CC BY
29
УДК 537.563.3
ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ ЩЕЛОЧНЫХ АТОМОВ
Д. А. Кондратьев1, И. Л. Бейгман, Л. А. Вайнштейн
Выполнен расчет скалярной и тензорной частей статической поляризуемости щелочных атомов N0, К, ЯЬ. Проведено сравнение полученных результатов с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными.
ВВЕДЕНИЕ. Статическая поляризуемость щелочных атомов представляет интерес для ряда приложений атомной физики и является предметом изучения в течение нескольких десятков лет. Подход к прямому расчету квадратичного Штарк-эффекта во втором порядке теории возмущений изложен в известной монографии Е. Кондона и Г. Шортли [1]. Техника неприводимых тензорных операторов позволяет в явном виде отразить свойства симметрии эффекта Штарка и разделить скалярную и тензорную части поляризуемости, определяющие сдвиг и расщепление атомного уровня в электрическом поле.
Наиболее точные измерения поляризуемостей основного состояния щелочных атомов были проведены в работе [2]. В работах [3-5] с высокой точностью был измерен штар-ковский сдвиг их 01 - линии п2Р-1/2 —* п23\/2- Несмотря на наличие высокоточных измерений электрических дипольных матричных элементов резонансных переходов, в атомах щелочных металлов экспериментальные данные для нерезонансных переходов отсутствуют.
За последние годы получили значительное развитие методы расчета атомной поляризуемости основного и возбужденных состояний с различными значениями углового момента. Однако в ряде случаев до сих пор имеются расхождения между теоретическими предсказаниями поляризуемости и данными экспериментальных исследований. Теоретический расчет поляризуемостей уровней тонкой структуры атомов щелочных
Московский физико-технический институт (Государственный университет), 141704 Московская область, г. Долгопрудный.
металлов с одним валентным электроном достаточно прозрачен и был рассмотрен в ряде статей [6-8]. В работах [6, 7] использовалась функция Грина с учётом квантового дефекта.
В настоящей работе вычислены поляризуемости 5, р, ¿-уровней атомов Ка, К, ЛЬ. В рамках второго порядка теории возмущений проведено непосредственное суммирование матричных элементов с интегрированием по непрерывному спектру. Также рассмотрено влияние поляризации атомного остатка на скалярную и тензорную части поляризуемости. Обнаружено заметное различие с результатами, приведенными в [7].
Работа состоит из двух частей. В первой части приводятся необходимые для расчета формулы. Вторая часть посвящена сравнению полученных результатов с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными. При расчетах использовалась программа АТОМ [9].
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ. Взаимодействие атома с однородным электрическим полем е
—* —»
описывается гамильтонианом V — —с1е, где в, - дипольный момент атома. Пусть ось г направлена вдоль поля е. Во втором порядке теории возмущений поправка к энергии атома может быть записана в виде [10, 11]:
поляризуемости не зависит от магнитных квантовых чисел М и определяет сдвиг центра тяжести расщепленного уровня. Тензорная часть определяет относительное расщепление подуровней с различными М и для состояний с «/ = 0,1/2 равна нулю. Согласно теории возмущений
А Е^зм = о-^зм^2 =
где 0!77м ~ поляризуемость, а^, а^ - её скалярная и тензорная части. Скалярная часть
а-ули —
Пользуясь теоремой Вигнера-Эккарта, имеем:
./ 1 У -М О М'
3' 1 3 -М' 0 М
Сумма по М' может быть преобразована [12]:
«им = (-1 У~м Е (-1)-/+7'И2х
-у'^х
J 3 ®\/®11\111г[ |(77||</||У7')|2
х
М -М 0)\0 О 0)\JJ У} (Е^ - '
Здесь используется обозначение [х1х2яз—] — (2^1 + I)1/2 • (2х2 + 1)1^2 • (2х3 + 1)1//2 • ••• Сумма по х состоит из двух членов: х = 0 дает скалярную часть поляризуемости, х = 2 - тензорную. Получаем:
I ЫМ\У)\2
У.7'
_ « щ- 11-и / " /I
13 3(27 + 1)^ - ЗД '
/40
7(27-1) 1112 1
(27 + 3)(Л-1)(2.7 + 1) [ 7 7 7' ] (Е^ - Еуг)
Квадрат приведенного матричного элемента, входящего в эти выражения, может быть записан через приведенный одноэлектронный матричный элемент:
К77|Й7'Л12 = [77'^Т | ^ { р \с} К7/И1У 0Г-
Полагая, что атомный остов находится в основном состоянии, т.е. Ьс = 0, получим для щелочного атома:
= \ } \ЫНЬ'П\2-
Рассмотрим случай, когда 7Т соответствует непрерывному спектру. Квадрат приведенного одноэлектронного матричного элемента выражается через силу осциллятора
1ЫЙУП12 = ^ (2/+1)/(п^е,Г) 1\7'||«||7 2т (Е™ + е)
где Еуп - энергия ионизации, ей I' - энергия и момент импульса выбитого электрона в непрерывном спектре. Сила осциллятора для перехода в непрерывный спектр связана с сечением фотоионизации соотношением [13]:
¿/(п/ —> е, /') тс =
Поэтому вклады непрерывного спектра в скалярную и тензорную части поляризуемости:
/ / . N 2>
а.
S,Con •7 J
he 2^2
Е (2J/ + !) i'i'j'
I J 1/2 I 7(2/ + \)<Tpi(t)dt J' V 1 I I/ (Eion + ey '
a
T,Con _
lJ ~
3 he
X
(3*(* + l)-8J(J+l)) , [ / J 1/2 \ 2\ J (21 + l)aPI(e)de fa, (2J + 3)(J+1) 1 J| J' Г 1 j J (Elon + eY ■
В этих суммах /' = / ± 1 (для 1 > 1) и = 1 (для / = 0), a J' принимает значения J' =
>ч
, /' + -. Правила сумм для б^'-символов позволяют найти сумму по J':
¿j
s,Con _ у- 7 cr¡-+i>(e)de
^ ~ 2тг2 J (Е'Т + еГ
а.
т,Соп З^с /40
lJ 4тг2 V 3 \
J(2J-1)(2J + 1) \\—s—j—Lr. ¿ 2 L (2J + 3)(J + 1) 1 j | J 5 J
Al 2 /1 7 (21 -f l)a¡->¡>(e)de
(2L+1)
x £ (-i) i'=i± i
1 V 1 | J (E[jn + б)2
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ. Наличие внешнего электрического поля приводит к поляризации атомного остова, что отражается на взаимодействии остова с валентным электроном. Расчеты показывают, что эффект поляризации оказывает заметное влияние на величину сил осцилляторов оптических переходов. В особенности это касается нерезонансных переходов, для которых вследствие интерференции волновых функций начального и конечного состояний значения / очень малы. Последовательное квантово-механическое рассмотрение эффекта поляризации атомного остова [14] приводит к необходимости замены оператора г в одноэлектронном матричном элементе оптического перехода оператором г(1 — Ф(г)), где поляризационный член может быть аппроксимирован выражением
ф(г) = -—-.
Здесь а - дипольная поляризуемость остова, Го - средний радиус остова. Сравнение вычисленных сил осцилляторов с экспериментальными данными обнаруживает заметную
чувствительность / к величине а и слабую зависимость от г0. Расчет сил осцилляторов переходов в дискретном спектре и сечений фотоионизации для переходов в непрерывный спектр проводился с помощью программы АТОМ [9], использующей полуэмпирические радиальные функции, которые находятся путем решения уравнения Шредингера с потенциалом
и = и5 + иР = -Се (-) - "
г \tjjJ 2 (г2 + Го)2
где потенциал IIр учитывает влияние поляризации остова на волновую функцию оптического электрона, а статический потенциал С/5 вычисляется с помощью аналитических функций Слетера. Масштабный фактор ш определяется из условия того, чтобы собственное значение уравнения совпадало с экспериментальной энергией уровня, отсчитанной от границы ионизации.
0.3 0.25 0.2
0.15 0.1 0.05
/'=0
ч 7
X 137 0
*, »_ 4л nafi Interpolation
0 -0.5
0.5
1.5
Е,е V
Рис. 1. Силы осцилляторов и сечения фотоионизации с уровня Ъ2Р\/2 атома ЯЬ (/' = 0).
Сила осциллятора перехода чувствительна к разности энергий уровней АЕ. Если длина волны перехода выражена в нанометрах, то сила осциллятора связана с приведенным матричным элементом, слабо зависящим от АЕ, следующим соотношением:
30.3756
/об
(а|И|6)|а
(2.7а + 1)А'
Представляет интерес сравнить приведенные одноэлектронные матричные элементы |(7^1И1|7'01> вычисленные с помощью программы АТОМ, использующей экспериментальные энергии, со значениями, полученными в других приближениях. В табл. 1 приведено такое сравнение для некоторых переходов в атоме рубидия.
Таблица 1
Сравнение абсолютных величин одноэлектронных приведенных матричных
элементов для атома рубидия
DHF МВТ FAC GRA92 АТОМ ATOM+Polar
52£>З/2 - - 52Р1/2 0.299 1.979 0.841 0.263 1.356 1.457
52АЗ/2 - 52Р3/2 0.430 2.155 1.085 0.383 1.525 1.621
52£>5/2 ~ - 52РЗ/2 0.450 2.131 1.187 0.403 1.516 1.612
42ДЗ/2 - - 52РФ 11.079 9.611 10.262 11.586 9.458 9.211
42£>з/2 - 52Р3/2 11.179 9.695 10.404 11.707 9.539 9.298
42£>5/2 - 52Р3/2 11.175 9.707 10.406 11.720 9.538 9.297
БНЕ - метод Дирака-Хартри-Фока с замороженным остовом [8], МВТ - релятивистская многочастичная теория возмущений [8], ГАС - релятивистский метод Дирака-Хартри-Фока [15],
С11А92 - релятивистский многоконфигурационный метод Дирака-Хартри-Фока [16], АТОМ - одноконфигурационный полуэмпирический метод [9], АТ0М+Ро1аг - расчет по АТОМ с учетом поляризации остова.
1.6 1.4 1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Е,е V
Рис. 2. Силы осцилляторов и сечения фотоионизации с уровня Ъ2Р\/2 атома ЛЬ (Г = 2).
В отличие от перехода 4.0 —> 5Р в случае перехода 5В —> ЪР большую роль играет интерференция волновых функций начального и конечного состояний, поэтому результаты вычислений заметно отличаются. Тем не менее видно, что приведенные
1=2
Л 13' 4л 7 а
Ttag
— Interpolation
матричные элементы, вычисленные с помощью программы АТОМ, оказываются близки к значениям, даваемым МВТ. В табл. 2 приведено сравнение приведенных матричных элементов и сил осцилляторов переходов с уровня 52 Р\/2 в атоме рубидия, вычисленных с помощью всех порядков теории возмущений [17] и с помощью программы АТОМ. Основной вклад в поляризуемость 52Р\/2 дает наиболее близкий по энергии уровень 42Дз/2- Вследствие наличия малого энергетического знаменателя небольшая погрешность в силе осциллятора может привести к заметному изменению поляризуемости.
Таблица 2
Сравнение абсолютных величин одноэлектронных приведенных матричных элементов и сил осцилляторов для Ш
Rb АЕ [eV] d (МВТ) d (ATOM) / (МВТ) / (ATOM)
Ь2Р„2 525'i/2 1.56 5.182 5.333 -0.342 -0.362
Ъ2РФ 62S1/2 0.94 5.078 4.900 0.197 0.184
Ь2Рх,2 72Sl,2 1.70 1.167 1.122 0.019 0.017
Ъ2РХ,2 42£>з/2 0.84 9.611 9.458 0.662 0.614
52Р1/2 -> 52D3/2 1.63 1.656 1.356 0.036 0.024
52Рг/2 62D3/2 2.00 1.307 1.156 0.028 0.022
На рисунках 1, 2 приведены силы осцилляторов и сечения фотоионизации, соответствующие переходу атома Rb с уровня Ь2Р\/2 на уровни с конечными значениями /' = 0,2. По конечным J' предполагается суммирование. Вместо /п приведены значения
n3Jn . r~Ry df(nl —> б, l') 137 <х,_,,(с)
-, где n* = n — А = \ — ——, которые переходят в --- = ---,— в
2 у Eni de 4л- ttüq
непрерывном спектре. Здесь п* и Eni - эффективное квантовое число и энергия уровня nl, отсчитанная от порога ионизации, А - квантовый дефект.
Видно, что дискретный спектр непрерывно переходит в непрерывный. Вычисления поляризуемости проводились для атомов Na, К, Rb с учетом тонкой структуры уровней. В таблицах 3-5 сопоставляются результаты расчетов, выполненных без учета и с учетом поляризации атомного остова. При этом были приняты следующие экспериментальные значения поляризуемостей остова a(Na+) = I.Ooq, а(К+) = 6.0öq, a(Rb+) = 9.1üq [18]. Все значения поляризуемостей указаны ниже в единицах ад.
Таблица 3
Скалярные и тензорные части статической поляризуемости атома N0 (ат.ед.)
Na Без поляризац. остова С поляризацией остова (а — 1.0) Работа [7] Работа [19] Эксп. [20]
325'1/2 </ 164 161 167 165 163
З2Л/2 357 356 345 390 361
32^3/2 | 359 -86 358 -87 346 -100 390 -91 364 -88
32£>З/2 f < t 6390 -3550 6390 -3550 6646 -3723 6818 -3839
32А;/2 ( < 1 6360 -5040 6360 -5040 6622 -5285 6818 -3839
Таблица 4
Скалярные и тензорные части статической поляризуемости атома К (ат.ед.)
К Без поляризац. С поляризацией Работа Работа Эксп.
остова остова (а = 6.0) [7] [19] [2, 3]
4251/2 </ 299 290 295 291 294
42Р1/2 572 564 552 703 607
42Р3/21 ayJ 582 -95 574 -97 561 -111 739 -111 614 -107
42 Д./2 Г ^ l 34600 -7450 34600 -7460 39780 -9865 38505 -9296
42В5/2- Г < I 34500 -10500 34500 -10500 39600 -13890 43443 -13085
Таблица 5
Скалярные и тензорные части статической поляризуемости атома ИЬ (ат.ед.)
Rb Без поляризац. остова С поляризацией остова (а = 9.1) Работа [7] Работа [19] Эксп. [20]
5 2Si/2 328 300 324 318 320
52А/2 726 705 748 963 812
52Р3/21 <7 т alJ 783 -143 761 -150 801 -154 1032 -169 859 -163
52АЗ/2 | <7 Т 16500 -1020 16600 -1060 21110 -2871 22679 -2007
52В5/2 | (XyJ т ау J 16100 -842 16200 -909 20670 -3387 22289 -2193
Представляет интерес сравнить величины вкладов в скалярную и тензорную части от дискретного и непрерывного спектров (табл. 6). Видно, что вклад континуума в обе части поляризуемости практически одинаков и не превышает нескольких процентов. При этом он растет с ростом атомного номера.
Таблица 6
Вклады дискретного и непрерывного спектров в поляризуемости с учетом
поляризации остова
32£>5/2 К, 42£>5/2 ЯЬ, 52£>5/2
6342 34400 16105
Э.Соп а7</ 18 100 95
-5035 -10469 -878
Т,Соп -5 -31 -31
1.0 6.0 9.076
6360 34500 16200
Т а -5040 -10500 -909
В таблице 7 приведены вклады наиболее важных переходов в поляризуемость уровня 52Р\/2 атома рубидия (с учетом поляризации остова) и сравнение с результатами МВТ [17].
Таблица 7
Скалярные и тензорные части статической поляризуемости атома ЯЬ
АЕ [еУ] / (АТОМ) / (МВТ) ёа^ (АТОМ) (МВТ)
52Л/2 525,1/2 1.56 -0.331 -0.342 -101 -104
52Р1/2 -> 625а/2 0.94 0.186 0.197 157 167
52Р1/2 - 7251/2 1.70 0.018 0.019 4.5 4.8
52Рф - 42^З/2 0.84 0.582 0.662 610 694
52Р1/2 - 52£>З/2 1.63 0.028 0.036 7.9 10.2
Полная скалярная поляризуемость 705 805
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В работе расчитаны поляризуемости основного и первых возбужденных состояний щелочных атомов Ка, К, ЯЬ. Из анализа проведенных вычислений следует, что для всех расмотренных атомов основной вклад в поляризуемость а^ (пБ)
дает переход ns —► пр. При вычислении о7} (пР) вклад дают три перехода: пр —у ns, пр —> (n -f пр —V nd(Na), пр —у (п — l)<¿(K,Rb). Расчет поляризуемостей a*?(nD) требует учета большего количества переходов вследствие наличия больших вкладов разных знаков. Переходы, характеризующиеся большим изменением главного квантового числа An, практически не вносят вклада в поляризуемость. Это связано с быстрым затуханием матричных элементов с ростом An, а также с величиной энергетического знаменателя для таких переходов. Вклад непрерывного спектра во всех случаях мал.
Сравнение полученных значений a^j и aJfJ с экспериментальными данными и значениями, полученными другими теоретическими методами, показывает недостаточное количественное согласие результатов. Это может быть связано, с одной стороны, с неточностью вычисления приведенных матричных элементов и необходимостью учета взаимодействия конфигураций, а с другой стороны - с компенсацией больших вкладов разных знаков.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ N 06-02-16298.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Е. Кондон, Г. Шортли, Теория атомных спектров (М., Мир, 1949).
[2] R. Molof, H. L. Schwartz, T. M. Miller, and B. Bederson, Phys.Rev. A 10, 1131 (1974).
[3] К. E. Miller, D. Krause, Jr., and L. R. Hunter, Phys. Rev. A 49, 5128 (1994).
[4] L. R. Hunter, D. Krause, D. J. Berkeland, and M. G. Boshier, Phys. Rev. A 44, 6140 (1991).
[5] L. R. Hunter, D. Krause, К. E. Miller, et al., Opt. Commun. 94, 210 (1992).
[6] V. E. Chernov, D. L. Dorofeev, I. Yu. Kretinin, and B. A. Zon, Phys. Rev. A 71, 022505 (2005).
[7] A. A. Kamenski, V. D. Ovsiannikov, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 39, 2247 (2006).
[8] M. S. Safronova, C. J. Williams, C. W. Clark, Phys. Rev. A 69, 022509 (2004).
[9] L. A. Vainshtein, V. P. Shevelko, Preprint of the Lebedev Physical Institute N 43 (Moscow, Lebedev Phys. Inst., 1996).
[10] JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика, т. III (M., Наука, 1989).
[11] Л. П. Рапопорт, Б. А. Зон, Н. Л. Манаков, Теория многофотонных процессов в атомах (М., Атомиздат, 1978).
[12] Д. А. Варшалович, А. Н. Москалёв, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента (Ленинград, Наука, 1975).
[13] V. S. Lebedev, I. L. Beigman, Physics of Highly Excited Atoms and Ions (Springer-Verlag, Berlin, 1998).
[14] S. Hameed, A. Herzenberg, M. James, Proc. Phys. Soc. 2, 822 (1968).
[15] M. F. Gu, Astrophysical Journal 582, 1241 (2003).
[16] F. A. Parpia, C. Froese Fischer, I. P. Grant, Computer Physics Communications 94(2-3), 249 (1996).
[17] B. Arora, M. S. Safronova, C. W. Clark, Phys. Rev. A 76, 052516 (2007).
[18] Shevelko, A. V. Vinogradov, Physica Scripta (Sweden) 19, 275 (1979).
[19] В. А. Давыдкин, Б. А. Зон, Оптика и спектроскопия 52(4), 600 (1982).
[20] Daniel A. Steck, Alkali D Line Data, URL: http://steck.us/alkalidata/
Поступила в редакцию 9 сентября 2008 г.
