CC BY
33
УДК 621.371
А.И. Сухинов, Е.С. Огурцов, А.Е. Чистяков
ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЛИНЕЙНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКОЙ ИЗ СКОШЕННЫХ ВОЛНОВОДОВ
Разработка оптимальных конструкций антенных решеток в настоящее время является актуальной задачей. Для этого необходимо рассчитать характеристики направленности антенных решеток.
В данной работе построена дискретная математическая модель распространения электромагнитных волн антенной решеткой из скошенных волноводов. Для повышения реальной точности решений были использованы сетки, учитывающие заполненность рас. . -зультаты численных экспериментов для различных углов скоса волноводной антенной ре.
Система уравнений Максвелла; антенная решетка; метода баланса; трехслойные .
A.I. Sukhinov, E.S.Ogurtsov, A.E.Chistyakov
CONSTRUCTION OF THE DISCRETE MATHEMATICAL MODEL OF THE EMISSION OF ELECTROMAGNETIC WAVES OF LINEAR ANTENNA ARRAY COMPOSED OF SLOPED WAVEGUIDES
Development of optimal design of antenna arrays is now an urgent task. You must calculate the directional characteristics of antenna arrays.
In this article a discrete mathematical model of propagation of electromagnetic waves from an antenna array of beveled waveguides. To improve the smoothness of the grid were used, taking
into account the occupancy of cells. A discrete model constructed on the basis of balance.
The results of numerical experiments for different bevel angles of the waveguide array. Maxwell equation;, antenna array; a method of balance; three-layer iteration scheme.
.
[1,2] в дифференциальной форме:
и d D .
rot H = — + j, (1)
dt
1 dB
rot E = -—, (2)
dt
div D = p, (3)
div B = 0 . (4)
Получим волновые уравнения для электрической и магнитной составляющей поля из системы уравнений Максвелла [1,2]. Для этого запишем соотношение для ротора электрического поля
_ — d B Ltd H
Vx E =---------= -——. (5)
dt dt
Уравнение (5) векторно умножим на V :
Ух УхБ = -р
2 И
Ух
= -ц
ґд2
д H
л
дt2
дt
= ~£/Л
V"1 /
Учитывая соотношение
р\д; (ухН ))=-“
( -л г
vдtv
дБ_
ді
))
(6)
Ух УхБ = У • ((-Б )-У2 Б,
пол у ч им вы раже еие
у- (у-б)-у2 б = -
єр
д2 Б дt2 '
(7)
(8)
Так как дивергенция электрического поля в диэлектрической среде выражается У - О = 0, то в однородной среде У - Е = 0.
Запишем волновое уравнение для электрической составляющей поля:
э2 Е
У Б = єр
или в виде
ді2 д2 Б
У Б -єр—^ = 0 ді2
(9)
(10)
Аналогично запишем волновое уравнение для магнитной составляющей
поля:
У2 Н = єр
д2 Н ді2
(11)
Постановка задачи. Требуется найти решение неоднородного волнового уравнения [3]:
э2 Н
єр-
ді2
У2 Н + / ,
(12)
удовлетворяющего начальным условиям:
Н (х, у,0) = ^о( х, у), Н'( х, у,0) = ^( х, у) (13)
( - ):
Н (X, у, І) = 0, при (X, у) еу. (14)
В случае И-поляризованной волны граничное условие запишется в виде
Б'п (X, у, І) = 0, при (X, у) еу. (15)
На рис. 1 представлена антенная решетка из скошенных волноводов. Решетка работает в режиме излучения.
Наиболее эффективными методами для решения подобного вида задач являются сеточные методы.
. -
интерполяционным методом [4-6]. Для этого запишем уравнение (12) в следую:
н;,= а2 (Н’х)\ + а2 (н; )' + /, а =—. (16)
Х \ У / у
Рис. 1. Антенная решетка (расчетная область показана штриховкой)
Построим разностную схему, аппроксимирующую уравнение (16) с соответствующими граничными и начальными условиями (13)-(15).
Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной
прямоугольной расчетной сеткой О — О1 У^Ох *Оу :
Щ — {,п — нН, ,0 < п < Ы, -1,1, — к, ( -1)1,
О, — {х, — к ,0 < , < -1,1Х — К ( - 1)},
О, — Iу, — к,0 < , < Ыу -1,1у — Ну ( -1)},
где н,,,, - индексы по временной координате и пространственным координат-
ным направлениям Ох , Оу соответственно,
Н Н Н
^ х ’ у - шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох , Оу соответственно,
N, Ых, Ыу - -
ным координатным направлениям Ох , Оу соответственно,
, 1х, 1у - длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох , Оу соответственно.
Проинтегрируем уравнение (16) по области Оху :
Я,ху ^ \_^ , , ~\ , х ^ [х1 -1/2 , х,+1/2 У у ^ [ у,-1/2 , у,+1/2 ]} ,
в результате чего получим:
|||И'^йхйу — а2IIIН'хх(,(х(у + а21||HУydtdxdy + |||fdtdxdy . (17)
Ящ
Вычислим интеграл, стоящий в правой части уравнения (17):
,н+1/2 х,+1/2 у,+1/2 ,Н+1/2
н№<Шу = | | йх | н"п(Ьу =НхНу | н;| ,у , ,у,—
п ' 1 1 '
— НН I н
г/К
х у \ ,\,п
(х, у )—(х,, у,
Найдем аппроксимацию выражения Н'{\,п+1/2. Для этого введем обозначение
О — Н' и проинтегрируем данное выражение на отрезке , € |^,п, ,п+1 ^ :
,п+1 ,п+1
| о(, — | н(
или
вп+1/2к = Нп+1 - Нп.
Таким образом, получим
НП+1 — нп
г 1*п+1/2
Н^йгйхйу ■■
( и п+1 ттп и п ттп—1
., .________и 1,ї 1,ї
кхку.
(18)
V Н, Н, J
Аналогичным образом можно вычислить интегралы, стоящие в правой части выражения (17), первый из которых запишется в виде
гп+1/2 х+1/2 у ,+1/ 2
\\\Нхх(1(х(у — | | dх | Н"хх(у —
- Кк
Ні+1,і — Ні і Ні і — Ні—1,
х х /
ҐНІ+,і — Ні,. Ні,. — Ні—1,;Л
х у
(19)
где
н, ‘+(1 -^ -^к,+^ н,.
, (17)
"Н,,,+1 - Н;,, Н;,, - Н ,,, -1"
Ш Н"ууйЫхйУ = КхКг
(20)
V Ну Ну У
, (17)
в виде
/йгдхйу~ /іп}кхкуК.
(21)
Ях
Таким образом, выражение (17) с учетом (16)-(21) примет следующий вид:
2
нп+1 нп нп н п—1 ^
і,і і ,і і ,і і,і
V К
к
кхку=а кЛ
'н.+,. — н.. н.. — н. , .л і+1,і і ,і і ,і і —1,і
/
ч
к
к
+
/
+а к к
ҐН..+, — ні . ні . — н ,л
і, і +1______^__________і,._________і,. —1
V К " К
+ Гк к к .
«У і, і х у і
У /
Разделим полученное выражение на кхкукг, в результате получим конечноразностную схему, аппроксимирующую задачу (16):
к
Ип+1 - 2 Я". + Я"-1 „Я..,.-2Я. .+ Я. Я .+,- 2Я. .+ Я..
;■ £ £ 1 , £ - ~2 ;+1-£ 1 , £ 1 -1-Л + а2_£_У________________£^£-1 + у п, (22)
■ - а
к2 к2 к2
Т х у
где Я, £ - ст,ЯП'+1 + (1 - а - ст2 )Н"1 + аЯ"£.
Аппроксимация граничных условий. Для повышения реальной точности решений, которые повлекут улучшение «гладкости» сеточного решения, будем предполагать, что ячейки заполнены не полностью [4-6]. Областью 0.Тху будем
называть заполненную часть области 0Тху . Также ведем обозначения для следующих областей:
Д е { е [;П-1/2, Т"+1/2 ], х е -х,, х,+1/2 ], у е [ у £ -1/2, у £+1/^ } , В2 е{Т е [Г-^ ;П+1/2^ х е [x;-l/2, х, ], у е [у£-l/2, у£+ш]} , °3 е {Т е [-1/\+1/2], х е -х,-l/2, х,+1/2 ] у е [у£, у£+1/^},
В4е {Т е [ Т"-1/2, +1/2 ], х е -х,.-1/2, х,+1/2 ], у е [ у £ -1/2 , у £ ] } .
Коэффициенты заполненности к0, к1, к2, к3, к4 для областей О , В1, В2, В3, В4 вводятся следующим образом:
к0-—^, к.--°-,,-1,4,
0 о , С
где й, - заполненная часть области .
. (16) граничных условий третьего рода:
Яп (, х, у )-аЯ +р.
(16) :
Ь (Я)- 0, (23)
где
Ь (Я )-
я;-а (я: ) - а (я у)' - /, (х, у) е я
"‘Тху ’
0 (Х у ) ^Цху.
Проинтегрировав уравнение (23) по области 0Тху, получим
Ь(Я)Шёхёу - 0.
ВТху
Преобразуем левую часть полученного выражения |Л Ь (Я )dtdxdy - Я* - а2 (Я'х )х - а2 (Я'у) - / dtdxdy -
ВХу Й «Л У )
- Ш Я^йТйхйу - а2 |Ц (ЯХ) х dtdxdy -
йтху йтху
- а2 Я/(Я у) dtdxdy - fdtdxdy. (24)
(24)
Яп+1 - 2Я" + Я"-1
Ц]КМ^у = к0,,,£ Я^Т^у - к0,, ,£ —-------------— кХку .
О п
Предположим, что 5ц > 5ц , тогда мы можем ввести следующие обозначе-
ния: Ц - Ц 1 ий12, при этом Ч - 5Ц запишем второй интеграл в выражении (24):
Ш(ЯХ) х у- Ш(ЯХ) х Мх^ + Ш (ЯХ) х ^у =
- (к1,,,£ - к2,,,£ ) (ЯХ ) ШЫу + к2,,,£ ДО(ЯХ )х ШЫу .
О ощ
Вычислим по отдельности каждый из полученных интегралов
Т"+1/2 Х+1/2 у£+1/2
Ш(ЯХ )'х^у - | ^ | ^ | яУу =
О1 Тп-1/2 Х у £ -1/2
(25)
-4+1/2
НуНг I -Ух
НН- '\{х У Н(/2, У1 } = нн
ПУП<П* ( У ) = ( , У1) НУН
-+,. - -.. -
^+^------а-.,-р
Н ' ^
Второй интеграл в выражении (25) вычисляется согласно формуле (20). Таким образом, формула (25) примет вид
Ш(НХ ШхйУ = (*1,І^ - к2,і,1 )
ки, Г
+ -
V
- -
+1,1 м к
ґ - - - Л
-а- -р
Н ', 1 ,
V х у
т г; \
+
к - к (,£ - к1,,,£ )(Я,,£ +^)
\ Х ПХ у
Аналогичным образом можно вычислить третий интеграл в уравнении (24):
Ш (яУ )у^х^ -
3,1,1
— 1+1 Н'1 -кЛ1; — 1 , Н'1 -1 + (, 1 -кз,., 1) ( 1 + р
К ^ Ну
(24)
ДО fdtdxdy = к0,., 1^ ПКкук,.
V у у
(24)
, (16) -ных условий третьего рода:
X
и
О
и
0,!, £
к
- а кукТ
г Я +1 , - Я , , Я.. - Я ... . - Л
^ ^^ +((,£ -ки,£ ^Я,, £
к1,,
к
2, ,, £
к
+
+а кхкТ
Я..+ -Я , , Я , -Я , , ^ , V/ _ V
К, —-------------- - к ,■ —-— + ( к4,;, £ - к3,,, £ ) ( а( ,, £ + £)
3, ,, £
V
К 4,и К
+
У
+ k0,,£f П£кхкук; .
Разделим полученное выражение на кХНуН1, в результате получим
п -1
к
Яп+1 -2Я п £ + Яп — ,,£ ,,£ ,,£
0, , £
к
- а
, H.1,£:H^£ , Я,,£-Я, 1,£ ,(, , )£
^ ----------=--------2,,,£ --------Д------------+ (к2« - Ки I
^, £'
к2
+а
к
'х У
(26)
к Я,, £+1- Я,, £ -к
3,,,£ к2 4,,,£ к2
— + ( к4 4,( -к3,,, £■)
+
у у у у
+к0,,^п .
(16)
Неймана ( яп- 0) примет вид
нn+■—2нn. + яп -1
к1,,„£"
к ■" 1,£ к0,,, £
К
' Я >+1,£ ~~Я,,£ -к Я,,£ Я,-1,£ Л
,,£ ?„2 2,,, £ /„2
V
к2
к
х у
+а
Я , ,+ -Я , , Я , -я , , ^
7 ,,£ +1 ,,£ /„ ^ £ ,,£-1
/Со ; • а /С
3, , £
к2 4’‘,£ к2
чу у У
. (16)
граничных условий первого рода:
Я (т , х, у )-а.
(16) :
Ь (Я )- 0, (28)
+
(27)
где Ь (Я )-
Я"- а21
(ЯХ)'х (Я у ^,-f,(х, У еЦу,
С(я-«), (х,у)гц,.
Проинтегрировав уравнение (28) по области ОТху, получим:
|Ц Ь (Я )dtdxdy - ЦуГ Я"-а2 (Я'х) ^-а2 (я'у) —f dtdxdy-
ц:
+
Ц| С(Я - a)dtdxdy ■
о
О— /Ц
Значения интегралов Ц!H/;tdtdxdy и Ц!fdtdxdy будут такими же, как и
Ощ О?
в случае граничных условий третьего рода. Вычислим интеграл ДОяУТ^у в
ДО (— )х Шх^=ДО (-х )х шыу + ДО (-х )х Шх^=
= к2,., 1 ДО(-х )х М^У = к2,., НуН
Оху
В общем случае можно записать:
2 ^О2
' -.+1,1 - -., 1 - —, 1 - —м,1'
V Н Нх ,
ДО КМ^У = тіп (, 1, к2,., 1))
оху
Значение интеграла ДО Щу^^у запишется аналогичным образом:
Ох
ДО—УУ ^У = тіп (, 1, к4,., 1 ) НхН,
Оху
ДО С (— -а)dtdxdу:
н н ,
'—і, 1+1 -—, 1 —і, 1 -—,, 1 -1л
V Н Н у
Вычислим
1// С(я-ОХ*.-к1 - к0,,, £ ) ДО(Я - a)dtdxdy -
/ Ощ Ощ
к1 - к0,,, £ )С (+1 - а,£ Ж.
, (16)
первого рода примет вид
Р/п+1 _ О цп л. Щп-1
к0,,,£ ,,£ - к2,£—£+С к1 - к0,,,£) )‘ -
Г
= СI1 - ко,., 1) а,1+а 2 тіп (, 1, к2, ., 1)+1,1 2—21,'+- -1,1 +
Нх
+ а2 тіп (, 1, к4, ., 1 ) ), 1 -i, 1+1 2 —2 1 + —і 1-1 + + , 1+і к .
Константа С равна 1/ Н2 . При данном равенстве дискретная модель будет консервативна. Таким образом, получим следующую дискретную модель:
О
»ху /Оху
Нп+1 -2Н". + Нп -1
^.
Т н?
(-К,- ,1-1, , )+у -2Й„ + Н,ч., +
=-------р-------+ а шш (.,.,. кг . ,)-------‘--------------<-+
ь Ьх
+а2 тп(.£.к4.. £))...; Н£+1 2н2г.£ + Н'.£-1 + +.+ + . (29)
У
Дискретный аналог уравнения (16)в случае граничных условий в форме Дирихле (Н = 0 )примет вид
Ни1 , , -Н + нп- 2 , )+1.£ - 2Н.£ + Н-1.£ ,
-ТТ + к0.,£---------72---- = а ш-п ((. к2,'.£)--------1------7Г--------------1 +
Ь 7 Ьх
+ а 2 Ш1П (^З^.. £ . к4 г. £ ) — £ Н' . £ +1 ^ 1 + Н . £ -1 + ^О,'. }/"} . (30)
У
Результаты численных экспериментов. На рте. 3-5 представлены результаты математического моделирования излучения электромагнитных волн линейной антенной решеткой из скошенных волноводов для различных углов скоса а .
Рис. 2. Угол скоса Рис. 3. Угол скоса Рис. 4. Угол скоса Рис. 5. Угол скоса
а = 0о а = 10° а = 20° а = 40°
На рис. 2 представлен результат математического моделирования для нескошенного волновода (угол а = 0°). На рис. 3 - угол скоса а = 10°. на рис. 4 -угол скоса а = 20°. на рис. 5 - угол скоса а = 40°.
Результаты математического моделирования электромагнитных полей были использованы для построения оптимальных конструкций антенных решеток [7-14].
.
моделей излучения электромагнитных волн линейной антенной решеткой из скошенных волноводов в случае граничных условий первого и второго рода. В работе применен адаптивный попеременно-треугольный метод скорейшего спуска [4-5].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. - М.: Радио и связь. 1983.
2. Чечетка В.В. Методы решения граничных задач электродинамики. - Таганрог: ТРТИ. 1980.
3. Сух иное AM., Зуев В.Н., Семенистый ААУравнения математи ческой физики. - Таганрог: ТРТУ, 2005.
4. Сухинов AM., Шишеня А.В. Улучшение оценки параметра Y\ попеременнотреугольного итерационного метода с априорной информацией // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - C. 7-15.
5. Чистяков А.Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). -C. 7-15.
6. Сух иное А.И.,Чистяков А.Е.,Алексеенко ЕМ. Численная реализация трехмерной модели
// -
тическое моделирование. - 2011. - T. 23, № 3. - С. 3-21.
7. Сух иное AM., Огурцов Е.С, Огурцов С.Ф.Решение о выдаче патента на изобретение от 18.01.11 по заявке на изобретение №2010113122 «Самофюирующаяся антенная решетка из N-nap скошенных волноводов в разные стороны». - М.: ФГУ ФИПС, 2011.
8. Огурцов Е.С.,Офрцов С.Ф. Заявка на изобретение № 2010101616 от 19.01.2010. Элек-
N- -
дов в одну сторону. - М.: ФГУ ФИПС, 2010
9. Огурцов ЕС.,Офрцов С.Ф.Зтвка на изобретение № 2010104512 от 9.02.2010. Электродинамическая приемопередающая антенная решетка наклонной поляризации из 2*N-nap скошенных волноводов и наклоненных навстречу друг другу. - М.: ФГУ ФИПС, 2010.
10. Огурцов Е.С. Заявка на изобретение №2010107503 от 1.03.2010. Электродинамическая приемопередающая антенная решетка наклонной поляризации из 2*N-nAP V-образных вибраторов направленных в разные стороны в пространстве. - М.: ФГУ ФИПС, 2010.
11. Огурцов Е.С. Заявка на изобретение №2010107498 от 1.03.2010. Электродинамическая широкодиапазонная приемопередающая антенная решетка наклонной поляризации из 2*N-nAP V-образпых вибраторов, расположенных в плоскости. - М.: ФГУ ФИПС, 2010.
12. Огурцов Е.С., Огурцов С.Ф. Плоская антенная решетка из N-nap скошенных в E-плоскости волноводов для информационных систем энергетики // Известия ЮФУ.
. - 2010. - 1 (102). - C. 197-201.
13. ОгурцовЕ.С.,Ощ>цов С.Ф. Линейная двумерная антенная решетка из N-nap скошенных
E- // .
науки. - 2010. - № 2 (103). - C. 35-38.
14. Огурцов ЕС. Исследование диаграмм рассеяния и направленности азимутальной антенной решетки из скошенных волноводов в меридиональной плоскости, для случая H-поляризованной волны // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2008. - № 11 (88).
- . 34-35.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор И.Б. Старченко. Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 88634310599.
Руководитель ТТИ ЮФУ; д.ф-м..н.; профессор.
Огурцов Евгений Сергеевич,
E-mail: [email protected].
.: 88634683076.
Кафедра высшей математики; аспирант.
Чистяков Александр Евгеньевич
E-mail: [email protected].
Тел.: 88634371606.
Кафедра высшей математики; ассистент.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected]
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634310599.
The Head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.
Ogurtsov Evgeny Sergeevich,
E-mail: [email protected].
Phone: +78634683076.
The Department of Higher Mathematics; Postgraduate Student.
Chistyakov Alexander Evgenjevich
E-mail: [email protected].
Phone: +78634371606.
The Department of Higher Mathematics; Assistant.
УДК 519.6
H.A. Фоменко МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ОБТЕКАНИИ КОРПУСА СУДНА
Рассмотрена модель движения жидкости, обтекающей корпус судна. Для построения данной математической модели использован метод поправки к давлению для задач , -.
двумерной математической модели волновых процессов жидкой среды. Программа предназначена для построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае нахождения на водной поверхности судна. Приведены результаты численных экспериментов.
Математическая модель; обтекание корпуса судна; сеточные уравнения.
N.A. Fomenko MODELLING OF HYDRODYNAMICS PROCESSES AT THE FLOW OF CASE
OF THE VESSEL
In this paper, a mathematical model for simulation of fluid flowing around the vessel. For construction of the given mathematical model is used the amendment method to pressure for problems of wave dynamics, for reception conservative differential schemes is used integro-interpolation method. In work a program realization of the developed two-dimensional mathematical model of wave processes of the liquid environment is executed. The program is intended for construction of two-dimensional fields of speeds of movement of the water environment in case of a finding a vessel on a water surfase. Computer realization of two-dimensional mathematical model of water medium moving has been presented.
Modeling of water medium; flow around the vessel; grid equations.
При движении судов в мелководных водоемах по судоходным каналам возникает движение водной среды, вызванное как движением самого корпуса, так и в результате действия гребного винта. Данные процессы в условиях мелководья приводят к подъему донных отложений и размыву стенок каналов, с одновременным отложением взмученной взвеси. Это, в свою очередь, приводит к нежелательному изменению геометрии дна канала, в частности изменению его глубины. Для прогнозирования процессов заиленья необходимо детально исследовать гидроди-, .
