Поперечные колебания монорельса во время торможения подвесной монорельсовой дороги Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 622.625.6

В.О. Гутаревич, Е.Л. Игнаткина

Донецкий национальный технический университет, Донецк, 283001 e-mail: [email protected]

ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МОНОРЕЛЬСА ВО ВРЕМЯ ТОРМОЖЕНИЯ ПОДВЕСНОЙ МОНОРЕЛЬСОВОЙ ДОРОГИ

В работе рассмотрены поперечные колебания монорельса, возникающие во время торможения подвижного состава подвесной монорельсовой дороги. Разработана математическая модель поперечных колебаний монорельса с учетом усилий, возникающих во время пуска и торможения подвижного состава.

Ключевые слова: математическая модель, поперечные колебания, подвесная монорельсовая дорога.

V.O. Gutarevich, Е.L. Ignatkina

Donetsk National Technical University, Donetsk, 283001 e-mail: [email protected]

MONORAIL TRANSVERSE VIBRATIONS DURING THE BRAKING OF THE SUSPENDED MONORAIL ROAD

The article considers transverse vibrations of the monorail, which occur during braking of rolling stock of suspended monorail road. A mathematical model of transverse vibrations of the monorail is developed, with taking into account forces arising during starting and braking of the rolling stock.

Key words: mathematical model, transverse oscillations, suspended monorail.

Во время пуска и торможения подвижного состава подвесной дороги монорельсовый путь нагружается не только поперечными, но и продольными нагрузками. Поперечные нагрузки обусловлены воздействием сил тяжести, сил инерции и вызывают изгиб монорельса, а продольные - главным образом, тяговыми, тормозными усилиями и приводят к растяжению или сжатию монорельса.

Теория движения подвижного состава по напочвенному рельсовому пути разработана достаточно полно [1-5]. Параметры монорельсового и рельсового транспорта существенно отличаются по расположению центра тяжести подвижного состава, видам крепления опор и соединений отрезков, ширине рельсовой и колесной колеи. Процесс взаимодействия подвижного состава с подвесным монорельсом имеет свою специфику [6-8]. Особенно эта специфика проявляется для динамических расчетов подвесного монорельсового транспорта. На основании этого тема работы актуальна.

Цель исследований заключается в установлении влияния на поперечные колебания монорельса действия продольных сил, возникающих во время пуска и торможения подвижного состава подвесной монорельсовой дороги.

Рассмотрим поперечные колебания монорельса, испытывающего растягивающее усилие. На основании [9, 10] уравнение поперечных колебаний монорельса имеет вид:

д4 г д2 г д2 г Е—- - Р—- + р Ь—- = 0, (1)

дх4 ' дх2 р д2 7

где г - поперечное перемещение монорельса в точке х;

E - модуль упругости материала, из которого изготовлен монорельс;

] - момент инерции поперечного сечения монорельса относительно его продольной оси;

Р - растягивающее усилие, действующее на монорельс; р , Ь - погонная масса и длина монорельса соответственно. Решение этого уравнения найдем в виде

г ( х, I ) = Се'^^.

Характеристическое уравнение, соответствующее выражению (1), будет

EJnP + P/p -pYLq2 = 0, (2)

где корни этого уравнения равны:

^ + 4EJрую2 - Pp

И",2 = ±V-2EJ-= ±^

J4P +4EJpQ + P.

np3 4 = ±J--г = ±Ki.

pA V 2EJ p

На основании этого получим частное решение уравнения (1):

z (x,t) = (CPeApX + CP2e— + CP3eKpX + CP4e-pZ ) еш.

Представим полученное частное решение с использованием новых постоянных интегрирования:

z(x,t) = (Ap coshKpx + Bp sinhKpx + Cp cosk^x + Dp sin^x)sin(®t + цл ). (3)

С учетом того, что сумма частных решений (3) определяет общее решение уравнения (1), получим

да

z(x,t) = "V(A coshK x + B sinhK x + C cosk x + D sink x)sin(®t + ц ) , (4)

V ' ) Z—f v np np np np np np np np J v Inp J ' v /

np

где n - номер гармоники для каждой главной формы колебаний монорельса.

С использованием зависимостей Журавского M = EJ , Q = dM и начальных условий

dx2 dx

z(0) = z0, z'(0) = z'0, M(0) = M0, Q(0) = P получаем выражения, учитывающие растягивающее усилие P в монорельсе:

, ч z'в mc PD.

z ( x) = z0A, + + MC± + _PDkox-; ( ) 0 k0x k0 k0 EJ k¡ EJ

MB* PC

z\x) = z;A + mbx + PCk0L + z k,D, ; ( ) 0 k0x k0EJ k-EJ 0 0 k0x;

РВ

м ( х) = М0А1 ++г^ЕЗС^ + ¿¿ею^;

е(х) = Р0А^ + £/В;х + г'0к20К1Скох + М^ЕЮ'^'

где к - волновые числа колебаний монорельса, возникающих без действия продольной силы, равные

k0 = 4

К Lq

EJ

Входящие в эти выражения обобщенные динамические функции [11] равны:

kp coshKpx + Kp coskpx

k°x = k2 + K2 '

p p

k3sin hK x + K3sin k x

B — _p_p_p_•

kox k0 k + Kp) • 2 coshKpx - cosk x

kox 0

k2 + K2

k sin hK x - K sin k x

D —k ~p_p p p •

Dkox ko k2 + K2 ;

» К2 coshKpx + kp coskpx

kox — k 2+ K2 '

Kp sinhKpx + kp sinkpx

R — Ъ- p_p_p_p •

Bkox ko k2 + k2 '

» K4 coshKpx - kp cos kpx

ko kop( kp + Kp2) ;

K3sin hK x - k3sin kx

D — p_p_p_p_

kox— ko(kp2 + K2)

Если на монорельс действует сжимающая сила Pp, то корни характеристического уравнения (2) будут и j 2 — ±kpi и и 3 4 — ±К , а уравнение изогнутой оси монорельса принимает вид:

z(x) — AP cos hkpx + BP sin hkpx + CP cos Kpx + DP sin Kpx . При сжимающей продольной силе обобщенные динамические функции аналогично [11] будут:

K2 cos hk x + k2 cos K x

A — p_p_p_p ■

kox

a* —

dA

ko x

kox

B —

ko x

kox

k2 + K2 p p dx

kp coshkpx + Kp cosKpx A* ko x

kp2 + K2 ; p p dx

K3sin hk x + k3sin K x . p p p p • Bt ko x

ko (kp + К) ; dx

f kp sinhkpx + Kp sinKpx B'k ko x

k2 + K2

p p

dx

o kox'

o kox'

Ckox ko

cos hk x - cos K x C.

k2 + K2

p p

dx

— LB* ; C

kp cos hkpx - Kp cos Kpx

'Dkox k(

K sin hk x - k sin Kx D,

p_p_p_• kox —kC • D — —

k2 + K2 ' dx koCkox; Dkox —

kox kPk + Kp)

k3 sin hk x - K3 sin K x D.

*

ko x

ko( kl + K\)

■ — k„C, .

dx 0 kox

Для граничных условий, когда все начальные параметры равны /0, выражение (4) принимает вид:

да

г ( х, г) = £ г0 г (.фтК/ + ц ),

где ^ (х) - собственные функции, определяющие относительные перемещения продольной

оси монорельса при =1 •

Полученные математические зависимости поперечных колебаний монорельса, учитывающие действие продольных сил, позволяют исследовать колебательные процессы, протекающие во время пуска и торможения подвижного состава. Указанные зависимости могут быть использованы для обоснования параметров тормозных систем и режимов работы подвесных монорельсовых дорог.

Литература

1. Блохин Е.П. Динамика поезда (нестационарные продольные колебания): Монография / Е.П. Блохин, Л.А. Манашкин. - М.: Транспорт, 1982. - 222 с.

и

2. Вершинский С.В. Динамика вагона / С.В. Вершинский, В.Н. Данилов, В.Д. Хусидов; ред. С.В. Вершинский. - М.: Транспорт, 1991. - 360 с.

3. Губачева Л.О. Моделювання динамiчних процеав транспортних засобiв / Л.О. Губачева. -Луганськ: СНУ iM. В. Даля, 2009. - 119 с.

4. Лазарян В.А. Устойчивость движения рельсовых экипажей / В.А. Лазарян, Л.А. Длугач, М.Л. Коротенко. - К.: Наук. думка, 1972. - 193 с.

5. Шахтарь П.С. Рудничные локомотивы: динамика и расчет / П.С. Шахтарь. - М.: Недра, 1982. - 296 с.

6. Игнаткина Е.Л. Динамические характеристики подвесного пути монорельсовой дороги / Е.Л. Игнаткина // Вестник Донецкого национального технического университета. - 2016. -№ 6 (6). - С. 3-6.

7. Gutarevych V. Research of Regularities of Suspended Mine Monorail Motion / V. Gutarevych // Mechanical Testing and Diagnosis. - 2014. - Vol. 1 (IV). - Р. 12-17.

8. Gutarevych V.O. Mathematical Modeling of End Carriage Motion on the Overhead Monorail / V.O. Gutarevych // Metallurgical and Mining Industry. - 2014. - № 5. - P. 52-56.

9. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1967. -444 с.

10. Шевченко Ф.Л. Динамика упругих стержневых систем / Ф.Л. Шевченко. - Донецк: Лебедь, 1999. - 268 с.

11. Шевченко Ф.Л. Будiвельна мехашка. Спещальний курс. Динамша пружних стержньових систем / Ф.Л. Шевченко. - Донецьк: Р1А ДонНТУ, 2000. - 292 с.