Полуспециальные контактные 2-геодезические преобразования АС-структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7

doi: 10.18101/2304-5728-2016-2-11-16

О Б. В. Заятуев, H. Н. Дондукова

Полуспециальные контактные 2-геодезические преобразования АС-структур

В данной работе исследованы свойства полуспециальных контактно 2-геодезических преобразований почти контактно метрических структур (А("-структур), введенных в работе [1]. В первой части работы найден инвариантный вид структурных тензоров (см. [2]) почти контактных метрических структур, который был использован для нахождения формул преобразования структурных тензоров почти контактных метрических структур при контактно 2-геодезических преобразованиях. Далее получен инвариант почти контактных метрических структур при контактно 2-геодезических преобразованиях первого линейного типа. Выделены так называемые полуспециальные контактно 2-геодезические преобразования, и получены формулы преобразования структурных тензоров при полуспециальных контактно 2-геодезических преобразованиях. В заключении, получено тождество, которому удовлетворяет аффинор полуспециальных 2-геодезических преобразований.

Ключевые слова: почти контактные структуры, 2-геодезические преобразования, структурные тензоры почти контактных структур.

© В. V. Zayatuyev, N. N. Dondukova Semi special contact 2-geodesic transformations of AC-structures

In this paper we investigate the properties of semi-technical contactly 2-geodesic transformations of the almost contact metric structure (AC-structures), which was introduced in [1]. In the first part of the work we found invariant form of structural tensors (see [2].) of almost contact metric structures, which has been used to find the transformation formulas of structural tensors of almost contact metric structures when a contactly 2-geodesic transformations. Next we obtained invariant almost contact metric structures when contactly 2-geodesic transformations of the first linear type. So-called a semitechnical a contactly 2-geodesic transformations were allocated, and formulas for the transformation of structural tensor were obtained when a semi-technical 2-geodesic transformations. Finally, we obtain the identity, which affinor of semi-technical 2-geodesic transformations satisfies.

Keywords: almost contact structures, 2-geodesic transformations, structure tensors of almost contact structures.

Введение

Теория геодезических преобразований (см. [3]) и их обобщений (см. [4]) являются важным объектом изучения современной дифференциальной геометрии. Первоначальный интерес к этой теории был определен ее важным прикладным аспектом, связанным с изучением динамических траекторий механических систем с «-степенями свободы. Основополагающую роль в становлении теории геодезических преобразований и их обобщений сыграли такие известные ученные как Т. Леви-Чивита, Г. Вейль, Т. Томас, Н.С. Синюков, К. Яно и другие.

1. Постановка задачи

Приведем вначале необходимые для дальнейшего факты из теории 2-геодезических преобразований.

Пусть (М, g =<•,•>) - риманово многообразие, V - риманова связность метрики g .

Определение 1. [4] Кривая g(t) на М называется 2-геодезической (или почти геодезической), если вдоль нее существует параллельное поле 2-мерных плоскостей G2(t) с Г (i)(M), содержащее касательное векторное поле этой кривой, т.е. y{t) е G2{t).

Определение 2. [4] Диффеоморфизм р(\):М -^-М называется 2-геодезическим преобразованием, если оно каждую геодезическую кривую y(t) преобразует в 2-геодезическую кривую у(1) = р( 1) ° y(t). В частности, если G(t) = L(f(t),K(f{t))), где L- линейная оболочка векторов; К -аффинор, то р( 1) называется 2-геодезическим преобразованием первого линейного типа.

Наша задача: изучить 2-геодезические преобразования почти контактных метрических структур.

2. Формулы преобразования структурных тензоров АС-структур при контактно 2-геодезических преобразованиях

Пусть V - риманова связность метрики g , V - риманова связность

метрики g = p(\)*g, 77 = V-V - тензор аффинной деформации. Тогда, как известно [3], тензор 2-геодезических преобразований первого линейного типа имеют следующий вид:

T(X,Y) = co(X)Y + co(Y)X + co(X)KY + co(Y)KY . (1)

0 0 1 1

Определение 3. ([2]) Почти контактной метрической (короче АС-) структурой называется совокупность ¡Ф.^.//. тензорных полей на М .

где g = (•,•)-риманова метрика, Ф-тензор типа (1,1), называемый

структурным эндоморфизмом, £ - вектор, // - ковектор, называемые структурным вектором и ковектором, соответственно. При этом: 1)Т7(£) = 1; 2) Ф2 + ; 3) 77°Ф = 0; 4) Ф(£) = 0; 5) §(ФХ,Ф¥) = §(Х,¥)-71(Х)Т1(¥); где Х,¥ е %{М). Многообразие с фиксированной АС-структурой называется почти контактным метрическим (короче АС-) многообразием.

Пусть М2п+1 - гладкое многообразие с почти контактной метрической структурой ¡Ф.^.//. , %(М) — модуль гладких векторных полей на многообразии М .

Определение 4. ([5]) 2-геодезическое преобразование р(\):М М называется контактно 2-геодезическим преобразованием, если четверка {ф,^,77,£ = р(1) } также А('-структура.

В работе [2] были введены в рассмотрение структурные тензоры АС-структуры, играющие ключевую роль в контактной геометрии. Можно показать, что в инвариантном виде они имеют следующий вид:

В(Х,¥) = -Цфо Уф2у (Ф) Ф2Х + Ф о Уф7(Ф)ФЛГ +

о

+Ф2 о Уф7(Ф)Ф2Х-Ф2 о Уф27(Ф)ФХ}, С(Х,¥) = -Ц-фо Уф27 (Ф) Ф2Х + Ф о Уф7 (Ф)ФЛГ +

о

+Ф2 о Уф7(Ф)Ф2Х + Ф2 о Уф27(Ф)ФХ},

Б(Х) = -1 {Ф о Уф2х (Ф) - Ф2 о УФХ (Ф)£ -

(3)

_1фоУ|(Ф)Ф2Х+^Ф2 оУ^(Ф)Фх1, Е(Х) = -|{ФоУф2х(Ф)£ -Ф2 оУФХ(Ф)£} , Р(Х) = 1{ф о Уф2х (Ф)- Ф2 о уфх (Ф)£} ,

Ковариантная производная структурного эндоморфизма с учетом (1) имеет следующий вид:

Ух(Ф)7 = V.(Ф)7 + ю(Ф7)ФХ - ю(7)ФХ + а>(Х)К ° ФГ +

О 0 1

+ю(Ф¥)КХ--ю(¥)Ф°КХ-ю(Х)Ф°К¥ . (4)

1 1 1

Путем несложных, но громоздких вычислений, с учетом формул (3) и (4) были получены следующие структурные тензоры /¡("-структуры

{ф,£,?7,£ = р(1)*£}:

В(Х,У) = В(Х,7) - ^(о(ФХ)ФУ - (Ф2Х)Ф2У --I ф о К о (ю(ФГ)Ф2Х + ю(Ф2Х)Ф7 - со (Ф2У)ФХ - а (ФХ)Ф2У) +

+1 ф2 о К о (со (Ф2У)Ф2Х + а (Ф2Х)Ф2У + ю (Ф7)ФХ + а(ФХ)Ф7), С(Х,Г) = С(Х,Г) - ^-Ф о К о (ю(Ф7)Ф2Х + ю(Ф2Х)ФГ + Ю(Ф27)ФХ +

+ю(ФХ)Ф2Г) -^-Ф2 о К о (ю(ф2Г)ф2Х + ю(Ф2Х)Ф2Г - ю(Ф7)ФХ -

-ю(ФХ)ФГ),

1

Ъ{Х) = И{Х), (5)

Е(Х) = Е(Х) - ю(£)Ф2Х-|фоК(о)(ФХ)% + ю(^)ФХ) +

+1ф2 оК(а(Ф2Х)^ + ю(£)Ф2Х),

^(Х) = ^(Х)-^-Ф о К(о)(ФХ)% + со(^)ФХ) -

-1ф2 оК(а>(Ф2Х)% + а>(£)Ф2Х), С = С-2а(^)Ф2 оЩ).

Из(5)следует

Теорема 1. Контактно 2-геодезнческое преобразование первого линейного типа сохраняет структурный тензор В.

3. Полуспециальные контактно 2-геодезические преобразования почти контактных метрических структур

Наложим на аффинор ^дополнительные условия: К - невырожденныйаффинор,

(6)

фоК = Коф.

При таких условиях ковариантная производная структурного эндоморфизма имеет следующий вид:

Ух (Ф)7 = V. (Ф)7 + ю(Ф7)ФХ - со (У )ФХ +

о о

+ю(Ф7)ЮГ-ю(7)фоЮГ. (7)

1 1

Определение 5. ([1]) Если аффинор К удовлетворяет условиям (6), то контактно 2-геодизические преобразования первого линейного типа АС-структуры называются полуспециальнымы.

Подставив (7) в формулы (5), мы получим, что справедлива Теорема 2. Для полуспециальных контактно 2-геодезических преобразований выполняются соотношения:

С(Х,¥) = С(Х,¥), Ъ(Х) = 0(Х), Е(Х) = Е(Х) - со (£)Ф2Х -ео(£)Ф2КХ ,

о о

Р(Х) = Е(Х), в = в.

Теорема 3. Для полуспециальных контактно 2-геодезических преобразований выполняется тождество: 7](КХ) = Лг)(Х), где Л = г](К%). Доказательство:

Для полуспециальных контактно 2-геодезических преобразований выполняется равенство:

В работе рассматриваются полуспециальные контактно 2-геодезические преобразования. Такие преобразования интересны тем, что они являются важным частным случаем /»-геодезических преобразований и достаточно естественным образом связаны с почти контактными метрическими структурами.

Литература

1. Дондукова Н. Н. Полуспециальные контактно 2-геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Геометрия многообразий и ее приложения. — Улан-Удэ: БГУ, 2010. — С.15 - 16.

В(Х,¥) = В(Х, Г) - (ФХ)Ф7 - (Ф2Х)Ф2Г -^а(ФХ)ФК¥ -^а(Ф2Х)Ф2К¥ ,

1

1

(8)

Заключение

2. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. — М.: МПГУ, 2003. — 495 с.

3. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. — М.: Наука, 1979.

4. Лейко С. Г. Линейные р-геодезические диффеоморфизмы многообразий с аффинной связностью // Изв. высших уч. заведений. — 1982. — №5, —С. 80-83.

5. Кириченко В. Ф., Дондукова Н. Н. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80, №2.

References

1. Dondukova N. N. Poluspetsial'nyye kontaktno 2-geodezicheskiye preobrazovaniya pochti kontaktnykh metricheskikh struktur // Geometriya mnogoobraziyiyeyeprilozheniya. — Ulan-Ude: BGU, 2010. — S. 15-16.

2. Kirichenko V. F. Differentsial'no-geometricheskiye struktury na mnogoobraziyakh. — M., MPGU, 2003. -495 s.

3. Sinyukov N. S. Geodezicheskiye otobrazheniya rimanovykh pros-transtv. — M.: Nauka, 1979.

4. Leyko S. G. Lineynyye p-geodezicheskiye diffeomorfizmy mnogoobraziy s affinnoy svyaznost'yu // Izv. vysshikh uch. zavedeniy. — 1982. — №5, —S. 80- 83.

5. Kirichenko V. F., Dondukova N. N. Kontaktno-geodezicheskiye preobrazovaniya pochti kontaktnykh metricheskikh struktur // Matem. zametki. — 2006. — T. 80, №2.

Заятуев Батор Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент, Бурятский государственный университет e-mail: [email protected].

Дондукова Надежда Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Бурятский государственный университет e-mail: [email protected].

Zayatuyev Bator Vladimirovich, PhD in Physics and Mathematics, associate professor of Buryat State University.

Dondukova Nadezhda Nikolaevna, PhD in Physics and Mathematics, associate professor of Buryat State University.