R sin a.

Следовательно,

Sr = dh = 4R2 cos a sin a = 2R2 sin 2a, D(a) = n/(2 sin 2a).

Плотность D(a) представляет собой дифференцируемую функцию одной переменной и ее минимум п/2 « 1.5708 достигается при а = 7г/4, Следовательно, оптимальные значения R = h/y/2 и d = h,

1.2. Двухслойные покрытия

Плотность покрытия может быть уменьшена путем введения дополнительных слоев. Двухслойные покрытия кругами одного радиуса могут быть построены по-разному. Рассмотрим случай, когда используется треугольная решетка (рис, 3),

Рис. 2. Регулярное однослойное покрытие одинаковыми кругами; модель 1

Рис. 3. Двухслойное покрытие полосы одинаковыми кругами с треух'ольной решеткой; модель 2

Модель 2. Пусть, как и прежде, h — ширина полосы, R — радиус круга, d = |AB| — расстояние между центрами соседних кругов одного слоя, а — угол между радиусом, проведенным к точке пересечения двух соседних окружностей одного слоя, и прямой AB, проходящей через центры кругов этого слоя. Обозначим b = R sin а. Тогда

h = R + 3b = R(1 + 3sin а), d = 2R cos а,

Sr = dh = 2R2 cos а(1 + 3sin а), Sd = 2nR2. Следовательно, плотность покрытия выражается в виде

п

D(a)

cos a(1 + 3sin a) Минимизируя функцию D(a), получим

sin а = (л/73 — 1)/12 « 0.62867, a « 38.95°,

i? = /¿/(1 + 3 sin a) = 4h/(3 + л/73) « 0.3465/г, d = 2/^70 + ^л/ТЗ _ 0 5389/г_

3(3 + л/73)

Минимальная плотность такого покрытия равна

48п

minD(a) =-. w 1.3998.

(3 + >/73) V70 + 2^

Замечание 1. Отметим нетривиальный результат. Треугольник ABC, образованный центрами трех соседних кругов, не правильный, как при покрытии плоскости одинаковыми кругами [6], а равнобедренный. Это обусловлено граничным эффектом. В случае правильной треугольной решетки плотность покрытия больше и составляет 47Г/(5л/3) « 1.451.

1.3. Многослойные покрытия

Модель 3. Рассмотрим многослойные покрытия полосы кругами одного радиуса. По аналогии с моделью 2 проведем соответствующие вычисления:

если n = 3, то h = 2R + 4b Sr = d(2R + 4b) = 2R2 cos a(2 + 4sin a) Sd = 3nR2; если n = 4, то h = 3R + 5b, Sr = d(3R + 5b) = 2R2 cos a(3 + 5sin a^ Sd = 4nR2. В этом

n

h = (n - 1)R + (n + 1)b = R((n - 1) + (n + 1) sin a), Sr = dh = 2R2 cos a((n — 1) + (n +1) sin a), Sd = nnR2,

JJÍq,\ = ^d = _^_

Sr 2(n — 1 + (n +1) sin a) cos a После элементарных вычислений получим условие оптимальности

2 n — 1

2 sin а Н--sin а — 1 = 0.

n+1

Из решения последнего уравнения находим требуемые значения тригонометрических показателей

8111 ° = 0 25 (у&тт) +8-Í^TJ= 0 25 (v^H

0.25 (у 8 - 2р2 + 2 psjp2 + 8

cos а

n - 1 о

где р = -. Это дает возможность вычислить оптимальное значение плотности но-

n +1

крытия D(a) и определить соотношение между радиусом и шириной полосы

R h

n — 1 + (n + 1) sin а

При n — оо получим предельные значения p = 1 и sin а = 1/2, что соответствует а = п/6. Предельное значение плотности

lim D = ~ 1.2092. п->+со Зл/3

Замечание 2. Данная асимптотическая оценка соответствует классическому результату дня покрытия всей плоскости кругами одного радиуса |6|, который объясняется тем, что при большой ширине полосы влияние границ несущественно.

2. Покрытие полосы кругами двух и трех радиусов

Модель 4. Пусть центры кругов радиуса R расположены на средней линии полосы и два соседних круга пересекаются, оставляя непокрытой область около границы полосы, покрываемой кругами радиуса r (рис. 4). Плотность такого покрытия зависит от параметров а и в где а — угол между прямой, проведенной из центра круга радиуса R в точку пересечения соседних кругов радиуса R, и средней линией полосы, в _

R

радиуса R с границей, и вертикалью (см. рис. 4). Площадь прямоугольника ABCD и другие характеристики покрытия определяются уравнениями

Sr = 4R2 cos а cos в,

D( у/2 а-ß t V2 . а-ß . \

г = л — cos----sm--sm а ,

у 2 2 2 2 ) '

Sd = vг Я2 + 2тг г2 = тг R2 ^2 + 2 sin2 а + sin(Q' - ß) - 4 sin a sin ^ + ° ? ^ ^ . Отсюда плотность покрытия

Dia, ß) =---- (2 + 2 sin2 а + sin(a< - ß) - 4 sin a sin ( - + -—- ) ) .

4 cos a cos ß \ \ 4 2 ))

Минимум функции D(a,ß) не удается найти аналитически, а численные расчеты при R w 0.6266h, r w 0.1825h, a w 27°, ß w 37o дают

min D(a,ß) w 1.294.

a,ß

Модель 5. Рассмотрим четырехс,:юйпое покрытие (рис, 5), Три соседних круга ра-R

r

ьают оставшиеся непокрытыми граничные участки полосы.

R

диуса r, равен 2^, Тогда плотность покрытия

DUp) = -=--- (а+(л/З tan(— + <р)~ lY) .

л/3(3 + 4 sin(7r/6 + 2</?)) V V 6 J J

В результате численного решения при ^ w 11.5°, R w 0.3229h, r w 0.0859h находим онтиманьное значение:

minD(^) w 1.2542.

v

r

плотность покрытия но сравнению с моделью 2,

Модель 6. Рассмотрим покрытие (рис, 6), состоящее из кругов трех радиусов. Круги радиуса R определяют основную прямоугольную структуру, радиуса ri — используются в центральной части полосы, радиуса r2 — находятся на границах полосы. Такое построение позволяет провести оптимизацию за счет изменений нескольких характеристик покрытия.

Выделим прямоугольник, образованный границами полосы и прямыми, нроходя-

R

R

h = 2Rcos а + 2Rcos(n/2 - а — 2p) = 2R(cos а + sin(a + 2p)),

r1 = R(cos а — sin а), r2 = R(cos а tan(a + p) — sin а), d = 2Rcos а,

где d — расстояние между центрами двух соседних кругов одного уровня радиуса R, 2а и — центральные углы окружности радиуса R, соответствующие дугам при пересечении соседних окружностей. Приведем расчеты плотности:

Sr = hd = 4R2 cos а (cos а + sin^ + 2p)),

Sd = 2nR2 + nr2 + 2nr2 = nR2(3 — sin 2а + 2^т(а + p) — sin а)2),

Sd 7r(3 — sin 2q- + 2 (cos a tan (a; + (/?) — sin a-)2) ' Sr 4 cos а(cos а + sin^ + 2p))

В этом случае минимальная плотность

min D(a,p) w 1.2335

достигается при a w 26.36°, ^ w 13,18°, R w 0.2956h, ri w 0.1336h, r2 w 0.0874h.

Замечание 4. Если принять r1 = r2 = r, то получим более простую модель с плотностью

п(5 — 3 sin 2a)

D(a)

4(1 + cos 2a)

min D(a) « 1.2566

«

при а ~ 30.94°, Я ^ 0.2915Л,, г ~ 0.1001Л,. Несмотря на то что плотность увеличилась, в некоторых случаях данной модели может быть отдано предпочтение в сравнении с моделью 6,

Модель 7. Рассмотрим покрытие, состоящее из кругов трех радиусов (рис, 7), Цеп-Я

ют непокрытыми внутренние и граничные части полосы. Круги радиуса Г1 покрывают внутренние криволинейные треугольники, радиуса г2 — граничные части полосы. Покрытие в этом случае является шеетиелойпым.

Используя обозначения углов, принятые в модели 6, получим следующее выражение дня плотности покрытия:

D(a,<p) =

7г(1 + (cos Q'/л/З — sin а-)2 + (cos a tan(a + (/?) — sin Q')2)

cos а'(л/3 cos a + 2 sin(a + 2ip)) Минимальная плотность дня данной модели

minD(a,p) w 1.2039

достигается при a w 21.77°, ^ w 14.32°, R w 0.3175h, r1 w 0.0525h, r2 w 0.0972h.

Замечание 5. Если упростить модель, положив ri = r2 = r, то плотность покрытия

r

с тем достаточно малым:

D(a)

2тг 7 — 2 cos 2о — 2V3 sin 2 a; 3 2-\/3 + 2-\/3 cos 2a - sin 2a:

minD(a) w 1.2339

при a w 17.72°, w 0.3338h, r w 0.2457R w 0.082h.

Исследования предложенных покрытий показали, что дня уменьшения их плотности необходимо учитывать следующие факторы: 1 — количество уровней, 2 — расположение кругов, 3 — радиусы кругов, 4 — соотношения между радиусами различных кругов, 5 — структуру покрытия. При выборе покрытий предпочтение отдается тем из них, которые имеют не только низкую плотность, по и наиболее простую структуру. Исходя из

Сводная таблица результатов

Класс покрытия Р(п, к) Лучшая модель класса Плотность покрытия Структура покрытия

Р( 1Д) Модель 1 1.571 Однослойная

Р(2,1) Модель 2 1.399 Треугольная решетка

Р(п, 1) Модель 3 1.209 (при п —>■ оо) Многослойная

Р( 3,2) Модель 4 1.294 Трехслойная

Р( 4,2) Модель 5 1.254 Треугольная решетка

Р( 5,3) Модель 6 1.234 Прямоугольная решетка

Р( 6,3) Модель 7 1.204 Треугольная решетка

этого была проведена классификация рассмотренных моделей, согласно которой каждое покрытие относится к одному из классов P(n, k), где n — число слоев покрытия, k — число различных радиусов кругов (см, таблицу),

В заключение отметим, что в рассмотренных моделях, как и в работах [4, 5, 9], радиусы кругов являются регулируемыми параметрами. Вместе с тем в некоторых приложениях радиусы кругов могут быть заданы и требуется найти наименее плотное покрытие полосы заданной ширины. Например, если 2R меньше ширины полосы h, то однослойное покрытие полосы кругами радиуса R вообще нереализуемо, В последующих работах планируется рассмотреть способы построения наименее плотных покрытий кругами заданных радиусов.

Список литературы

fl] Asano Т., Brass P., Sasahara S. Discovering problem with application to digital half toning // LNCS 3045. 2004. P. 14-17.

[2] Bulusu N., Heidemann J., Estrin D. GPS-less low cost outdoor localization for very small devices. Technical Report. Computer Science Department. Univ. of Southern California, 2000.

[3] Pottie G.J. Wireless integrated network sensors // Communicat. CM. 2000. Vol. 43, No. 5. P. 51-58.

[4] Wu J., Yang S. Energy-efficient node scheduling models in sensor networks with adjustable ranges // Intern. J. of Foundat. of Comput. Sci. 2005. Vol. 6, No. 1. P 3-17.

[5] Астраков C.H., Ерзин А.И., Залювовский В.В. Сенсорные сети и покрытие плоскости кругами // Дискретный анализ и исследование операций. 2009. Т. 16, № 3. С. 3-19.

[6] Kershner R. The number of circles covering a set // Amer. J. of Math. 1939. Vol. 61, No. 3. P. 665-671.

[7] Тот Л.Ф. Расположения па плоскости, на сфере и в пространстве. М.: Изд. физ.-мат. литературы, 1958. 365 с.

[8] Zhang Н., Нои J.C. Maintaining sensing coverage and connectivity in large sensor networks // Ad Hoc & Sensor Wireless Networks. 2005. Vol. 1, No. (1-2). P. 89-124.

[9] Cardei M. Improving Network Lifetime using Sensors with Adjustable ensing Ranges // Intern. J. of Sensor Networks. 2006. No. 1. P. 41-49.

Поступила в редакцию 1 марта 2011 г., с доработки — 25 октября 2011 г.