CC BY
10
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Недорезов П.Ф., Сироткина U.M. Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек. Саратов, 1997.
2. Сироткина U.M. Исследование НДС консольной вязкоупругой панели при вибрационном изгибе II Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2002. С. 123 - 129.
3. Годунов С.К. О численном решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. 16, вып. 3. С. 171 174.
4. Коваленко АД., Карнаухов В.Т., Яковлева ГА. Нагрев вязкоупругого стержня при его поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. Вып. 12. С. 96 99.
5. Сироткина U.M., Астафьев А.И. О тепловом ноле при вибрационном изгибе вязкоупругой панели // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2001. С. 79 - 86.
УДК 533.6.011:532.529
Г. П. Шипдяпин
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАСЛАВСКОГО-ГРИБА В ТЕОРИИ КОРОТКИХ ВОЛН'
1. При исследовании задач распространения и взаимодействии относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах используется асимптотическая система уравнений коротких волн [1] (n,v - компоненты скорости, 5, У - независимые полярные координаты)
2(ц - б)ц5 + vy + р. = 0, |Ду=У8, n = pW=W(l) (1)
Среди различных классов точных частных решений [2J этой системы выделяется класс решений Заславского-Гриба [3] (q - параметр)
ц = <р2{q)Y2 + ф,(q)Y + ф0(«?); 5 = qY2 + X,{q)Y + Хо(<7);
v = ф3 (,q)Y3 + ф2(д)У2 + ф, + ФоО?), (2)
позволяющий точно удовлетворить условиям динамической совместности на фронте ударной волны 5 = 8* (Y) при q = q* = const (щ = 1; 0; ri. <xv, r| - параметры подобия задачи)
= Gi-ji^-v-vt, Vl=-n,(Y±av). (3)
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (проект 205.01.01.030, грант № 03-01-00524).
189
2. Подстановка (2) в (1) приводит [3] к системе 9 дифференциальных уравнений относительно Ф2(?)"-Хо(?)> которая после разрешения её относительно производных принимает вид
_ 4(р2<?-ф2-Зу3 _ 2Х|ф2 +2ф1<?-ф1 -2\1/2 Х1Ф1 -Фо-^1 *а__2Л ,ф1--V* ,ф0= 2/о •
. _~2Хр+Х? +2ф0 .., _ -2X1?-XI + Ф1 ,„. . 2ф2-ф2<? + Зх|/3?
Хо--^тт .XI- ---->Фз~-7-» (4)
о . ¿/о /о
,„, _ ~ ЗХ1Ф2 + ЗХ1Ф3 + 6Ф1Ф2 + 4Фг? „,, _ - 2х0ф1 + Х1Ф0 + Х1Ф1 + 2ф0ф1
'2" гт ,Фо~ г 7-.
о ¿/о
,,, _ -4х„ф2-Х1Ф1 +2х,ф2 +4ф0ф2 + 2ф0? + 2ф? +2ухд
где /() = ф2 + 2д2 - ?.
Исключая Фз(?) из 1-го и 6-го уравнений (4), получим уравнение для ф2(д):
Ф*2 (ф2 + 2<Г - ?)+ ф'22 = (0,5 + ?) ф'2 - ф2
с решением
ф2
{д) = А^+В\-2Вд-4В2-В; Л, В - соп.ч/.
(5)
Подставляя (5) в основную систему уравнений (4) и исключая неизвестные, получим выражения для ф3(<?) и для остальных искомых функций через хД?), Хо(</)
Фз =-;
/о-Ф2+|--2?|Ф2
; Ф2=-/О-Ф1+ХГФ2+|'?--|Ф1 ;
(6)
Ф1 =-2/о-фо-фо+фгХ1 ; Ф1 = /о-х! +Х1 -2?Х1;
Фо = /о-Хо +Хо —; Фо = Т7"(2фо Ф1 +Х1Ф1 + Х1Ф0 -2х»Ф1)-
I ¿]0
Подставляя найденные функции (6) и их производные в (4) (уравнения для XI/2, фо), получим 2 уравнения для функций Х|(?)> Хи(?):
2/о • *Г- /о2(гО<? - 3 - 2/0')• ХГ - /о {(6? -1 - 2/о)/о - 2/0'2 + + [10 - 6,7(2? -1)]/0 - 4ф2 - (2д -1)2 } • х', + [Зф3 + Зф2 - 8?ф2 - (7)
" 2/0 Ф'2 - 4/о /<; + 3/0(2? -1) + 2(2«? -1)9 - 4(2? -1)?2 + 8? /0 ] • Х1 = О, 4/о ' Хо + 2/02(б/о' + 3 - 2?^ + 2/0[2/0 /0* + 2/;2 + 3/0' + 2ф2 - 2? /„' -- 2? +1] • хо - »/о2 XIХГ" (б/о2 + 8? + 4/0 )■ х? - 2/0(3/0' + 3 - 49) ■ Х, х! + + (2/о2 + 4/0)-х? =0. Таким образом, решая сначала линейное однородное уравнение (7) для Х1, затем линейное неоднородное уравнение для Хо> находим согласно
190
(6) выражения для <р(), ф,, ф1; ф2 и Ч'о> интегрируя последнее уравнение (6).
3. При симметричных взаимодействиях (г|=1), когда картина течений симметрична (XI= Ф1 (<у) = Ч'гС*?) = Фо(<"/) = " )> задача сводится к интегрированию одного уравнения для Хо(<?)
2/о2 • Хо + /о2(б/о + з - 2./)хо +[ 2/о /«; + г к2 +
+ (3 — 2?)/о + 2ф2 — 2д +1] • Хо = 0. (8)
Переходим к новой переменной q = -B + Sp2, Б - sign(q + В), устраняющей особенность решения (8) при q = -В , (/0 = 0).
/оЫ=р[2р3-5(бВ + 1)р-5-4
Запишем (8) в виде
¡2р3 - 5(673 + 1)р -5л]2 • Хо + 1б[2/>3 - 5 ■ (6В+1 )р-5 а]- [р2 - 5 в\Х"0 + + 8[б/ -5(16В + 1)р2 -5 2Ар + 2В2 - В^'а =0- (9)
4. Построим решение (11) для Хо(/>)> используя метод малого параметра. В задачах симметричного нерегулярного взаимодействия 2-х ударных волн, нерегулярного отражения ударных волн [1] таким параметром в общем случае невырожденных взаимодействий (режим С, 0,5 < «У < 2,0) является величина е = -1/А, (е«1; е—>0 при аУ ->2,0). Коэффициенты А,В решения (5) выражаются через начальные значения параметра q = (р = р0) на фронте волны Маха:
АшЛ, д = (10)
е 16р0е
При подстановке (10) в (9) получим базисные уравнения для построения приближений:
(«зо + "31 «о2 • Хо + (4я3о + 4«31 е)■(Ы + ^ е)'Хо + (сю + с,,с + с12е2)- Хо = 0; «зо =5(4р0 + 1,5р) ; а31 =5р0(зОр^ -1)р + 8р0р3 ; Ь2о= ^ ; Ь21 = 5(20р3+2р0)+16р0р2 : (11)
с10=1 ; сп =2(20р^+2р0)+5256р02р + 8р0(516р2+1);
с12 = (20р3 +2Ро)2 + (бр4 -5р2)128р2 + 1б(516р0р2)• (Юр3 +р0). Представляя решение (1 I) в виде
Х«Ы=ХооЫ+Хо1Ые + Хо2ЫЕ2+..- (12>
и подставляя (12) в (11), поучим, сокращая члены при одинаковых степенях е, систему уравнений для нахождения функций Хол(/>)
191
" = 0, /0(р) = 0;
л =1, /i(p)= 2fl30«3iXM + (4a3ifc20 + 4^30^21)' Хоо + СцХоо: (13)
л-2, /л(я) = а31Х0я-2 + 4a31^2lXo«-2 +с'12Х0л 2 + 2«30«3lXSn 1 +
+ (4а31Ь20 +4a30i>21)-x5n-1 + СцХол-1 •
Уравнение для первого члена разложения Хоо(р) сводится к уравнению Эйлера
9Х2Хоо + 24**5,) + 4хоо =0, р + |р0 = дг, (14)
и имеет решение
ХооЫ = ^О1|Н2/3 + 5СО2Г-0дс|"1/3 +с03, (15)
s = sign х, с01, с()2 , с03 - const.
Общее решение уравнения (11) можно представить в виде суммы решений для однородных уравнений (13) Хол(р) и частных решений для неоднородных уравнений (13) %0п{р)
ХоЫ=ХхШ-ей + 1до0„Ыгл,
л=0 л-О
Х°0П(р) - «1 |Н2'3 + *сп2(- 1]|х|-1/3 + с„3 , (16)
Здесь Хоп(р) ~ отрезок степенного ряда (к, т - целые положительные числа), коэффициенты которого находятся при подстановке (16) в (13) при сравнении коэффициентов в левой и правой частях при одинаковых степенях х. Коэффициенты cnl, сл2, сп3 находятся при удовлетворении начальных условий при р-ро, (х = \1р0/3) для Хо{Ро)' Хо(Ро)' Хо(Ро)> получаемых при подстановке (2) в условия на фронте ударной волны (3).
5. В приложениях при использовании решения (16) для анализа задачи нерегулярного симметричного взаимодействия, нерегулярного отражения ударной волны в окрестности фронта Маха (р-р0, Hi =0) начальные
данные Хо(Ро)=Хо . ХоСро) = ¿12 "е2 + ?13 '^ + ••■. х"(ро)= с22 • е2 + + с23 • Е3 +... содержат коэффициент ciy, явно выражающийся через
РО'Хо- Решение для Хо(р) (Д° степеней с2) имеет вид (х = Р + -Ро> /i(p)=/2(p) = 0. ХшЫ=°. ХооЫ = ХоО>о)=Хо)
Хоы=Хо(ро) + ||с2|и2/3-^22|^"1/3+с23 1-е2 +...,
_ 4 1/3- 4/3 — с21~~х0 с12+х0 с22 >
Г -_1г4/3Р _Г7/3Г 22 ~~ с12 -*0 622>
- _ 9 2-с23 - -лх0с12 -— х0с22 ,
с12 = 256/^Хо , с22 = 256/>5Хо
Остальные функции <р0фД?)» уД«?). М^гС?) решения (2) вычисляются согласно (5), (6) через Х0О7) в явном виде.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин ГЛ. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.
2. Клейнер Б.Г., Шиндяпин ГЛ. Об одном классе точных частных решений уравнений коротких волн // Г1ММ. 1970. Т. 34, вып. 6, С. 1150-1158.
3. Заславский И.И. Некоторые частные решения уравнений коротких волн // Г1МТФ. 1962. №1. С. 63-69.
УДК 533.6.011:532.529 Р. М. Шульдяков, Г. П. Шиндяпин
АНАЛИЗ ПОЛЕЙ ДАВЛЕНИЙ
ПРИ НЕРЕГУЛЯРНОМ ОТРАЖЕНИИ УДАРНЫХ ВОЛН
1. Рассматривается задача нерегулярного отражения ударной волны относительно слабой интенсивности (р10 «1) от жёсткой непроницаемой стенки, наклонённой под углом а к набегающему потоку (рис. 1), которая является одной из актуальных и сложных проблем современной газовой динамики. Используется оригинальная схема течения, допускающая как классическое условие (равенство углов поворота выше и ниже тройных точек), так и неклассическое, когда отбрасывается это условие и Рис. 1 в потоке за тройными точками постулируется разрыв в поперечной составляющей скорости.
Анализ общей постановки задачи согласно методу асимптотических разложений [1] основан на выделении области II значительных градиентов
193
