Порядковые статистики времени параллельного выполнения работ проектов с ограниченными ресурсами Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Проблемы экономики и менеджмента

УДК 330.519.1

Ю.В. Литвин

канд. экон. наук, зам. заведующего отделом «Анализрисков нефтегазовых проектов», ООО «НИИгазэкономика»

ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ ОЦЕНКИ ВРЕМЕНИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ ПРОЕКТОВ С ОГРАНИЧЕННЫМИ РЕСУРСАМИ

Аннотация. В статье развиваются методы, обеспечивающие определение распределений вероятностей и моментов времени выполнения комплексов работ проекта при наличии ограниченных ресурсов, путем использования порядковых статистик. Применяемый подход проиллюстрирован простым примером расчета среднего времени параллельного выполнения комплекса работ.

Ключевые слова: управление проектами, порядковые статистики, параллельное выполнение работ при ограниченных ресурсах.

Ju.V. Litvin, LLC «NIIgazeconomika»

ORDER STATISTICS EVALUATION OF PARALLEL EXECUTION TIME WORKS PROJECTS WITH LIMITED RESOURCES

Abstract. The article develops techniques that provide the definition of probability distributions and time execution of work packages project with limited resources use of order statistics. This approach is illustrated simple example of a calculation of the average parallel execution time of a works.

Keywords: project management, order statistics, parallel work with limited resources.

Введение

Одним из методов ускорения выполнения проектов является обеспечение параллельного выполнения работ. Экономия времени при этом, как правило, сопровождается сокращением затрат. Много примеров распараллеливания процессов демонстрируют информационные технологии, в частности, использование многопроцессорных и многоядерных вычислительных устройств, передача информационных сообщений по сетям с коммутацией пакетов и др. В настоящей статье рассматривается метод порядковых статистик расчета характеристик параллельно выполняемого комплекса работ проекта с ограниченным объемом выделенных ресурсов. В плане расширения сферы применения методов порядковых статистик на практике [1, 2] рассматривается случай, когда количество выделенных ресурсов меньше, чем количество работ, требующих параллельного выполнения.

Постановка задачи

Рассматривается комплекс из L работ проекта, который должен быть выполнен полностью, прежде чем смогут выполняться другие работы. Причем, все работы комплекса упорядочены и выбираются для выполнения последовательно. Поступление других работ проекта, не вошедших в выделенный комплекс, блокируется переходом tj. Для выполнения комплекса выделено N ресурсов L > N, выполняющих работы параллельно (рис. 1).

№ 11 (27) - 2013

41

Проблемы экономики и менеджмента

Рисунок 1 - Параллельное выполнение работ

Задача состоит в поиске вероятностного распределения времени выполнения всех работ комплекса ограниченным объемом ресурсов, если время выполнения каждой работы имеет экспоненциальное распределение (с функциями распределения (ФР) F (t) = 1 - e~^ и плотностями (ПР) f (t) = (t), i = 1, L ). При этом предполагается, что

выполняемые работы взаимно независимы.

Схема расчета

Время выполнения комплекс работ T делится на L - N +1 периоды случайной длительности. Первые L - N периодов определяются порядковыми статистиками одновременного выполнения N работ. Работа, завершившая свое выполнение на одном из периодов, освобождает ресурс и его занимает следующая работа из очереди, обозначенной на рисунке как L - N. На следующем периоде снова одновременно будет выполняться N работ - N -1 незавершенных работ предыдущего периода и одна вновь поступившая работа. Аналогичным образом формируется следующий период и так продолжается L - N раз (рис. 2). Время последнего L - N +1 периода определяется через длительность параллельного выполнения N оставшихся работ.

Wjft)

Время выполнения комплекса работ проекта щй) veL.s(t)

у У У У г

Период 1 ] [ери од 1 • ■ ■ Мер кил L-N Период L-N-L

Рисунок 2 - Периоды параллельного выполнения комплекса работ проекта

Обозначим через Xi i = 1, L, случайное время выполнения работы i, а через XiN -порядковую статистику того, что i - e завершение одной из работ будет осуществлено в момент XiN (X1N <X2N <••• <XN.N). Отметим, что указанная последовательность в

каждом периоде своя в связи с изменением состава выполняемых работ.

Распределение времени выполнения комплекса работ проекта будем искать путем последовательной реализации трех шагов:

1) определение распределений длительностей первых L - N периодов времени;

2) определение распределения времени выполнения оставшихся N работ (период L - N +1);

42

№ 11 (27) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

3) свертка полученных распределений и определение конечного результата -распределения времени выполнения комплекса работ.

Для расчета распределения времени каждого из N - L периодов используются формулы для порядковых статистик [1, 2], в которых в качестве ПР и ФР подставлены исходные экспоненциальные распределения выполняемых работ.

fr.N (t) =

(r -1)!(N - r)!

per (Ar) = =

(r -1)!(N - r)!

X F(t).... FirJr (t у

1

1

*D - FJt) ] -О - Fhr (t) ],

(1)

где

Per Ar - перманент матрицы Ar;

~y(t) F2(t) --Fn(t)

Ar = f1(t) f2(t) - fN (t)

1 - F1(t)1 - F2(t) -1 - Fn(t)

} i - обозначает i совпадающих строк матрицы;

} r -1 }1

} N - r

(2)

Zp - обозначает сумму всех N! перестановок (i1,i2,iN) для

(1,2,., N )(1,2,...,N).

Используя перманент можно определить также функции распределения порядковых статистик

Г* =ZN=i(N^)!Per(B„) =ZZpF.,(t)Ft.(t)[1 - F,„, (t)].[1 - F„ (t)], (3)

где

Brk =

f F1(t) ... Fn (t) ^ } k

(4)

Ч1 - ОД ••• 1 - Fn (t) J } N - k

Приведенные формулы (1) и (3) позволяют оценивать распределения времени выполнения процессов с любым конечным числом одновременно выполняемых потоков.

В дальнейшем для интервала j будем применять следующие обозначения: для

ПР - wj (t) = fVN (j, t); для ФР - Wj (t) = Fvn (j, t). При этом расчеты ПР и ФР проводятся

по формулам (1) и (3), только в качестве матриц берутся те из них, которые соответствуют периоду оценки.

В виду экспоненциальности и независимости времен выполнения работ, вероятность того, что первой завершиться k-ая работа из N одновременно

выполняемых на интервале j определяется следующим образом qk (j) = —(j)—, где

Zk=1 Мк(j)

j обозначает номер интервала, для которого ведется расчет распределений, а к обозначает номер столбца матрицы, который заменен распределением очередной

невыполненной работой ZN= qk (j) = 1. Таким образом, вероятность qk (j) определяет то, какая работа предыдущего периода покинет ресурс. В виду отсутствия последействия,

№ 11 (27) - 2013

43

Проблемы экономики и менеджмента

дальнейшее выполнение работ осуществляется по тем же исходным законам распределения. Таким образом, для очередной невыполненной работы периода j в

матрицах (2) и (4) поочередно заменяются столбцы k, k = (1, N) и производится последовательный расчет новых ПР fkN (j, 0 и ФР F*n(j, 0 по формулам (1) и (3). Матрицы A и B вычисляются по мере замены столбцов путем взвешивания их вероятностями qk (j).

Подставляя полученные матрицы в (1) и (3), находятся искомые ПР и ФР распределения интервала j: w3 (t) = fm (j, t) и Wj (t) = FVn (j, t).

Время выполнения оставшихся работ (последний интервал времени завершения выполнения процесса - L - N +1) определяется стандартным образом как размах порядковых статистик XL-N+1N -XN.N [1]. Чтобы формулы имели более привычный вид, переобозначим индексы для периода L - N +1 следующим образом: индекс L - N +1 обозначим через 1,L - через N, а wL-N+2(t)- через w'(t). Тогда распределение размаха будет определяться стандартным образом:

w '(t) =----[ per (C1N )dr =

(N - 2)!J-“

1 ^—(

L Z p f (1, t) [F (1, t+r) - F (1, t)] ... [Fn (1, t+r) - Fn (t)] flN (1, T) dr ,

где матрица C определяется через ранее полученные выражения для плотностей и функций распределений длительности выполнения работ на интервале L - N

C

' f1(1, t) ••• An (1, t)

F1(1,t + r)- F1(1,t) ... Fn(1,t + r) - Fn(1,t)

v f1(1,T) ••• fN(1,T)

}1

} N - 2 }1.

И наконец, ПР времени выполнения комплекса работ будет определяться через

свертку полученных плотностей рассмотренных периодов.

Пример расчета времени выполнения комплекса работ проекта при

ограниченных ресурсах

Рассмотрим случай, когда комплекс состоит из трех работ, а для его выполнения выделено два ресурса.

1. Плотность распределения времени завершения выполнения первой по прядку работы определяется по (1).

W1 (t) = f1:2 (t) = per (A) = (M + Н2)е~(л,

где

A =

„-Mt

M2e ' ~M12t

2)t ^

e

Преобразование Лапласа ПР w1 (t) имеет следующий вид

44

№ 11 (27) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

Wl(s)

Mi + Mi

s + Mi + M2

Среднее значение первого интервала -1

- = _ dw^s) = 1

ds s=0 M1 + Mi

2. Вероятность того, что из двух работ первой завершится работа i, равна

q. , i = 1,2.

M1 + M2

3. Определение матрицы ЛД2) учитывая тот факт, что на втором интервале продолжит свое выполнение либо работа 1 с вероятностью q2, либо работа 2 с вероятностью q1

4(2) =

^q2M\e М + q1M2e Mi

„_М

M3e

о_м

_Mt \

q2e Mt + q1e r'z' e

4. Определение плотности распределения времени второго периода

w2 (t) = fvi (t) = per (A (2)) =

: q1 [Mie

_(M2+M3)t + M e~(M2+M3)t

]+q2 [M1e

_(m+M3)t + m e~(M+M3)t

].

w2(s) = q1

M2___1__Мз_

s + m2 + Mi s + Mi + Mi

+ q2

Ml___+___M3_

s + M1 + M3 s + M1 + M3

Среднее значение второго интервала -2

—2 = qr 1

-+q2

1

M + Мз M1 + Мз

5. Плотность распределения третьего периода будет иметь следующий вид

w3(t) = q1

w>3(s) = q1

M2

М2 + Мз

М2М3

M3e

_М +_M^_ M2 e_M2t

M2 + M3

1

+

М2 + М3 1

s + m3 s + Mi

+ + qi"

+ q2 M1M3

M1

M + М3 1

M3e

_M +—M— M\eMt

M + М3

M + М3

+

1

s + M1 s + M3

Среднее значение третьего интервала -3

-3 = q1

1

M2 + M3

М3 + Mi_ + 1 qi М3 + М

[ Mi М3 ] М + М3 [ М М3 ]

6. Преобразование Лапласа плотности распределения времени выполнения всего комплекса работ будет иметь вид

w(s) = VW1( s) х w2(s) x w3(s). (5)

Приведем результаты конкретного расчета и имитационного моделирования среднего времени выполнения комплекса работ для различных параметров исходных законов распределения. Единица измерения времени принята равной одному часу. Результаты расчетов сведены в таблицу 1.

№ 11 (27) - 2013

45

Проблемы экономики и менеджмента

Таблица 1 - Расчет моментов распределения времени выполнения комплекса работ

Параметры распределений выполняемых работ Среднее время выполнения комплекса Относительное отклонение

М М2 М3 Расчет Имитация %

0,05 0,03 0,02 49,27 41,5 4%

0,02 0,03 0,05 71,99 69,75 3,9%

0,5 0,3 0,2 7,58 7,33 3,9%

0,2 0,3 0,5 7,2 6,97 3,3%

1 1 1 2 2 0%

1 2 3 1,33 1,27 4,7%

3 2 1 1,37 1,33 2,7%

2 3 5 0,72 0,70 2,8%

5 3 2 0,76 0,73 3,9%

Как видно из выполненных расчетов использование аналитических зависимостей порядковых статистик для случая параллельного выполнения определенной совокупности работ при ограниченных ресурсах обеспечивает вполне удовлетворительную точность и простоту оценок.

Список литературы:

1. Balakrishnan N. Permanents, order statistics, outliers, and robustness // Rev. Mat. Comput. - 2007. - V. 20, № 1. - P. 7-107.

2. Литвин Ю.В. Интеграция сетевых моделей проектов и оценка их рисков // Проблемы экономики и менеджмента. - 2013. - № 8 (24). - С. 46-58.

List of references:

1. Balakrishnan N. Permanents, order statistics, outliers, and robustness // Rev. Mat. Comput. - 2007. -V. 20, № 1. - P. 7-107.

2. Litvin Ju.V. Integration of the network models projects and assessing their risks / Ju.V. Litvin // Problems of Economics and Management. - 2013. - № 8 (24). - P. 46-58.

46

№ 11 (27) - 2013