CC BY
43
Проблемы управления: теория и практика
Агаян Г.М., Григорян А.А., \Шикин Е.В.
Посткризисный анализ и методология решения обратных задач
Агаян Галина Михайловна — кандидат физико-математических наук, факультет государственного управления, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, РФ. E-mail: [email protected] SPIN-код РИНЦ: 5850-8431
Григорян Александр Аркадьевич — кандидат философских наук, факультет государственного управления, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, РФ. E-mail: [email protected] SPIN-код РИНЦ: 3375-8988
Шикин Евгений Викторович — доктор физико-математических наук, профессор, факультет государственного управления, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, РФ.
Аннотация
Современным и очень перспективным подходом к решению сложных многофакторных проблем является трансдисциплинарный подход. Развитие научных методов, которые можно применять в посткризисном анализе, безусловно, относится к таким проблемам. Настоящая работа посвящена осмыслению достаточно хорошо развитой в естественных науках методологии решения обратных задач с целью выявления знаний, которые на более высоком уровне абстракции могут быть применены в весьма актуальной области антикризисного управления, т. е. при анализе причин возникновения кризисных ситуаций.
Ключевые слова
Кризис, антикризисное управление, посткризисный анализ, обратные задачи.
Если бы всё прошедшее было настоящим, а настоящее продолжало существовать наряду с будущим, кто был бы в силах разобрать: где причины и где последствия?
Козьма Прутков1
Рассматривая математику как метафору, я хочу подчеркнуть, что интерпретация математического знания является актом в высшей степени творческим. В некотором смысле математика — это роман о природе и человечестве.
Точно сказать, чему нас учит математика, невозможно так же, как невозможно сказать, чему нас учит «Война и мир».
Ю.И. Манин2
Одним из самых перспективных современных подходов к решению сложных многофакторных научных проблем является трансдисциплинарный подход,
1 Прутков К. Сочинения. М.: Художественная литература, 1976. С. 124.
2 Манин Ю.И. Математика как метафора. 2-е изд., доп. М.: МЦНМО, 2010. С. 53.
предполагающий «функциональный синтез методологий», присущих различным научным направлениям, и создание на их основе совершенно новых исследовательских концепций3. Развитие научных методов, которые можно применять в посткризисном анализе, безусловно, относится к таким проблемам. Настоящая работа посвящена осмыслению достаточно хорошо развитой в естественных науках методологии решения обратных задач с целью выявления знаний, которые на более высоком уровне абстракции могут быть применены в этой очень актуальной в настоящее время области.
Эффективность применения математики в естественных науках (прежде всего в физике) обычно связывается с получением в конечном итоге численных методов расчёта параметров исследуемых процессов. Другими словами, концептуальное применение математики в физике необходимым образом дополняется вычислительным аспектом. Это упрощает проверку результатов применения математики на адекватность, хотя, разумеется, адекватность не сводится к согласию численных следствий из построенной теории с имеющимися на данный момент результатами экспериментов. Однако уже за пределами физики в естественных науках и, тем более, в социально-гуманитарном познании такая методология, как правило, сталкивается с существенными проблемами в связи со сложностью и многогранностью самого объекта исследования и слабо предсказуемым влиянием человека (человеческого фактора). Тем не менее, способность математики порождать чрезвычайно сложные по своей структуре и полностью не выразимые на естественном языке представления наталкивает на мысль о так называемом метафорическом применении математики. Термин был введен В.В. Налимовым, который попытался использовать известную в теории вероятностей байесовскую методологию для построения теоретических систем в лингвистике и психологии4. В этом случае математическое содержание не играет роли внутреннего формообразующего фактора теории, как это имеет место в математической физике, а выступает лишь как внешний концептуальный регулятор построения понятийной системы, описывающей некоторую предметную область, что может быть весьма полезно в разных областях знания, в том числе и в теории управления. Впрочем, и в самой физике нередко реализуется подход, который тоже можно назвать метафорическим. Так, используя топологические представления, «с
3 ARISE 2. Unleashing America's Research & Innovation Enterprise / American Academy of Arts and Sciences, 2013. URL: https://www.amacad.org/multimedia/pdfs/publications/researchpapersmonographs/arise2.pdf (accessed: 23.10.2016).
4 Налимов В.В. О возможности метафорического использования математических представлений в психологии // Психологический журнал. 1981. Т. 3. № 2. С. 39-47.
помощью чисто качественных соображений, т. е. не решая никаких уравнений и не производя никаких вычислений, можно получить довольно значительную информацию о конденсированных веществах»5. Но поскольку образы и метафоры, которые может порождать современная математика, далеко ушли от тех, которые даёт непосредственный жизненный опыт, и тем самым становятся осязаемыми лишь для тренированного рассудка, то успех на этом пути предполагает совершенствование преподавания математики студентам социально-гуманитарного профиля с тем, чтобы они могли увидеть в ней резервуар полезных образов и метафор.
В этой статье мы попытаемся рассказать о методологии решения обратных задач математической физики и показать, каким образом возможно её метафорическое применение в антикризисном управлении, а более конкретно, при посткризисном анализе.
Задача развития антикризисного управления как области научного исследования становится всё более значимой. Это связано в первую очередь с нарастающими кризисными явлениями на всех управленческих уровнях, начиная с глобального — системы мирового порядка в целом, и заканчивая уровнем отдельной, даже совсем небольшой системы — будь то отрасль экономики отдельной страны, коммерческая или другая организация, или просто семья. Рассмотрение антикризисного управления под таким углом предусматривает сразу несколько важных аспектов, которым оно должно соответствовать.
«Наука — это область человеческой деятельности, направленная на выработку и систематизацию объективных знаний о действительности. Основой этой деятельности является сбор фактов, их постоянное обновление и систематизация, критический анализ и, на этой основе, синтез новых знаний или обобщений, которые не только описывают наблюдаемые природные или общественные явления, но и позволяют построить причинно-следственные связи с конечной целью прогнозирования. Те теории и гипотезы, которые подтверждаются фактами или опытами, формулируются в виде законов природы или общества»6.
В литературе сам термин «антикризисное управление» трактуется по-разному. Мы будем рассматривать это понятие как можно более широко, включая в него не только финансово-хозяйственные мероприятия, но и любые другие управленческие формы деятельности, направленные на предотвращение и / или смягчение проявлений
5 Воловик Г.Е., Минеев В.П. Физика и топология. М.: Знание, 1980. С. 60.
6 Уайтхед А.Н. Избранные работы по философии. М.: Прогресс, 1990.
кризисов различной природы, касающихся людей. Главная цель антикризисного управления — выявление закономерностей протекания кризисных процессов и выработка рабочих рекомендаций по уменьшению, а в идеале — предотвращению кризисных явлений и их последствий. Это влечёт за собой необходимость накопления данных (сбора фактов, их постоянного обновления и систематизации) о протекании неограниченно широкого круга кризисов. Тем самым на первый план выходит посткризисный анализ — процесс, заключающийся в скрупулёзном исследовании всех стадий протекания кризисного явления. По нашему мнению, другого способа получить необходимые знания об основных закономерностях кризисных процессов, кроме тщательного изучения уже произошедших кризисов, не существует.
Накопление первичной информации о кризисе — очень сложный и трудозатратный процесс, лежащий в основе исследования кризисного явления. Главная цель такого исследования — выявление причин возникновения кризиса, то есть установление причинно-следственных связей, которые обусловили развитие этого процесса. Сказанное позволяет отнести посткризисный анализ к классу так называемых обратных процессов, в отличие от кризисного процесса, который естественно отнести к классу прямых процессов.
Наглядный пример. На лабораторный столик кладётся кусочек льда, и видеокамера записывает весь процесс его таяния (время течёт в естественном направлении; это прямой процесс). Просмотр сделанной записи в обратном порядке показывает, как вода в лужице постепенно возвращается к кусочку льда (время течёт вспять; это обратный процесс).
Выявление причин возникновения кризиса требует разработки научных методов анализа собранных данных. Наиболее естественным подходом является использование методов, которые уже признаны и применяются в других научных областях. В настоящее время широко используемым универсальным инструментом является математическое моделирование, суть которого — построение математической модели исследуемого явления, анализ построенной модели и взвешенный перенос новых знаний, полученных в результате такого анализа, на само явление.
Приведём слова И.Г. Шафаревича, в которых он мягко, но вполне определённо говорит о естественности привлечения математики к самым разным задачам: «Я не думаю, что математика радикально отличается от других форм культурной деятельности. Однако её объекты более абстрактны, в ней происходит отвлечение от большого числа случайных свойств. <...> Поэтому в математике ясно различимы
105
закономерности, хотя и универсальные, но лишь смутно видимые в других областях»7.
В математическом моделировании различают два типа возникающих задач: прямые и обратные. Прямые задачи характеризуются тем, что причины, лежащие в основе исследуемого явления, считаются известными, а цель — определить следствия, которые необходимо проявятся в результате действия этих причин. Поэтому в прямой задаче все параметры, определяющие математическую модель, предполагаются известными, что даёт возможность найти интересующие исследователя параметры решения. Как правило, в прямых задачах время течёт в обычном направлении, т. е. в направлении действия причинно-следственных связей.
Ко второму типу относятся так называемые обратные задачи. При постановке таких задач известны лишь следствия, а целью является определение причин, которые к этим следствиям привели. Постановка подобного рода задач в естественных науках, в частности в физике, сразу выявила гораздо более серьёзные проблемы, чем те, которые возникают при решении прямых задач. Чтобы охарактеризовать эти проблемы, обратимся к наглядному примеру, приведённому выше.
Прямая задача состоит в том, чтобы, зная форму, массу, температуру кусочка льда, температуру в комнате, её размеры и т. д., определить размеры и форму лужицы, которая образуется сразу после того, как лёд растает. Это серьёзная прямая задача, однако, если определять форму лужицы с высокой точностью нет необходимости, она может быть решена довольно быстро. Достаточно дать кусочку льда возможность растаять. Другой подход — построение математической модели, которая описывала бы процесс таяния льда и формирования лужицы, и её реализация в виде компьютерной программы. Этот подход заметно более сложен, однако при современном развитии компьютерных технологий вполне осуществим.
Поставим теперь обратную задачу. Имеется лужица, которая получилась в результате таяния кусочка льда; нужно определить форму этого кусочка. Ясно, что по сути требуется обратить время (этот признак характерен для обратных задач). Второе, что становится понятным: одна и та же лужица может быть получена из кусочков льда различной формы. В этом случае математики говорят о неединственности решения задачи. И сразу же встаёт вопрос, какое из возможных решений необходимо найти? Третье обстоятельство, которое оказывается очень важным при решении обратных задач — это устойчивость задачи. Задача называется устойчивой, если на малые изменения входных данных решение откликается также малыми изменениями.
7 Шафаревич И.Г. Сочинения. В 3 т. М.: Феникс, 1994. Т. 2. С. 461.
Следствием устойчивости задачи является необходимость получения входных данных с точностью, достаточной для достижения требуемой точности решения. Наш пример обратной задачи оказывается неустойчивым просто потому, что форма кусочка льда определяется неоднозначно.
В начале XX века французский учёный Ж. Адамар8 сформулировал основные требования, которым должны удовлетворять математические задачи, соответствующие физическому явлению:
1) решение задачи должно существовать;
2) решение должно быть единственным;
3) решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (требование устойчивости).
Такие задачи принято называть корректно поставленными (корректными задачами), а задачи, в постановке которых нарушается хотя бы одно из трёх этих требований, некорректно поставленными (некорректными задачами).
Долгое время многие учёные считали, что если задача не удовлетворяет трём условиям Адамара, то она не может считаться достойной исследования. И это одна из причин, почему некорректно поставленные задачи несколько десятилетий не попадали в основной поток активных математических исследований9.
Настоящий прорыв сделали советские учёные, внёсшие основной вклад в развитие теории некорректно поставленных задач. Научные школы под руководством А.Н. Тихонова10 и М.М. Лаврентьева11 в середине прошлого века разработали подходы к решению многих прикладных обратных задач.
В последующие десятилетия было сделано много важных открытий. Были найдены эффективные методы решения целых классов обратных задач. Выяснилось, что практически все обратные задачи некорректны. Было обнаружено, что некорректные задачи делятся на два класса: некорректные задачи бывают регуляризируемыми («хорошими»), которые можно переформулировать так, что к ним можно применить специально разработанные методы решения (регуляризирующие алгоритмы), и нерегуляризируемыми («плохими»), с которыми ничего поделать нельзя. Для этих задач
8 Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique // Bull. Univ. Prinston. 1902. No 13. P. 49-52; Hadamard J. Les problème de Cauchy et les équations partielles aux dérivées linéares hyperboliques. Paris: Hermann, 1932.
9 Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. С. 229-233.
10 Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.
11 Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
действует своеобразный принцип неопределенности: при повышении точности входной информации ошибка в решении только растёт и не может быть уменьшена.
«Хороших» некорректных задач сравнительно немного, и подходы к построению регуляризирующих алгоритмов достаточно просты. В чём же заключаются основные идеи их решения?
Прежде всего необходимо определить, что понимается под решением задачи. Каким требованиям должно соответствовать решение? Для некорректно поставленных задач вполне может оказаться, что решения в классическом понимании не существует. В этом случае понятие решения задачи переосмысливается так, чтобы оно существовало для более широкого класса входных данных. Такое, обобщённое, решение непременно должно совпадать с классическим решением в случае, когда последнее существует.
Приведем простой математический пример, иллюстрирующий эту проблему. Предположим, что мы хотим определить значения двух числовых параметров х1 и х2, связанных линейным уравнением, коэффициенты которого могут быть получены в результате измерений в различные моменты времени. Коэффициенты оказываются определенными с некоторой погрешностью, которая, как правило, связана с несовершенством способа измерений. Первое измерение дает нам уравнение
ац * Х1 + а12 * Х2 = Ьь Ясно, что, имея лишь одно уравнение, нам не удастся определить обе величины. Необходимо провести еще как минимум одно измерение. Оно дает второе уравнение
а21 * Х1 + а22 * Х2 = Ь2. Теперь, если полученная система окажется единственным образом разрешимой, можно получить значения интересующих нас величин (классическое решение). Однако интуитивно ясно, что чем больше можно провести измерений, тем возможно точнее удастся найти решение. Проведем еще несколько измерений. В результате мы получим сильно переопределенную систему линейных уравнений. Число уравнений в которой существенно больше числа неизвестных. В классическом смысле такая система уже, вообще говоря, неразрешима. В таком случае математики вводят новое понятие псевдорешения системы. Не будем загромождать текст формулами, скажем только, что понятие псевдорешения системы линейных уравнений позволяет решить проблему существования и единственности решения. Более того, если исходная система имеет единственное решение в классическом смысле, то псевдорешение
обязательно с ним совпадает.
При решении некорректной задачи необходимо использовать всю доступную информацию о решении, так как основной опорой построения регуляризирующих алгоритмов является использование априорной информации о решении. Наличие таковой сужает область, в которой ищется решение, и, при использовании достаточного набора сведений, нередко преобразует некорректную задачу в корректную. Такие задачи называются условно корректными. Если вернуться к кусочку льда, то, например, сведения о том, что это был ледяной кубик или шарик, позволяют восстановить размеры кусочка по размеру и форме лужицы практически однозначно. Это хорошо согласуется с очевидным тезисом, что для получения обоснованного ответа на поставленный вопрос необходимо как можно больше узнать обо всем, что с ним связано. Причём заранее неизвестно, что именно из этой информации окажется важным.
Даже если априорной информации недостаточно для такого преобразования некорректной задачи в корректную, её все равно надо учитывать. Необходимость обязательного учёта дополнительной информации о решении с учетом неустойчивости задачи приводит к тому, что алгоритм обработки данных для поиска решения становится неотъемлемой частью постановки задачи.
Характерным свойством обратных задач является неточность имеющейся входной информации. Очень важным теоретическим результатом исследования некорректных задач оказалась принципиальная невозможность построения регуляризирующего алгоритма в случае, когда неизвестна оценка погрешности входных данных. Таким образом, качество собранной информации о решении, применяемой математической модели и используемых фактических сведениях должно быть обязательно количественно оценено.
Рассмотрение методов решения обратных задач выявляет их тесную связь с решением прямых задач. По сути, любой алгоритм решения обратной задачи сводится к качественному решению серии прямых задач. Для того, чтобы разработать обоснованный метод решения прямой задачи, необходимо, опираясь на опыт и экспертное мнение, выдвигать гипотезы, которые связывают входные параметры задачи с выходными в направлении действия причинно-следственных связей (по течению времени). Затем проверять следствия, полученные при помощи этих гипотез, на соответствие сделанным ранее наблюдениям или на соответствие результатам специально разработанного эксперимента или серии экспериментов в случае, когда такие эксперименты возможны. Таким образом, мы опять приходим к важности сбора
всей доступной информации о том, как протекал процесс.
Но вернёмся к проблемам посткризисного анализа. Так же, как и обратные задачи математического моделирования, посткризисный анализ связан с обращением времени. Это объединяет трудности, возникающие при решении обратных задач, с проблемами, проявляющимися в выявлении причин кризисных ситуаций и катастроф. Да и сама цель восстановления причинно-следственных связей в направлении, противоположном их естественному развитию, сближает эти исследовательские области.
Таким образом, можно сформулировать следующие черты методологии решения обратных задач, которые, по нашему мнению, могут быть применены (в мягком, метафорическом понимании) к решению проблем посткризисного анализа.
Постановка задачи. Необходима тщательная постановка задачи, в которой важно определить, что понимается под решением проблемы. Фактически при анализе той или иной кризисной ситуации исследователь формулирует вопросы, на которые необходимо получить обоснованные ответы. И так же, как в обратных задачах, на первый план выходит формулировка этих вопросов. Но как правильно поставить вопрос? Ведь только правильно поставленные вопросы (корректные) допускают получение содержательных ответов. Это вовсе не означает, что такие ответы получить легко. Однако нередко весьма важной оказывается сама формулировка вопроса.
Аналогия с восстановлением причинно-следственных связей в посткризисном анализе позволяет утверждать, что ожидаемые ответы на интересующие исследователя вопросы также требуют предварительного осмысления. Вопросы и ответы оказываются тесно связанными, и формулировка вопроса должна содержать сведения о том, что же понимается под ответом. Свой рассказ «Верный вопрос» Р. Шекли заканчивает словами: «Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа»12.
Доказано, что в обратных задачах существуют проблемы, решение которых получить нельзя. Так и в посткризисном анализе есть вопросы, обоснованные ответы на которые получить невозможно в принципе.
Информация. Приступая к посткризисному анализу произошедшего кризиса или случившейся катастрофы, необходимо сразу же заняться сбором всей доступной информации и продолжать дополнять собранное в течение всего процесса посткризисного анализа новыми сведениями, которые могут неожиданно открыться. Когда информации много и её источники различны — от данных, полученных с помощью технических устройств, до сведений, содержащихся в простом разговоре, —
12 Шекли Р. Избранное. Калуга: Библио, 1992. С. 207.
необходима ее дальнейшая проверка и тщательная обработка, особенно если учитывать возможность наличия противоречий в полученных сведениях. Всю информацию о случившемся восстановить невозможно в принципе. Поэтому важно должным образом поступить с теми сведениями, которые собрать удалось. Оценка качества собранной информации в посткризисном анализе также остается важнейшей задачей исследователя.
Одним из хорошо работающих подходов к упорядочению накапливаемых данных о кризисе является построение синхронистической таблицы, в которой каждый, даже самый маленький клочок информации локализован не только по времени, но и по месту. Это очень кропотливая работа, отнимающая много времени и требующая огромного терпения. Но она способна вознаградить своих составителей. Исследуя по открытым источникам причины авиакатастрофы под Ярославлем в сентябре 2011 года, в которой погиб весь состав местной хоккейной команды, Т.А. Теплова разложила собранные ею данные по ячейкам, упорядоченным по времени и информационному полю. Получившуюся синхронистическую таблицу едва удалось разместить на письменном столе. Последующая обработка этой таблицы позволила ей определить причину катастрофы, отличную от официальной13. Несмотря на то, что все факты были получены из средств массовой информации, представленные ею расчёты и доводы оказались весьма убедительны.
Прямые задачи и частичные модели. Использование при проведении посткризисного анализа прямых подходов от гипотезы (из прошлого) к реалиям (в настоящее) хорошо зарекомендовало себя при решении обратных задач математического моделирования. А именно, рассмотрение эффективных методов решения обратных задач показывает их тесную связь с решением прямых задач. По сути, любой алгоритм решения обратной задачи сводится к осмысленному решению серии прямых задач, иными словами, к построению ряда более или менее несложных частичных моделей, которые в совокупности смогут отразить все значимые стороны исследуемой ситуации. Для того, чтобы разработать обоснованный метод решения прямой задачи, необходимо, учитывая накопленный опыт и экспертное мнение, выдвигать гипотезы, которые связывают входные параметры задачи с выходными в направлении действия причинно-следственных связей (по течению времени). Затем
13 Теплова Т.А., Шикин Е.В. Синхронистический подход к исследованию кризисных процессов // Государственное управление: Российская Федерация в современном мире. Сборник материалов XI Международной конференции факультета государственного управления МГУ имени М.В. Ломоносова (30 мая — 1 июня 2013 г.). М.: Инфра-М, 2014. С. 761-766.
проверять следствия, полученные при помощи этих гипотез на соответствие полученным ранее наблюдениям или сведениям. При наличии расхождений в имеющейся информации с тем, что получается в предположении о справедливости гипотез, необходимо грамотно корректировать эти гипотезы с учетом полученных расхождений. Заметим, что в посткризисном анализе по очевидным причинам применение экспериментального подхода или невозможно, или сильно ограничено. Что также значительно усложняет анализ.
При всей специфике исследований случившихся кризисов и катастроф сказанное выше показывает возможный путь их проведения.
Влияние человека. Есть ещё одна сторона посткризисного анализа, которая совсем не характерна для обратных задач математического моделирования. Это — человеческий фактор, проявляющий себя на всех этапах проведения анализа и чаще всего препятствующий как можно более полному восстановлению причинно-следственных связей. Здесь можно говорить и о попытках повлиять на цели исследования, и об удерживании под спудом важной информации, способной существенно повлиять на успешность расследования, и о неоправданно жёстких сроках, и т. д. При решении математических задач такой проблемы не возникает: то, что объявленное верным утверждение в действительности доказано или не доказано, всегда можно проверить. При посткризисном анализе нередко виновные называются задолго до окончания расследования, замалчиваются важные факты, возникают препятствия в получении нужных сведений и т. д. Неудивительно, что очень часто выводы, полученные при разборе знаковых кризисов и катастроф, вызывают чувство неудовлетворённости и вполне обоснованное недоверие общественности.
Конечно, это сложная проблема. О ней, опираясь на собственные наблюдения во время работы в президентской комиссии по расследованию причин катастрофы шатлла «Челленджер» в январе 1986 года, откровенно говорит выдающийся физик и незаурядный человек Р. Фейнман, всегда придерживавшийся в своей работе принципа «научной честности»14.
Полезность применения методологии решения обратных задач при проведении посткризисного анализа может быть проиллюстрирована на следующем примере.
Утром 8 октября 2001 года Италию, а затем и весь мир облетела трагическая новость об авиакатастрофе в миланском аэропорту Линате, в которой погибли
14 Фейнман Р. Какое тебе дело до того, что думают другие? Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. С. 67-173.
118 человек. В условиях густого тумана и плохой видимости столкнулись два самолета: Боинг MD-87 Скандинавских авиалиний (рейс 686), на борту которого находилось 110 человек, и восьмиместная лёгкомоторная «Сессна», частный самолёт, направлявшийся в Париж, которым управлял немецкий пилот-профессионал. Экипаж Боинга поздно заметил, что на его взлётной полосе находится другой самолёт, и не смог избежать столкновения. Затем, пытаясь взлететь, врезался в ангар и взорвался. Правда, оставалось совершенно непонятно, почему два самолёта оказались на одной взлётной полосе. У частного самолёта не было чёрного ящика, а чёрный ящик Боинга обнаружили лишь через неделю после катастрофы. Вследствие этого комиссия, созданная для расследования причин катастрофы, столкнулась с существенными трудностями.
Трагедия произошла в густом тумане и при плохой видимости. Поэтому члены комиссии сразу вспомнили другую авиакатастрофу, случившуюся 27 марта 1977 года, когда в аэропорту Лос-Родеос на Тенерифе (Канарские острова) столкнулись два Боинга-747 авиакомпаний Pan American World Airways и KLM. По количеству человеческих жертв — 583 — эта катастрофа является самой крупной в истории авиации. Девять месяцев продолжалось расследование трагедии, прежде чем правительство Испании обнародовало его результаты. Главной причиной катастрофы, по мнению комиссии, стала недисциплинированность командира Боинга, начавшего взлёт без разрешения диспетчерской службы. Поэтому неудивительно, что члены комиссии, исследовавшие причины миланской трагедии, также произошедшей в густом тумане и при плохой видимости, захотели в первую очередь проверить подобную версию об ответственности экипажей столкнувшихся самолётов, несмотря на то, что было известно об их высокой профессиональной подготовке. Однако, по нашему мнению, использование некоторых из рассмотренных выше аспектов методологии решения обратных задач могло существенно ускорить поиск истинных причин катастрофы. Попытаемся обосновать это.
Разумеется, члены комиссии понимали, что туман и плохая видимость, даже вкупе с возможной недисциплинированностью пилотов, едва ли являются единственными факторами, приведшими к катастрофе. Известно, что современная гражданская авиация обладает целым рядом «степеней защиты» от подобного рода катастроф, являясь чрезвычайно надежным средством перевозки пассажиров. Поэтому, как правило, подобные катастрофы происходят, если, к несчастью, в одном месте и в один момент времени сойдутся целый ряд неблагоприятных факторов, и это при
условии, что некоторые «подушки безопасности» по тем или иным причинам не выполнят своего предназначения. Это и есть то «априорное знание», которое должно было лежать в основе первоочередных мероприятий комиссии до обнаружения черного ящика Боинга, нацеливая исследователей на поиск всей доступной информации, так или иначе связанной с произошедшей трагедией. А именно, необходимо было проверить работоспособность всех технических систем аэропорта, позволяющих успешно управлять взлётом и посадкой и в условиях плохой видимости, избегая при этом столкновений самолётов в результате несанкционированных выездов на взлётную полосу. Так, в Линате, как и в других современных аэропортах мира, были установлены датчики движения и сигнализация, предупреждающая о несанкционированном выезде на взлётную полосу. Даже при отказе всех остальных систем звуковая сигнализация должна была сработать. Любопытно, что члены комиссии стали проверять работу звуковых датчиков лишь после того, как, прослушивая записи переговоров диспетчера с пилотами, они не услышали характерных звуков. И действительно, проверка датчиков и звуковой сигнализации показала, что сигнализация не срабатывает. Оказалось, что здесь она была отключена много лет назад, поскольку кому-то не понравилось обилие ложных срабатываний системы, которые происходили из-за перемещений животных или машин, проверяющих работу служб аэропорта. Но и это ещё не всё. Целенаправленный поиск причин катастрофы, исходя из сформулированного выше «априорного знания» в виде неработоспособных систем защиты в аэропорту, могло бы выявить и тот поразительный факт, что в аэропорту Линате уже много лет не было наземного радара. Оказалось, что старый наземный радар пришёл в негодность и его демонтировали. Был приобретён новый радар, однако по неизвестным причинам он не был распакован и установлен. А ведь наземный радар — это важнейший элемент системы безопасности любого крупного аэропорта, позволяющий следить за перемещениями самолётов и других транспортных средств на земле и, следовательно, эффективно управлять наземным движением даже в условиях плохой видимости. Вряд ли можно сомневаться в том, что будь в аэропорту работающий наземный радар, диспетчер не мог бы не заметить ошибочного движения частного самолёта и остановил бы его. Кроме того, думается, что еще до обнаружения черного ящика можно было смоделировать ситуацию управления диспетчером взлетом в условиях плотного тумана и плохой видимости, т. е. поставить перед диспетчером несколько «прямых задач» управления взлетом, поскольку, как мы отмечали выше, алгоритм решения обратной задачи (в нашем случае, выявление причин катастрофы) сводится к осмысленному
решению серии прямых задач, другими словами, к построению ряда более или менее несложных частичных моделей, которые в совокупности смогут отразить все значимые стороны исследуемой ситуации. Тогда очень вероятно, что на основе сопоставления команд диспетчера и реальной разметки летного поля было бы обнаружено, что диспетчерские карты не вполне соответствовали реальной разметке летного поля, а многие обозначения и надписи на бетоне оказались полустертыми и к тому же скрытыми высокой травой. (Все это члены комиссии выяснили позднее, с помощью найденных черных ящиков, анализируя процесс взаимодействия диспетчера с пилотом). Оказалось, что в ходе обучения диспетчеров «экскурсий» по аэропорту в сопровождении квалифицированных инструкторов не предусматривалось, поэтому неудивительно, что диспетчер был плохо знаком с обозначениями на лётном поле аэропорта. Кроме того, как выяснили члены комиссии в процессе опроса диспетчеров и других сотрудников, несанкционированный выезд самолётов на взлётную полосу — явление в аэропорту Линате довольно частое (до катастрофы оно происходило примерно раз в неделю; последний несанкционированный выезд был зафиксирован менее чем за сутки до столкновения и произошёл именно на той самой рулевой дорожке, на которой и произошло столкновение). Эти несанкционированные выезды происходили при нормальной видимости, и, поскольку столкновений не было, они, по-видимому, серьёзно не рассматривались, а трактовались как «шумы», вызванные различными причинами, главной из которых была невнимательность пилотов. Такое восприятие не дало возможности своевременно выявить существенные недостатки как в работе диспетчеров, так и в организации управления аэропорта в целом, которых, кстати сказать, обнаружилось немало. Стоит отметить, что подобного рода информация далеко не всегда оказывается в распоряжении посткризисной комиссии, что, разумеется, не способствует выяснению действительных причин кризисных ситуаций и тем самым содержит в себе риски их рецидива. (Подробный разбор катастрофы в миланском аэропорту Линате 8 октября 2001 года можно найти в нашем докладе на XII Международной конференции факультета государственного управления МГУ имени М.В. Ломоносова в мае 2013 года15).
Приведем еще один содержательный пример решения обратной задачи, не связанной с математическим моделированием. В нем речь пойдёт о памятнике
15 Агаян Г.М., Григорян А.А., Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Ситуационный анализ одного кризиса: слабые сигналы требуют пристального внимания // Государственное управление: Российская Федерация в современном мире. Сборник материалов XII Международной конференции факультета государственного управления МГУ имени М.В. Ломоносова (29-31 мая 2014 г.). М.: Инфра-М, 2015. С. 333-338.
древнерусской литературы — «Слове о полку Игореве»; точнее о том, кто его создал. «Слово» опирается на летописный рассказ (более обширный в Ипатьевской летописи и более сжатый в Лаврентьевской) и является откликом на события похода 1185 года северского князя Игоря Святославича на половцев16.
Начать необходимо с краткой исторической справки.
«Слово о полку Игореве» было издано в 1800 году А.И. Мусиным-Пушкиным17. По его словам, оно входило в состав приобретённого им рукописного сборника. Правда, способ приобретения до сих пор остаётся не совсем ясным; А.И. Мусин-Пушкин говорил об этом скупо и уклончиво. Считается, что через двенадцать лет после издания «Слова о полку Игореве» этот рукописный сборник погиб при нашествии Наполеона в великом московском пожаре.
Почти сразу после публикации «Слова о полку Игореве» наряду с теми, кто считал «Слово» подлинным, появились и те, кто называл его подделкой, созданной в конце XVIII века. С течением времени численность сторонников и противников подлинности только росла, вовлекая в свои ряды как любопытствующих, так и серьёзных учёных. Этот рост продолжается и сейчас, а дискуссия между сторонниками и противниками подлинности «Слова о полку Игореве» до сих пор не угасает, хотя после выхода «Слова» в свет прошло более двухсот лет. Особенности этой дискуссии о подлинности или неподлинности «Слова о полку Игореве» связаны прежде всего с некоторой таинственностью обстоятельств, при которых «Слово» стало известно общественности. К тому же, исчез единственный экземпляр рукописного сборника, что сделало невозможным анализ почерка, бумаги, чернил и иных материальных характеристик первоисточника и тем самым усложнило задачу будущих исследователей. Следует также отметить, что за годы, прошедшие после его издания, никаких новых списков «Слова» обнаружено не было.
Возникшая проблема формулируется просто: есть текст «Слова о полку Игореве», и требуется обосновать справедливость одной из двух взаимно исключающих версий — или это подлинник, или это подделка.
Но так ли просто её разрешение?
Сделаем небольшое, но важное отступление и расскажем о другой проблеме, имеющей более долгую историю и известной как «Великая теорема Ферма».
16 Слово о полку Игореве. М.: Детская литература, 1970.
17 Ироническая песнь о походе на половцев удельного князя Новагорода-Северского Игоря Святославича. М., 1800.
Её формулировка доступна практически каждому образованному человеку. Дано уравнение, связывающее четыре числа х, у, 2 и п:
ХП + уП = 2П .
Необходимо доказать, что это уравнение не имеет решения в целых числах, если п > 3.
Проблема получила своё название по имени французского учёного Пьера Ферма, который впервые её сформулировал в середине XVI века.
Простота и доступность формулировки теоремы привлекли внимание большого числа людей разных возрастов и уровня подготовки, от школьников и учителей до любителей математики, среди которых постепенно начало проявляться, а позднее и укрепилось мнение: раз проблема формулируется просто, то и её доказательство можно получить простыми, элементарными средствами. Однако доказать справедливость утверждения теоремы такими способами никак не удавалось, что, впрочем, слабо влияло на рост числа желающих найти манящее доказательство. Математические журналы оказались заваленными лавиной ошибочных доказательств, и в какой-то момент их редколлегии были вынуждены отказаться принимать к рассмотрению работы, посвящённые теореме Ферма, а тех увлечённых, кто не оставлял безуспешных попыток найти доказательство, придумывая всё новые и новые подходы, а нередко и уловки, стали полунасмешливо называть «ферматистами».
Одним из типичных примеров ошибочного доказательства теоремы Ферма является следующий: автор разбивает доказательство на несколько случаев и аккуратно и строго разбирает их один за другим, за исключением последнего, про который говорит, что в этом случае доказательство проводится аналогично. Но, если каждый из подробно разобранных случаев доказан верно, то к последнему это не относится — аналогичное доказательство здесь не проходит, и именно там скрыта ошибка.
Не прошла теорема Ферма и мимо серьёзных математиков, правда со временем они перестали интересоваться ею открыто, но продолжали искать решение задачи, таясь (из опасения насмешек со стороны коллег — поиск доказательства теоремы Ферма стал считаться дурным тоном). То, насколько теорема Ферма затягивает желающих её доказать, увлекательно описано в рассказе А. Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол»18.
Так продолжалось почти до наших дней, когда, опираясь на результаты, полученные в середине XX века в таких трудных математических науках, как теория
18 Трудная задача: Сб. научно-фантаст. Произведений / Сост. Ю. Данилов; худож. К. Сошинская. М.: Мир, 1982. С. 5-14.
чисел и алгебраическая геометрия, и существенно их используя, английский математик Эндрю Уайлс в 1994 году предъявил доказательство Великой теоремы Ферма19.
У математических наук есть замечательное свойство: справедливость доказанного утверждения всегда можно проверить. И, когда первоначально представленное доказательство Э. Уайлса (1993 года) подверглось скрупулёзному анализу математиков, в нём были обнаружены неясности и существенные пробелы — задача оказалась ещё более трудной, чем считалось. Только после того, как за год Уайлсу удалось ликвидировать все пробелы и снять все неясности, доказательство было признано математическим сообществом.
Стоит особо отметить, что вызреванию далеко не элементарного инструментария, посредством которого удалось доказать так просто формулируемую теорему Ферма, потребовалось более 300 (!) лет.
Но вернёмся к вопросу о подлинности / неподлиности «Слова о полку Игореве». При изложении материала мы будем пользоваться извлечениями из работ выдающегося лингвиста Андрея Анатольевича Зализняка — его монографии «"Слово о полку Игореве": взгляд лингвиста»20 и доклада, сделанного на общем собрании Российской академии наук21.
Итак, есть текст «Слова», и нужно обосновать справедливость одной из взаимно исключающих версий — или это подлинник, или это подделка.
Очень внимательный и бесспорно хорошо подготовленный читатель (А.А. Зализняк) пишет о том, что от большинства работ на тему подлинности или неподлинности «Слова» остаётся ощущение, что автор работы сначала чисто интуитивно приходит к выводу о том, какая из двух версий верна, а затем уже подбирает как можно большее количество фактов, которые служат на пользу этой версии22. При этом безусловное большинство фигурирующих в дискуссии аргументов носит не абсолютный характер, а использует лишь одно из возможных объяснений того или иного факта23. Убедительность многих работ страдает и от того, что их авторы не способны ограничиться в защите своей версии одними лишь надёжными
19 Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2000.
20 ЗализнякА.А. «Слово о полку Игореве»: взгляд лингвиста. М.: Рукописные памятники Древней Руси, 2008.
21 Зализняк А.А. Проблема подлинности «Слова о полку Игореве» // Вестник РАН. 2008. Т. 78. № 5. С. 403-406.
22 Зализняк А.А. «Слово о полку Игореве»: взгляд лингвиста. С. 26.
23 Там же. С. 29.
утверждениями. Очень часто автор идёт дальше и добавляет к ним менее надёжные и даже просто сомнительные аргументы. Ему самому в страстной вере они представляются столь же очевидными и непреложными; излишняя страстность тоже не способствует убедительности24.
Степень увлечённости многих авторов напоминает ничем не сдерживаемую одержимость «ферматистов».
Во множестве опубликованных работ, посвящённых «Слову», выдвинуты сотни разнообразных соображений, которые с некоторой степенью вероятности говорят в пользу отстаиваемой версии. Но очень часто из предъявленного факта решительно ничего не вытекает с необходимостью, и даже, если взглянуть на тот же самый факт чуть иначе, он начинает выглядеть как свидетельство в пользу противоположной версии. Поэтому, как это ни поразительно, сторонники противоречащих друг другу точек зрения нередко ссылаются на одни и те же факты25.
Становится ясно, что используемый авторами подход, опирающийся на множественность привлекаемых литературоведческих и историко-культурных аргументов, которые носят в целом недостаточно строгий характер, и на рассуждения в рамках одной из двух основных версий, не даёт обоснованного ответа и позволяет каждой их сторон оставаться при своём мнении.
Замечание. Кстати, у математиков есть достаточно распространённый приём, применяемый при доказательстве сформулированного (нередко гипотетического) утверждения: после того как многочисленные попытки доказать справедливость утверждения (в предположении, что оно верно) оказываются неудачными, они пробуют доказать его отрицание (привести контрпример, в котором все условия утверждения выполнены, а вывод — нет). Нередко такой приём оказывается весьма плодотворным.
Значит, нужно как-то по-иному сформулировать проблему и применить какой-то другой, более строгий, более совершенный инструментарий.
В своём ответном литературном слове на церемонии вручения ему Литературной премии Александра Солженицына 2007 года «Истина существует» А.А. Зализняк признался, что действительным мотивом, побудившим его ввязаться в это дело, было ощущение «слабости и второсортности нашей лингвистической науки, если она за столько времени не может поставить обыкновенный диагноз лежащему
24 Зализняк А.А. «Слово о полку Игореве»: взгляд лингвиста. С. 24.
25 Там же. С. 20.
перед нами тексту... Неужели текст не имеет совсем никаких объективных свойств, которые позволили бы отличить древность от имитации?»26
И вот как А.А. Зализняк подошёл к разрешению этого дела, названного им трудным и запутанным. Он поставил задачу так: в предположении, что «Слово» — подделка XVIII века, максимально возможно охарактеризовать основные качества её автора; в том числе, насколько широки должны были быть его сведения о русских письменных памятниках XI-XVI веков, насколько глубоки должны были быть его знания о русском языке тех времён. Для чего, привлекая современный лингвистический инструментарий и знания, подвергнуть язык памятника соответствующему анализу и осмыслить полученные результаты.
А.А. Зализняк по-новому формулирует проблему и использует для её решения более строгий инструментарий, ибо возможности лингвистики позволяют достичь на порядок более высокой степени строгости, чем в других гуманитарных науках27.
В настоящее время усилиями большого числа исследователей язык «Слова о полку Игореве» изучен достаточно подробно, и общий вывод этих исследований таков: язык «Слова о полку Игореве» — правильный древнерусский XI-XII, на который наложены орфографические и фонетические особенности, свойственные писцам XV-XVI веков в целом и писцам северо-запада восточнославянской зоны в частности28. Тем самым автор подделки должен был:
«создать текст, удовлетворяющий грамматическим и лексическим нормам языка XII века;
сымитировать эффекты орфографического, фонетического, морфологического и иного характера, включая ошибки, которыми обычно сопровождалось копирование древнего текста переписчиками XV-XVI веков;
сымитировать диалектические эффекты, характерные для северозападных писцов данных времён»29.
Сегодня известно, что эти конкретные лингвистические задачи решены в тексте «Слова» в целом очень хорошо.
Скрупулёзное исследование текста «Слово о полку Игореве», проведённое А.А. Зализняком лингвистическими средствами, показало, что автор подделки должен был вложить в создание «Слова» громадный филологический труд, сконцентрировав в
26 Зализняк А.А. Из заметок о любительской лингвистике. М.: Русский Мир; Московские учебники, 2009.
27 Там же. С. 404.
28 Зализняк А.А. «Слово о полку Игореве»: взгляд лингвиста. С. 33.
29 Там же. С. 35.
себе накопленные им обширнейшие знания, не оставив потомкам ни слова обо всех своих открытиях, в том числе и выдающихся, пожелав для себя вместо этого полной безвестности. Ему удалось значительно опередить весь остальной учёный мир, который потратил на собирание этих открытий заново ещё два столетия, сделав столько же, сколько сделали в сумме сотни филологов этих веков, провидеть рождение новых дисциплин и поставить перед собой такие задачи, саму возможность которых лингвисты осознали лишь на век-два позже.
Очень интересна и несколько неожиданна форма представления окончательного результата: «В отличие от математики, в гуманитарных проблемах доказательства в абсолютном смысле невозможны. <...> Поэтому итог анализа языка "Слово о полку Игореве" таков: подделка не является абсолютно невозможной, но она могла иметь место в том предельно маловероятном случае, если её осуществил беспримерный гений»30.
Важное замечание. Это пример обратной задачи, при разрешении которой использовался не математический аппарат.
Обратные задачи относятся к наиболее сложным в современном естествознании. В настоящее время накоплен опыт в решении этих задач. Между проблемами, которые возникают при решении обратных задач, и гораздо более сложными задачами посткризисного анализа возникает прямая аналогия. Поэтому использование методологии решения обратных задач может существенно оптимизировать процесс посткризисного анализа, целью которого, как нам кажется, является не только и не столько поиск виновных, но разработка мероприятий, реализация которых должна обеспечить эффективное функционирование «защитных механизмов» предупреждения кризисных ситуаций, или, по крайней мере, снижение степени их негативных последствий.
Список литературы:
1. Агаян Г.М., Григорян А.А., Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Ситуационный анализ одного кризиса: слабые сигналы требуют пристального внимания // Государственное управление: Российская Федерация в современном мире. Сборник материалов XII Международной конференции факультета государственного управления МГУ имени М.В. Ломоносова (29-31 мая 2014 г.). М.: Инфра-М, 2015. С. 333-338.
2. Воловик Г.Е., Минеев В.П. Физика и топология. М.: Знание, 1980.
30 Зализняк А.А. Проблема подлинности «Слова о полку Игореве».
3. Зализняк А.А. «Слово о полку Игореве»: взгляд лингвиста. М.: Рукописные памятники Древней Руси, 2008.
4. Зализняк А.А. Проблема подлинности «Слова о полку Игореве» // Вестник РАН. 2008. Т. 78. № 5. С. 403-406.
5. Зализняк А.А. Из заметок о любительской лингвистике. М.: Русский Мир; Московские учебники, 2009.
6. Ироническая песнь о походе на половцев удельного князя Новагорода-Северского Игоря Святославича. М., 1800.
7. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
8. ЛаврентьевМ.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
9. Манин Ю.И. Математика как метафора. 2-е изд., доп. М.: МЦНМО, 2010.
10. Налимов В.В. О возможности метафорического использования математических представлений в психологии // Психологический журнал. 1981. Т. 3. № 2. С. 39-47.
11. Прутков К. Сочинения. М.: Художественная литература, 1976.
12. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2000.
13. Слово о полку Игореве. М.: Детская литература, 1970.
14. Теплова Т.А., Шикин Е.В. Синхронистический подход к исследованию кризисных процессов // Государственное управление: Российская Федерация в современном мире. Сборник материалов XI Международной конференции факультета государственного управления МГУ имени М.В. Ломоносова (30 мая — 1 июня 2013 г.). М.: Инфра-М, 2014. С. 761-766.
15. Тихонов А.Н., АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.
16. Трудная задача: Сб. научно-фантаст. Произведений / Сост. Ю. Данилов; худож. К. Сошинская. М.: Мир, 1982.
17. Уайтхед А.Н. Избранные работы по философии. М.: Прогресс, 1990.
18. Фейнман Р. Какое тебе дело до того, что думают другие? Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
19. Шафаревич И.Г. Сочинения. В 3 т. М.: Феникс, 1994. Т. 2.
20. Шекли Р. Избранное. Калуга: Библио, 1992.
21. ARISE 2. Unleashing America's Research & Innovation Enterprise / American Academy of Arts and Sciences, 2013. URL: https://www.amacad.org/multimedia/pdfs/publica
tions/researchpapersmonographs/arise2.pdf (accessed: 23.10.2016).
22. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique // Bull. Univ. Prinston. 1902. No 13. P. 49-52.
23. Hadamard J. Les problème de Cauchy et les équations partielles aux dérivées linéares hyperboliques. Paris: Hermann, 1932.
Agayan G.M., Grigoryan A.A.,\Shikin E.V.
Post-crisis Analysis and the Methodology for Solving Inverse Problems
Galina M. Agayan — Ph.D., Associate Professor, School of Public Administration, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation. E-mail: agay an@spa. msu. ru
Alexander A. Grigoryan — Ph.D., Associate Professor, School of Public Administration, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation. E-mail: grigoryan@spa. msu. ru
Yevgeny V. Shikin — Ph.D., Professor, Head of Department of Mathematical Methods and Informational Technologies in Public Administration, School of Public Administration, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation.
Annotation
A promising modern approach to solving complex multi-factor problems is the transdisciplinary one. The development of scientific methods for post-crisis analysis is definitely is one of such problems. This article examines the methodology, already well established within the natural sciences, of solving inverse problems in order to identify the knowledge that at a higher level of abstraction can be applied to crisis management and analysis.
Keywords
Crisis, crisis management, post-crisis analysis, inverse problems.
References:
1. Agaian G.M., Grigorian A.A., Shikin E.V., Shikina G.E. Situatsionnyi analiz odnogo krizisa: slabye signaly trebuiut pristal'nogo vnimaniia. Gosudarstvennoe upravlenie: Rossiiskaia Federatsiia v sovremennom mire. Sbornik materialov KhII Mezhdunarodnoi konferentsii fakul'teta gosudarstvennogo upravleniia MGU imeni M.V. Lomonosova (29-31 maia 2014g.). Moscow: Infra-M, 2015. Pp. 333-338.
2. Volovik G.E., Mineev V.P. Fizika i topologiia. Moscow: Znanie, 1980.
3. Zalizniak A.A. "Slovo o polku Igoreve": vzgliad lingvista. Moscow: Rukopisnye pamiatniki Drevnei Rusi, 2008.
4. Zalizniak A.A. Problema podlinnosti "Slova o polku Igoreve". Vestnik RAN, 2008, vol. 78, no 5, pp. 403-406.
5. Zalizniak A.A. Iz zametok o liubitel'skoi lingvistike. Moscow: Russkii Mir; Moskovskie uchebniki, 2009.
6. Ironicheskaia pesn' o pokhode na polovtsev udel'nogo kniazia Novagoroda-Severskogo Igoria Sviatoslavicha. Moscow, 1800.
7. Kurant R. Uravneniia s chastnymi proizvodnymi. Moscow: Mir, 1964.
8. Lavrent'ev M.M., Romanov V.G., Shishatskii S.P. Nekorrektnye zadachi matematicheskoi fiziki i analiza. Moscow: Nauka, 1980.
9. Manin Iu.I. Matematika kak metafora. 2-e izd., dop. Moscow: MTsNMO, 2010.
10. Nalimov V.V. O vozmozhnosti metaforicheskogo ispol'zovaniia matematicheskikh predstavlenii v psikhologii. Psikhologicheskii zhurnal, 1981, vol. 3, no 2, pp. 39-47.
11. Prutkov K. Sochineniia. Moscow: Khudozhestvennaia literatura, 1976.
12. Singkh S. Velikaia teorema Ferma. Moscow: Izd-vo Moskovskogo tsentra nepreryvnogo matematicheskogo obrazovaniia, 2000.
13. Slovo opolku Igoreve. Moscow: Detskaia literatura, 1970.
14. Teplova T.A., Shikin E.V. Sinkhronisticheskii podkhod k issledovaniiu krizisnykh protsessov.
Gosudarstvennoe upravlenie: Rossiiskaia Federatsiia v sovremennom mire. Sbornik materialov 11 Mezhdunarodnoi konferentsii fakul'teta gosudarstvennogo upravleniia MGU imeni M.V. Lomonosova (30 maia — 1 iiunia 2013 g.). Moscow: Infra-M, 2014. Pp. 761-766.
15. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ia. Metody resheniia nekorrektnykh zadach. Moscow: Nauka, 1974.
16. Trudnaia zadacha: Sb. nauchno-fantast. Proizvedenii / Sost. Iu. Danilov; khudozh. K. Soshinskaia. Moscow: Mir, 1982.
17. Uaitkhed A.N. Izbrannye raboty po filosofii. Moscow: Progress, 1990.
18. Feinman R. Kakoe tebe delo do togo, chto dumaiut drugie? Izhevsk: NITs "Reguliarnaia i khaoticheskaia dinamika", 2001.
19. Shafarevich I.G. Sochineniia. V 3 t. Moscow: Feniks, 1994. T. 2.
20. Shekli R. Izbrannoe. Kaluga: Biblio, 1992.
21. ARISE 2. Unleashing America's Research & Innovation Enterprise / American Academy of Arts and Sciences, 2013. URL: https://www.amacad.org/multimedia/pdfs/publications/researchpapersmonographs/arise2. pdf (accessed: 23.10.2016).
22. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Bull. Univ. Prinston. 1902, 13, pp. 49-52.
23. Hadamard J. Les problème de Cauchy et les équations partielles aux dérivées linéares hyperboliques. Paris: Hermann, 1932.
