CC BY
36
2005
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 96
УДК 629.735
Постановка задачи идентификации переходных вероятностей управляемых дискретнозначных марковских моделей методами теории
искусственных нейронных сетей
Д. М. НЕНАДОВИЧ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шахтариным Б.И.
В статье представлены результаты разработки математической модели процесса функционирования телекоммуникационной системы в виде стохастических разностных уравнений состояния и наблюдения. Предлагается постановка задачи идентификации элементов матрицы одношаговых переходных вероятностей на основе методов теории искусственных нейронных сетей.
Решение задач оптимального управления сложными информационными системами, в частности, современными телекоммуникационными сетями (ТКС), которые в большинстве случаев можно классифицировать как мультисервисные и гетерогенные, приводит к необходимости унификации математического описания процесса их функционирования.
Одним из походов к решению проблемы унификации является моделирование процесса функционирования ТКС “разрывным” марковским процессом изменения состояния сети (или характеризующих ее параметров) дискретного как по времени, так и по состояниям (например: количество пакетов информации, находящихся в системе обслуживания ТКС в данный момент времени, количество свободных единиц ресурса и т.д.). Суть подхода состоит в получении адекватных процессу функционирования стохастических разностных уравнений состояний ТКС, на основе леммы доказанной в работе [1] и являющейся многомерным обобщением известной теоремы Дж. Дуба [2].
В этом случае уравнения состояния и наблюдения процесса функционирования ТКС могут быть записаны следующим образом [3]:
у (к+1) = С?. (к + 1) 0у (к + 1); (1)
0у (к+1)=ф1 (к+1,к,и)0у (к) + Г(к)Пу (к+1); (2)
уу (к+1) = Ну. (к, у, (к) )0 у (к + 1) + Уу (к +1), (3)
где у. (к +1) - вектор дискретных по времени и по состояниям значений параметра, характеризующего состояние ТКС; С? (к +1) = [у ф,...,У, (М)] - матрица-строка состояний ьго параметра ТКС; 0у (к+1) - вектор вспомогательных индикаторов состояния ьго параметра ТКС
(0 у (к+1)= 1 при у, (к + 1)= у.т (к + 1); 0 у (к + 1)=0 в остальных случаях); Ну - М-мерная
матрица наблюдения, содержащая известные функции наблюдения за процессом у, (к + 1); гу,1 -вектор наблюдения за значением ьго параметра ТКС; У у, (к+1) - вектор последовательностей шума возбуждения, являющийся ступенчатым мартингалом, компенсирующим нецелочисленную часть в уравнении (2) ( М [у(к)] =0, М [уу (к)Уут (к)]=[ ); Г(к)= diag |Тд/2о^ ртт / N. } - матрица диффузий процесса изменения у. (к +1) , где Т, ртт - период и интенсивность изменения состояния марковской цепи соответственно; сгв, Ыу - ковариационная матрица и спектральная плотность мощности шума возбуждения соответственно; йу - вектор непрерывнозначных гауссовских последовательностей шума наблюдения за процессом изменения у, (к +1) с
М [щ (к)]=0, М [щ (к)щ т (к)]=[, I - единичная матрица; (рф - матрица одношаговых переходных вероятностей (ОПВ), учитывающая управляющие воздействия и(к) на вероятностновременной механизм процесса изменения значения параметра у. (к +1) , характеризующего состояние ТКС.
Нетрудно видеть, что основную сложность реализации представленной модели в автоматизированной системе управления ТКС определяет недостаточность (неполнота, противоречивость) данных о значениях элементов матрицы ОПВ. Очевидно, что возникает необходимость в реализации дополнительной процедуры идентификации значений элементов матрицы ОПВ.
Алгоритм идентификации, предложенный в [4], позволяет решить задачу методами линейного программирования для частного случая двухмерной цепи Маркова. В условиях, когда далеко не всегда можно корректно сформулировать и решить задачу идентификации чисто аналитическими методами, наиболее привлекательным выглядит использование методов искусственных нейронных сетей (ИНС) [5]. Рассмотрим алгоритм, предназначенный для преобразования неточно (противоречиво) заданных значений элементов матрицы ОПВ, синтезированный на основе экстраполирующей нейронной сети (ЭНС) со структурой. представленной на рис. 1.
Рассмотрим подробнее процесс определения значений элементов матрицы ОПВ на примере трехмерной цепи Маркова с помощью нейросетевого алгоритма идентификации. В ИНС такого типа используются когнитивные карты для каждого из возможных состояний, полностью задаваемые матрицами связей, имеющими, для трех состояний неточно (противоречиво) заданного параметра ТКС, вид:
^х(к) ^ 12 ( к ) ^3(к)
W(к) || =
w
21
(к)
w
31( к) ^2(к) ^3(к)_
В рамках нейросетевого алгоритма идентификации элементов ОПВ, каждый элемент Wij(k) данной матрицы, характеризующей одну строку ОПВ (одно стартовое состояние), описывает взаимосвязь, корреляционную зависимость вероятностей перехода из данного состояния в
22
(к)
w
w
23
(к)
(4)
l|W(k)||
Рис. 1. Вариант структуры ЭНС для индентификации значений элементов матрицы ОПВ
другие, зависимость ьй вероятности перехода и j-й вероятности перехода на к-м шаге функционирования сети, причем, с ростом вероятности исходного (для которого строится матрица) состояния, доминирующее значение любой другой вероятности над остальными, оставшимися в строке, кодируется 1, снижение других значений вероятности с ростом вероятности исходного состояния кодируется -1, а отсутствие корреляционных связей между вероятностями кодирует-
ся 0. При этом равнозначное влияние роста вероятности исходного состояния на все оставшиеся кодируется 1 для всех возможных связей.
Рассмотрим формирование матрицы связей (весов) на примере. Для трех возможных состояний параметра ТКС должны быть заданы три матрицы весов. Если речь идет о первой строке ОПВ, т.е. идентифицируются вероятности перехода из первого состояния во второе, в третье и вероятность остаться в первом состоянии, то матрица весов может иметь вид
к)
0 1 -1
1 0 -1
1 1 0
(5)
Физический смысл элементов данной матрицы весов можно описать, используя соответствующую ей когнитивную карту (рис.2), где в роли концепт выступают вероятности, расположенные в первой строке ОПВ.
Рис.2. Вариант представления знаний о корреляционных зависимостях вероятностей перехода из первого состояния в виде когнитивной карты
Предложенная когнитивная карта и соответствующая ей матрица весов (5) представляют мнение о том, что рост вероятности р11(к) приводит к повышению (доминированию) вероятности р12(к) по отношению к вероятности перехода из первого состояния в третье р13(к), рост вероятности р12(к) приводит к повышению (доминированию) вероятности р11(к) по отношению к вероятности р13(к), а рост вероятности р13(к) равнозначно скажется на изменении вероятностей р11(к) и р12(к). При этом нули в диагонали матрицы весов характеризуют отсутствие взаимосвязи вероятностей самих с собой. Аналогичным образом формируются когнитивные карты и матрицы весов для двух оставшихся строк ОПВ.
Для составления когнитивных карт, характеризующих неточные (противоречивые) знания о механизме перехода сети из состояния в состояние, как правило, привлекаются эксперты, задачей которых является установление множества элементов ОПВ (концептов), определяющих область возможных состояний, и характера связей между ними. Это позволяет естественным образом объединить знания нескольких экспертов в вопросах влияния на ТКС и реализуемые ею процессы воздействий различного рода.
Кроме того, когнитивные карты каждого эксперта могут быть естественным образом объединены в итоговую когнитивную карту, учитывающую мнения всех привлекаемых экспертов [5]. Процедура обобщения знаний экспертов демонстрируется на рис. 3.
Здесь мнения четырех экспертов представлены в виде четырех отдельных когнитивных карт, отличающихся связями между концептами.
Для представления общей картины, учитывающей неточные (противоречивые) мнения всех экспертов о корреляционных зависимостях вероятностей перехода, формируются матрицы связей (весов) для каждой карты.
Рис.3. Пример комбинирования неточных (противоречивых) знаний экспертов о корреляционных зависимостях вероятностей перехода из первого состояния путем слияния когнитивных карт
Затем, для получения матрицы весов для итоговой когнитивной карты выполняется суммирование всех Б; (в нашем случае 1 = 1,..., 4), что приводит к результату
4 Го 3 -2"
№ Лk)||= F = X FI = 3 0-1. (6)
'■=1 [2 3 0
Так как полученная матрица отражает неточные (противоречивые) мнения всех экспертов о корреляционных зависимостях вероятностей перехода, она содержит не только элементы 1, 0, -1, но и более полно отражает причинно-следственные зависимости между концептами (значениями вероятностей перехода первой строки ОПВ). Аналогичным образом могут быть сформированы итоговые когнитивные карты и итоговые матрицы весов для остальных строк ОПВ рф .
Вариант структуры ЭНС, являющейся разновидностью модели двунаправленной ассоциативной памяти [5] и предназначенной для идентификации значений вероятностей перехода параметра ТКС из состояния в состояние, представлен на рис. 4.
S Sb
Рис.4. Вариант структуры ЭНС для идентификации значений вероятностей перехода неточно (противоречиво)
заданного параметра ТКС из состояния в состояние
Далее для реализации процедуры индентификации элементов матрицы ОПВ неточно (противоречиво) заданного параметра ТКС из состояния в состояние необходимо синтезировать алгоритм функционирования ЭНС, предназначенный для определения значений параметров процедур моделирования в условиях нестохастической неопределенности - недостоверности (недостатка, неполноты, противоречивости) информации.
ЛИТЕРАТУРА
1.Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов (Нелинейная фильтрация и смежные вопросы). М.: Наука, 1974.
2.Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. ра-дио,1975.
3.Ненадович Д.М. Унифицированная математическая модель процесса функционирования управляемой информационной системы.// Известия вузов. Радиоэлектроника, № 3, 1992.
4.Ненадович Д.М., Терентьев В.М., Феоктистов С.В. Алгоритм идентификации переходных вероятностей
управляемых дискретнозначных марковских последовательностей.// Известия вузов. Радиоэлектроника, № 11,
1991.
5.Щербаков М.А. Искусственные нейронные сети. Пенза: ПГТУ, 1996.
D.M. Nenadovich
Formulation of identification problems of transition probabilities of control discrete Markov models with artificial neuron nets theory methods
The results of mathematical model development of telecommunication system operation as stochastic differed equations of condition and observation are presented. A problem statement of one-step transition probabilities matrix elements identification problem is offered on base of artificial neuron networks theory.
Сведения об авторе
Ненадович Дмитрий Михайлович, 1961 г.р., окончил Ленинградское высшее военное инженерное училище связи им. Ленсовета (1984), Военную академию связи (1995), кандидат технических наук, эксперт Главного технического управления Банка России, автор более 40 научных работ, область научных интересов - системы управления телекоммуникационными сетями.
