Поля геометрических объектов H -распределения аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75(08)

Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Поля геометрических объектов .-распределения аффинного пространства

Построены поля инвариантных нормализаций в смысле Нор-дена основных структурных подрасслоений гиперполосного распределения (.-распределения) аффинного пространства Ап в дифференциальных окрестностях 1-го и 2-го порядков. В дифференциальной окрестности 2-го порядка введены нормализации Ос-тиану — Алшибая соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений данного .-распределения. Выяснен геометрический смысл нормали Р 1-го рода Н-подрасслоения: вдоль кривой, касающейся нормали Р, нормаль V переносится параллельно.

Ключевые слова: распределение, тензор, квазитензор, нормаль подрасслоения, нормализация, соответствия Бомпьяни — Пантази.

Во всей работе использована следующая схема индексов: 1,К,1 = 1,п; а,р,у = т + 1,п -1; а,Ь,с = 1,п -1; 1,],к = 1,т; а,р,у = т + 1,п .

1. Поля нормализаций и пучки нормалей 1-го и 2-го рода Нордена основных структурных подрасслоений .-распределения в дифференциальной окрестности 1-го порядка

1. Рассмотрим п-мерное аффинное пространство Ап, отнесенное к подвижному реперу (А,е1 ,е2,...,еп), дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид

йЛ = а'е1; йе1 =ю7кек, (1)

а инвариантные формы а1 и а^ аффинной группы преобразований удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства

11 ь I 1 к ь к йа = а лаь, аа1 = а1 лаь . (2)

Известно [1], что в дифференциальной окрестности 2-го порядка регулярное Н -распределение аффинного пространства Лп

задается относительно репера Я1 уравнениями

ап =Л" аь, аа=Ааг аь, ап =Лп .ар, а' = Л' ьаь, (3)

I 'Ь ' ' 'Ь ' а ар ' аЬ ' V '

где функции в системе (3) удовлетворяют уравнениям

УЛП, = Л>к , УЛПа = ЛПакак , УЛа = Л^ак, (4)

\ЛПШ -ЛП,-аП -ЛПаа' =ЛПпкак,УЛ^ -Л>П = ЛпаЖак, УЛ'ау =Л'ак ак, УЛ'аР+Л>п =Л'арк ак, УЛ'ап -Л'аап -Л'арап + Л|>п =Л'гакак, (5)

УЛ" + Л' аа=Лк ак, УЛ;+Лпраа=Ларк ак,

УЛп -Л;ап -Л>п +Лпта:=Л1как

и соотношениям

Лп лп + Лп Лр + лп л' = о

ап Цк] ар^Цк] ^ 1^'Ц1^\а\к]

Заметим, что коэффициенты в правых частях уравнений (4), (5), вообще говоря, не симметричны по нижним индексам.

Из уравнений (4) следует, что совокупность функций

йе!

{ЛпаЬ} = {Кц; Лпа; Лпар} образует тензор 1-го порядка:

УЛпяь =ЛпЛкак . (6)

Для регулярного Н -распределения фундаментальные тензоры {Лпц}, {Лпар} , {Л"аЬ} невырожденные [1] и потому имеют соот-

ветственно обращенные фундаментальные тензоры 1-го порядка {Л; }, {Лр,у}, {ЛЪ; } , компоненты которых удовлетворяют дифференциальным уравнениям

УЛ'п = Л'лш1, УЛапР = Л^ш1 , УЛапЪ = Л*ш1 (7)

и соотношениям

л; л; = 5*; Л>р;=5у; Л^ лъ; =5а.

2. Для дальнейшего изложения приведем соотношения [2], определяющие биекции Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода соответственно Н-, Ь-, Л-подрасслоений данного Н -распределения

< = -ЛСа Vа + А С («), Vа = -ЛпаЪ VЪ - А (б), (8)

Vа = -Л>р + Аа (а), Vа = Л^а^У^п - А (б), (9) VП =-Лп V. + А' (а), V* = -ЛП Vп - А (б), (10) Vvn +шп =vСк ШК, ^ а =V ак ШК, vvа+ша=vакшк, vvа=vакшк, (11)

^П +шп =^пк шк, Vv* =vIк шк, А с =-Лсп А, VAс +шС = Апк шк(а), а а=-л; а ^а а+ша=А;кашк, (12)

а' = -Л лпш, VA * +шп = а к шк,

йе/

Аа =Лпап, VA = ЛпЪшЪ + аткшк . (13)

а ап ' а аЪ п ак V /

3. В силу уравнений (5), (7) убеждаемся, что функции

йе/ 1

-Л'..

Ч

т

удовлетворяют уравнениям

Ка=-Л*.ЛП (14)

vv; + ш; = v;к шк. (15)

Следовательно, поле квазитензора (У*} (15) задает поле нормалей 1-го рода Ут+1 L-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1-го порядка.

Используя биекцию (9б), находим соответствующее поле нормалей 2-го рода L-подрасслоения

def

У=-л;РУр- А, уу = Уак шк (16)

Далее с помощью объекта (У*} (14) построим тензоры (У»} и (У} , где

У :=Л;-Л:ру; , уу - = 0 ;

def 1

у =--- У: , уу=Ук ®к. (17)

п - т -1

Полю нормалей 2-го рода (У} (17) в силу биекции (10а) соответствует поле нормалей 1-го рода (УП} Л-подрасслоения

УП =-Л у + А', УУП + < = УПк ®к.

В дифференциальной окрестности 1-го порядка введем функции

def def

У: = (У:,У: }, у = (УУ }, (18)

удовлетворяющие уравнениям

у у:+<=У:К ®к (а), уу = Ук ®к. (19)

Отметим, что геометрические объекты (18) соответствуют друг другу в биекции Бомпьяни — Пантази (8).

4. Для Н-подрасслоения гиперполосного Н -распределения справедливо предложение, доказанное для гиперплоскостного распределения аффинного пространстваАп Э. Д. Алшибая [3].

Теорема 1. Однопараметрическому пучку нормалей первого рода (у^Д), определенному в данной точке А Н-подрасслоения

(е-параметр), в биекции Бомпьяни — Пантази (8б) соответствует 116

однопараметрический пучок параллельных (п-2)-плоскостей (пучок нормалей 2-го рода), лежащих в плоскости Н(А).

Покажем, что аналогичное соответствующее предложение имеет место и для Л-подрасслоений данного Н -распределения пространства Ап. Пусть, например, в центре А Н -распределения задан пучок нормалей 1-го рода {vn(а)} ^под-расслоения в смысле Нодена:

vn( а) = а; р+а( V; - а; р ), (20)

где объект {V;} задает произвольную инвариантную нормаль Ыт+1 (А) плоскости ЦА). В силу формул (9а) пучку (20) в би-екции (9б) соответствует пучок нормалей 2-го рода в смысле Нордена следующего вида

V а (а) = л; р ( а; р +а( V; - а; р ) - Аа = л; РАр + (21)

+ аЛ; рЛ>у- Аа =аvа,

то есть пучок параллельных (n-m-2)-плоскостей, лежащих в плоскости 1п-т-1 (А) .

Теорема 2. Однопараметрическому пучку нормалей 1-го рода (20) Ь-подрасслоения в биекции Бомпьяни — Пантази соответствует однопараметрический пучок параллельных (п-т-2)-плос-костей (21) — нормалей 2-го рода Нордена Ь-подрасслоения.

Аналогичное утверждение имеет место и для Л-подрас-слоения.

Теорема3. Однопараметрическому пучку \/(а)=А +04-А) нормалей 1-го рода в смысле Нордена Л-подрасслоения в биекции Бомпьяни — Пантази соответствует однопараметрический пучок параллельных (т-1)-плоскостей V{(а) = ^* нормалей 2-го рода в смысле Нордена Л-подрасслоения.

5. Квазитензоры {Аа} (12), {V;} (19) в общем случае функционально независимы и поэтому определяют в дифференциальной окрестности 1-го порядка в каждом центре А однопа-раметрический пучок нормалей 1-го рода Н-подрасслоения

^" (е) = V; + е(А а - V;), (22)

которым в биекции (8б) согласно теореме 1 соответствует пучок параллельных (n - 2)-плоскостей (нормалей 2-го рода Н-под-расслоения)

va (е) = е- va, (23)

где

V- (е) = V + е( A - V), Vv^ = V^KaK .

av/ а \ а а ' ' а aK

Пучки (22) и (23) порождают пучки нормалей 1-го и 2-го рода L-, Л-подрасслоений в смысле Нордена

Vi"(е) = V; + s(A" - V"), V"(s) = е • V" ; Vi'(е) = Vi + е(.' - Vn), VXs) = s- Z . Здесь введены функции

V"(s) = V;+s(.Aa- V;), Vv; = V"K^K ; vfc) = Vi + е(. - Vi), Vv; = 7KKVk . Теорема 4. Пучки нормалей 1-го рода (.An";VП), (Ana ;V; ),(.<';V:) и 2-го рода (Aa;Va),(Aa; Va ),(Ai;Vi) Нордена соответственно Н-, L-, Л-подрасслоений, а также их нормализации

(V:;Va), (V; ;V;), (Vn;V)

внутренним инвариантным образом H -распределение порождает в дифференциальной окрестности 1-го порядка.

2. Построение полей геометрических объектов 2-го порядка, ассоциированных с оснащенным Н-подрасслоением

1. Пусть Н-подрасслоение оснащено полем нормалей Алши-бая A(.An") , заданном в окрестности 1-го порядка уравнениями (12а). Продолжение уравнений (12а) с учетом (2) и (3) приводит к уравнениям

-к + А;ЪЛпъкша; + А;аЛпъкшЪ; - 0, (24)

которым удовлетворяют функции Апка 2-го порядка. Распишем более подробно (при К = Ь, К = п) уравнения (24):

VA;; + А;Ълпъш; + а;сл;ш; - о, (25)

VAйa - (АЪа - Аа л;Ъ; -5 а А;с лпС;К - о. (26) В силу (12а), (25), (6) убеждаемся, что функции

йе/

а;ъ = аа - а;а а; сл; (27)

удовлетворяют уравнениям

VAnъ = АПъкшк,

то есть совокупность функций {АапЪ} образует тензор 2-го порядка. В общем случае

к = йе1\\А;ъ\\ Ф 0,

что позволяет для тензора {А;ъ} ввести обращенный тензор {АЪп}, удовлетворяющий условиям

АапсАТ = 5Ъ, АС;ъАаа = 5аъ, VAbn = Аскшк . (28)

пс Ъ Ъ пЪ с Ъ Ъ Ък

Кроме того, будем считать, что след тензора {АапЪ} (27) отличен от нуля, то есть

йе/ 1

н =--Аапа Ф 0.

п -1

Дифференциальные уравнения для величин К и Н имеют вид

й1пк -(п - 1)ш; = ккшк, й1пН-ш; = Нкшк .

Следовательно, величины К и Н являются относительными инвариантами 2-го порядка, а отношение

к

Б =

Нп-1

— абсолютный инвариант 2-го порядка

йЫБ = Бкшк . (29)

2. В общем случае определитель

к = ф 0

и след тензора {Л™ } (28) отличен от нуля, то есть

~ 1

=—— ль; ф о. п -1

Величины К и являются относительными инвариантами 2-го порядка

\dlnK - (п - 1>п = Кк шк, \d-ln Н-< = ~к шк,

а их отношение Б = Б^ есть абсолютный инвариант

Бп-1

2-го порядка

dlnS = 5к шк. (30)

Из (29) и (30) следует, что величина

50 = 5 • Б , dlnS0 = (Бк + Бк)ак,

— абсолютный инвариант 2-го порядка. 3. Введем в рассмотрение функции

0п =-лТЛПП , (31)

где

de/

лът = ЛПП - ЛЛКп, УЛьпп = Л1 < . (32)

Уравнения (32) следуют из (26), (12а) и (13). В силу уравнений (28), (32) имеем

V ап+<=аапк ш . (33)

Таким образом, поле квазитензора {01} (33) задает поле нормалей 1-го рода Н-подрасслоения в дифференциальной окрестно-

сти 2-го порядка. Квазитензор {Q'a} (31) для гиперплоскостных распределений аффинного пространства введен Э. Д. Алшибая [3—4], а для гиперплоскостных распределений проективного пространства ранее рассматривался Н. М. Остиану [5]. В силу этого поле нормалей Q 2-го порядка для Н-подрасслоения будем называть полем нормалей Остиану — Алшибая. Геометрический смысл нормали Q для гиперплоскостного распределения аффинного пространства найден в работе [3]: «Вдоль кривой, касающейся нормали Q , нормаль А' (нормаль Алшибая) переносится параллельно».

Функции

Q: =- АГАП;, Qn =- АЪПАП; (34)

согласно уравнениям (24) удовлетворяют соответственно уравнениям

VQ: + ш; = Q:кшк , VQn + ш; = Q:кшк . (35)

Поля квазитензоров {Q:} и {Q'n} (35) задают соответственно поля нормалей 1-го рода Л-подрасслоений, которые будем называть полями нормалей Остиану — Алшибая Л-подрасслоений. Квазитензорам (31), (34) в силу биекций Бомпьяни — Пантази (8) — (10) соответствуют тензоры 2-го порядка

Яа =-л^; - А ,Ца =-л;^р - Аа,

я1 = -л;^П - А,

где

V Я а = Яакш , VЯа = Я акшк , VЯ* = Ягк . (36)

Поля (36) тензоров{ца} , {яа} , {я^ задают соответственно поля нормалей 2-го рода Н-, Л-подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка, которые назовем полями нормалей Остиану — Алшибая 2-го рода.

Резюмируя, приходим к следующему предложению.

Теорема 5. Нормализации Остиану — Алшибая (Q'n;tfi), (Q:;Яа), ^ап;яа) соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений данного Н -распределения внутренним образом определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

4. Пусть теперь Н -распределение оснащено полем нормалей 1-го рода V (19а). Замыкая уравнения (19а), с учетом (2), (3), (19а) получим дифференциальные уравнения на функции УПк 2-го порядка

уу;К + УПЛкшЬ + улПкша - о.

Откуда при К = Ь; К = п находим

уу; --у;л;ш; - усл;ъшап, (37)

vvnаn - (УПЪ - УПл;Ъ; - ьаХлп;)шьп. (38)

Построим тензор 2-го порядка {кПъ }, компоненты которого

КЪ = УСЪ - уу л;ъ , (39)

в силу уравнений (37), (19а), (6), удовлетворяют уравнениям

УКПъ =КПъкшк . (40)

Определитель тензора {3"пЪ} (39) в общем случае отличен от нуля

к(К) = Ка;ъ| * 0 .

Это позволяет вести обращенный ему тензор {Ксп}, компоненты которого удовлетворяют условиям

31 КЪ; = 8'„; КъКп = 5Ъ;. УКЪ; = 3™шк . (41)

Введем в рассмотрение функции 2-го порядка

КЪ = у" - уЪу сЛп ,

пп пп п п с; '

дифференциальные уравнения которых согласно (38), (19а), (13) имеют вид

У3Ъ =3Ъ шс + 3Ъ кшк . (42)

пп пс п ппк У1^/

Наконец, согласно уравнениям (41), (42) убеждаемся, что функции

ра = -аапаъ п Ь пп

образуют квазитензор { Р; }

VPna +< = ракшк . (43)

Из (44) следует, что поле квазитензора {РП} 2-го порядка задает поле нормалей Р 1-го рода Н-подрасслоения. Геометрический смысл нормали Р выясняется в следующей теореме.

Теорема 6. Вдоль кривой, касающейся нормали Р, нормаль У переносится параллельно.

В каждом центре А нормаль 1-го рода У1 = [Л,У(Л)] плоскости Н(А) определяется вектором

У = УХ + е:. (44)

Найдем dУ при смещении центра А вдоль любой кривой шь = РЬШ: , (45)

касающейся нормали Р . Приведем вычисление дифференциала йУ, используя формулы (1), (13), (19а), (40), (42) — (45). Имеем

dУ=(йУапея + УЬ ш'ьеа + Уа ш;еп + «:еа + шппеп) =

= ^У; + УЬ ш'ь +ш'п)еа + (Упа Ш: +шП)еп = = ^у; + у;шЬ - у:ш; + ш; - уу шпе + +(У;еа + е;)(У: ш; +ш; ) = = (У'кшк - УУ Ккшк)еа + У • Б =

= V - УУ Къ)ш еа + (УЬп - УУ Кы)шЧа + У • 0

= (КъРЬ +Кп)шпеа + У • 0,

где 0 = УЬшпь + ш; . Итак, dУ = ~У .

6. Функции

def def

р* =_КШКЪ , рг =-К.пКЪ п Ъ п п ' п Ъ ;

def

def

пп

(46)

удовлетворяют уравнениям

ур;+ш„°=рк шк, ур;+ш;=р:к шк.

(47)

Следовательно, поля (47) квазитензоров 2-го порядка (46) задают поля нормалей 1-го рода рт+1 и р;-т соответственно Ь-, Л-подрасслоений данного Н -распределения. Согласно биекции Бомпьяни — Пантази (4)—(6) полям нормалей 1-го рода р1 (А), рт+1 (А), р;-т(А) соответствуют поля нормалей 2-го рода р;-г (А), рт-1 (А) Н-, Ь-, Л-подрасслоений, определяемые полями квазитензоров {ра}, {ра}, {р{}, где

соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений Н -распределения внутренним образом определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка полями квазитензоров (43), (47) и тензоров (48).

1. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства. Калининград. 1986. 50 с. Деп. в ВИНИТИ 21.09.87, № 6807—В87.

2. Попов Ю. И. Нормализация гиперполосы БНт // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 131—141.

3. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 5. С. 169—192.

4. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве : моногр. Тбилиси, 1999.

Р, =-ЛПъЬрЪп - А , У Ра = Рак шк,

Ра = -л;,р;- а , ура=р к шк,

р, = -л- а,ур, = ркшк.

(48)

Список литературы

5. Остиану Н. М. Распределение гиперполосных элементов в проективном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1973. Т. 4. С. 71—120.

Yu. Popov

Fields of geometric objects for ^-distribution of affine space

Fields of invariant normalizations in the sense of Norden for the main structural subbundles of hyperband distributions in the affine space An in differential neighborhoods of the first and second order are constructed. Ostianu

— Alshibaya normalizations of Л-, L-, Н-subbundle of the H -distribution are introduced in the second order differential neighborhood. The geometric meaning of the first kind normal P of the H -distribution is determined: normal V is parallel transferred along the tangent curve to the normal P .

УДК 514

Г. А. Султанова, В. Ф. Тимербулатова

Пензенский государственный университет

Делители нуля алгебр антициклических и циклических чисел

Целью работы является нахождение делителей нуля алгебр

R (im _') и R (e ) , вычисление первой квадратичной формы поверхностей, содержащих все делители нуля их алгебр.

Ключевые слова: делители нуля, алгебра антициклических чисел, алгебра циклических чисел, первая квадратичная форма.

Пусть

R (im-1)= [а0 + axi + а2i2 +... + am_1im_:|а0,а1,...,am_ еr}

— алгебра антициклических чисел, базис которой составляют степени i0 = 1, i1 = i, i2,..., im-1 элемента i, который удовлетворяет соотношению im = _1;