CC BY
31
УДК 681.5:645.93
Н.Н. ИВАНОВА ПОРАЗРЯДНОЕ СТАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАРКОВСКИХ СИГНАЛОВ
Ключевые слова: марковский сигнал, поразрядные начальные и переходные вероятности
Рассмотрены алгоритмы поразрядного представления начальных и переходных вероятностей марковских сигналов. Полученные алгоритмы позволяют синтезировать цифровые ква-зиоптимальные фильтры марковских сигналов.
N.N. IVANOVA
THE BITWISE STATIC REPRESENTATION OF MARKOV SIGNALS Key words: Markov signal, bitwise initial probabilities, bitwise probabilities of transitions Algorithms of reception of bitwise initial probabilities and probabilities of transitions of Markov signals are considered. These algorithms allow to synthesize digital quasioptimum filters of Markov signals.
Марковская аппроксимация случайных последовательностей, которая основана на применении цепей Маркова, является самой универсальной для цифровых систем обработки сигналов. Однако практическая реализация таких систем требует достаточно больших аппаратурных затрат, которая напрямую связана с разрядностью входного сигнала и связностью цепи Маркова. Одним из способов сокращения аппаратурных затрат является использование непозиционных алгоритмов, в частности поразрядной цифровой обработки сигналов. Для перехода к поразрядному представлению случайной последовательности х(t, a) на выходе АТ ЦП необходимо начальные вероятности и вероятности переходов цепи Маркова заменить на связанные с ними вероятности q0[S], q^S], qoi[S], qoo[S], qio[<S], qii[S], qooo[<S], q00i[S], qoio[<S],..., где S- номер разряда.
Рассмотрим определение поразрядных вероятностей на примере трехразрядного квантования сигнала, т.е. при ^=3. Тогда число уровней квантования
равно: А = 2Ri = 23 = 8 . Имеем следующие состояния системы: A0,Ai,..., A7 .
Пусть заданы начальный вектор вероятностей p0 = {p0, pi,..., p7} и матрица переходных вероятностей P = [pap ] (a = 0,7, р = 0,7), причем Z p0 = i,
a=0
Z pap = l для a = 0,7 .
p=0
Найдем начальные векторы и переходные вероятности для каждого разрядного среза.
Известно, что цифра 0 в младшем (первом) разряде при бинарном представлении числа встречается у десятичных чисел 0, 2, 4, 6, а цифра i - i, 3, 5, 7. Следовательно, элементы начального вектора марковской цепи в первом разряде можно найти по формуле:
q0[i]= p0+ p2+ p4+ p6; qi[i]= pi + p3+ p5+ p7.
Подобным образом можно найти соответствующие вероятности для остальных разрядов:
q0[2]=p0+ pi+p4+ p5; qi[2]= p2+ p3+p6+ pi, q0[3]= p0+ pi+p2+ p3; qi[3]= p4+ p5+ p6+ p7, где в квадратных скобках указан номер разряда.
Исходя из аналогичных рассуждений, находятся переходные вероятности в каждом разрядном срезе.
В первом разряде имеем:
q'00 [i] = p0 (p00 + p02 + p04 + p06) + p2 (p20 + p22 + p24 + p26) +
+ p 4 ( p40 + p42 + p44 + p 46 ) + p6(p60 + p 62 + p64 + p66),
q01 [i] = p0 (p0i + p03 + p05 + p07 ) + p2 (p2i + p23 + p25 + p27 ) +
+ p4 (p4i + p43 + p45 + p47) + p6( p6i + p63 + p65 + p67 ),
qi'0 [i] = pi (pi0 + pi2 + pi4 + pi6) + p3 (p30 + p32 + p34 + p36) +
+ p5 ( p50 + p52 + p54 + p56) + p7 (p70 + p72 + p74 + p76),
qii [i] = pi (pii + pi3 + pi5 + pi7) + p3 (p3i + p33 + p35 + p37) +
+ p5( p5i + p53 + p55 + p57) + p7( p7i + p73 + p75 + p77).
Однако полученные выражения не могут представлять собой элементы
матрицы переходов цепи Маркова, так как Z qij ^ i, для i = 0,i. Для выпол-
j=0
нения этого условия необходима нормализация:
q„[i] = ^HL; ,M[i] = q0i[i]
«0c[i]+?Ui]’ i ?0c[i]+?0i[i]
qicli] ,0i[i] = ■ qii[i]
АШ+qii[ir qi0 [i]+qii[i]
Рассмотрим q'00 [i] + q0i[i]:
q'00 [i] + q0i [i] = p0 (p00 + p02 + p04 + p06) + p2 (p20 + p22 + p24 + p26) +
+ p4 ( p40 + p42 + p44 + p46 ) + p6 (p60 + p62 + p64 + p66) +
+ p0(p0i + p03 + p05 + p07 ) + p2(p2i + p23 + p25 + p27) +
+ p4(p4i + p 43 + p45 + p47) + p6( p6i + p 63 + p65 + p67) =
7777
= p0 Z p0,i + p2 Z p2,i + p4 Z p4,i + p6 Z p6,i =
i=0 i=0 i=0 i=0
= p0 + p2 + p4 + p6.
Очевидно, что
qi0 [i] + qii[i] = pi + p3 + p5 + p7.
Тогда в этом разрядном срезе получаем следующие переходные вероятности:
q m = qQcEi] = ^сШ. q m = q0i[i] = MI.
00 [i] ril ; tZ01 [i] ril ;
p0 + p2 + p4 + p6 q0[i] p0 + p2 + p 4 + p6 q0[i]
„„и=—"]—=m qn[i]=—sua—=qiiia.
pi + p3 + p5 + p7 qi[i] pi + p3 + p5 + p7 qi[i]
Во втором разряде получаем:
q'00 [2] = p0 (p00 + p0i + p04 + p05) + pi (pi0 + pii + pi4 + pi5) +
+ p4 ( p40 + p4i + p44 + p45) + p5(p50 + p5i + p54 + p55);
q0i [2] = p0 (p02 + p03 + p06 + p07 ) + pi (pi2 + pi3 + pi6 + pi7) +
+ p4 (p42 + p43 + p46 + p47) + p5( p52 + p53 + p56 + p57);
q00[2] =------q01[2] =---------------------------------------------= ^i^;
P0 + Pi + P 4 + P5 q«[2] Po + Pi + P 4 + P5 q«[2]
q'o[2] = P2 (P20 + P21 + P24 + P25)+Pb( P30 + P31 + P34 + P35)+
+ P6 (P60 + P61 + P64 + P65) + P7 (P70 + P71 + P74 + P75 );
qi'i[2] = P2(P22 + P23 + P26 + P27) + P3( P32 + P33 + P36 + P37) +
+ P6(P62 + P63 + P66 + P67) + P7 (P72 + P73 + P76 + P77);
,M[2] =_______q"[2] =________________________________*[2_______= 9л121*
P2 + P3 + P6 + P7 q1[2] P2 + P3 + P6 + P7 q1[2]
В третьем разряде получаем:
q00[3] = P0( P00 + P01 + P02 + P03) + P1 (P10 + P11 + P12 + P13) +
+ P2(P20 + P21 + P22 + P23) + P3( P30 + P31 + P32 + P33);
q01[3] = P0(P04 + P05 + P06 + P07) + P1(P14 + P15 + P16 + P17) +
+ P2(P24 + P25 + P26 + P27) + P3(P34 + P35 + P36 + P37);
q00[3] = q-[3] = ^00Ш; ,01[3] = q0-[3]— =
P0 + P1 + P2 + P3 q0[3] P0 + P1 + P2 + P3 q0[3]
qi'0[3] = P4(P40 + P41 + P42 + P43) + P5(P50 + P51 + P52 + P53) +
+ P6(P60 + P61 + P62 + P63) + P7(P70 + P71 + P72 + P73);
q11[3] = P4(P44 + P45 + P46 + P47)+P5(P54 + P55 + P56 + P57) +
+ P6(P64 + P65 + P66 + P67) + P7 (P74 + P75 + P76 + P77);
q„[3] =_______^qn[3] =__________________________________________________№_= Ш .
P4 + P5 + P6 + P7 q1[3] P4+P5 + P6 + P7 q1[3]
Введя обозначения L = 2R-S; M = 2S-1 и пользуясь методом дедукции, получаем формулы для определения поразрядных начальных векторов цепи Маркова для произвольных R и S:
L M L M
q0[S] = Z Z P( d -1)+(2c-2)M , q1[S] = Z Z P( d -1)+(2c-1)M *
c=1 d=1 c=1 d=1
или
L M
qa [S] = Z Z P(d-1)+(2c-T)M ,
c=1 d=1
где
f2, если a = 0
T 11, если a = 1
Аналогично определяются поразрядные переходные вероятности дарИ (для односвязной цепи, у=1), ^аРу[5] (для двухсвязной цепи, У=2) и т.д.
L M L M
ZZZZP[(b -1 )+(2а-2)M] х P[(b-1)+(2a-2)M],[(d-1)+(2c-2)M] „ fc’l a=1b=1c=1d=1
q00 LSJ = —
q0[S ]
L M L M
ZZZZ P[(b-1)+(2a-2)M] хP[(b-1 )+(2a-2)M],[(d-1)+(2c-1)M]
q01 [S ]= a=1b=1c=1d=1
q0[S ]
ь М ь М
222 2Р[(Ь -1)+(2а-1)М] х Р[(Ъ-1)+(2а-1)М],[(й-1)+(2е-2)М]
^ Го1 а=1Ъ=1е=1й=1
Яю
ь м ь м
Я1[ ^ ]
2 р[(Ъ-1)+(2а-1)М] х Р[(Ъ-1)+(2а-1)М],[(й-1)+(2е-1)М]
[^ ] = а=1Ъ=1е=1й=1----------------------------------------------.
^ Я1[ ^ ]
Или в общем виде
ь М ь М
222 2р[(ъ -1)+(2а-т)М] х Р[(Ъ-1)+(2а-т)М],[(й-1)+(2е-с)М]
Яав [5 ] = а=1Ъ=1е=1й=1---------------------------------------------,
^ Яа [5] ’
где
= /2, если а = 0, = Г2, если р = 0,
Т = [1, если а = 1; и с = [1, если р = 1.
Видно, что
Яо[5] + Я1[5] = 1; Яоо[5] + Я01И = 1; Я10И + Я„И =1.
Для двухсвязной марковской цепи (у=2) формула для нахождения переходных вероятностей имеет вид:
/ ь М ь М ь М
г , I 222222РшРш ,ЪарШ ,Ъа,йе
Р ^__ \ к=1 1=1 а=1 Ъ=1 е=1 й=1
ЯаЙ ]= 9а[« ]
Аналогично определяются переходные вероятности для произвольного V. Установление связи между вероятностями р(•) и я(-) позволяет синтезировать цифровые квазиоптимальные фильтры марковских сигналов. Эти фильтры имеют некоторые энергетические потери по отношению к оптимальному фильтру. Однако поразрядная обработка существенно сокращает объем памяти устройства, а за счет того, что большая часть вычислений может быть осуществлена на этапе программирования ПЗУ, повышает его быстродействие.
Литература
1. Лебедев Е.К. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Е.К. Лебедев. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1989. 192 с.
2. Лебедев Е.К. Непозиционные фильтры / Е.К. Лебедев. Йошкар-Ола: Экседарт, 1991.
86 с.
ИВАНОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА. См. с. 177.
