CC BY
67
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 275-283
Механика =
УДК 539.3:624
Поперечный изгиб пластин за пределами упругости с учетом кинетики агрессивной среды
А. А. Трещев
Аннотация. Рассматривается задача об упругопластическом изгибе прямоугольных пластин, выполненных из титановых сплавов и находящихся под действием водородосодержащей среды. Рассмотрены два варианта решения. В первом варианте изгибу подвергается пластина предварительно наводороженная на всю глубину, а во втором — рассматривается развитие наводороживания совместно с ростом поперечной нагрузки во времени. Анализируются полученные результаты.
Ключевые слова: наводороживание, диффузия, условие
пластичности, титановые сплавы.
1. Введение
Агрессивные среды, проникая в объем конструктивных элементов, как правило, приводят к значительным изменениям механических характеристик материалов и сокращению сроков службы сооружений и аппаратов. Прямоугольные пластины как элементы сооружений являются довольно распространенными элементами конструкций, работающими в этих средах. Разрушение пластин происходит под совместным воздействием нагрузки и среды, представляющей собой физико-химические процессы, возникающие на поверхности и распространяющиеся вглубь объема исследуемых элементов [1]. В таких отраслях промышленности, как энергетическая, космическая, нефтеперерабатывающая, химическая, металлургическая, как правило, рабочей средой оказывается водородосодержащая.
Титановые сплавы, изначально не обладая чувствительностью к виду напряженного состояния, в процессе насыщения водородом (наводороживания) приобретают свойства разносопротивляемости, которые меняются в течение времени, что приводит к снижению пределов текучести и раннему разрушению. Изучение свойств и поведения материалов с начальной и наведенной разносопротивляемостью показало, что ощутимые эффекты,
возникающие в работе конструкций, обнаруживаются, преимущественно, при сложном напряженно-деформированном состоянии.
2. Математическая модель воздействия нагрузки и водородосодержащей среды на процесс деформирования
пластин
В предлагаемой работе построена математическая модель описания работы тонких пластинок из материалов, изначально не чувствительных к виду напряженного состояния и проявляющих свойства наведенной разносопротивляемости в процессе насыщения активной водородосодержащей средой, за пределом упругости. В качестве примера произведен расчет шарнирно-опертой по контуру квадратной пластины, выполненной из титанового сплава ВТ14 и загруженной равномерно распределенной нагрузкой. При этом в качестве критерия пластичности использовалось предложенное авторами [2, 3] условие
где С — объемная концентрация водорода в теле конструкционного материала, в общем случае, это функция времени и координат С = С (ж,у,£,і); / (£, С) — функция, учитывающая вид напряженного состояния и зависящая от концентрации агрессивной среды в материале;
Аппроксимация для функции пластичности /(£, С) использовалась на основе предложенной авторами ранее [2], но в несколько уточненном виде:
^К, С)= т ■ /(с, С) = кт(С),
(1)
/ (с,С) = Ьі(С) + ЫС) ■ еЬз(с)«,
(2)
с
где Ьі(С) = Віо + Вц ■ SІgnC + (Ві2 + Віз ' SІgnC)e ві4+віб =і8п« ;
В22 + В23 ■ SІgnC + е В26+В27'“8П«
+ В28 + В29 ■ signC;
Ьз(С) = Взо + Взі ■ SІgnC + (Вз2 + Взз ■ SІgnC)e Вз4+Вз5 •81®п?
Віо = 0, 875905; Вп = 0,149275; Ві2 = 0,124095;
Віз = -0,149275; Вм = 0, 01111; Ві5 = 0, 09771;
В2о = -0, 928415; В2і = 0, 949085; В22 = 0, 5; В2з = -0, 5;
В24 = 0, 064855; В25 = -0, 064855; В26 = -0, 0110215;
В27 = -0, 0804125; В28 = 0,115165; В29 = -0,135835;
Взо = 1, 833305; Взі = 0, 948445; Вз2 = 2, 23132;
Взз = -0, 03285; Вз4 = -0, 050475; Вз5 = 0, 020125.
Экспериментальные данные здесь, как и в работах [2, 3], заимствованы из [4]. Решение задачи упругопластического изгиба пластин проводится на основе теории малых упругопластических деформаций. При решении поставленной задачи принимаются следующие предпосылки: а) используются обычные положения технической теории изгиба пластин — гипотеза прямых нормалей и гипотеза плоского напряженного состояния; б) диаграммы напряжений-деформаций материалов имеют ярко выраженную площадку текучести, такую, чтобы применение концепции идеально упруго-пластического тела к рассмотренному материалу не вызывало возражений; в) активное нагружение считается простым.
Рассматривается три стадии работы пластин: стадия упругих
деформаций (рис. 1, а); упругопластическая стадия с односторонней пластичностью (рис. 1, б) и упругопластическая стадия с двусторонней пластичностью (рис. 1, в).
Для вывода разрешающего дифференциального уравнения воспользуемся уравнениями равновесия [5]
б)
Рис. 1. Эпюры напряжений для трех стадий работы пластин
дМіі дМі2 п дМі2 , дМ22
т;-----1—й-----V! = 0; —----1—
дфі + д^2
джі дж2
Геометрические соотношения имеют вид
— д = 0.
Єіі = г ■ ^1; е22 = г ■ ^2; е12 = г ■ Мі2,
(3)
(4)
„„„ ,, __ д2т . ,, _ д2т
где ^ = — дх2 ; № = — аХ[ прогибы пластины, г
^і2 =
, Сі] — деформации пластины, ш —
координата по толщине пластины.
Физические зависимости для упругой стадии представлены в работе [5]:
Мц — —О
д2ш д2ш
+ ^вї|
джі
М22
/ д2ш д2ш \
V дх2 + V дх2 / ;
М"і2 — —О(1 — V)
д 2 ш джідж2
= —
джі V дж2
ш д2ш
+ V дж2
д / д2ш д2ш\
2 дж2 \ дж2 + V джі )
(5)
где ^ ), Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона, Н —
толщина пластины.
Рассматривая выражения (3)—(5) совместно, для упругой стадии приходим к известному уравнению [5]
д4 ш д4ш д4ш
+ +2-
джі дж2 дж2дж2
_д
О'
(6)
С увеличением нагрузки и достижением напряженного состояния величины, соответствующей появлению пластичности в каких-либо волокнах, в рассматриваемой области начинает реализовываться упругопластическая стадия работы с односторонней пластичностью. В результате происходит смещение нейтральной оси сечения от серединной плоскости, и в серединной плоскости начинают развиваться деформации, а геометрические соотношения для произвольной точки приобретут следующую форму:
еіі = єіі — г
д2ш дж2 ;
е22 = є22 — г
д2ш дж2 ;
еі2 = єі2 — г
д 2ш джідж2
где £ц, е22, £12 — деформации в серединной плоскости пластины. Выражения для напряжений с учетом (7) запишутся в виде
о
(7)
(8
где кіі = к22 = Е/(1 — V2); кі2 = Е/(1 + V) (по индексам не суммировать),
Т11 — £11 + V ■ £22; Т22 — £22 + ^ ' £11; Т12 — £12;
. д2-ш д2-ш . д2-ш д2-ш . д2 -ш
Д11 — Т—2 + ^7Т2 ; Д22 = Т—2 + ^7Т2 ; ^12 — а--------------я-•
дх д^2 д^2 дх ОЖ1ОЖ2
Положение нейтральной оси (см. рис. 1-3) определяем из условия:
при х — cij, 0.7 — 0 с^^' — т.7/ Дг7; (9)
а координата начала зоны текучести ау (см. рис. 1, б):
при х — аг?, ог, — Аг, ^ аг? — {кг? ■ Ту Аг, )/{кг, ■ Дг,)) (10)
где А», — Фу {^).
Значения параметра т., вычисляем исходя из предположения отсутствия в срединной плоскости продольных сил N7 — 0:
Н/2 41] Н/2
N7 — J о,^х — ^ о7^х +| А*,^х — 0 ^ Р1 ■ т21 + V! ■ Т11 + и — 0;
—И/2 —И/2
Р2 ■ Т^2 + V) ■ Т22 + ^2 — 0; Рз ■ Т22 + V* ■ Т12 + Цз — 0. (11)
Коэффициенты Рк, Уи, Ци однозначно вычисляются через ранее определенные параметры.
Представим момент как сумму интегралов
Н/2 Щ] Н/2
Щ — / ^ — / ^ + / А,Му — О, + д, ■ ДУ• (12)
— Н/2 —Н/2 4г]
где Сг7 — {^2/4 - ^) ■ {кч ■ Тг7 - А7)/2; А, — кг, ■ {а3 + й3/8)/3.
Из рассмотрения полученного выражения (12) совместно с зависимостями (3), (7), (8) приходим к разрешающему дифференциальному уравнению равновесия для упругопластической стадии работы пластины с односторонней пластичностью
д2 д2 д2
Д11 Я 2 Дп + Д22ТГ“2 Д22 + 2Д12 т,------т,-Д12 — ?• (13)
дх1 дх2 дж1дж2
При дальнейшем увеличении нагрузки и распространении пластичности по глубине сечения, в некоторой точке пластины возникают пластические деформации в противоположных волокнах, и работа материала пластины здесь переходит в упругопластическую стадию с двусторонней
пластичностью. В рассматриваемой стадии соотношения (7)—(10) сохраняют свою силу.
Координата начала зоны пластичности Ь., (см. рис. 1, в), определяется из условия:
7 п . 1 кг7 ■ Тг7 Вг7 Гл л\
при х — Ьу, оу — Ву ^ Ьу — к .----------------- • (14)
кг7 ■ Дгу
Выполнив аналогичные выкладки, проведенные для состояния
односторонней пластичности, получим уравнения для параметров т., :
Н/2 4г] Н/2 Ьг]
N¿7 — J оу ^х — J оу ^х + J Ау ^х + У Ву ^х — 0 ^
— Н/2 Ьг] 4г] —Н/2
А11 + В11 А11 + В11 Ь А22 + В22 А22 + В22 Л- *
^ Т11 = 2кц " Ап - В„ ' 2Дп; Т22 — 2к22 " АИ - Ви ' 2Д22'
А12 + В12 А12 + В12 , . /-.-ч
Т12-----2к12-------А2-В2; ■Л (15)
Выражение для момента представляется как сумма интегралов
Ьг] 4г] Н/2
Му — Вух^х + / оу х^х + / Аух^х ^ Му — Ку + Ру ■ Д.,. (16)
—Н/2 Ьц 4ц
Из совместного рассмотрения зависимостей (16), (3), (7), (8) вытекает разрешающее дифференциальное уравнение равновесия пластины
для упругопластической стадии работы ее материала с двусторонней пластичностью
д2 д2 д2
^11ТТ-2 Д11 + Р22 Т; 2 Д22 + 2Р12 д-д-Д12 — 9, (17)
д^1 д^2 0x10x2
где РУ — кг7{ау - Ьу)/3.
Чтобы система уравнений была замкнута, необходимо задавать
граничные условия. Для случая шарнирного опирания по контуру имеем
д2-ш д2-ш . .
м = 0; эХ2 = 0; аХ2 =0- (18)
Таким образом, полученные дифференциальные уравнения (6), (13) и (17) полностью описывают деформирование пластинок на всех стадиях работы материала.
3. Результаты расчета
Решение уравнений (13), (17) было произведено при использовании численного метода конечных разностей с использованием метода переменных параметров упругости при поэтапном увеличении нагрузки. Толщина квадратной шарнирно опертой пластины из титанового сплава ВТ14 принималась равной 0,08м, а геометрические размеры в плане пластины — 1 х 1м. Поверхность пластины покрывалась сеткой 20 х 20 ячеек и, в силу симметрии, рассчитывалась четвертая часть пластины. Задача решалась в двух постановках: 1) изгиб пластин, наводороженных на всю толщину; 2) изгиб пластин в процессе наводороживания с течением времени.
Изгиб пластин, наводороженных на всю толщину. Рассматривался изгиб пластин в отсутствии наводороживания (С — 0%) и пластин, насыщенных на всю толщину с различной концентрацией водородосодержащей среды (С > > 0).
Для придания безразмерности величинам моментов и прогибов использовались следующие параметры: Ыs — кт (С) ■ Ш и ws — 100 ■ Д/(Ы^ ■ /2), где Д — цилиндрическая жесткость, Ш — Л2/6 — момент сопротивления изгибу (упругий момент сопротивления); I — длина пластины; к — толщина пластины.
Установлено, что предельная нагрузка, соответствующая образованию пластического шарнира, полученная при нулевой концентрации водорода, больше нагрузки, полученной при С — 0,12%, примерно на 32% (рис. 2). В стадии упругих деформаций кривые прогибов совпадают, а в стадии упруго-пластических деформаций кривые, полученные при расчете ненаводороженной и наводороженной пластин имеют заметное расхождение, причем с ростом нагрузки разница увеличивается.
Рис. 2. Зависимость прогибов в центральной точке пластины от нагрузки и предельные нагрузки при разном уровне наводороживания
Изгиб пластин в процессе наводороживания с течением времени.
Данная постановка задачи представляет особый практический интерес. Наводороживание принималось нулевым (классический вариант) и затем на определенном шаге изменения нагрузки (в большинстве вариантов расчета, когда начинает образовываться пластичность) начинает
действовать наводороживание, то есть на границе пластины устанавливается концентрация водорода C = 0,05%, нагрузка фиксируется, и начинает меняться время (точнее — число Фурье). Концентрация в данной точке пластины в текущий момент времени определяется из второго закона Фика в одномерном виде: C,t = D0C,zz , где D0 = const — коэффициент диффузии.
Решение этого уравнения для случая двусторонней диффузии записывается следующим образом:
C( t) C ( — 1)'
C(z, t) = Cœ--------------— У --------------r cos
n ^ 2n +1
n=0
(2n + 1)nz h
-Fon2 (2n+1)2
(19)
где — равновесная концентрация среды на поверхности, Fo = t/h
число Фурье. Как видно из рис. 3,
Рис. 3. Изменение прогибов в центре пластины и глубины проникновения среды в пластину во времени
отражающего основные параметры изгиба пластины во времени, график функции прогибов с увеличением глубины проникновения водорода в тело пластины меняет кривизну и функция начинает расти быстрее, имея тенденцию в какой-то момент времени обратиться в бесконечность (во время образования пластического шарнира). По графикам рис. 3 делается вывод, что может произойти разрушение наводороживаемой пластины через определенное время даже при нагрузках, которые вызывают лишь появление пластических зон в отдельных ее точках при отсутствии водородосодержащей среды. Подобное явление наблюдается, например, для рассматриваемых квадратных шарнирно опертых пластин из титанового сплава ВТ14 при числе Фурье Ро — 0, 0038.
Полученные результаты подтверждают тот факт, что к данным материалам, находящимся в активной водородной среде, недопустимо применение классических подходов. Исследование развития текучести по поверхности и по толщине пластины выявило качественно новую картину, не укладывающуюся в рамки классической теории изгиба пластин.
2
Список литературы
1. Овчинников И.Г., Рассада А.Б. Модель взаимодействия нагруженных элементов конструкций с водородосодержащей средой и ее приложения //
Прикладные проблемы прочности и устойчивости деформируемых систем в агрессивных средах / СПИ. Саратов, 1989. С. 12-16.
2. Трещев А.А., Полтавец П.А. К теории пластичности материалов, чувствительных к наводороживанию // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. 2006. № 2. С. 60-67.
3. Полтавец П.А., Трещев А.А. К теории пластичности материалов, подверженных водородному охрупчиванию // Изв. вузов. Строительство. 2006. № 1 (565). С. 18-23.
4. Гервиц Т.Я. Влияние газонасыщения на статическую прочность титановых сплавов // ФХММ. 1981. № 2. С. 45-48.
5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.
6. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.
Трещев Александр Анатольевич ([email protected]), д.т.н., профессор, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Lateral bending of plates outside of elasticity, with the account of the kinetics of an aggressive environment
A. A. Treschev
Abstract. The problem is considered on elastoplastic bending of rectangular plates, made of titanium alloys under the action of hydrogens environment. We considered two variants of decisions. In the first variant of the curve is exposed to the plate pre-saturated with hydrogen on all depth, while the second deals with the development of hydrogen together with the rise in the transverse load in time. Analyzed are the results.
Keywords: hydrogenation, diffusion, condition of plasticity, titanium alloys.
Treschev Alexander ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, department of construction, construction materials and designs, Tula State University.
Поступила 07.03.2013
