Пороупругие модели колебаний биологических тканей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 499-501

499

УДК 539.3:51-76

ПОРОУПРУГИЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ © 2011 г. Л.Б. Маслов

Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина

т^1оу@Ърт. ispu.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Представлена математическая модель костной ткани, описываемая динамическими уравнениями теории эффективной пороупругости и определяющими уравнениями анизотропной сплошной среды. Разработан алгоритм расчета пороупругих констант эффективной сплошной среды, необходимый для математического моделирования деформирования биологических структур как пороупругих сред. Для численного анализа использована формулировка метода конечных элементов в виде «перемещения упругого каркаса -давление в порах» и разработана конечно-элементная модель голени человека. Проведен расчет вынужденных гармонических колебаний модели большеберцовой кости и исследовано распределение давления в порах компактного и губчатого вещества. Показано, что вибрационные потоки жидкости в системе пор костной ткани зависят от частоты возбуждения и могут достигать существенных значений на резонансных формах колебаний. Полученные результаты могут служить теоретическим фундаментом для разработки вибрационных методов реабилитации и контроля физиологического состояния костной ткани спортсменов, космонавтов, пожилых и перенесших травмы людей.

Ключевые слова: костная ткань, пороупругая модель, конечно-элементный расчет, вынужденные коле -бания, поровая жидкость.

Математическая модель ткани как пороупругой среды

В последние десятилетия пороупругие модели биологических тканей получили распространение и успешно применяются в биомеханике. Уравнениями пороупругости более точно, чем классическими уравнениями идеальной упругости, описываются процессы деформации и адаптации костной, хрящевидной и соединительной тканей, а также исследуется применимость теории пороупругости для описания деформирования мышечной ткани. Определяющие соотношения, записанные относительно осредненных по представительному элементу среды перемещений твердой и и жидкой и фаз, были сформулированы Био на основе феноменологического подхода [1] и впоследствии получили обобщение в работах Нигматулина [2]. В предположении упругой модели твердой фазы и модели идеальной сжимаемой жидкости фазовые уравнения преобразуются в определяющие соотношения пороупругой среды в «и—р» переменных (перемещение упругого каркаса — давление поровой жидкости). Кинематической переменной жидкой фазы является вектор относительного перемещения w = ф(и — и) или дивергенция этого вектора £, = —имеющая физический смысл относительного изменения

объемного содержания жидкости в порах. Для случая анизотропии упругих и гидростатических свойств уравнения примут вид

ст(и р) = ааг (и) - Ар = Саг • -Е(и) - А д

^ (и, р) = А • -Б(и) + ф2 Я-р, где О — полный тензор напряжений; Ойг — тензор напряжений в точках твердой фазы, вызываемый только упругими деформациями; Сйг — тензор упругих модулей среды в дренированном состоянии; А — тензор коэффициентов эффективных напряжений Био; р — давление поровой жидкости; Я — гидростатическая константа, имеющая смысл модуля объемного сжатия жидкой фазы; ф — пористость.

С учетом выражения тензора напряжений в идеальной сжимаемой жидкости и схемы Рах-матулина силового взаимодействия и совместного деформирования фаз [2] система уравнений динамики пороупругой среды примет вид краевой задачи относительно изображений искомых функций и и р:

V • ®<*• -■* 2(РЕ - Р /Г (5)) • и -- (А -Г(5)) •Ур = 4у + Г(5) • {г, (2)

5_1У- (К(5) -Vл) -ф2Я_1 Л -

- (А -Г(5)) •• 6 = 5“V/, (3)

где 5 — параметр Лапласа; р — полная плотность;

500

Л.Б. Маслов

р/ — плотность жидкости, Е — единичный тензор; Г = р/5 К — тензор, характеризующий инерционное взаимодействие фаз; IV — объемная сип -1 2 -1

ла; К(5) = (5Е + тф р/5 К) • 5К — приведен-

ная комплексная гидравлическая проницаемость среды; т — параметр искривленности поровых каналов; у/ = У • (К • Г/) — плотность внутренних источников жидкости.

При замене параметра Лапласа на комплексное выражение 5 = /ю получим уравнения вынужденных колебаний пороупругой среды под действием силы, изменяющейся по гармоническому закону.

Эффективные характеристики биологических тканей

Для определения эффективных материальных характеристик пороупругой среды Сг,А и Я, входящих в (1), их явные выражения через физико-механические характеристики отдельных фаз не могут быть непосредственно использованы, поскольку сами эти характеристики не всегда известны, а их нахождение не менее сложно. Для решения данной задачи применен дифференциальный метод самосогласования, позволяющий определить эффективные упругие модули в случае большой пористости, и методы микромеханики для расчета коэффициентов эффективных напряжений Био и гидростатической константы. Разработанный алгоритм вычисления эффективных упругих модулей анизотропной двухфазной среды С/при произвольных значениях пористости описывается дифференциальным уравнением

dCeff (ф) _ Се//(ф) -Т( ф)

ёф

1 -ф

Т( ф) _ (С^ (ф) + Д(ф) .Зд)-1 -д(ф)

Численное исследование колебаний большеберцовой кости

Для численного решения задачи пороупру-гости (2), (3) применен метод конечных элементов [3]. Если внешние нагрузки изменяются по гармоническому закону, то отклик линейной системы также представляет собой гармонические во времени функции, что приводит к системе матричных уравнений:

(Кёг - ю2М - Ь(іш)) и -- (Ні + й2(/ш)) Р _ ¥у + ^,

- (Н1 + Н2(ію))г и +

+ (-Б + /ю-1(~(/ю)) Р _ -/ю-10*

(6)

(4)

в котором выражение тензорной функции Т имеет вид

(5)

Д(ф) _ Сшс - с^ (ф),

где 8 - тензор Эшелби, определяющий поле деформаций вокруг эллипсоидального включения в бесконечной упругой среде; Сіпс — тензор упругих модулей материала включения.

С помощью формул (4), (5) проведен численный анализ эффективных характеристик твердых и мягких биологических тканей как пороупругих сред в дренированном состоянии при произвольных значениях пористости в случае принятия модели трансверсально-изотроп-ного тела.

(7)

где Кёг, М — глобальные матрицы жесткости и массы; Ь — дополнительная матрица м ассы; Н1, й — матрицы взаимного влияния; Б, С — матрицы насыщения и проницаемости; и, Р — глобальные векторы комплексных амплитудных значений перемещений и давлений в узлах ко -нечно-элементной сетки.

С помощью базы данных фотографических снимков поперечных сечений тела человека построена трехмерная реалистичная конечноэлементная модель голени. Модель включает в себя основные элементы опорно-двигательной системы голени: берцовые большую и малую кости, ахиллово сухожилие, трехглавую мышцу, мышцы передней поверхности, кожный покров. При численном решении уравнений (6)-(7) использован пространственный изопарамет-рический конечный элемент с параболической интерполяцией геометрии и функций. Путем исследования сходимости тестового численного решения выбрана адекватная по точности сетка, состоящая из 3264 конечных элементов и 14238 узлов.

Уточненные значения вязкоупругих характеристик тканей включены в полную модель голени и исследованы колебания большеберцовой кости под действием поперечной силы, изменяющейся по гармоническому закону.

Первые резонансные частоты, наблюдаемые на графиках, соответствуют основным изгиб-ным формам большеберцовой кости преимущественно в двух физиологических плоскостях. При этом малоберцовая кость совершает синфазное или противофазное движение, а мягкие ткани вносят дополнительный вклад в пространственные формы колебаний полной модели голени.

Показано, что на резонансных режимах максимальных значений достигают как компоненты вектора перемещений, так и давление и компоненты вектора потока внутритканевой жидкости.

Это особенно заметно на частоте 325...330 Гц в среднем сечении голени в точках вблизи фронтальной плоскости, что связано с расположением главной плоскости соответствующей формы ко -лебаний.

Список литературы

1. Biot M.A. // Theory of propagation of elastic

waves in a fluid-saturated porous solid. Part I: Low frequency range // J. Acoust. Soc. Am. 1956. Vol. 28, №2. P. 168-178.

2. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.. 336 с.

3. Маслов Л.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем. Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2010. 264 с.

POROELASTIC MODELS OF VIBRATIONS OF BIOLOGICAL TISSUES

L.B. Maslov

A mathematical model of a bone tissue described by dynamic equations of the effective poroelasticity and by the constitutive equations of anisotropic continuum is presented. An algorithm for theoretically evaluating the effective poroelastic constants required for the mathematical simulation of biological structures as poroelastic media is developed. The numerical analysis is done using the finite element method based on the «elastic skeleton displacement - pore fluid pressure» and a finite element model of a human shank is introduced. Based on the forced vibration analysis carried out for the model of tibia, the pore fluid pressure distribution in compact and sponge tissues is investigated. It is demonstrated that the induced fluid flux in the bone pore system depends on the excitation frequency and can reach the essential magnitudes at resonant modes. The results obtained can be used as a theoretical basis for developing vibration methods of rehabilitation and control of the physiological condition of bone tissue for sportsmen, astronauts, elderly and injured persons.

Keywords: bone tissue, poroelastic model, finite element analysis, forced vibration, pore fluid.