Последовательности единственности для классов целых функций экспоненциального типа, ограниченных на вещественной оси Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1998-4812

5

раздел МАТЕМАТИКА

УДК 515.53 : 515.574

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ КЛАССОВ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА, ОГРАНИЧЕННЫХ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

© Г. Р. Талипова, Б. Н. Хабибуллин*

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. ЗакиВалиди, 32.

Тел.: +7(347) 273 6718.

*ЕтаИ: [email protected]

Пусть С — положительное число. Даётся новый вариант полученного нами ранее полного описания всех последовательностей точек на комплексной плоскости С, для каждой из которых существует ненулевая целая функция /, обращающаяся в нуль на этой последовательности точек и удовлетворяющая неравенствам |/(г)| ^ ехр(ст|1шг|) при всех z е С.

Ключевые слова: целая функция, субгармоничность, пространство Бернштейна, множество единственности, интеграл Пуассона, потенциал

1. Введение. Основной результат 1.1. Основные определения, понятия, обозначения

Как обычно, через N, R и C обозначаем соответственно множества натуральных, действительных и комплексных чисел в их естественной, если необходимо, алгебраической, геометрической и/или топологической интерпретации. Через Ent обозначаем векторное пространство над полем C всех целых, т. е. голоморфных на комплексной плоскости C, функций.

Пусть Л = {hk}keN - последовательность точек в C без точек сгущения (пишем Л с C). Определим

считающую меру пл последовательности Л со значения в [0, +о] по правилу

VS С C nA(S) := £ 1

h eS

- число точек последовательности Л, попавших в S.

Для ненулевой функции f e Ent через Zerof С C обозначаем множество (последовательность) всех нулей, или корней, функции f, перенумерованное с учетом кратности. Для нулевой функции 0 e Ent, по определению, множество её нулей - это счетное декартово произведение CN, а её считающая мера на любом подмножестве S С C равна +о. Функция f e Ent обращается в нуль на Л, если пд S nzer0f. Последовательность точек Л на C называем подпоследовательностью нулей для подмножества E с Ent, если существует ненулевая функция f e E, обращающаяся в нуль на Л. При этом, если класс E с Ent замкнут относительно операции вычитания, а последовательность Л на C не является подпоследовательностью нулей для E, то Л - последовательность, или множество, единственности для E. В противном случае Л - последовательность неединственности для E.

Пусть 0 < о e R. Основной рассматриваемый модельный подкласс E - это пространство Бернштейна ВО (см. [1]) всех целых функций f e

Ent экспоненциального типа не больше о, т. е. limsupz^0 (log | f (z) \)/\z\ s\ о, и при этом ограниченных на R, т. е. supxeR | f (x) | < +о.

1.2. Постановка основной задачи. Предшествующие результаты

Рассматривается следующая основная

Задача. Пусть 0 < о e R. Дать необходимые и достаточные условия на произвольную последовательность точек в C, при которых она является последовательностью единственности для пространства Бернштейна ВО.

Один вариант решения этой задачи с приложениями был предложен нами в [2, Теорема 1]. Напомним его после некоторой подготовки.

Преобразование Пуассона. Пусть ф - действительная функция, определённая почти всюду по мере Лебега на R, для которой определён и сходится (конечен) интеграл

Ыф) ■--

Ф )| 1+12

dt.

Значение интеграла Пуассона Pc± Ф от такой функции ф в произвольной точке Я е С± := С \ М определяется по правилу

(PC^)(A) := -

|ImA|

(t - ReA)2 + (ImA)2

ф^ )dt,

Imh = 0.

(1.1)

В точках h e R* := R \ {0}, в которых значение

функции ф определено, удобно полагать

(P<c± фШ) := Ф(Х), h e R*.

(1.2)

Интеграл Пуассона из (1.1) определяет гармоническую функцию на С±. Определения 1.1 и 1.2 вместе

определяют преобразование Пуассона Рс± функции ф.

Преобразование Гильберта. Напомним, что для функции ф: М* —^ М, для которой сходится (конечен) интеграл

С\фк )|

1 +1

-dt,

значение прямого преобразования Гильберта Н функции ф в точке х € М* определяется как

(Иф)(х) := 1 PV / ^dt п J x-t

x — t

R

:= 1 lim i dt, x e R,

П 0<e^0 J x — t

{teR: \x—t\>e}

где в промежуточном равенстве использовано традиционное обозначение для главного значения интеграла в смысле Коши от функции ф в точке x e R*.

Классы ЯРт основных, или тестовых, функций.

В чуть упрощённой форме [2, Определение 1], класс основных, или тестовых, функций ЯРт - это все

функции ф > 0 на М*, которые (М \ {1}) и {+а} Э т раз непрерывно дифференцируемы на М*, т. е. € Ст, и для которых одновременно выполнены

• условие финитности

ф(х) = 0, \х\ > Яф > 0, (1.3) где Яф > 0 - постоянная, зависящая от ф;

• условие полунормировки в нуле

Цшвир ф(х] , < 1; (1.4)

0=х—о -1°8 \х\

сопряженное условие положительности

(-ИФ)'(х) = Пр^jR dt > »■

О предшествующих результатах. Будет расширена следующая

Теорема КИТ (частный случай [2, Теорема 1]).

Пусть 0 € Л = {А^ем - последовательность в С и а € (0, +а). Эквивалентны утверждения

• Л = {Ак}к€м - последовательность единственности для пространства Ва;

• выполнено условие

р( I (Pc± v)ßk) - nf+C°9(t)dt J

. П J)

sup

фЕ

(1.5)

где вместо символа • под знаком операции точной верхней грани sup можно поставить любой из классов RP™, m Е N \ {1} или m =

История вопроса, связь этого результата с полнотой систем экспонент в пространствах функций на интервале, а также некоторые следствия из него подробно изложены в [2]. Расширение в данном случае означает существенное увеличение классов основных функций RP™ в новой трактовке, не использующей преобразование Гильберта. Последнее полезно для получения новых теорем единственности для пространств Ent(exp M).

Реализация предложенной вторым автором идеи расширения Теоремы KhT принадлежит первому автору Г. Р. Талиповой.

Работа поддержана грантом РФФИ № 13—01— 00030a.

2. Основной результат 2.1. Класс основных функций RP0 и Основная Теорема.

Класс основных, или тестовых, функций RP00 определяем как подкласс всех непрерывных функций ф ^ 0 на R*, для которых выполнены

• условие финитности (1.3);

• условие полунормировки в нуле (1.4);

• неравенство об интегральном среднем значении с логарифмическим ядром вида

1 /■+" 1 Ф(х) < ~2 Ф(Х + t) - log

П J—^ t

r +1

r-t

dt,

x e R*,

v Ух e R*, vr e (o,rx),о < rx < |x|.

(2.1)

где последнее неравенство после замены переменных можно записать и в форме

(-Н ф)'(х) =

= 1 ру Г+а ф(х + Г) + ф(х -1) - 2ф(х) ^ ^ 0.

Теперь может быть сформулирован основной результат этой работы.

Основная Теорема. Пусть 0 € Л = {Ак}к€м - последовательность в С и а € (0, +а). Эквивалентны утверждения

t

о

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2015. Т. 20. №1

7

1) Л = {hk}keN ^ последовательность единственно-

сти для пространства ВО;

2) выполнено условие

sup (£ (Pc± ф)(Ьк) - П Г ф(t)dt ) =

ФЕКР0 \keN П J-О /

= +О.

(2.2)

Иначе говоря, Основная Теорема позволяет в Теореме KhT в (1.5) заменить • на класс RPq.

Применение потенциалов Йенсена. Для доказательства Основной Теоремы нам потребуется ряд определений и сведений из [2]-[23].

Субгармоническую в проколотой плоскости

С* := С \ {0} функцию V называем потенциалом Йенсена (с полюсом в нуле) если выполнены следующие три условия:

• V(£) ^ 0 при £ е С* (положительность);

• существует компакт К С С, для которого V = 0 на С \ К (финитность);

limsup

V (Z)

Z^o -log|Z|

^ 1 (полунормировка в нуле).

На самом деле условие полунормировки в нуле для потенциала Йенсена V дает большее: существует такое число Rv > 0, что

V(Z) s log+ R^, Z e C*, log+ := max{0,log}

(см. [3, Предложение 1.5]), а если положить V(о) := 0, то V - субгармоническая функция в СО \ {0}, где СО - риманова сфера.

Класс всех потенциалов Йенсена обозначаем через PJ0 , а подкласс всех непрерывных функций из Pj0 - через р0.

Роль потенциалов Йенсена в доказательстве Основной Теоремы определяет следующая

Теорема 1. Пусть 0 e Л = {hk}keN С C, о e (0, +о). Эквивалентны утверждения

• последовательность Л - последовательность единственности для ВО;

• выполнено условие

sup (Y V(Ak) - - V(t)dt) =+-. (2.3)

V ep k nJJ

Свойства функций класса Р0. По тестовой функции ф е ЯР00 построим функцию на С* (см. (1-1)—(1-2))

V:= (PC± ф (Z), z e C,

(2.4)

Предложение 1. Функция Vф — положительная субгармоническая непрерывная в проколотой плоскости С* и гармоническая в С \ М, ее сужение Vф

на М* совпадает с функцией ф, функция Vф удовлетворяет условию полунормировки в нуле

у V Щ) limsup—-—лтт

Z^o, -log|Z|

ZeC,

^ 1,

(2.5)

и для постоянной Rф из условия финитности (1.3) имеем оценку

Vф(0 < const

1

Im z

z > 2Яф. (2.6)

Доказательство. Из положительности функции ф следует положительность Vф всюду вне нуля. Функция Vф непрерывна в точках непрерывности функции ф и её сужение на М* совпадает с функцией ф по известным свойствам интеграла Пуассона (см., например, [5, гл. I, Лемма 3.3]), а также бесконечно дифференцируема в С± как гармоническая в С±.

Доказательства условия полунормировки (2.5) и оценки (2.6) практически дословно повторяют [2, Предложение 2, доказательства неравенств (4.5) и (4.6)] и здесь мы их опускаем.

Осталось обосновать субгармоничность функции Vф в С*. Ввиду гармоничности функции Vф в С± необходимо и достаточно показать, что выполнено неравенство о среднем

1 П

ф(х) = Vф(х) < — Vф(х + rew)d9, 2п J-ж

Vх e R,, Vr e (o,rx), o < rx < |х|.

(2.7)

Из определения (2.4) и определения (1.1)—(1.2) интеграла Пуассона последний интеграл в правой части

(2.7) равен интегралу

П +œ

1 г 1 Г

r\ sin e\ç(t)dtdd

2n J П J (t — x — rcos в)2 + r2 sin2 в

— П — œ

П +œ

= ¿У /(r|Sin ^

ç(t )dtde

(t — x)2 — 2r(t — x) cos в + r2 cos2 в + r2 sin2 в

+œ П 2

) =

1

2П2

r\sin e\ç(t )de dt

— œ 0

bœ П

1

(t — x)2 — 2r(t — x) cos в + r2 d(—cos в) ç(t)dt

1

П

œ0

+œ П

cos в

2r(t—x)

1d( — cos в) 1ç(t)dt

2

(t—xy

-œ 0 2r(t—x) +œ

1 r 9(t)

-cosв 2(t — x)

П2 J 2(t — x)

—œ

+œ

_ 1 r 9(t)

log

(t—x)2+r2 + , 2r(t—x) + 1

1

2(t — x)

œ

f vt

log log

2r(t—x)

(t — x + r)2

dt

(t — x — r)2 t — x + r

dt -

dt

t —x — r

I (t — x)

œ

+œ

Пj ф+t) 1 i°g

r +1

rt

dt. (2.8)

Отсюда, поскольку для функции ф € Я,р имеет место неравенство об интегральном среднем значении с логарифмическим ядром вида (2.1), для Vф справедливо неравенство (2.7) о среднем по окружностям и субгармоничность Vф в С* доказана. □

продолжение, мажорирует V на С*, т.е. выполнено (2.9). Для каждой точки х } М* среднее по окружности {х + ге'9: 9 € (—п,п\), г < \х\, от функции Vф не меньше среднего по той же окружности от потенциала V, что в силу субгармоничности потенциала Йенсена V больше или равно, чем ф(х) = Vф(х). Следовательно, функция Vф субгармоническая в С* и, кроме того, выполнены неравенства о среднем по окружностям (2.7). Отсюда и из цепочки равенств (2.8) сразу следует выполнение неравенства об интегральном среднем с логарифмическим ядром вида (2.1). Таким образом, показано, что ф € ЯР0 ^

2.2. Доказательство Основной Теоремы Доказательство импликаций 1) 2). Допустим, что точная верхняя грань в левой части равенства () из Основной Теоремы конечна. Тогда те функции ф € ЯР0, которые по Предложению 2 сопоставляются в виде ф = V \м всем потенциалам Йенсена V с оценкой (2.9) таковы, что конечна точная верхняя грань в левой части равенства (2.3) Теоремы 1, поскольку выполнена оценка (2.9) для любой точки Ак, а на вещественной оси функции ф и V совпадают по построению. Конечность этой точной верхней грани по Теореме 1 влечет за собой то, что Л -последовательность неединственности для пространства Бернштейна Ва. Это доказывает импликацию 1) 2) Основной Теоремы.

Доказательство импликаций 2) 1). Предположим теперь, что Л - последовательность неединственности для пространства Бернштейна Ва. Тогда из эквивалентности двух утверждений Теоремы 1 найдется постоянная С, для которой при всех потенциалах Йенсена V € Р00 справедлива оценка

а 1'+а

^ (Ак) < - V(г) йг + С, (2.10)

П —а

Сужение потенциалов Йенсена на R*

ратное к Предложению 1 -

Почти об-

Предложение 2. Если V - потенциал Йенсена из

P0o и ф := V

- его сужение на R*, то

ф G Rp '

Vф(0 := (PC± ф(Z) > V(Z), VZ = 0. (2.9)

Доказательство. Условия положительности, финитности (1.3) и полунормировки в нуле (1.4) из определения классов выполнены по определению потенциалов Йенсена. Функция Vф непрерывна на C* (см. [5, гл. I, Лемма 3.3]) и гармоническая в C±. Так как потенциал Йенсена V субгармоничен в C*, а его сужение на R* совпадает с граничными значениями функции Vф на R*, то Vф, как гармоническое

где постоянная С не зависит от потенциалов Йенсена

V € Р00.

Выберем теперь произвольную тестовую функцию ф € ЯР0, а вместе с ней, как и в (2.4), рассмотрим преобразование Пуассона

V ф( Z) := (PC± ф (Z), Z G C

(2.11)

По Предложению 1 эта функция Vф обладает практически всеми свойствами потенциала Йенсена - субгармоничность и положительность вне нуля, полунормировка в нуле (2.5). Исключением может быть лишь финитность, замененное более слабым условием (2.6):

vф(Z) < ь

1

Im z

\Z\ ^ r,, b, r ^ 0 - постоянные.

X

2

(t—x)2+r2

П

2

(t—x)2+r2

2

П

1

2

П

R

*

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2G15. Т. 2G. №1

9

Превратить такую функцию в потенциал Йенсена уже очень легко: достаточно рассматривать при каждом е > 0 функцию вида

Veф(0 := (Vф(0 - е)+,

которая, сохраняя все прежние свойства, становится уже финитной, т. е. это полноценный непрерывный (вне нуля) потенциал Йенсена. Для таких потенциалов, как отмечалось выше в (2.10), справедливы неравенства

CT /■+"

IV!(Ak) « - Vi(t)dt+с =

t n J — œ

CT Г+"

= - ф ) — e)+ dt + С,

П J-œ

(2.12)

где постоянная с не зависит от потенциалов Йенсена Vф G PG, и, в частности, от чисел е. Устремляя здесь е > G к нулю, ввиду равенства (2.11), получаем

CT г

I(Pc± ф)А) « - ф(t)dt+с,

t п J — œ

откуда получаем конечность точной верхней грани в 2). Это и доказывает импликацию 2) 1) Основной Теоремы.

Замечание. Из Основной Теоремы можно извлечь ряд результатов о (не-)полноте систем экспонент в классических пространствах функций на интервале, в том числе и новых. Эти следствия Основной Теоремы будут изложены в ином месте.

ЛИТЕРАТУРА

1. Levin B. Ya. Lectures on entire functions // Transl. Math. Monographs. Providence RI: Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 15G. 248 p.

2. Хабибуллин Б. Н., Талипова Г. Р., Хабибуллин Ф. Б. Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна и полнота систем экспонент в пространствах функций на интервале // Алгебра и анализ. 2G14. Т. 2. №2. С. 193-223.

3. Хабибуллин Б. Н. Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной // Известия АН СССР. Серия матем. Т. 55. №5. 1991. С. 11G1-1123.

4. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Монография-обзор. Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. 192 с.

5. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир. 1984. 469 с.

6. Function Algebras, Proceedings of an Inter. Symposium on Function Algebras / Ed. Birtel F. Chicago: Scott, Foresman and Co., 1966.

7. Gamelin T. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

8. Koosis P. Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. Montréal: Les Publications CRM, 1996.

9. Ransford T. J. Jensen measures, in: Approximation, Complex Analysis, and Potential Theory // NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. 2001. Vol. 37. Pp. 221-237.

10. Хабибуллин Б. Н. Двойственное представление суперлинейных функционалов и его применения в теории функций. II // Изв. АН СССР, сер. матем. 2001. Т. 65. №5. С. 1017-1039.

11. Хабибуллин Б. Н. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. №4. С. 905-925.

12. Хабибуллин Б. Н., Хабибуллин Ф. Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. I // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20. №1. С. 146-189.

13. Ransford T. J. Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

14. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

15. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964.

16. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

17. Koosis P. The logarithmic integral. V. II. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

18. King F. W. Hilbert transforms. Vol. I. Cambridge University Press, 2009.

19. King F. W. Hilbert transforms. Vol. II. Cambridge University Press, 2009.

20. Pandey J. N. The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications. Wiley-Interscience, 1996.

21. Хабибуллин Б. Н. Неконструктивные доказательства теоремы Берлинга-Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций // Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т. 58. №4. С. 125-148.

22. Хабибуллин Б. Н. Меры Йенсена на открытых множествах // Вестник Башкирского университета. 1999. №2. С. 3-6.

23. Хабибуллин Б. Н. Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций // Вестник Башкирского университета. 2004. №2. С. 59-63.

Поступила в редакцию 19.01.2015 г.

SEQUENCES OF UNIQUENESS FOR CLASSES OF INTEGER FUNCTIONS OF EXPONENTIAL TYPE WITH RESTRICTIONS ON THE REAL AXIS

© G. R. Talipova, B. N. Khabibullin*

Bashkir State University 32, Z. Validi Str., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7(347) 273 6718. *Email: [email protected]

Let a be a positive number, A be a sequence of points in the complex plane C. Let fbe a nonzero integer function vanishes on A and satisfies the inequality | f (z)| < exp( a|Im z|) for all z from C. We give a new version of the full description of all sequences A that there is the function f. We obtain a criterion for sets of uniqueness A = {Xk}k=1,2,... C C for classes

Ba := {f — entire function: sup | f (z)le-alIm zl < +a}.

zeC

We introduce the class RPq of test functions as the subclass of all continuous functions ty: R \ {0} ^ [0, +a) such that ty(x) = 0 for |x| > Rty;

w(x')

limsup-< 1;

0=x^0 - log |x|

for each x0 e R \ {0}

. . 1 i+X , Л , x + r ф(хо) < ф(хо + x)- log

П2 Jx

1 r+'

y(xn + x,

x

Our main result is

dx for all r e (0, |xo I) •

Theorem. A sequence A = {Xk}k=1,2,... C C \ {0} is the set of uniqueness for Ba iff

r+a

sup IÇ(Рф)(Л*) - П 4>(t) dt : Ф e RP^ = +<~,

where (Рф)(А) := ф(А) for ImA = 0, andfor ImA = 0

1 r

1 r+x\ 1 I

(Рф)(А) := — \Im-ИфМ dx (the Poisson integral).

П J-<* \ x — AI

Keywords: integer function, subharmonicity, Bernstein space, .set of uniqueness , Poisson integral, potential. Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Levin B. Ya. Lectures on entire functions. Transl. Math. Monographs. Providence RI: Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 150. 248 p.

2. Khabibullin B. N., Talipova G. R., Khabibullin F. B. Algebra i analiz. 2014. Vol. 2. №2. S. 193-223.

3. Khabibullin B. N. IzvestiyaAN SSSR. Seriyamatem. Vol. 55. №5. 1991. S. 1101-1123.

4. Khabibullin B. N. Polnota sistem eksponent i mnozhestva edinstvennosti. Monografiya-obzor. [Completeness of systems of exponentials and sets of uniqueness. Monograph-review]. Ufa: RITs BashGU, 2012.

5. Garnett Dzh. Ogranichennye analiticheskie funktsii. [Bounded analytic functions]. M.: Mir. 1984.

6. Function Algebras, Proceedings of an Inter. Symposium on Function Algebras. Ed. Birtel F. Chicago: Scott, Foresman and Co., 1966.

7. Gamelin T. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

8. Koosis P. Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. Montréal: Les Publications CRM, 1996.

9. Ransford T. J. Jensen measures, in: Approximation, Complex Analysis, and Potential Theory. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. 2001. Vol. 37. Pp. 221-237.

10. Khabibullin B. N. Izv. AN SSSR, ser. matem. 2001. Vol. 65. No. 5. Pp. 1017-1039.

11. Khabibullin B. N. Sib. matem. zhurn. 2003. Vol. 44. No. 4. Pp. 905-925.

12. Khabibullin B. N., Khabibullin F. B., Cherednikova L. Yu. Algebra i analiz. 2008. Vol. 20. No. 1. Pp. 146-189.

13. Ransford T. J. Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

14. Landkof N. S. Osnovy sovremennoi teorii potentsiala. [Basics of modern theory of potential]. Moscow: Nauka, 1966.

15. Brelo M. Osnovy klassicheskoi teorii potentsiala. [Basics ofclassic theory ofpotential]. Moscow: Mir, 1964.

16. Kheiman U., Kennedi P. Subgarmonicheskie funktsii. [Subharmonic functions]. Moscow: Mir, 1980.

17. Koosis P. The logarithmic integral. V. II. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

18. King F. W. Hilbert transforms. Vol. I. Cambridge University Press, 2009.

19. King F. W. Hilbert transforms. Vol. II. Cambridge University Press, 2009.

20. Pandey J. N. The Hilbert transform ofSchwartz distributions and applications. Wiley-Interscience, 1996.

21. Khabibullin B. N. Izv. RAN. Seriyamatem. 1994. Vol. 58. No. 4. Pp. 125-148.

22. Khabibullin B. N. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 1999. №2. S. 3-6.

23. Khabibullin B. N. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2004. №2. S. 59-63.

Received 19.01.2015.